2EstAlgebrica-livro

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estrutura
AlgÉbrica
licenciatura em
matemática
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 6
Ministério da Educação - MEC
Coordenação de Aperfeiçoamento 
de Pessoal de Nível Superior
Universidade Aberta do Brasi l
Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia do Ceará
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Aberta do Brasil
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Diretoria de Educação a Distância
Fortaleza, CE
2011
Licenciatura em matemática 
Estruturas Algébricas
Ângelo Papa Neto
Créditos
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Coordenadora UAB/IFCE
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Licenciatura em Matemática
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Elaboração do conteúdo
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https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Neto, Ângelo Papa.
 Estruturas Algébricas / Ângelo Papa Neto; Coordenação Cassandra 
Ribeiro Joye. - Fortaleza: UAB/IFCE, 2011.
 150p. : il. ; 27cm.
ISBN 978-85-63953-19-3
 1. MATEMÁTICA. 2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS. 3. ÁLGEBRA 
ABSTRATA - GRUPOS. I. Joye, Cassandra Ribeiro (Coord.). II. Instituto 
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE. III. Universi-
dade Aberta do Brasil – UAB. IV. Título.
CDD - 510
P229e
Catalogação na Fonte: Islânia Fernandes Araújo (CRB 3 – Nº 917)
SUMÁRIO
AULA 2
AULA 3
AULA 4
Apresentação 7
Referências 150
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Currículo 151
Grupos e subgrupos 8
Definição de grupo e exemplos 9
Subgrupos 15
AULA 1
Subgrupos normais e homomorfismos 24
Subgrupos normais 25
Homomorfismos de grupos 29
Anéis, subanéis e ideais 34
Definição e exemplos 35
Subanéis e ideais 41
Ideais primos e maximais 46
Homomorfismo de anéis 51
Definições e exemplos 52
Anel quociente 58
O teorema fundamental dos homorfismos de 
anéis 63
6 Est ru tu ras A lgébr icas
AULA 6
AULA 7
AULA 8
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
AULA 5 Domínios fatoriais 70
Domínos euclidianos, domínios de ideais principais e 
domínios fatoriais 71
O corpo de frações de um domínio 81
Polinômios 88
Sequências quase nulas e polinômios 89
Algoritmo da divisão para polinômios 97
Polinômios com coeficientes em um domínio de 
fatoração única 103
Introdução à teoria dos corpos 115
Extensões de corpos 116
Corpos finitos 124
Aplicações 130
Construções com régua e compasso 131
Códigos corretores de erros 137
7APRESENTAÇÃO
APRESENTAÇÃO
Olá aluno(a),
Ao contrário da Aritmética e da Geometria, que são áreas da Matemática que se caracterizam 
pelo tipo de objeto estudado, a Álgebra é caracterizada pelos seus métodos. Os métodos, 
em Álgebra, seguem a ideia básica de estudar os objetos não isoladamente, mas observando 
a estrutura resultante da organização desses objetos em conjuntos com certas propriedades. 
Por exemplo, do ponto de vista da Álgebra, um polinômio não deve ser visto como um objeto 
isolado, mas antes como um elemento de um conjunto de polinômios onde os elementos 
possam ser somados e também multiplicados, uma estrutura, chamada anel de polinômios. 
Faz sentido, portanto, falarmos em soma e em produto de matrizes, de polinômios e de 
funções, embora tais objetos não sejam números. Isso se dá porque tais objetos podem ser 
organizados em conjuntos munidos de uma ou mais operações binárias, o que dá a cada um 
desses conjuntos uma estrutura algébrica. Podemos, então, estudar tais estruturas de modo 
abstrato, sem fazer referência à natureza dos elementos do conjunto, obtendo resultados que 
valem em diferentes contextos. As estruturas algébricas mais básicas Grupos, Anéis e Corpos 
são os objetos de estudo de nossas aulas.
Ângelo Papa Neto
8 Est ru tu ras A lgébr icas
Olá aluno (a), 
Nesta aula iremos estudar a nossa primeira estrutura algébrica, que é estrutura 
de grupo. Por serem os objetos matemáticos adequados para se quantificar a 
noção de simetria, os grupos encontram aplicações na geometria (fundamentação 
da geometria via grupos de transformações, grupos de Lie, ladrilhamentos), na 
química (estrutura dos obitais atômicos, ligação química, estrutura cristalográfica 
das moléculas), na física (mecânica quântica) e na biologia (estrutura icosaédrica dos 
vírus). Trata-se, portanto, de uma noção matemática de fundamental importância.
Objetivos
• Conhecer a estrutura algébrica “grupo” e obter suas propriedades básicas 
• Reconhecer a importância da noção de grupo, exibindo vários exemplos
• Conhecer as noções de subgrupo, subgrupo gerado por um conjunto e 
grupo cíclico
AULA 1 Grupos e subgrupos
9AULA 1 TÓPICO 1
TÓPICO 1 Definição de grupo e exemplos
ObjetivOs
• Estender a noção de grupo 
• Estudar alguns exemplos importantes
Nesse primeiro tópico, vamos apresentar a definição de grupo, uma série de exemplos de grupos e vamos ilustrar, também com exemplos, o papel dos grupos no estudo da simetria de objetos.
Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz três 
condições básicas (associatividade, existência de um elemento neutro e existência 
de inversos). Apresentaremos uma série de exemplos de grupos, ilustrando sua 
importância e ubiquidade na Matemática.
Um conjunto G , onde está definida uma operação binária :G G G´ ® tal 
que 
1. ( )= ( )a b c a b c    , quaisquer que sejam , ,a b c GÎ , 
2. Existe e GÎ tal que = =a e e a a  , para todo a GÎ , 
3. Dado a GÎ , existe b GÎ tal que = =a b b a e  , é chamado grupo. Se, 
além disso, vale a condição: Se vale apenas a condição 1, dizemos que G é um 
semigrupo. Se valem apenas as condições 1 e 2, dizemos que G é um monóide.
4. Dados ,a b GÎ , =a b b a  , dizemos que o grupo é abeliano.
O elemento e GÎ , cuja existência é garantida pelo item 2 da definição, é 
único. De fato, se e G¢ Î também satisfaz a condição 2, temos e e e e¢ ¢= = . Da 
mesma forma, para cada a GÎ , o elemento b GÎ , cuja existênciaé garantida pelo 
item 3, é único. Isso pode ser verificado do seguinte modo: se b G¢ Î também satisfaz 
3, isto é, se = =a b b a e¢ ¢  , então = ( ) = ( )b e b b a b b a b b e b¢ ¢ ¢ ¢= = =      . 
Esse elemento b GÎ é chamado inverso de a e denotado por 1b a-= .
10 Est ru tu ras A lgébr icas
É importante observarmos que a inversão 
de um produto inverte também a ordem dos 
fatores. Mais precisamente, 1 1 1( )ab b a- - -= . 
De fato, se 1( )c ab -= , então ( )ab c e= . 
Multiplicando por 1a- à esquerda, obtemos 
1bc a-= . Multiplicando por 1b- à esquerda, 
obtemos 1 1c b a- -= . A mesma identidade vale 
para o produto de um número finito de elementos 
(veja o exercício 6). No caso em que G é abeliano, 
podemos, é claro, escrever 1 1 1( )ab a b- - -= , pois 
o produto é, nesse caso, comutativo.
Exemplos:
Verifique que são válidas as condições da definição de grupo nos seguintes 
exemplos. 
1. Se K é um corpo, então ( , )K + e *( , )K × são grupos abelianos, onde 
* = { 0}K K- . 
2. Se = {0,1 , 1}nZ n- e 
* = { | ( , )= 1}n nZ a Z a nÎ , então ( , )nZ + e 
*( , )nZ × 
são grupos abelianos.
3. Se V é um espaço vetorial, então V com a soma de vetores é um grupo 
abeliano.
4. Seja X um conjunto e ( ) { : | }S X f X X f ébijetivo= ® . Então ( )S X , com 
a operação  (composição de funções) é um grupo, não necessariamente abeliano. 
O exemplo 4 é especialmente importante, tanto que reservamos ao grupo 
( )S X um nome especial. Ele é chamado grupo de simetrias de X , ou ainda, 
grupo das permutações de X . Temos dois casos particulares de maior interesse:
Caso particular 1: se = { 1, , }X n , então ( )S X é denotado por nS e chamado 
grupo simétrico. Cada nf SÎ age sobre o conjunto = { 1, , }X n permutando seus 
elementos e é por isso que chamamos nf SÎ de permutação. Da combinatória, 
sabemos que o número de permutações de n elementos é !n . Assim nS tem !n 
elementos. Uma função nf SÎ é geralmente denotada do seguinte modo: 
1 2
= .
(1) (2) ( )
n
f
f f f n
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø


at e n ç ã o !
Por uma questão de simplicidade da notação, 
costumamos escrever, sempre que não haja perigo 
de confusão, a operação a b simplesmente 
como ab, omitindo o símbolo que indica a 
operação. É costume, também, chamarmos ab de 
“produto” dos elementos a e b .
11AULA 1 TÓPICO 1
Por exemplo, se = { 1,2,3,4}X , então alguns elementos de 4S são 
1 2 3 4 1 2 3 4
= , = ,
1 2 3 4 2 3 4 1
I s
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
2 31 2 3 4 1 2 3 4= , = ,
3 4 1 2 4 1 2 3
s s
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
(note que 
4 = Is ) 
1 2 3 4
= .
1 4 3 2
t
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
Note que 2 = It . Devemos observar ainda que
1 2 3 4 1 2 3 4
= =
2 3 4 1 1 4 3 2
st
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷×ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
1 2 3 4
= ,
2 1 4 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
onde escrevemos, por simplicidade, st em vez de s t , e o “produto” das 
permutações é, na verdade, uma composição de funções. Observemos que 
1 2 3 4
=
4 3 2 1
ts st
æ ö÷ç ÷¹ç ÷ç ÷çè ø
o que mostra que nS não é abeliano.
Uma vez que 4 = Is , o subconjunto 2 3= { , , , }Is s s s é também um grupo 
com a mesma operação de 4S . Pelo mesmo motivo, = { , }It t também é um grupo.
Outro exemplo muito importante de grupo de simetrias é o seguinte:
Caso particular 2: seja Triângulo escaleno Triângulo isósceles Triângulo equilátero (ou, mais geralmente, um espaço vetorial 
V de dimensão n sobre R). Vamos considerar as funções lineares de nR em nR , 
chamadas operadores lineares. Denotamos: 
( )= { : | é í } .n nnGL T T linear einvert vel®R R R
Isso significa que ( )nT GL RÎ pode ser escrita como 
12 Est ru tu ras A lgébr icas
11 1 1
1
1
( , , )= ,
n
n
n nn n
a a x
T x x
a a x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷×ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

   

onde = ( )ijA a é uma matriz n n´ invertível. O 
conjunto ( )nGL R , com a operação de composição 
de funções, é um grupo, chamado grupo 
linear geral. Como a composição de funções 
corresponde ao produto de matrizes, o grupo ( )nGL R “pode ser visto como” um 
grupo de matrizes, isto é 
( ) { ( )| det 0} ,n nGL A M A@ Î ¹R R
onde a frase entre aspas acima e o símbolo @ significam isomorfismo, isto é, 
embora a natureza dos elementos sejam diferentes (funções em um caso e matrizes 
no outro), a estrutura de grupo é a mesma nos dois casos. A noção de isomorfismo 
será definida de modo preciso no tópico 2 da próxima aula.
Dados n grupos 1, , nG G , com operações 1, , n   , respectivamente, o 
produto cartesiano 
1 1= { ( , , )| }n n i iG G x x x G´ ´ Î 
é um grupo, com operação dada por 
1 1 1 1 1( , , ) ( , , )= ( , , ).n n n n nx x y y x y x y     
A principal característica de um grupo é sua capacidade de medir o 
quão simétrico um determinado objeto é. Vamos ilustrar essa afirmação com 
mais um exemplo.
Exemplo: Considere três triângulos, um escaleno, um isósceles e um 
equilátero. Qual desses três triângulos é o mais simétrico? 
Triângulo escaleno Triângulo isósceles Triângulo equilátero
Figura 1: Triângulos
at e n ç ã o !
A notação GL significa general linear, que em 
português quer dizer linear geral.
13AULA 1 TÓPICO 1
Se você respondeu “triângulo equilátero”, acertou! Não é difícil perceber 
que, de fato, o triângulo equilátero é mais simétrico do que o triângulo isósceles 
e que o triângulo escaleno é o menos simétrico dos três. Mas como você percebeu 
isso? Que critérios você usou para decidir qual dos três é o mais simétrico ou o 
menos simétrico? A questão que se põe é a seguinte: é possível captar essa impressão 
intuitiva de modo matematicamente preciso? Ou seja, é possível quantificar, medir, 
a noção de simetria? A resposta é sim, e os objetos adequados para se fazer essa 
medição são exatamente os grupos.
Mais precisamente, vamos associar a cada um desses triângulos um grupo, de 
modo que o número de elementos do grupo meça a simetria do triângulo. Para isso, 
considere um subconjunto T do plano cartesiano 2R . Uma função 2 2:f R R® 
é chamada simetria de T , se é uma bijeção e ( )f P TÎ se, e somente se, P TÎ . 
A restrição de f a T é uma função :f T T® que permuta os pontos de T . 
O conjunto ( )ST , formado pelas simetrias de T , é um grupo com a operação 
composição de funções.
A seguir, vamos encontrar ( )ST para cada um dos três triângulos da Figura 
1. Comecemos com o triângulo equilátero. Uma rotação de 120º, no sentido anti-
horário, em torno do baricentro do triângulo equilátero da figura acima, leva esse 
triângulo equilátero nele mesmo, permutando seus pontos. Leva, por exemplo, o 
vértice 1 no vértice 2, o vértice 2 no vértice 3 e o vértice 3 no vértice 1. Assim, 
essa rotação induz uma permutação dos vértices do triângulo, que indicamos 
(veja o exemplo 4, caso particular 1) por: 
1 2 3
= .
2 3 1
s
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 De modo análogo, a 
permutação 
1 2 3
=
1 3 2
t
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 está associada à reflexão em torno da reta que contém 
a altura do triângulo equilátero. Afirmamos que, se ET é um triângulo eqüilátero, 
então { }2 2( ) 1, , , , ,EST s s t st s t= , onde s e 
t são as permutações acima definidas e 1 é a 
permutação identidade, que deixa cada vértice, 
logo todo o triângulo, fixado. O grupo ( )EST é 
um caso particular de grupo diedral (para outros 
exemplos de grupos diedrais, veja os exercícios 
de aprofundamento 5 e 6). 
Se IT é um triângulo isósceles, uma rotação 
não é uma simetria de IT . Assim, nesse caso, 
{ }( ) 1,IST t= , onde t é a reflexão em torno da 
altura relativa à base do triângulo isósceles.
s a i b a m a i s !
O Grupo Diedro nD é o grupo de simetria de n 
lados do polígono regular de 1n> . A ordem 
grupo nD é de 2n. Consulte o site <http://
translate.google.com.br/translate?hl=pt-
BR&langpair=en|pt&u=http://mathworld.
wolfram.com/DihedralGroup.html>
14 Est ru tu ras A lgébr icas
Finalmente, se ST é um triângulo escaleno, a única simetria é a trivial, ou 
seja, { }( ) 1IST = . Portanto,os triângulos equilátero, isósceles e escaleno têm, 
respectivamente, grupos de simetrias com 6, 2 e 1 elementos. Dessa forma, inferimos 
desse exemplo o seguinte princípio: quanto maior o número de elementos do grupo 
( )ST de uma figura T , mais simétrica ela é.
Com isso, encerramos nosso primeiro tópico, que tratou da definição e de 
exemplos iniciais de grupos. No próximo tópico, veremos que certos subconjuntos 
dos grupos também são grupos, chamados subgrupos.
15AULA 1 TÓPICO 2
TÓPICO 2 Subgrupos
ObjetivOs
• Definir e caracterizar a noção de subgrupo
• Definir e caracterizar subgrupo gerado por um conjunto
• Definir grupo cíclico
• Conhecer o teorema de Lagrange
Vamos, agora, estudar os subconjuntos não-vazios de um grupo que, com a mesma 
operação do grupo, também são grupos. 
Chamamos tais subconjuntos de subgrupos. 
Essa noção é análoga à de subespaço vetorial na 
álgebra linear e nos fornece um modo de obter 
novos grupos a partir de grupos dados. 
Se G é um grupo e S é um subconjunto de G , não vazio, que é um grupo 
com a mesma operação de G , dizemos que S é um subgrupo de G .
O próprio grupo G é um subgrupo dele mesmo. Se e GÎ é o elemento neutro 
de G , então { }e também é subgrupo de G . Esses dois subgrupos são chamados 
subgrupos triviais de G . Qualquer subgrupo de G diferente de G e { }e é chamado 
subgrupo próprio de G .
 
Lema 1 Um subconjunto S de um grupo G é um subgrupo se e somente se valem 
as seguintes condições: 
1. S¹Æ , 
2. Se ,a b SÎ , então 1ab S- Î . 
s a i b a m a i s !
Reveja o conteúdo de subespaço vetorial no 
tópico 2 da aula 2 da disciplina de Álgebra Linear 
do seu curso.
16 Est ru tu ras A lgébr icas
Demonstração:
Se S é subgrupo, então S¹Æ e, dado b SÎ , temos 1b S- Î , o que decorre 
da condição 3 da definição de grupo. Logo, dados ,a b SÎ (não necessariamente 
distintos), temos 1ab S- Î .
Reciprocamente, se S¹Æ , então a condição 1 nos diz que existe a SÎ . 
Se 1 GÎ denota o elemento neutro de G então, pela condição 2, 11= aa S- Î . Se 
b SÎ , então 1 1= 1b b S- -× Î , novamente pela condição 2. Finalmente, se a e b 
pertencem a S , então 1 1= ( )ab a b S- - Î . Sendo assim, S é fechado para a operação 
de G e também para a inversão, isto é, o inverso de um elemento de S está em 
S . Dessa forma, as condições para que S seja um grupo são satisfeitas, logo S é 
subgrupo de G .
EXEMPLOS: 
1. Com a mesma notação do exemplo 4 do tópico 1 (caso particular 1), 
temos que 2 3= { , , , }Is s s s e = { , }It t são subgrupos de 4S . Temos ainda 
que 2 3 2 3, = { , , , , , , , }Is t s s s t st s t s t também é subgrupo de 4S . Exercício: 
verifique todas essas afirmações. 
2. Repetindo ainda as notações 
estabelecidas na seção 1, temos que 
{ }( ) ( )| det 1n nSL A M A= Î =R R é 
subgrupo de ( )nGL R . Para verificar isso, 
usamos o Lema 1 da seguinte forma: se I
é a matriz identidade n n´ , então det 1I = , 
logo ( )nSL ¹ÆR , ou seja, vale a condição 
1 do Lema 1. Se , ( )nA B SLÎ R , então 
1 1 1det( ) det( )det( ) det( )det( ) 1 1 1AB A B A B- - -= = = × = 
logo 1 ( )nAB SL
- Î R e vale a condição 2 do Lema 1. Isso mostra que ( )nSL R é 
subgrupo de ( )nGL R .
Notação: se S é subgrupo de G , denotamos S G£ .
A interseção de subgrupos é um subgrupo. Essa afirmação tem verificação 
imediata usando-se o Lema 1 e a deixamos para você, aluno(a). 
Dado um subconjunto Y GÌ , o menor subgrupo de G (em relação à 
inclusão) que contém o subconjunto Y é 
Y S
Y S
Ì
=

at e n ç ã o !
A notação SL significa “special linear”, que, em 
inglês, quer dizer linear especial.
17AULA 1 TÓPICO 2
onde a interseção é tomada sobre todos os 
subgrupos de G que contêm Y . Chamamos esse 
subgrupo de subgrupo gerado por Y . Estamos 
particularmente interessados no caso em que Y 
é finito e Gé abeliano. Nesse caso é possível obter 
um descrição mais precisa de Y , dada pelo 
próximo lema. Antes, é conveniente estabelecer 
a seguinte notação: se G é um grupo, y GÎ e 
ZaÎ , então 
1 1
> 0
= 1 = 0
< 0
y y se
y se
y y se
a
a
a
a- -
ìïïïïíïïïïî


onde os “produtos”’ acima são a operação do grupo G repetida | |a vezes. 
Lema 2: Se 1= { , , }nY y y é subconjunto de um grupo abeliano G , então 
1
1= { | } .nn iY y y
aa a Î Z
Neste caso, dizemos que Y é abeliano finitamente gerado e denotamos 
1= , , nY y y . 
Demonstração:
Por definição, Y é a interseção de todos 
os subgrupos de G que contêm Y . Chamemos 
de S o conjunto 11{ | }nn iy y Z
aa a Î . Queremos 
mostrar que =S Y . Primeiro, mostremos que 
S é um subgrupo de G . Temos que S¹Æ , 
pois iy SÎ , para cada { 1, , }i nÎ  . Se 
1
1= nna y y
aa
 e 11= nnb y y
bb
 são elementos de 
S , então 1 1 11= n nnab y y S
a ba b --- Î . Pelo Lema 1, S G£ . Como Y SÌ , temos que 
S G . Por outro lado, se S¢ é um subgrupo de G tal que 1, , ny y S¢Î , então 
1
1
n
ny y S
aa ¢Î , para quaisquer 1, , n Za a Î , logo S S¢Ì . Consequentemente, S 
está contido na interseção de todos os S¢ , isto é, G¢ . Isso conclui a demonstração.
Um subgrupo S G£ é chamado cíclico se =S y , isto é, se S é 
gerado por um único elemento y . Neste caso, S tem o seguinte aspecto: 
at e n ç ã o !
No caso em que o grupo G não é abeliano, temos 
{ }11 |n i iY x x n ex Y ou x Y-= Î Î Î N , 
ou seja, =S SG G é o conjunto dos produtos 
finitos de elementos que pertencem a Y ou cujo 
inverso pertence a Y .
at e n ç ã o !
Se Y é infinito, então {Y = , ou seja, Y 
é o conjunto dos produtos finitos de potências 
inteiras de elementos de Y .
18 Est ru tu ras A lgébr icas
{ }2 11, , , , mS y y y y -= =  , onde 1 GÎ é o elemento neutro do grupo e mÎN é 
o menor número natural tal que = 1my .
Se G é um grupo com um número finito de elementos, dizemos que G é um 
grupo finito. O número de elementos de G é chamado ordem de G e é denotado 
por | |G ou #( )G . Caso o número de elementos de G seja infinito, dizemos que G 
é um grupo infinito. As mesmas nomenclaturas valem para subgrupos. Note-se 
que um grupo infinito pode ter subgrupos finitos.
EXEMPLOS: 
1. O grupo *( , )C × é infinito, mas o 
subgrupo 2 1= { 1, , , , }nnR w w w
-
 , onde 
2
=
i
ne
p
w , 
é finito e cíclico (verifique que nR é, de fato, um 
subgrupo de *C ). 
2. ( , )Z + é um grupo cíclico infinito. Como 
veremos mais adiante, esse é, essencialmente, 
o único grupo cíclico infinito (isto é, qualquer 
grupo cíclico infinito é “isomorfo” ao grupo 
aditivo Z ). 
3. O grupo { }0,1,2,3=4Z , com a operação 
soma módulo 4, é cíclico de ordem 4.
4. O grupo 2 2Z Z´ , com operação ( , ) ( , )= ( , )a b c d a c b d+ + + , tem ordem 
quatro e não é cíclico. Ele é chamado Vierergruppe, ou grupo de Klein. 
Dado um grupo finito G e fixado um subgrupo S G£ , dizemos que dois 
elementos ,a b GÎ são equivalentes (em relação a S ), e indicamos a bº , se 
1a b S- Î . A relação º satisfaz
1. a aº , para todo a GÎ . 
2. Se ,a b GÎ e a bº , então b aº . 
3. Se , ,a b c GÎ , a bº e b cº , então a cº . 
Isso significa que º é uma relação de equivalência. Como Sé subgrupo, 
temos que 1 SÎ , logo 1 1a a S- = Î , o que significa a aº . Se a bº então 1a b S- Î . 
Como S é subgrupo de G , 1a b S- Î implica que 1 1 1( )b a a b S- - -= Î , logo b aº . 
Finalmente, se a bº e b cº , então 1a b S- Î e 1b c S- Î , logo 
s a i b a m a i s !
Felix Klein é mais conhecido por seu trabalho 
em geometria não-euclidiana, por seu trabalho 
sobre as conexões entre a geometria e teoria de 
grupo e para os resultados em teoria de função. 
Mais informações: http://www.learn-math.info/
portugal/historyDetail.htm?id=Klein
19AULA 1 TÓPICO 2
1 1 1= ( )( )a c a b b c S- - - Î
pois S G£ . Assim, a cº .
As classes de equivalência relativas a º são 
= { | } =a x G a xÎ º 1{ | } .x G a x S-Î Î
Se aS denota o subconjunto { | }ay y SÎ , então 1a x S- Î é equivalente a 
x aSÎ . Dessa forma, temos =a aS, ou seja, as classes laterais relativas a º são 
exatamenteos subconjuntos do tipo aS, com a GÎ . Chamamos esses subconjuntos 
de classes laterais de S à esquerda em G . Sobre as classes laterais temos dois 
fatos relevantes: 
1. =aS bS se e somente se a bº . 
2. G é a união de todas as classes laterais de S . 
De fato, a bº é equivalente a 1a b S- Î , isto é, b aSÎ . Como a bº implica 
b aº , temos também a bSÎ , logo =aS bS (por quê?). Reciprocamente, =aS bS 
implica que =ax by , com ,x y SÎ , logo 1 1=a b xy S- - Î , pois S é subgrupo. 
Portanto, a bº .
Para a afirmação 2, basta notar que, dado a GÎ , = 1a a aS× Î .
Importante: Note que todo cuidado foi tomado ao operar com elementos 
de G , considerando o fato de a operação dada não ser necessariamente comutativa. 
Existe outra relação de equivalência em G dada por 
1 .a b ab S-º Û Î
Para uma relação dada desse modo, as classes de equivalência que surgem 
são do tipo Sa , com a GÎ . São por isso chamadas de classes laterais de S à 
direita em G .
Vamos denotar por SG o conjunto formado pelas classes laterais de S à 
esquerda em G e SG o conjunto formado pelas classes laterais de S à direita em 
G . Observemos que esses conjuntos não são necessariamente iguais. Mais adiante, 
introduziremos uma restrição sobre S de modo a que esses conjuntos coincidam.
Apesar de não serem iguais, os conjuntos SG e SG têm a mesma cardinalidade, 
isto é, vale o resultado abaixo:
20 Est ru tu ras A lgébr icas
Lema 3 Existe uma função bijetiva entre SG e SG , dada por 
1aS Sa- , para 
todo a GÎ . 
Demonstração: 
Essa função está bem definida, pois, se =aS bS, então 1a b S- Î , logo 
1 1a Sb- -Î e 1 1=Sa Sb- - . A sobrejetividade dessa função é clara. Quanto à 
injetividade, se aS e bS têm a mesma imagem, então 1 1=Sa Sb- - , logo 1a b S- Î , 
donde b aSÎ e =bS aS. 
Em particular, se SG é finito, então SG também é finito e ambos têm o 
mesmo número de elementos. Esse número de elementos é chamado de índice de 
S em G e denotado por ( : )G S . Quando SG (e, consequentemente, SG ) é infinito, 
dizemos que o subgrupo S tem índice infinito em G e denotamos ( : )=G S ¥ .
Um grupo G pode ser infinito, com um subgrupo S G£ também infinito, 
mas com ( : )G S finito:
EXEMPLO:
Se *=G R , com o produto de números reais e 2=S R é o subgrupo formado 
pelos quadrados dos elementos de *R , então ambos são infinitos, mas * 2( : )= 2R R . 
De fato, dado um número real não nulo x , temos > 0x ou < 0x . No primeiro 
caso, 2x RÎ e no segundo caso 2x R- Î . Logo, 2R tem apenas duas classes laterais 
em *R .
Chegamos ao nosso teorema importante:
Teorema 4 (Lagrange): Se G é um subgrupo finito, então a ordem de um subgrupo 
de G divide a ordem de G . 
Demonstração:
Seja | | =G n e | | =S d . Podemos escrever 1= mG a S a SÈ È onde duas 
classes laterais iaS e ja S são disjuntas, isto é, se i j¹ , então =i jaS a SÇ Æ . Além 
disso, a função iS aS® , dada por is as , é bijetiva, logo | | =| |iaS S , para todo 
{ 1, , }i mÎ  .
21AULA 1 TÓPICO 2
Assim, a união acima é uma divisão de um conjunto com n elementos em 
m partes iguais de d elementos. Logo =n m d× o que implica que d divide n . 
ExEmplo:
Como aplicação do Teorema de Lagrange, vamos mostrar que, se um grupo 
tem um número primo de elementos, então seus únicos subgrupos são os triviais. 
De fato, seja G um grupo com | | =G p , onde pé um número primo. Se Sé um 
subgrupo de G com | | =S d , pelo Teorema de Lagrange, d é um divisor de p . 
Como p é primo, só admite como divisores 1 ou p . Assim, 1d= ou d p= . Se 
1d= , então { }S e= e, se d p= , então S G= , pois, nesse caso, S possui o mesmo 
número de elementos de G . Portanto, G possui apenas subgrupos triviais.
Nesse segundo tópico, vimos como identificar os subconjuntos de um 
grupo que também são grupos, com a mesma operação do grupo, e chamamos tais 
subconjuntos de subgrupos. Vimos ainda o importante Teorema de Lagrange, que 
fornece uma relação de divisibilidade entre as ordens do grupo e de seus subgrupos.
Encerramos, assim, nossa primeira aula. Na próxima aula, continuaremos o 
estudo de grupos, mostrando como construir grupos a partir de um grupo e um 
subgrupo dado. Veremos que essa construção só é possível quando o subgrupo é de 
um tipo especial, chamado subgrupo normal.
AT I V I D A D E S D E A P R O F U N D A M E N T O
1. Determine quais das seguintes operações são associativas: 
 (a) A operação 

 sobre Z definida por =a b a b- . 
 (b) A operação 

 sobre R definida por =a b a b ab+ + . 
 (c) A operação 

 sobre Q definida por = .
5
a ba b + 
 (d) A operação 

 sobre Z Z´ definida por ( , ) ( , )= ( , )a b c d ad bc bd+ . 
 (e) A operação 

 sobre { 0}Q- definida por = aa b
b
 . 
2. Se S G£ , mostre que a classe lateral aS é um subgrupo de G se, e somente se, = 1a , o elemento neutro 
da operação de G . 
22 Est ru tu ras A lgébr icas
3. Dado um grupo G , mostre que, se 2 =a a , para todo a GÎ , então G é abeliano.
4. Um grupo de ordem 8 pode conter um subgrupo de ordem 6? Por quê? 
5. Seja G um grupo cuja ordem é um número primo. Mostre que esse grupo é cíclico.
6. Seja = { | 0 < 1}G x R xÎ £ . Para ,x y GÎ , defina 
=x y x y x y+ - ë + û
onde, para cada a RÎ , aë û é o maior inteiro que não supera a . Mostre que x y é uma operação 
binária bem definida sobre G e que ( , )G  é um grupo abeliano, denominado grupo dos reais módulo 1.
7. Consideremos o conjunto A das matrizes 2 2´ com entradas reais. Recordemos que a multiplicação 
de matrizes é dada por 
= .
a b x y ax bz ay bw
c d z w cx dz cy dw
æ ö æ ö æ ö+ +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷×ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç + +è ø è ø è ø
Consideremos 
1 1
=
0 1
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 e seja 
= { | = } .C X A XM MXÎ
 (a) Determine quais dos seguintes elementos de A estão em C: 
1 1 1 1
, ,
0 1 1 1
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
0 0 1 1 1 0 0 1
, , , .
0 0 1 0 0 1 1 0
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø
 (b) Prove que, se ,A B CÎ , então A B C+ Î , onde + denota a soma usual de matrizes.
 (c) Prove que, se ,A B CÎ , então A B C× Î , onde × denota o produto usual de matrizes.
 (d) Encontre condições sobre , , ,p q r s RÎ que determinem precisamente quando 
p q
C
r s
æ ö÷ç ÷Îç ÷ç ÷çè ø
. 
8. Seja = { 3| , }G a b a b Q+ Î . 
(a) Mostre que ( , )G + é um grupo. 
(b) Mostre que ( , )G´ × é um grupo. 
9. Demonstre (por indução sobre n ) que, se G é um grupo, 
1 1 1 1 1
1 2 1 2 1( ) = ,n n na a a a a a a
- - - - -
- 
para quaisquer 1 2, , , na a a GÎ .
10. Se 2 26 = { 1, , , , , }D a a b ab a b é o grupo diedral com 6 elementos (ou seja, o grupo de simetrias de 
um triângulo equilátero), verifique que 6 3D S@ (são isomorfos).
11. Se 2 3 2 38 = { 1, , , , , , , }D a a a b ab a b a b é o grupo diedral de ordem 8 , isto é, o grupo de simetrias de 
um quadrado, mostre que 8 4D S£ , mas 8 4D S¹ .
23AULA 1 TÓPICO 2
12. Seja > 2p um inteiro primo. O conjunto = {1,2, , 1}pZ p
´ - , munido do produto de classes, é 
um grupo abeliano. 
(a) Verifique que | | = 1pZ p
´ - . Como 2p¹ , a ordem de pZ é par. 
(b) Como pZ
´ é um grupo, qualquer elemento de pZ
´ possui um inverso. Determine o inverso 
de 1p- . 
(c) Mostre que o único elemento de pZ
´ , diferente de 1, que é igual ao seu inverso é 1p- .
( Sugestão: supondo que ( ) ( )= 1p i p i- × - , verifique que = 1i .) 
(d) Mostre que 1 2 3 1= 1p p× × - - . 
(e) Usando os ítens anteriores, demonstre o Teorema de Wilson: se p é um número primo, então 
( 1)! 1(mod )p p- º- . (Note que o caso = 2p é trivial.)
13. Mostre que as seguintes matrizes, com coeficientes em C , formam um grupo não abeliano G de 
ordem 8 com o produto usual de matrizes: 
1 0
0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
, 
1 0
0 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - -è ø
, 
0 1
1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç-è ø
, 
0 1
1 0
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø
,
1 0
0 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø
, 
1 0
0 1
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø
, 
0 1
1 0
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
, 
0 1
1 0
æ ö-- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç- -è ø
. 
Se 
1 0
=
0 1
e
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
, 
1 0
=
0 1
a
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - -è ø
 e 
0 1
=
1 0
b
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø
, mostre que 4 =a e, 
2 2=b a e 1 3=b ab a- . Este grupo é conhecido como grupo dos quatérnios e denotado por 8Q . Verifique 
ainda que podemos escrever 
8 = { , , , , , , , } .Q e e a a b b ab ab- - - -
Conclua que a e b geram 8Q .
24 Est ru tu ras A lgébr icas
Olá aluno(a),
Em nossa segunda aula, estudaremos tipos especiais de subgrupos: os subgrupos 
normais. Veremos que esse tipo de subgrupo nos permite construir novos grupos 
formados por classes laterais, chamados grupos quocientes. Estudaremos, 
também, as funções de um grupo em outro que preservam a operação de grupo, 
que chamaremos de homomorfismos. Obteremos, enfim, o teorema básico que 
rege o comportamento dos homomorfimos de grupos.
Objetivos
• Definir e caracterizar entre os subgrupos aqueles que são normais
• Definir grupo quociente
• Estudar os homomorfismos entre grupos
• Obter o teorema do isomorfismo para grupos
AULA 2 Subgrupos normais e homomorfismos
25AULA 2 TÓPICO 1
TÓPICO 1 Subgrupos normais
ObjetivOs
• Definir e caracterizar subgrupos normais
• Definir grupo quociente
Na aula anterior, vimos que, dado um grupo G e um subgrupo S G£ , os conjuntos formados pelas classes laterais à esquerda e à direita, respectivamente, SG e SG , têm a mesma cardinalidade, 
mas não são necessariamente iguais. Isso se deve ao fato de G não ser, em geral, 
abeliano. Nosso objetivo, a seguir, é definir um tipo especial de subgrupo S G£ 
para o qual tenhamos =S SG G , mesmo quando Gnão é abeliano.
Um subgrupo S de um grupo G é chamado subgrupo normal se vale uma 
das (logo, valem todas as) condições do seguinte lema:
Lema
1
 Se G é um grupo e S G£ , então são equivalentes: 
1. 1aSa S- Ì , para todo a GÎ . 
2. 1 =aSa S- , para todo a GÎ .
3. =aS Sa , para todo a GÎ . 
4. =S SG G . 
26 Est ru tu ras A lgébr icas
Demonstração:
Suponha que vale 1. Então 1aSa S- Ì , 
para todo a GÎ . Substituindo a por 1a- , 
obtemos 
1 1 1( ) .a S a S- - - Ì
Como 1 1( ) =a a- - , temos 1a Sa S- Ì . 
Multiplicando por a à esquerda e por 1a- à 
direita, obtemos 
1,S aSa-Ì
donde 1 =aSa S- , ou seja, vale 2.
Se vale 2, isto é, se 1 =aSa S- , então, multiplicando à direita por a , obtemos 
=aS Sa . Logo vale 3.
Se vale 3, então toda classe lateral à esquerda é uma classe lateral à direita e 
vice-versa. Assim, =S SG G , isto é, vale 4.
Finalmente, suponha que vale 4. Se a GÎ , então =S SaS G GÎ , ou seja, 
existe b GÎ tal que =aS Sb . Logo, 
1 1 1 1= ( ) = ( ) = ( ).aSa aS a Sb a S ba- - - -
Como =a aS SbÎ , existe x SÎ tal que =a xb e daí, 1 1=ba x S- - Î . 
Portanto, 1 1= ( )aSa S ba S- - Ì , o que mostra a validade de 1. 
Notação: Usamos a notação S G para indicar que S é subgrupo normal 
de G .
A propriedade mais importante de um subgrupo normal é descrita no lema 
a seguir.
Lema
2
: Se G é um grupo e S G , então =S SG G é um grupo, com operação entre 
classes definida do seguinte modo: 
= ( ) .aS bS ab S×
Além disso, se G é abeliano, então SG é abeliano. 
Demonstração:
Primeiro, vamos mostrar que a operação dada acima está bem definida. Para 
isso, suponhamos que 1=aS a S e 1=bS bS. Então 
1
1aa S
- Î e 11bb S
- Î . Logo, 
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1( ) = ( )= ( ) .ab a b ab b a a bb a aSa
- - - - - -Î
at e n ç ã o !
Se um grupo G é abeliano, então todo subgrupo 
de G é normal. Para verificarmos isso, basta 
observarmos o item 3 do Lema 1.
27AULA 2 TÓPICO 1
Agora, como S G , 
1 1 1
1 1= ( ) .
S S
aSa aSa aa S
Ì Î
- - - Ì
 
Portanto, 11 1( )ab a b S
- Î , ou seja, 1 1( ) = ( )ab S a b S. Isso mostra que a operação 
definida em SG não depende da escolha dos representantes de cada uma das classes.
Vamos mostrar, agora, que SG , com a operação acima definida, é um grupo. 
1. A operação é associativa: de fato, se , , SaS bS cS GÎ , então 
( )= ( ) = [ ( )] = [( ) ] =aS bS cS aS bc S a bc S ab c S× × ×
= ( ) = ( ) .ab S cS aS bS cS× × ×
2. A operação possui um elemento neutro: a classe S , cujo representante 
é 1 (o elemento neutro de G ) ou qualquer outro elemento de S . Basta notar que 
= = ,aS S S aS aS× ×
pela definição de produto de classes. 
3. Existe um inverso de cada classe: se SaS GÎ , então 
1 1( ) =aS a S- - , pois 
1 1= =aS a S aa S S- -×
e S é o elemento neutro de SG . 
Finalmente, temos G abeliano se e somente se =ab ba , quaisquer que sejam 
,a b GÎ . Logo 
= ( ) = ( ) =aS bS ab S ba S bS aS× ×
e SG é abeliano. A recíproca demonstra-se de modo análogo.
Complementando o resultado acima, temos o seguinte:
Se S G , grupo SG é chamado grupo quociente de G por S e denotado 
por /G S. Assim, os subgrupos normais exercem na teoria de grupos um papel 
especial, pois são os subgrupos que fornecem quocientes com estrutura de grupo. 
EXEMPLO:
Consideremos o grupo =G Z dos inteiros com a operação + . Como esse 
grupo é abeliano,o item 3 do Lema 1 garante que todo subgrupo de Z é normal. Em 
particular, se n ZÎ , > 1n , o subgrupo nZ é normal. Logo, o conjunto das classes 
laterais de nZ é um grupo, com a operação ( ) ( )= ( )a nZ b nZ a b nZ+ + + + + , 
,a b ZÎ . Cada uma das classes laterias de nZ em Z corresponde a um dos possíveis 
restos da divisão por n . De fato, se a ZÎ , podemos dividir a por n e escrever 
=a nq r+ , onde ,q r ZÎ e 0 <r n£ ( r é o resto da divisão de a por n ). Assim, 
=a r nq- , ou seja, a r nZ- Î . Logo, =a nZ r nZ+ + e, assim, toda classe lateral 
é do tipo r nZ+ , com r variando entre 0 e 1n- . Usando a notação =r r nZ+ 
para a classe lateral representada por r , podemos escrever / = {0,1, , 1}Z nZ n- , 
28 Est ru tu ras A lgébr icas
isto é, o grupo quociente é formado pelas classes 
laterais correspondentes a nZ e cada uma dessas 
classes corresponde a um dos possíveis restos da 
divisão por n .
Dado um subgrupo qualquer Sde um 
grupo G , o conjunto de suas classes laterais 
à esquerda não é, necessariamente, um grupo. 
Vimos, neste tópico, que, se o subgrupo for 
normal, o conjunto de suas classes laterais à esquerda (ou à direita) é um grupo, 
chamado grupo quociente de Gpor S . Isso dá aos subgrupos normais um papel 
central na teoria dos grupos, pois com eles podemos construir grupos novos a 
partir de grupos dados.
s a i b a m a i s !
Obtenha mais informações a respeito de 
subgrupos normais acessando o link:
http://www.mat.unb.br/~maierr/anotas.pdf
29AULA 2 TÓPICO 2
TÓPICO 2 Homomorfismos de grupos
ObjetivOs
• Definir e apresentar exemplos de homomorf-
ismo de grupos
• Definir isomorfismo e apresentar o teorema do 
isomorfismo
Dados dois grupos ( , )G  e ( , )H × , uma função :f G H® é chamada homomorfismo de grupos se vale ( )= ( ) ( ).f a b f a f b×
Em outras palavras, f é um homomorfismo de grupos se preserva a operação 
entre quaisquer dois elementos dos grupos.
Classificação de homomorfismos de grupos
Um homomorfismo injetor é chamado monomorfismo. 
Um homomorfismo sobrejetor é chamado epimorfismo e um homomorfismo 
bijetor é chamado isomorfismo. 
Se há um isomorfismo entre dois grupos G e H , dizemos que eles são 
isomorfos e denotamos G H@ . Dois grupos isomorfos são indistinguíveis, do 
ponto de vista da teoria dos grupos.
EXEMPLOS: 
1. A função : nZ Zp ® , dada por ( )=a ap , onde a indica a 
classe de equivalência módulo n , é um homomorfismo entre os grupos 
aditivos ( , )Z + e ( , )nZ + . De fato, basta notar que, dados ,a bÎZ , temos 
( ) ( ) ( )a b a b a b a bp p p+ = + = + = + .
2. O conjunto dos números reais positivos, que indicaremos aqui 
por >0R , é um grupo multiplicativo. A função >0:L R R® , dada por 
30 Est ru tu ras A lgébr icas
( )= logL x x , é um homomorfismo do grupo multiplicativo >0( , )R × no grupo 
aditivo ( , )R + . Mais ainda, L é um isomorfismo, isto é, >0 @R R . De fato, 
( )= log( ) log( ) log( ) ( ) ( )L xy xy x y L x L y= + = + , oque mostra que L é um 
homomorfismo. Além disso, sabemos, do curso de cálculo 1, que a função logarítmica 
é uma bijeção entre >0R e R , logo temos que >0:L R R® é um isomorfismo.
3. A função determinante *det : ( )nGL R R® é um homomorfismo de grupos 
multiplicativos. Lembremos que ( )nA GLÎ R se, e somente se, A é uma matriz 
quadrada de ordem n tal que det 0A ¹ , isto é, *det AÎR . Assim, a função 
*det : ( )nGL R R® está bem definida. Uma vez que det( ) det( )det( )AB A B= , a 
função *det : ( )nGL R R® é um homomorfismo.
A seguir, definiremos dois importantes conjuntos associados a um 
homomorfismo de grupos, o seu núcleo e sua imagem, e veremos como é possível 
associar a noção de homomorfismo de grupos com a de grupo quociente. Esse é o 
conteúdo do Teorema 7, a seguir. 
Dado um homomorfismo de grupos :f G H® , temos (1 )= 1G Hf , onde 1G 
e 1H são os elementos neutros de G e H , respectivamente: por abuso de notação, 
denotemos ambos por 1. Então 
(1)= (1 1)= (1) (1) (1)= 1.f f f f f× × Þ
Se a GÎ , então 1 1( ) = ( )f a f a- - . De fato, 
1 1 1 1( )= (1)= 1 ( ) ( )= 1 ( )= ( ) .f aa f f a f a f a f a- - - -Þ Þ
Associados a um homomorfismo de grupos :f G H® , temos os dois 
seguintes conjuntos: 
( )= { ( )| }Im f f x x GÎ
é a imagem de f , também denotada por ( )f G . 
ker( )= { | ( )= } ,f x G f x eÎ
onde e HÎ é o elemento neutro da operação de H , é o núcleo de f .
Teorema
7
 (Teorema fundamental dos homomorfismos) dado um 
homomorfismo de grupos :f G H® , temos: 
 1. ( )Im f H£ . 
 2. ker( )f G . 
 3. / ker( ) ( )G f Im f@ . 
31AULA 2 TÓPICO 2
Demonstração:
Primeiramente, se 1 GÎ é o elemento neutro, então (1)= 1f HÎ , o elemento 
neutro de H , logo ( )Im f ¹Æ . Dados , ( )x y Im fÎ , existem ,a b GÎ tais que 
( )=f a x e ( )=f b y . Temos: 
1 1 1 1= ( ) ( ) = ( ) ( )= ( ) ( ),xy f a f b f a f b f ab Im f- - - - Î
o que mostra que ( )Im f é subgrupo de H .
Por outro lado, ker( )f ¹Æ , pois (1)= 1f . Se , ker( )a b fÎ , então ( )= ( )= 1f a f b , 
logo 1 1 1( )= ( ) ( )= ( ) ( ) = 1f ab f a f b f a f b- - - e isso implica que 1 ker( )ab f- Î . Logo 
ker( )f G£ . Para mostrar que esse subgrupo é normal, consideremos x GÎ e 
ker( )a fÎ . Temos: 
1 1 1( )= ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) = 1,f xax f x f a f x f x f x- - -
o que mostra que 1 ker( )xax f- Î , para todo x GÎ e todo ker( )a fÎ . Pelo Lema 5, 
ker( )f G .
Por simplicidade, escrevemos 
= ker( )S f . Seja : / ( )F G S Im f® , dada por 
( )= ( )F aS f a . A função F é sobrejetiva, pois 
seu contradomínio é exatamente ( )Im f . 
Para mostrarmos que F é injetiva, tomemos 
, /aS bS G SÎ , tais que ( )= ( )F aS F bS . 
Isso implica que ( )= ( )f a f b , ou seja, 
1( )= 1f ab- . Dessa forma, 1 ker( )=ab f S- Î , 
isto é, :a b . Portanto, =aS bS e F é 
também injetiva, logo é bijetiva. Além disso, 
( )= ( )= ( )= ( ) ( )= ( ) ( )F aS bS F abS f ab f a f b F aS F bS× , o que mostra que F é um 
homomorfismo. Sendo um homomorfismo bijetor, F é um isomorfismo.
s a i b a m a i s !
Obtenha mais informações a respeito de 
Homomorfismos, acessando o link:
http://www.mat.unb.br/~maierr/anotas.pdf
AT I V I D A D E S D E A P R O F U N D A M E N T O
1. Mostre que, em um grupo abeliano, todo subgrupo é normal.
2. Mostre que o subgrupo trivial { 1} de um grupo G , formado pelo elemento neutro da operação de grupo, 
é normal em G . 
3. Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se, a função :f G G® dada por 1( )=f x x- é um 
homomorfismo.
32 Est ru tu ras A lgébr icas
4. Prove que um grupo G é abeliano se, e somente se, a função :f G G® dada por 2( )=f x x é um 
homomorfismo.
5. Mostre que os grupos multiplicativos { 0}R- e { 0}C- não são isomorfos.
6. Sejam = {0,1, , 1}nZ n- e = { | = 1}
n
nR z C zÎ . Verifique que ( , )nZ + e ( , )nR × são grupos 
isomorfos. ( Sugestão: exiba um homomorfismo bijetor : n nZ Rf ® ).
7. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre R e 1{ , , }nv v
 
 um conjunto de vetores linearmente 
independentes em V . 
(a) Verifique que o conjunto V com a adição de vetores é um grupo abeliano. 
(b) Se { 1, , }t nÎ  e 1 1= { | }t t t tV n v nv n Z+ Î
 
 , mostre que 
1 2 1{ 0} = ,n nV V V V V-£ £ £ £ £
onde ̀ `£ ’’ indica ̀ `subgrupo de’’. Dizemos que tV é gerado por 1, , tv v
 
 e indicamos 1= , , tV v v
 
 . 
(c) Seja 2= = { ( , )| , }V R x y x y RÎ , com a soma definida por ( , ) ( , )= ( , )x y x y x x y y¢ ¢ ¢ ¢+ + + . 
Represente os subgrupos 1 = (1,0),(0,1)S e 2 = (2,0,),(1,1)S graficamente. 
(d) Considere em 2R a relação º definida por 
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d a b c d Sº Û - Î
(veja o item anterior). Verifique que º é uma relação de equivalência. 
(e) Denote por 1T o conjunto das classes de equivalência de º , isto é, 
2
1 = { ( , )| ( , ) }T a b a b RÎ . 
Verifique que a soma de classes 
( , ) ( , )= ( , )a b c d a c b d+ + +
está bem definida. 1( , )T + é um grupo? 
8. Seja G o grupo multiplicativo de todas as matrizes n n´ não singulares (isto é, matrizes com determinante 
diferente de zero). Mostre que o conjunto das matrizes com determinante igual a 1 é um subgrupo normal 
de G .
Seja G um grupo cíclico de ordem n , ou seja, =G a , onde = 1na e 1ka ¹ , se 1 1k n£ £ - . Considere 
a função :f Z G® dada por ( )= nf n a . 
(a) Mostre que f é um homomorfismo sobrejetor. 
(b) Determine o núcleo de f . 
(c) Use o teorema dos isomorfismos para mostrar que ; nG Z (isto é, todo grupo cíclico finito é isomorfo 
a nZ onde =| |n G ). 
9. Refaça a questão anterior, supondo agora que G é cíclico infinito. Conclua que todo grupo cíclico infinito 
é isomorfo a Z .
10. Seja G um grupo e a GÎ fixado. Defina :f G G® pondo 1( )=f x axa- . Mostre que f é um 
isomorfismo (chamamos um isomorfismo deste tipo de conjugação).
11. Mostre que um subgrupo H de G é normal se e somente se ( )f H HÌ , para toda conjugação f de 
G (veja o exercício anterior).
33AULA 2 TÓPICO 2
12. Dados ,a b GÎ , o comutador de a e b é o elemento 1 1a b ab G- - Î , denotado por [ , ]a b . O subgrupo 
dos comutadores de G é definido como o subgrupo de G gerado pelos [ , ]a b , ou seja, 
= { [ , ]| , } .G a b a b G¢ Î
(a) Mostre que G G¢ (sugestão: use a questão anterior). 
(b) Mostre que, se H G , então /G H é abeliano se e somente se G H¢ Ì . 
(c) Mostre que, se H G£ e G H¢ Ì , então H G .
34 Est ru tu ras A lgébr icas
Olá aluno(a),
Iniciaremos, nesta aula, o estudo de nossa segunda estrutura algébrica, que é a 
estrutura de anel. A estrutura de anel é importante, pois generaliza a aritmética dos 
conjuntos numéricos. Assim, os conjuntos dos números inteiros, dos racionais, 
dos reais ou dos complexos, são exemplos de anéis. Conjuntos de matrizes, de 
funções e de polinômios também formam anéis. 
Depois de estudarmos a definição e uma série de exemplos de anéis, seguiremos 
uma trajetória similar àquela que traçamos para grupos, ou seja, estudaremos os 
subanéis, e certos subanéis especiais, chamados ideais, que serão importantes na 
aula 4, para construirmos anéis de classes de equivalências, assim como fizemos 
para os grupos. 
Daremos especial atenção aqui aos ideais primos e maximais e explicaremos 
como ambos são generalizações na noção de número inteiro primo.
Objetivos
• Definir e estudar exemplos de anéis
• Compreender as noções de subanel e ideal
• Reconhecer os ideais primos e maximais
AULA 3 Anéis, subanéis e ideais
35AULA 3 TÓPICO 1
TÓPICO 1 Definição e exemplos
ObjetivOs
• Compreender o conceito de anéis e reconhecer seus 
exemplos
• Observar alguns casos especiais de anéis, em particular, 
os corpos e os domínios de integridade, identificando 
exemplos
• Obter algumas propriedades básicas da estrutura de anel
A ideia de se estudar uma estrutura algébrica é obter resultados que valham no contexto mais geral possível e que englobem exemplos importantes. Essa ideia é bem ilustrada pelo estudo de 
anéis. Por exemplo, veremos nessa aula e nasaulas que se seguem, que a estrutura 
algébrica subjacente ao conjunto dos números inteiros é exatamente a mesma 
que rege o comportamento operatório dos polinômios em uma indeterminada 
com coeficientes complexos, a saber, a estrutura de domínio euclidiano (veremos 
isso nas aulas 5 e 6). Assim, vale a pena estudar os dois casos de modo unificado, 
obtendo resultados que valham para ambos. Veremos, neste tópico, que um anel 
é um conjunto não-vazio com duas operações cujas propriedades básicas também 
devem ser apresentadas pela soma e pelo produto de números. No entanto, um anel 
é uma estrutura abstrata, que pode ser contituída 
de elementos com natureza bem diferente da dos 
números.
Um conjunto A onde estão definidas duas 
operações binárias : A A A+ ´ ® e : A A A× ´ ® , 
que denominamos, respectivamente, soma 
e produto, é chamado anel associativo, ou 
simplesmente anel se as seguintes condições são 
verificadas:
at e n ç ã o !
Se Y é infinito, então (y)={, ou seja, (y) é o 
conjunto dos produtos finitos de potências 
inteiras de elementos de Y .
36 Est ru tu ras A lgébr icas
1. A soma é associativa: 
( ) = ( )a b c a b c+ + + + , quaiquer que 
sejam , ,a b c AÎ . 
2. A soma é comutativa: =a b b a+ + , 
para quaisquer ,a b AÎ . 
3. Existe elemento neutro para a soma: 
existe e AÎ tal que = =e a a e a+ + , 
para todo a AÎ . 
4. Existe elemento inverso para a 
soma: dado a AÎ , existe b AÎ tal que 
= = 0a b b a+ + . 
5. O produto é associativo: para quaisquer 
, ,a b c AÎ , ( )= ( )a b c a b c× × × × . 
6. Vale a propriedade distributividade: para quaisquer , ,a b c AÎ , 
( )=a b c a b a c× + × + × e ( ) =b c a b a c a+ × × + × . 
No nosso curso trabalharemos com 
anéis para os quais valem algumas condições 
adicionais. Esses anéis recebem nomes especiais, 
como descrito abaixo. 
7. Um anel A é dito comutativo se 
o produto é comutativo: =a b b a× × , 
quaisquer que sejam ,a b AÎ . 
8. Um anel A é dito anel com unidade se 
vale o seguinte: existe elemento neutro 
para o produto: existe u AÎ tal que 
= =a u u a a× × , para todo a AÎ .
Observação: demonstra-se, de modo análogo ao que foi feito no item 3 
acima, que esse elemento neutro é único. Usamos a notação 1 para o elemento 
neutro do produto em A . 
9. Um anel comutativo com unidade A é chamado domínio de integridade, 
ou simplesmente domínio, se vale a seguinte condição:
se ,a b AÎ e = 0a b× , então = 0a ou = 0b .
at e n ç ã o !
O elemento inverso aditivo de um elemento 
a AÎ é único. De fato, se ,b b A¢ Î são tais que 
= 0=a b b a¢+ + , então 
= 0= ( )=
( ) = 0 =
b b b a b
b a b b b
¢ ¢ ¢+ + +
¢= + + +
.
Esse único elemento inverso aditivo de a é 
chamado de simétrico de a e denotado por a- .
g u a r d e b e m i s s o !
Podemos resumir as condições 1 a 4, dizendo que 
o conjunto A , com a operação de soma, é um 
grupo abeliano. No caso em que A é um corpo, 
{ 0}A- também é um grupo abeliano.
37AULA 3 TÓPICO 1
10. Um anel comutativo com unidade A é chamado corpo se vale a existência 
de inverso para o produto: dado a AÎ , 0a¹ , existe b AÎ tal que 
= = 1a b b a× × . Observação: é possível demonstrar que esse elemento inverso 
b AÎ é único. Usamos a notação 1a- . 
EXEMPLOS: 
1. O conjunto 2(R)= | , , , R
a b
M a b c d
c d
ì üæ öï ïï ï÷ç ÷ Îíç ý÷ç ÷çï ïè øï ïî þ
, com a soma e o produto 
de matrizes, é um anel associativo com unidade 
1 0
1=
0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
, mas não é 
comutativo. O anel 2(R)M também não é domínio de integridade, pois, por 
exemplo, 
0 1 1 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷× = =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
. 
2. O conjunto dos inteiros pares 2Z= { 0, 2, 4, 6, }± ± ±  é um anel comutativo 
sem elemento unidade.
3. O conjunto Z dos inteiros, com a soma e o produto usuais de inteiros, 
é um domínio de integridade, mas não é corpo, pois, por exemplo, 2 ZÎ , 
2 0¹ , mas não existe ZbÎ tal que 2 = 1b . 
4. Q , R e C são corpos. 
5. O conjunto 6Z = {0,1,2,3,4,5} munido da soma e do produto módulo 6 é 
um anel comutativo com unidade, mas não é um domínio. De fato, 2 0¹ , 
3 0¹ e 2 3= 0× (módulo 6). 
6. Se ZaÎ é um inteiro livre de quadrados, ou seja, se a não é divisível pelo 
quadrado de um inteiro, então Z[ ]= { | , Z}a b a ba a+ Î é, com a soma e 
o produto de números reais, um domínio. De fato, se a b a+ e c d a+ 
são elementos de Z[ ]a , então ( ) ( )= ( ) ( )a b c d a c b da a a+ + + + + + 
e ( )( )= ( ) ( )a b c d ac bd ad bca a a a+ + + + + são elementos de Z[ ]a . 
As condições 1,2,5, 6 e 7 da definição de anel são válidas porque são 
válidas em R e Z[ ] Ra Ì . O elementos neutro 0 RÎ pode ser escrito como 
0= 0 0 Z[ ]a a+ Î , logo vale a condição 3. Dado Z[ ]a b a a+ Î , o seu 
inverso aditivo ( )= ( )a b a ba a- + - + - também é um elemento de Z[ ]a , 
logo vale a condição 4. A condição 8 é válida porque a unidade 1 RÎ pode 
ser escrita como 1= 1 0 a+ , logo é um elemento de Z[ ]a . Finalmente, se 
( )( )= 0a b c da a+ + , então ( ) ( ) = 0ac bd ad bca a+ + + , o que implica que 
= 0ac bda+ e = 0ad bc+ . Dessas duas últimas equações, podemos concluir que 
= 0a b a+ ou = 0c d a+ . Logo, vale a condição 9 e Z[ ]a é um domínio de 
integridade. 
38 Est ru tu ras A lgébr icas
7. Se QaÎ é livre de quadrados, isto é, se pode ser escrito como uma 
fração onde numerador e denominador são inteiros livres de quadrados, 
então Q[ ]= { | , Q}a b a ba a+ Î é um corpo. As condições de 1 até 8 da 
definição de anel podem ser verificadas de modo análogo ao do exemplo 
anterior. Quanto à condição 10, basta notarmos que 
1
2 2 2 2( ) = ,
a ba b
a b a b
a a
a a
-+ -
- -
o que mostra que todo elemento não-nulo de Q[ ]a tem um inverso em 
Q[ ]a .
8. Considere A um anel comutativo com unidade e 
0 1[ ]= { | N, }
n
n iA x a a x a x n a A+ + + Î Î o conjunto dos polinômios com 
coeficientes em A . Com a soma e o produto de polinômios, o conjunto [ ]A x 
torna-se um anel comutativo com unidade.
Teorema
1
: Todo corpo é um domínio de integridade. 
Demonstração:
Se A é um corpo e ,a b AÎ são tais que = 0a b× e 0a¹ , então existe 
1a A- Î tal que 1 = 1a a- . Logo, multiplicando = 0a b× por 1a- , obtemos 
1 ( )= 0a a b- × × , logo 1( ) = 0a a b- × × , isto é, = 0b .
A recíproca do Teorema acima não é válida, pois Z é um domínio de 
integridade que não é corpo.
Coletamos, a seguir, algumas propriedades básicas dos anéis que seguem 
diretamente da definição de anel.
Teorema
2
 Seja A um anel. Então, para , ,a b c AÎ , temos: 
1. 0= 0 = 0a a . 
2. ( )= ( )= ( )a b ab a b- - - . 
3. ( )=a b c ab ac- - e ( ) =a b c ac bc- - 
Demonstração: 
1. 0= (0 0)= 0 0a a a a+ + , logo 0 ( 0)= 0a a a+ - e, portanto, 0= 0a . 
Analogamente, 0 = 0a .
39AULA 3 TÓPICO 1
2. 0= 0= ( ( ))= ( )a a b b ab a b+ - + - , logo ( )=a b ab- - . Analogamente, 
( ) =a b ab- - .
3. ( )= ( ( ))= ( )=a b c a b c ab a c ab ac- + - + - - . Analogamente, 
( ) =a b c ac bc- - .
Seja 1, , na a uma sequência de elementos de um anel A . Definimos o 
produto desses elementos indutivamente, pondo:
1
1
=1
= ,i
i
a aÕ
1
=1 =1
= ,
k k
i i k
i i
a a a
-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷è øÕ Õ
para todo k , 2 k n£ £ .
O símbolo 
=1
k
ii
aÕ indica o produto de 1 ka a e é denominado produtório. 
Uma propriedade básica dos produtórios é a seguinte:
=1 =1 =1
= .
m n m n
i i i
i i i
a a a
+æ ö æ ö÷ ÷ç ç×÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è øÕ Õ Õ
Essa propriedade é conhecida como lei da associatividade generalizada 
e significa, simplesmente, que, em um produtório, os parênteses podem ser 
livremente manipulados sem que o produto se altere.
Se n é um número inteiro positivo, então na e na significam, respectivamente, 
a soma e o produto de a , repeditas n vezes, ou seja, 
= ,
n
na a a+ +


= .
n
na a a


De modo análogo, ( ) = ( ) ( )
n
n a a a- - + + -

 e, caso exista o inverso 1a- de a 
em A , 1 1= ( ) ( )
n
na a a- - -

. Se m e n são inteiros positivos e a e b são elementos 
de um anel, temos:
1. =m n m na a a + . 
2. ( ) =m n mna a . 
3. = ( )ma na m n a+ + . 
4. ( )= ( ) = ( )m na mn a n ma . 
5. ( )( )= ( ) = ( )( )ma nb mn ab na mb . 
40 Est ru tu ras A lgébr icas
Encerramos aqui este primeiro tópico sobre anéis, em que estudamos a 
definição de anel, vimos que domínios de integridade e corpos são tipos especiais 
de anéis comutativos com unidade, e vimos também que todo corpo é domínio 
de integridade. Além disso, tivemos a oportunidade de exibir alguns exemplos 
importantes de anéis e verificar a validade das propriedades básicas das operações 
de soma e produto em um anel, decorrentes diretamente da definição.
41AULA 3 TÓPICO 2
TÓPICO 2 Subanéis e ideais
ObjetivOs
• Definir e exibir exemplos de subanéis
• Conceituar ideais
Neste tópico, estudaremos subconjuntos de um anel que, com as mesmas operações do anel, são também um anel. Esses subconjuntos são chamados subanéis. Vamos também definir 
ideais, que são os subanéis adequados para a construção de anéis quociente, em 
analogia com os subgrupos normais, estudados na aula anterior.
Seja A um anel. Um subconjunto não-vazio S AÌ é dito subanel de A 
se S , com as mesmas operações de A , for um anel, não necessariamente com 
unidade. Se o subanel S de A contiver a unidade de A , diremos que S é um 
subanel unitário de A .
Lema
3
: Dado um anel A e um subconjunto não-vazio S AÌ , S é um subanel se, 
e somente se, valem as seguintes condições, para quaisquer ,a b SÎ : 
1. a b S- Î e 
2. ab SÎ . 
Demonstração:
Se S é um subanel de A , então as condições 1 e 2 são consequências da 
definição de anel. Reciprocamente, suponhamos que valem as condições 1 e 2. A 
condição 2 nos diz que o produto de dois elementos de S pertence a S , logo 
42 Est ru tu ras A lgébr icas
podemos restringir o produto de A a S . A 
associatividade e a comutatividade da soma e 
do produto, e também a distributividade, valem 
em S porque valem em A e S AÌ . Precisamos 
mostrar que o elemento neutro da soma 0 AÎ 
pertence, de fato, a S . Como S não é vazio, existe 
a SÎ . Pela condição 1, temos 0= a a S- Î , 
como queríamos demonstrar. Mais ainda, se 
a SÎ , então = 0a a S- - Î , novamente pela 
condição 1. Finalmente, dados ,a b SÎ , temos 
= ( )a b a b S+ - - Î , logo podemos restringir a 
soma de A ao subconjunto S . 
Se X é um subconjunto de um anel A , 
o menor subanel de A que contém X é 
chamado subanel gerado por X . Dada uma 
família ( )Sl lÎL de subanéis de um anel A , 
temos que a interseção =S Sl lÎLÇ é um 
subanel de A . De fato, se ,a b SÎ , então 
,a b SlÎ , para todo lÎL , logo, pelo Lema 
3, a b Sl- Î e ab SlÎ , para todo lÎL . 
Assim, a b S- Î e ab SÎ e, novamente pelo Lema 3, S é subanel de A . Dessa 
forma, podemos concluir que o subanel gerado por um subconjunto de um anel A 
é a interseção de todos os subanéis de A que contêm X .
EXEMPLOS: 
1. Z é subanel unitário de Q . 
2. Seja [0,1]F o anel formado por todas as funções : [0,1] Rf ® , com a soma 
e o produto dados, respectivamente, por 
( )( )= ( ) ( ),f g t f t g t+ +
( )( )= ( ) ( ).fg t f t g t
Seja [0,1]C o subconjunto de [0,1]F formado por todas as funções contínuas 
de [0,1] em R. Como a diferença e o produto de funções contínuas são funções 
contínuas, vemos que [0,1]C é subanel de [0,1]F . Além disso, como a função 
at e n ç ã o !
A condição 1 do Lema 3 coincide com uma das 
condições para que um subconjunto de um 
grupo seja um subgrupo. A diferença é apenas na 
notação: a b- é o análogo de 1ab- se a operação 
de produto for substituída pela de soma.
g u a r d e b e m i s s o !
O subconjunto { 0} formado pelo elemento 
neutro da soma em um anel A é um subanel 
de A . De fato, se , { 0}a bÎ , então = = 0a b 
e = 0 { 0}a b- Î , = 0 { 0}ab Î . Pelo Lema 3, 
{ 0} é subanel de A .
43AULA 3 TÓPICO 2
constante 1: [0,1] R® , dada por 1( )= 1t , para todo [0,1]t Î , é contínua, o subanel 
[0,1]C é unitário. 
3. O subconjunto 2Z ZÌ , formado pelos inteiro pares, é um subanel do anel 
Z que não é unitário. De fato, 1 ZÎ , sendo ímpar, não pertence a 2Z. 
4. 6= {0,2,4} ZS Ì é subanel de 6Z , o que pode ser verificado de modo direto 
usando-se o Lema 3.
Dado um anel A , se existe um inteiro 
positivo m tal que 1= 0m× em A , então existe 
um inteiro positivo mínimo n tal que 1= 0n× . 
Esse inteiro positivo mínimo é chamado 
característica do anel A . Se não existe inteiro 
positivo m tal que 1= 0m× , dizemos que o anel 
A tem característica zero. Usamos a notação 
car( )A para a característica de A .
EXEMPLO:
Em Z, 1= 0m× implica que = 0m , logo 
não existe inteiro positivo m tal que 1= 0m× , 
o que mostra que car(Z)= 0 . Por outro lado, se ZnÎ , > 1n , no anel Zn das classes 
de equivalência módulo n , temos 1= = 0n n× e n é o menor inteiro positivo 
satisfazendo essa igualdade. Logo, car(Z )=n n . No caso em que A é um domínio, 
temos o seguinte resultado.
Teorema
4
 Seja D um domínio. Então a carcterística de D é igual zero ou a um 
número primo. 
Demonstração:
Seja = car( )n D . Se = 0n , nada há a demonstrar. Vamos mostrar que, se 
0n¹ , então n é um número primo. De fato, se 1 KÎ é a identidade, então 1= 0n× 
e n é o menor inteiro positivo que satisfaz essa igualdade. Se n não fosse primo, 
então poderíamos escrever =n ab , com , Za bÎ e 1< <a n e 1< <b n . Assim 
1= 0n× implicaria ( ) 1= 0ab × , ou seja, ( 1)( 1)= 0a b× × . Como D é domínio, essa 
última igualdade implicaria 1= 0a× ou 1= 0b× , o que iria contra a minimalidade 
at e n ç ã o !
Se =X Æ , então o subanel S gerado por X é 
a interseção de todos os subanéis de A . Como 
{ 0} é um subanel de A , temos, em particular, 
que { 0}SÌ , logo = { 0}S , ou seja, o subanel 
gerado pelo conjunto vazio é o subanel { 0} .
44 Est ru tu ras A lgébr icas
de n . Assim, não é possível obter-se uma decomposição de n como produto de 
fatores menores do que n , o que mostra que n é primo. 
Vamos, agora, definir o importante conceito de ideal. O estudo de ideais 
começou com os trabalhos de Kronecker e Dedekind em meados do século XIX, 
em conexão com estudo da unicidade da fatoração de um número como produto 
de primos anéis mais gerais do que o anel dos inteiros. Com o passar do tempo, a 
noção de ideal mostrou-se central na teoria dos anéis e encontrou aplicações em 
geometria, teoria dos números e análise.
Um subconjunto não-vazio I de um anel (comutativo com unidade) A é 
chamado ideal de A se valem as seguintes condições: 
 1. Se ,a b IÎ , então a b I- Î . 
 2. Se a IÎ e AaÎ , então a Ia Î . 
Note que, pelo Lema 3, todo ideal é um subanel. Mas nem todo subanel é 
um ideal, visto que a condição 2 exige que o produto de um elemento a IÎ por 
qualquer elemento AaÎ esteja em I . Mais explicitamente, podemos exibir como 
exemplo o subanel Z de R. É claro que, se RaÎ e ZaÎ , o produto aa não 
pertence, necessariamente, a Z. Basta considerar, por exemplo, = 2a .
Exemplos: 
1. Todo subanel do anel Z é um ideal de Z. Para verificar isso, basta notar 
que, se S é subanel de Z, a SÎ e ZnÎ , então 
> 0
= 0 = 0
( ) ( ) < 0
a a se n
na se n
a a se n
ì + +ïïïïíïï - + + -ïïî


Em qualquer um dos três casos, na SÎ , logo S é um ideal de Z.
2. Dado um anel A , os subconjuntos { 0} e A são ideais de A , chamados 
ideais triviais de A . Se I é um ideal não trivial de A , então I é dito ideal 
próprio de A .
Teorema
5
 Seja A um anel comutativo com unidade 1 AÎ . 
 1. Se I é um ideal de A e 1 IÎ , então =I A . 
 2. Se A é um corpo, os únicos ideais de A são { 0} e A . 
45AULA 3 TÓPICO 2
Demonstração:
1. Se I AÌ é um ideal de A e 1 IÎ , então para cada AaÎ , = 1 Ia a × Î , 
ou seja, A IÌ , logo =I A .
2. Seja I AÌ um ideal de um corpo A e suponha que { 0}I ¹ . Então existe 
a IÎ , 0a¹ . Como A é um corpo, 0a¹ implica que existe AaÎ tal que = 1aa .Isso implica que 1= a Ia Î e, pelo item 1, =I A . 
Dados 1, , na a AÎ , o conjunto 
1 1 1( , , )= { | }n n n ia a a t a t t A+ + Î 
é um ideal de A , chamado ideal gerado por 1, , na a . De fato, dados 
1, ( , , )nx y a aÎ  e AaÎ , temos que 1 1= n nx a t a t+ + e 1 1= n ny a u a u+ + , 
com ,i it u AÎ . Logo, 1 1 1 1= ( ) ( ) ( , , )n n n nx y a t u a t u a a- - + + - Î  e 
1 1 1= ( ) ( ) ( , , )n n nx a t a t a aa a a+ + Î  . 
Um ideal gerado por um número finito de elementos é chamado ideal 
finitamente gerado. Um ideal gerado por um único elemento, ou seja, um ideal 
do tipo 
( )= = { | }a aA at t AÎ
é chamado ideal principal de A .
Encerramos, aqui, nosso segundo tópico, sobre subanéis e ideais. Vimos 
sua definição, alguns exemplos e alguns resultados básicos sobre subanéis e ideais 
em anéis comutativos com unidade. No próximo tópico, estudaremos dois tipos 
especiais de ideais: os primos e os maximais.
46 Est ru tu ras A lgébr icas
A seguir, iremos definir dois tipos importantes de ideais, os ideais primos e os ideais maximais. Ambos generalizam a noção de número primo, como veremos a seguir.
Seja A um anel (comutativo com unidade) e seja P um ideal de A . Dizemos 
que P é um ideal primo se 
a b ab a b, ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈Ae P Pou P
Seja A um anel (comutativo com unidade) e seja M um ideal de A . Dizemos 
que M é um ideal maximal se 
= = .I ideal deA e M I I M ouM AÌ Þ
A própria definição de ideal maximal justifica seu nome. De fato, um ideal é 
maximal quando não está contido em ideal próprio algum de A . Já o nome ideal 
primo é justificado pelo exemplo e pelo Teorema a seguir.
Exemplo: (ideais de Z) Seja { 0}I ¹ um ideal do anel Z dos números inteiros. 
Como a IÎ implica que = ( 1)a a I- - Î , podemos garantir que existe n IÎ , > 0n . 
Seja m IÎ o menor inteiro positivo em I . Dado a IÎ , o algoritmo da divisão nos 
diz que existem , Zq r Î , com =a mq r+ e 0 <r m£ . Agora, ,a m IÎ implicam 
que =r a mq I- Î . Se 0r ¹ , então teríamos 0< <r m e r IÎ , ou seja, r seria o 
menor elemento positivo em I . Mas já estamos supondo que m é o menor inteiro 
positivo pertencente a I . Isso significa que 0r ¹ não pode ocorrer, isto é, = 0r . 
Logo, =a mq e, em geral, todo elemento de I é um múltiplo de m , o que indicamos 
por ZI mÌ . Mas, m IÎ implica que Zm IÌ e, assim, = ZI m , onde Zm indica o 
TÓPICO 3 Ideais primos e maximais
ObjetivOs
• Definir e exibir exemplos de ideais primos e maximais
• Estudar os ideais primos no anel dos números inteiros
47AULA 3 TÓPICO 3
conjunto dos múltiplos de m ( Z= { | Z}m mk kÎ ). Ideais formados pelos múltiplos 
de um elemento são chamados ideais principais e serão estudados na aula 5.
O Teorema a seguir complementa o exemplo acima, caracterizando os ideais 
primos e os ideais maximais de Z. Em particular, o item 3 desse Teorema mostra 
que, no anel dos inteiros, as noções de ideal primo e de ideal maximal coincidem. 
Teorema
6
 
 1. Se = ZI m e = ZJ n são dois ideais de Z, então I JÌ se, e somente se, |n m . 
 2. Um ideal P de Z é primo se, e somente se, = ZP p , com ZpÎ primo. 
 3. Um ideal P de Z é primo se, e somente se, é maximal. 
Demonstração: 
1. I JÌ é equivalente a Z Zm nÌ . Em particular, Z Zm m nÎ Ì , ou seja, 
m é um múltiplo de n , isto é, |n m . Reciprocamente, se |n m , então =m nk , 
com ZkÎ . Assim, se Za mÎ , então =a mc , onde ZcÎ , logo = ( )a n kc , ou seja, 
Za nÎ , o que mostra que Z Zm nÌ .
2. Dados , Za bÎ , tais que Zab pÎ , temos que ab é um múltiplo de p , 
ou seja, |p ab . Como p é primo, |p ab implica |p a ou |p b , logo Za pÎ 
ou Zb pÎ . Isso mostra que Zp é primo para p primo. Reciprocamente, se P 
é um ideal primo de Z, então, pelo exemplo acima, = ZP n , com ZnÎ . Vamos 
mostrar que n é primo. De fato, se =n ab , com , Za bÎ , então = Z=ab n n PÎ . 
Como P é ideal primo, ab PÎ implica que a PÎ ou b PÎ . Se = Za P nÎ , então 
|n a . Porém, =n ab , implica que |a n , ou seja, =n a± e = 1b ± . Caso b PÎ , um 
raciocínio análogo mostra que = 1a ± . Portanto, a única decomposição possível 
=n ab , para n , é a trivial, isto é, com = 1a ± ou = 1b ± . Isso mostra que p é 
primo.
3. Se = ZM m é um ideal maximal de Z, então m é primo, do contrário, 
existiria > 1n inteiro tal que |n m e, daí, = Z Z ZM m nÌ Ì (inclusões estritas), o 
que não é possível, pois M é maximal. Sendo m primo, pelo item 2, = ZM m é um 
ideal primo. Reciprocamente, seja = ZP p um ideal primo e suponha que P I AÌ Ì , 
onde = ZI a é um ideal de Z. Se a primeira inclusão for estrita, então Z Zp aÌ 
implica que |a p , mas |p a . Como p é primo, os únicos divisores positivos de p 
são 1 e p . Uma vez que |p a , temos a p¹ . Logo = 1a e = Z= ZI a . Isso mostra 
que = ZP p é maximal. 
48 Est ru tu ras A lgébr icas
O Teorema 6 justifica o nome ideal primo, pois, em Z, os ideais primos são 
exatamente aqueles do tipo Zp , em que p é um número primo. A situação do 
Teorema 6 não se repete em geral, como vemos no exemplo a seguir.
EXEMPLO:
Seja = Z[ ]A x , o anel de polinômios com coeficientes em Z, na indeterminada 
x . O conjunto 
= ( )= { ( )| ( ) Z[ ]} = { ( ) Z[ ]| (0)= 0} ,I x xf x f x x g x x gÎ Î
formado pelos múltiplos de x , ou seja, pelos polinômios que têm coeficiente 0 = 0a , 
é um ideal primo de A que não é maximal em A . De fato, se ( ), ( ) Z[ ]g x h x xÎ 
são tais que ( ) ( )g x h x IÎ , então (0) (0)= 0g h . Como Z é um domínio, (0) (0)= 0g h 
implica que (0)= 0g ou (0)= 0h , ou seja, ( )g x IÎ ou ( )h x IÎ , o que mostra que 
I é primo.
Por outro lado, I está contido propriamente no ideal 
= (2, )= { 2 ( ) ( )| ( ), ( ) Z[ ]} = { ( ) Z[ ]| (0)é } .J x f x xg x f x g x x h x x h par+ Î Î
Isso é claro, pois 0 é par, logo ( )p x IÎ implica que (0)= 0p , em particular, 
(0)p é par, o que por sua vez, implica que ( )p x JÎ . Mais ainda, o ideal J é 
próprio, ou seja, J A¹ . Par comprovar isso, basta notar que ( )= 1q x x A+ Î , mas 
( )q x JÎ/ , pois (0)= 1q é ímpar. Assim, encontramos um ideal J tal que I J AÌ Ì 
(inclusões estritas) e isso mostra que I não é maximal.
Dessa forma, nem todo ideal primo em um anel qualquer A é maximal. 
Porém, a recíproca dessa afirmação é válida, como veremos a seguir.
Teorema
7
 Em um anel comutativo com unidade A , todo ideal maximal é v. 
Demonstração:
Seja M um ideal maximal e sejam ,a b AÎ tais que ab MÎ . 
Supondo que a MÎ/ , vamos mostrar que b MÎ . Considere, para isso, o ideal 
= { | , }I ay m y A m M+ Î Î . Temos que M I AÌ Ì , com a IÎ . Como, por 
hipótese, a MÎ/ , temos que a inclusão M IÌ é estrita. Logo, por ser M maximal, 
devemos ter =I A . Em particular, 1 IÎ , ou seja, 1= ay m+ , para algum y AÎ e 
algum m MÎ . Multiplicando essa última igualdade por b , obtemos =b aby bm+ . 
Como, por hipótese, ab MÎ e m MÎ , temos que =b aby bm M+ Î , como 
queríamos demonstrar. 
49AULA 3 TÓPICO 3
Com esse resultado, encerramos nosso terceiro tópico e a aula 3. Nesta aula, 
começamos a estudar a importante estrutura algébrica de anel e vimos que existem 
tipos especiais de anéis: os domínios de integridade e os corpos. Vimos que todo 
corpo é um domínio de integridade, que a um anel podemos associar um número 
inteiro não negativo, chamado característica do anel, que é primo, ou zero, sempre 
que o anel for um domínio. Vimos que existem subconjuntos de um anel que têm 
ainda estrutura de anel, são chamados de subanéis. Dentre os subanéis há alguns 
de especial importância, chamados ideais e, dentre os ideais, vimos dois tipos que 
também são bastante importantes: os ideais primos e os ideais maximais. 
Na próxima aula, estudaremos as funções naturais que podem ser definidas 
entre anéis e os anéis que podem ser formados a partir de quocientes de anéis por 
ideias.
at i v i d a d e d e a p r o f u d a m e n t o
1. Dado um corpo K , seja 
( )( )= | ( ), ( ) [ ], ( ) 0 .
( )
f x
K x f x g x K x g x
g x
ì üï ïï ïÎ ¹í ýï ïï ïîþ
Com as operações ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x f x x g x h x
g x x g x x
+
+

 
 e ( ) ( ) ( ) ( )=
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x f x h x
g x x g x x
×
 
, ( )K x é um 
 
anel. Mostre que ( )K x é um corpo, chamado, corpo das funções racionais sobre K .
2. Seja = { : R R| éfunçãocontínua}F f f® , com as operações 
( )( )= ( ) ( ),f g x f x g x+ +
( )( )= ( ) ( ).f g x f x g x× ×
(a) Mostre que ( , , )F + × é um anel. 
(b) Para cada RaÎ , mostre que = { | ( )= 0}I f F f aÎ é um ideal de F . 
(c) Mostre que [ , ] = { | ( )= 0, [ , ]}a bI f F f x x a bÎ " Î é um ideal de A . 
3. Dado ZnÎ , 1n³ , seja = Z [ , ]= [ ]nA x y R y , onde = Z [ ]nR x . 
(a) Mostre que ( )x é um ideal primo de A que não é ideal maximal. 
(b) Mostre que ( , )x y é ideal maximal se, e somente se, n é primo. 
(c) Sabendo que (8, )x é um ideal primo de A , determine os possíveis valores de n . 
50 Est ru tu ras A lgébr icas
4. Dado um anel A , seja 0 1[ ]= { | N, }
n
n iA x a a x a x n a A+ + + Î Î o anel dos polinômios 
na indeterminada x com coeficientes em A . Dado 20 1 2( )= [ ]
n
nf x a a x a x a x A x+ + + + Î , 
chamamos o coeficiente na de coeficiente líder do polinômio f e 0a de termo constante de f . 
(a) Mostre que o termo constante de ( ) ( )f x g x é o produto dos termos constantes de ( )f x e ( )g x . 
(b) Se A é um domínio, então o coeficiente líder de ( ) ( )f x g x é o produto dos coeficientes líderes de ( )f x 
e ( )g x . 
(c) Mostre que ( ) [ ]f x A xÎ é unidade de [ ]A x se e somente se ( )f x é um polinômio constante e igual a 
uma unidade de A , isto é, *( )f x AÎ , onde * = { }A unidadesdeA . 
5. Seja 1= { , , }nA a a um anel finito. 
(a) Mostre que uma função :f A A® é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva. 
(b) Mostre que A é um domínio de integridade se, e somente se, para cada a AÎ , 0a¹ , a função 
:af A A® , dada por ( )=af x ax for bijetiva. 
(c) Mostre que um anel finito é domínio de integridade se, e somente se, é corpo.
51AULA 4
AULA 4 Homomorfismo de anéis
Olá aluno(a),
Assim como fizemos no estudo de grupos, estudaremos nessa aula as funções 
que podem ser definidas entre anéis e que, de um modo natural, preservam sua 
estrutura, ou seja, preservam as duas operações dos anéis. Tais funções serão 
chamadas homomorfismos de anéis. Os homomorfismos de anéis ocupam o 
mesmo papel relevante para a teoria de anéis que os homomorfismos de grupos 
para a teoria de grupos. Veremos, ainda, que é possível a construção de anéis 
quociente de modo análogo à construção que fizemos de grupo quociente. Nesse 
ponto, veremos que a noção de ideal desempenha papel similar ao de subgrupo 
normal no caso de grupos.
Objetivos
• Definir e estabelecer as propriedades básicas de homomorfismos de anéis
• Construir o quociente de um anel por um ideal
• Demonstrar o teorema dos homomorfismos para anéis
52 Est ru tu ras A lgébr icas
Estabeleceremos, neste primeiro tópico, a nomenclatura e os resultados básicos sobre 
homomorfismos de anéis. Definiremos 
dois conjuntos básicos, associados a um 
homomorfismo, seu núcleo e sua imagem, 
e veremos uma série de exemplos de 
homomorfismos de anéis.
Consideremos dois anéis, não 
necessariamente comutativos nem com unidade, ( , , )A + × e ( , , )B Å Ä . Uma função 
:f A B® é chamada homomorfismo de anéis, ou homomorfismo entre os 
anéis A e B , se 
( )= ( ) ( ),f a b f a f b+ Å
( )= ( ) ( ),f a b f a f b× Ä
para quaisquer ,a b AÎ . Em geral, como não há risco de confusão, usamos as 
mesmas notações para as operações nos anéis A e B , e escrevemos 
( )= ( ) ( ),f a b f a f b+ +
( )= ( ) ( ).f ab f a f b
TÓPICO 1 Definições e exemplos
ObjetivOs
• Estabelecer a noção de homomorfismo de anéis
• Citar exemplos de homomorfismos de anéis
• Definir núcleo e imagem de um homomorfismo de anéis
s a i b a m a i s !
Para mais informações sobre homomorfismo 
de anéis, acesse o link http://www.mat.
uc.pt/~picado/algebraII/0405/Apontamentos/
aula4.pdf
53AULA 4 TÓPICO 1
No caso em que A e B são anéis com 
unidade, se 1A e 1B denotam os elementos 
neutros do produto em A e B , respectivamente, 
então dizemos que o homomorfismo :f A B® é 
unitário se 
(1 )= 1 .A Bf
É claro que aqui também podemos, para 
evitar sobrecarga na notação, suprimir os índices 
e escrever 
(1)= 1.f
Teorema
1
 Dados A , B e C anéis e :f A B® , :g B C® , homomorfismos de 
anéis, temos o seguinte: 
1. A função composta g f é um homomorfismo de anéis. Se f e g forem 
unitários, g f também o é. 
2. Se f é uma função bijetora, então a sua inversa 1 :f B A- ® é um homomor-
fismo. Se f for unitário, 1f - também o é. 
Demonstração:
Para demonstrarmos 1, precisamos verificar que, dados ,a b AÎ , 
( )( )= ( )( ) ( )( )g f a b g f a g f b+ +   e ( )( )= ( )( ) ( )( )g f a b g f a g f b× ×   . Faremos 
isso apenas para a primeira igualdade, sendo a segunda inteiramente análoga. 
Temos, então, 
( )( )= ( ( ))= ( ( ) ( )),g f a b g f a b g f a f b+ + +
pois f é homomorfismo. Logo, 
( )( )= ( ( ) ( ))= ( ( ))= ( ( )),g f a b g f a f b g f a g f b+ +
pois g também é homomorfismo. Mas isso é exatamente o que queríamos 
demonstrar. Além disso, se f e g forem unitários, então ( (1))= (1)= 1g f g , o que 
mostra que g f também é unitário.
Vamos demonstrar 2. Para isso, seja 1 :f B A- ® a inversa da função f , 
que sabemos que existe, pois estamos supondo f bijetora. Dados ,x y BÎ , 
existem ,a b AÎ tais que ( )=f a x e ( )=f b y , pois f é sobrejetora. Temos, então, 
1 1 1 1 1( )= ( ( ) ( ))= ( ( ))= = ( ) ( )f x y f f a f b f f a b a b f x f y- - - - -+ + + + + . De modo 
análogo, temos: 1 1 1 1 1( )= ( ( ) ( ))= ( ( ))= = ( ) ( )f xy f f a f b f f ab a b f x f y- - - - -+ . Isso 
mostra que 1f - é um homomorfismo. Como (1)= 1f implica 1(1)= 1f - , temos, 
ainda, que f unitário implica 1f - unitário. 
at e n ç ã o !
A partir daqui, sempre que considerarmos um 
homomorfismo :f A B® entre dois anéis com 
unidade, iremos supor que esse homomorfismo 
é unitário.
54 Est ru tu ras A lgébr icas
No caso do item 2 do Teorema 1 acima, ou seja, quando :f A B® é um 
homomorfismo bijetor, dizemos que f é um isomorfismo de anéis, Dizemos, 
ainda, que A e B são isomorfos e indicamos o isomorfismo entre eles com a 
notação A B@ . 
Dado um homomorfismo de anéis :f A B® , podemos considerar os 
seguintes conjuntos associados a f : o núcleo de f , 
ker = { | ( )= 0} ,f a A f aÎ
onde 0 é o elemento enutro da soma em B , e a imagem de f , 
Im = { ( )| } .f f a a AÎ
Teorema
2
 Dado um homomorfismo de anéis :f A B® , temos: 
1. (0)= 0f . 
2. ( )= ( )f a f a- - , para cada a AÎ . 
3. ker f é um ideal de A . 
4. Imf é um subanel de B . 
Demonstração:
(a) (0)= (0 0)= (0) (0)f f f f+ + , o que implica (0)= 0f .
(b) Dado a AÎ , ( ( ))= (0)= 0f a a f+ - , pelo item (a). Como f é 
homomorfismo, ( ) ( )= ( ( ))= 0f a f a f a a+ - + - , logo, ( )= ( )f a f a- - , como 
queríamos.
(c) Dados , kera b fÎ , ( )= 0f a e ( )= 0f b . Logo, 
( )= ( ) ( )= 0 0= 0f a b f a f b+ + + , o que implica kera b f+ Î . Se, AaÎ e 
kera fÎ , então ( )= ( ) ( )= ( ) 0= 0f a f f a fa a a × , o que implica que kera fa Î . 
Portanto, pela definição de ideal, dada na aula 3, tópico 2, ker f é ideal de A .
(d) Usaremos aqui, o Lema 3 da aula 3. Dados , Imx y fÎ , existem 
,a b AÎ tais que ( )=f a x e ( )=f b y . Assim, = ( ) ( )x y f a f b- - . Pelo item (b), 
( )= ( )f b f b- - , logo = ( ) ( )= ( ( ))x y f a f b f a b- + - + - , pois f é homomorfismo. 
Portanto, = ( )x y f a b- - , o que mostra que Imx y f- Î . Por outro lado, 
= ( ) ( )= ( )xy f a f b f ab , pois f é homomorfismo. Logo, Imxy fÎ .
EXEMPLO 1:
Dado um número inteiro n , > 1n , seja = {0,1, , 1}nZ n- o anel 
das classes de restos módulo n . A função : nf Z Z® , dada por ( )=f k k , 
55AULA 4 TÓPICO 1
é um homomorfismo de anéis. De fato, ( )= = = ( ) ( )f a b a b a b f a f b+ + + + 
e ( )=