Resumo | Escala

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ESCALA 
 
 
Razão 
Razão é uma divisão, uma fração, um quociente. 
A razão entre a e b, nessa ordem, é: 
𝑎
𝑏
, 𝑏 ≠ 0. 
Essa razão pode ser lida como “razão entre a e 
b”, “a está para b” ou ainda “a para b”. O número 
a é chamado de numerador e o número b é o 
denominador. 
 
Proporção 
Proporção é uma igualdade de razões: 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘 
Em toda proporção são válidas as propriedades: 
1) 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
 2) 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇒ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 
 
A primeira propriedade significa que podemos 
fazer a razão entre a soma dos numeradores e a 
soma dos denominadores mantendo a 
proporção. Já a segunda, é simplesmente a 
“multiplicação cruzada”, ou seja, os produtos do 
numerador de uma razão e o denominador da 
outra são iguais. 
 
Escala 
Uma razão que merece destaque é a escala, que 
é utilizada quando se faz uma representação de 
algo do mundo real, como um mapa, uma 
maquete, ou uma réplica de um objeto qualquer. 
Escala é a razão entre uma medida linear na 
representação e essa mesma medida no objeto 
real, ambas as medidas na mesma unidade. 
Exemplo: 
 
 (ENEM) Para uma atividade realizada no 
laboratório de Matemática, um aluno precisa 
construir uma maquete da quadra de 
esportes da escola que tem 28 m de 
comprimento por 12 m de largura. A maquete 
deverá ser construída na escala de 1 : 250. 
Que medidas de comprimento e largura, em 
cm, o aluno utilizará na construção da 
maquete? 
Se a escala é de 1 : 250 = 1/250, significa que 
dividindo o comprimento da maquete pelo 
comprimento real da quadra (e dividindo a 
largura da maquete pela largura real da quadra) 
devemos obter 1/250. Para encontrar as 
dimensões em cm, devemos escrever as 
medidas reais em cm também. Como 1 m = 100 
cm, multiplicamos por 100 para converter m para 
cm. Sejam c e l, respectivamente, o comprimento 
e a largura da maquete em cm, temos: 
𝑐
2800
=
1
250
 ⇒ 250𝑐 = 2800 
 ⇒ 𝑐 =
2800
250
= 11,2 𝑐𝑚. 
 
𝑙
1200
=
1
250
⇒ 250𝑙 = 1200 
 ⇒ 𝑙 =
1200
250
= 4,8 𝑐𝑚. 
 
Uma observação importante sobre escalas é 
quando tratamos de área e volume. O exemplo 
anterior poderia ter pedido qual a área da 
maquete, e nesse caso sabemos que a área é 
11,2 x 4,8 = 53,76 cm2, pois obtemos a área por 
meio das dimensões da maquete. Mas a questão 
é a seguinte: imagine que não sabemos quais as 
dimensões reais da quadra e sim sua área, de 
336 m2. Como obter a área da maquete a partir 
da área real? Ao contrário do que se possa achar 
inicialmente, não podemos usar a escala 1 : 250, 
pois área é uma medida de superfície, são duas 
dimensões. Por isso devemos elevar a escala ao 
quadrado, obtendo (1/250)2 = 1/62500. Essa 
nova razão encontrada é o que usamos para 
relacionar as áreas. Seja A a área da maquete 
em cm2, devemos transformar a área real de 336 
m2 em cm2. Para isso, note que 1 m2 é a área de 
um quadrado de lado 1 m, e portanto, temos um 
quadrado de lado 100 cm, cuja área é 1002 = 
10000 cm2. Dessa maneira, 336 m2 = 3360000 
cm2 e assim: 
𝐴
3360000
=
1
62500
 
62500𝐴 = 3360000 
𝐴 =
3360000
62500
= 53,76 𝑐𝑚2. 
 
Tratando-se de volumes a ideia é análoga, 
porém volume é uma medida tridimensional, e 
dessa maneira deve-se elevar ao cubo a escala 
original. 
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