Matemática e as Novas Tecnologias da Informação e Comunicação

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MATEMÁTICA E NOVAS TIC
Caro(a) aluno(a),
A Universidade Candido Mendes (UCAM), tem o interesse contínuo em
proporcionar um ensino de qualidade, com estratégias de acesso aos saberes que
conduzem ao conhecimento.
Todos os projetos são fortemente comprometidos com o progresso educacional
para o desempenho do aluno-profissional permissivo à busca do crescimento
intelectual. Através do conhecimento, homens e mulheres se comunicam, têm
acesso à informação, expressam opiniões, constroem visão de mundo, produzem
cultura, é desejo desta Instituição, garantir a todos os alunos, o direito às
informações necessárias para o exercício de suas variadas funções.
Expressamos nossa satisfação em apresentar o seu novo material de estudo,
totalmente reformulado e empenhado na facilitação de um construto melhor para
os respaldos teóricos e práticos exigidos ao longo do curso.
Dispensem tempo específico para a leitura deste material, produzido com muita
dedicação pelos Doutores, Mestres e Especialistas que compõem a equipe docente
da Universidade Candido Mendes (UCAM).
Leia com atenção os conteúdos aqui abordados, pois eles nortearão o princípio de
suas ideias, que se iniciam com um intenso processo de reflexão, análise e síntese
dos saberes.
Desejamos sucesso nesta caminhada e esperamos, mais uma vez, alcançar o
equilíbrio e contribuição profícua no processo de conhecimento de todos!
Atenciosamente,
Setor Pedagógico
 
Este módulo deverá ser utilizado apenas como base para estudos. Os créditos da autoria dos conteúdos aqui apresentados são dados aos seus respectivos autores. 3 
SUMÁRIO 
 
UNIDADE I – APRENDIZAGEM DE NOVAS TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E 
COMUNICAÇÃO NO ENSINO MATEMÁTICA .................................................................................. 4 
 
UNIDADE II - USO DAS DIFERENTES LINGUAGENS TECNOLÓGICAS NO ENSINO 
MATEMÁTICA ........................................................................................................................................ 12 
 
UNIDADE III - SOFTWARES MATEMÁTICOS E SUAS IMPLICAÇÕES NO ENSINO DA 
MATEMÁTICA ........................................................................................................................................ 18 
 
UNIDADE IV – O COMPUTADOR E O USO DA TECNOLOGIA EM MATEMÁTICA .............. 29 
 
UNIDADE V – SEQUÊNCIA DIDÁTICA ENVOLVENDO UM SOFTWARE MATEMÁTICA 
EDUCACIONAL ...................................................................................................................................... 37 
 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 54 
 
 
 
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UNIDADE I 
APRENDIZAGEM DE NOVAS TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E 
COMUNICAÇÃO NO ENSINO MATEMÁTICA 
 
 Aprender é uma ato que necessita de instrutor e ferramentas para aquisição do 
conhecimento. Por isso, a inserção de novas tecnologias da informação e comunicação (TIC) são 
bem vindas para a comunicação do conhecimento matemático. Segundo, Prado (2001): 
 
os professores de matemática precisam de saber usar na sua prática as ferramentas das 
tecnologias de informação e comunicação (TIC), incluindo software educacional 
próprio para a sua disciplina e software de uso geral .Estas tecnologias permitem 
perspectivar o ensino da matemática de modo profundamente inovador, reforçando o 
papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação e relativizando a 
importância do cálculo e da manipulação simbólica. Além disso, permitem que o 
professor dê maior atenção ao desenvolvimento de capacidades de ordem superior, 
valorizando as possibilidades de realização, na sala de aula, de actividades e projectos 
de exploração, investigação e modelação. Deste modo, as TIC podem favorecer o 
desenvolvimento nos alunos de importantes competências, bem como de atitudes mais 
positivas em relação à matemática e estimular uma visão mais completa sobre a 
natureza desta ciência. 
 
 No entanto, a educação no virtual exige novas maneiras de ensinar e aprender e para tal, é 
necessário que se perceba as potencialidades e possibilidades existentes de ensinar e aprender os 
conteúdos matemáticos é preciso entender, compreender as características, elementos e 
possibilidades existentes que as novas tecnologias de informação proporcionam. A nova 
realidade educacional permite o desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem facilitando e 
enriquecendo nesses novos e potencias ambientes virtuais de aprendizagens, potencialidades nas 
quais não se estagnam na capacidade do recurso a ser usado na Matemática, pois facilmente 
podemos combinar esses recursos e ampliarmos de forma imensurável o ensino e aprendizagem, 
independente da qualidade de ensino. 
 Fazendo uma análise esquemática as tecnologias da informação e comunicação (TIC) na 
educação possuem os seguintes aspectos: 
 
 
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 Esses aspectos junto com a Matemática potencializa a linguagem matemática, assim 
podemos definir: 
 Estratégia - é o professor traçar meios para atingir o objetivo do ensino-aprendizagem 
da Matemática utilizando ferramentas, como as tecnologias de informação (TIC) aos 
alunos; 
 
 Organização - é o ato de agrupar os conteúdos de acordo com o planejamento de cada 
unidade sendo com uma ferramenta de auxílio, no caso com a tecnologia de informação; 
 
 Capital humano – é a capacidade de conhecimentos, competências e atributos de 
personalidade consagrados na capacidade por meio do conhecimento matemático de 
modo a produzir valor social. São os atributos adquiridos por um aluno por meio da 
educação e experiência. 
 
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 Rede de aprendizagem - é a socialização do conhecimento matemático entre 
professores e alunos através da comunicação na qual ambos permutem o conhecimento. 
Promover a discussão de soluções na Matemática é habilitar os alunos a serem críticos e 
avaliar a aquisição do conhecimento. 
 
 Gestão de conhecimento - A gestão do conhecimento matemático possui ainda o 
objetivo de controlar, facilitar o acesso e manter um gerenciamento integrado sobre 
as informações em seus diversos meios. Entende-se por conhecimento matemático a 
informação interpretada, ou seja, o que cada informação significa e que impactos no meio 
cada informação pode causar de modo que a informação possa ser utilizada para 
importantes ações e tomadas de decisões. 
 
 Capacidades ICT – são as habilidades avaliadas pelo professor no aluno através do 
índice de capacidade para trabalhar em equipe. São considerados para na medição a 
capacidade de interpretar, compreender, analisar e resolver um problema matemático. 
 
 Com esses fatores, a aprendizagem da Matemática é transmitida com uma linguagem 
produtiva, de acordo com Prado (2001), isso decorre uma vez que estas tecnologias envolvem 
muitas vertentes e estão em permanente desenvolvimento, algumas escolhas têm que ser feitas na 
definição do currículo desta disciplina. Mas para além dos conteúdos, pensamos que é 
fundamental dar também grande atenção aos seus objetivos e modos de trabalho. Sendo 
aprimorada pela formação dos professores para que efetivamente produza o ensino a partir das 
tecnologias de informação e comunicação (TIC) aos alunos e sejam utilizadas constantemente. 
 Ainda o autor destaca que os estudos de investigação realizados em diversos países 
mostram que as TIC podem, na realidade, desempenhar um papel importante na educação, por 
sua vez, os professoresadquiriram o conhecimento matemático através da TIC e os alunos 
também, formando uma sociedade de conhecimento. 
 Quanto ao contexto de organização da aprendizagem com as TIC é preciso que o 
professor estabeleça a conexão entre os códigos matemáticos aos alunos a fim de obter uma 
reflexão e compreensão dos alunos, mas isso só ocorre se houver um clima de aprendizagem. O 
 
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clima de aprendizagem é o efeito consolidado durante a execução da aula de Matemática, seu 
objetivo é inserir as TIC de modo que estabeleça a comunicação e as trocas de opiniões sobre o 
conteúdo. De acordo, com o diagrama seus elementos são: 
 
 
 
 Capacidades TIC - é o desenvolvimento da tecnologia de informação a serviço da 
Matemática, na qual auxilia o professor a explorar o máximo seus recursos para serem 
aplicados em sala de aula; 
 
 Apoio do topo - é o apoio da direção, coordenação e área pedagógica para a 
implementação das TIC em sala de aula e o desenvolvimento de futuros projetos que 
auxiliem na formação do aluno. A Matemática necessita de gesticulação da parte 
pedagógica da escola junto ao professor para que aconteça a aprendizagem com as 
TIC. 
 
 
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 Modelo de colaboração – são exemplos de projetos com o uso das TIC que podem 
ser aplicados posteriormente nas aulas pelos professores ou modelos elaborados de 
como aplicar as TIC para as aulas. Na Matemática é de extrema importância o preparo 
de um plano antes de sua aplicação para que seja associado ao conteúdo. 
 
 Modelo de comunicação – é o plano de desenvolvimento das argumentações que 
deve ser abordada aos alunos no momento da exploração da aula com a utilização das 
TIC. Assim, na aula de Matemática o diálogo é um instrumento da construção do 
conhecimento. 
 
 Capital humano e competência - nessa visão a Matemática e as TIC são capazes de 
resolver através do aprendizado situações do cotidiano, a fim de preparar o aluno na 
formação social; 
 
 Redes de aprendizagem – através da permanência constate da comunicação haverá 
troca de conhecimento entre professor e aluno com a inserção das TIC no ensino da 
Matemática. 
 
 Contexto organizacional – é a união de todas as características anterior associadas à 
aprendizagem da Matemática, associando aos conteúdos e as TIC. 
 
 As tecnologias de informação são ferramentas utilizadas ao ensino da Matemática como 
calculadores, softwares, jogos eletrônicos e outros. Esses instrumentos facilitam a compreensão 
da linguagem Matemática, além disso, proporciona uma aula interativa. As atividades com as 
TIC podem proporcionar aos alunos, segundo Prado (2001): 
 (i) aprendizagem de desenvolvimento para familiarização com recursos tecnológicos; 
 (ii) aprendizagem experimental para expandir o conhecimento matemático através da 
tecnologia, e 
 (iii) aprendizagem instrucional para aplicar o que aprenderam (nomeadamente o uso de 
novo software) no desenvolvimento das atividades. 
 
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 Para o professor, segundo Prado (2001), as TIC podem proporcionar: (i) um meio 
educacional auxiliar para apoiar a aprendizagem dos alunos, (ii) um instrumento de 
produtividade pessoal, para preparar materiais para as aulas, para realizar tarefas administrativas 
e para procurar informação e materiais, e (iii) um meio interativo para interagir e colaborar com 
outros professores e parceiros educacionais. Os professores precisam saber como usar os novos 
equipamentos e software e também qual é o seu potencial, os seus pontos fortes e os seus pontos 
fracos. 
 Estas tecnologias, mudando o ambiente em que os professores trabalham e o modo como 
se relacionam com outros professores, têm um impacto importante na natureza do trabalho do 
professor e, desse modo, na sua identidade profissional. Por exemplo, ser capaz de decidir sobre 
o valor de uma variedade de recursos disponíveis para os professores e aprender a usá-los com 
desembaraço é, cada vez, mais uma parte importante do trabalho do professor. Requer, por 
exemplo, o conhecimento de como explorar software e Web sites bem como uma atitude de 
abertura e confiança no uso de computadores. 
 Portanto, podemos verificar então que as TIC no processo de ensino é uma teia de 
construções de diversos fatores, o diagrama abaixo mostra essa relação das TIC no ensino-
aprendizagem na qual sua função é de ser colaboradora nesse processo. 
 
 
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 Podemos destacar que a TIC possui as seguintes características no ensino: mediação de 
relações entre os participantes (alunos e professores), mediador de interações entre professores e 
alunos, mais eficientes nos processos de ensino e aprendizagem, necessitam de um marco 
pedagógico e práticas diferentes das atuais vividas nas escolas, é um instrumento para pensar e 
interpensar, deve passar do projeto para seu uso nas escolas, precisa de uma formação especifica 
aos professores, podem causar paradigmas quanto ao seu uso limitado de alunos e professores e 
limitada por sua disponibilização nas escolas, cria um ambiente colaborativo no momento da 
aprendizagem e pós-aprendizagem e auxilia em uma pesquisa mais profunda de um determinado 
conteúdo. 
 O processo de comunicação matemática ou teoria da informação é a primeira teoria da 
comunicação que começa a germinar no pós-guerra, no âmbito da Matemática e da engenharia 
elétrica, e ao nível das telecomunicações. 
 
 
 
 O sistema de armazenamento e recuperação da informação começa com a criação da 
informação através de fatos, ideias e imagens desenvolve-se a partir da mente para a inscrição no 
papel da informação. Na Matemática, esse processo ocorre através da comunicação matemática 
 
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quando o professor atribui aspectos para que os alunos reflitam e discutem possíveis soluções de 
um problema. 
 Após essa etapa é preciso seleciona, classificar, armazenar recuperar e usar todas as 
informações adquiridas para a solução dos problemas matemáticos. Ao reunir todos esses 
aspectos nesse processo começa a organização de todos os dados obtidos para começar a 
interpretar ou recuperar com a comunicação matemática. E por fim, o aspecto da realidade na 
qual o aluno assimila e apropria das informações transformando-os em conhecimento. 
 
 
 
 
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UNIDADE II 
USO DAS DIFERENTES LINGUAGENS TECNOLÓGICAS NO ENSINO 
MATEMÁTICA 
 
 Segundo Pardo (2001), os professores ao trabalharem com as tecnologias podem utilizar 
diferentes softwares para prevalecer um ensino com máxima compreensão dos mais variados 
assuntos da Matemática, como Números, Geometria, Trigonometria, História da Matemática, 
Probabilidades, Lógica, Funções, Derivadas, Cônicas, Sucessões e Equações. 
 Para o uso de algumas tecnologias de informação para o ensino da Matemática, Prado 
(2001) sugere que o professor pode trabalhar como os seguintes recursos para o seu 
aprimoramento e aplicação em sala de aula: 
 
 A página "O Mundo dos Fractais" (www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14), constitui um 
recurso para quem pretende conhecer aspectos da geometriafractal. Os seus autores 
fazem uma referência biográfica a Benoît Mandelbrot e apresentam uma breve explicação 
do que é um fractal, bem como a cronologia dos fractais mais representativos e que são 
apresentados na "Galeria dos fractais". Através desta galeria o utilizador tem ainda a 
possibilidade de ouvir música fractal e fazer o download de algumas peças desta música. 
Há ainda uma referência à "Teoria do Caos" e à sua relação com a geometria fractal; As 
aplicações dos fractais ao programa do ensino secundário também não foram esquecidas. 
No item "Atividades" é apresentado um conjunto de propostas de trabalho para alunos 
daquele nível de ensino. Destas, é de destacar a construção de um fractal a partir de 
cortes numa folha de papel e construção da curva de Koch recorrendo ao programa GSP. 
São ainda apresentadas outras propostas relacionadas com os fractais representados na 
“Galeria”. 
 
 A página "Triângulo de Pascal" (www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm48) destaca-se pela 
forma agradável e sugestiva como os alunos organizaram a sua apresentação, dando 
indicações, logo na abertura, do respectivo conteúdo. Esta página é dedicada não só ao 
triângulo de Pascal, como a algumas das suas propriedades relacionadas com conjuntos 
 
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de números. Assim, há referência pormenorizada à forma de encontrar no triângulo de 
Pascal os números naturais, primos, figurados, de Fibonacci, de Catalan e as potências de 
2 e de 11. É ainda mostrada a relação existente entre a estrutura do triângulo de 
Sierpinsky e os números ímpares do triângulo de Pascal. No item "Como construir" é 
apresentada a forma de construir o triângulo de Pascal. Além disso, o utilizador tem à sua 
disposição uma aplicação que, uma vez indicado o número de linhas que pretende 
visualizar, constrói o triângulo correspondente. Faz ainda parte desta página um item 
dedicado a problemas. 
 
 A página "O Mundo de Fibonacci" (www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31) contém 
informação interessante relacionada com as sucessões, sendo dado um especial relevo à 
sucessão de Fibonacci. No item "Aplicações da sucessão de Fibonacci" para além do 
problema tradicional da procriação dos coelhos, é abordada a relação da sucessão com a 
natureza, com o triângulo de Pascal e com o número de ouro. Este item apresenta, ainda, 
um conjunto de propostas de aplicação relacionadas com os programas do 8º e do 11º 
anos de escolaridade. A página inclui ainda uma secção que os alunos chamaram de 
"Fibocuriosidades" onde, entre outras coisas, é apresentado um truque com os números 
de Fibonacci. Tem, também, como sugestão de pesquisa mais aprofundada sobre o tema, 
um conjunto de links relacionados com a sucessão de Fibonacci. 
 
 Por último, referimos a página "Decomposição de Figuras e Teorema de Pitágoras" 
(www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm25), que se destina, principalmente, a professores e 
alunos do 8º ano de escolaridade. Para além de breves referências a algumas noções 
básicas de geometria, esta página tem uma forte componente gráfica ilustrativa das 
situações apresentadas. Tem uma secção dedicada aos puzzles onde é explorado o 
tangran e os pentaminós. Trata-se de uma página que privilegia a interatividade com o 
utilizador, incluindo-se frequentes animações feitas com o GSP. Os formandos 
apresentam ainda um Java Aplet que permite aos utilizadores manusear as peças do 
tangran construindo as figuras que lhe são sugeridas. Trata-se de uma página 
 
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tecnicamente muito bem conseguida e que revela uma utilização bastante sofisticada do 
software. 
 Também é de grande destaca um equipamento tecnológico que chegou recentemente no 
Brasil denominado Lousa Digital. Segundo a Wikipédia (2011), a lousa digital trata-se de um 
computador de mesa, ou desktop PC padrão conectada como seu 'monitor' (algumas opções 
diferenciadas, por fabricante, permitem a replicação de tela de notebooks). Esse equipamento é 
uma grande tela, sensível ao toque (tecnologia touchscreen), que permite que os alunos possam 
visualizar o mesmo conteúdo, havendo interação com o recurso de tela sensível ao toque, 
permitindo postar documentos na Internet, compartilhar arquivos na rede local ou enviar 
informações por e-mail. 
 No Brasil, em diferentes regiões do país a lousa digital também é conhecida como painel 
digital, quadro interativo, quadro digital e lousa interativa. A interação com a lousa digital se dá 
por meio do toque com os dedos, e em alguns modelos, o uso de canetas especiais, utilizadas 
especificamente para este fim (funcionamento digital). As informações são digitalizadas, ou na 
escolha de ícones e botões de comando, ações específicas são realizadas. O teclado é virtual, 
acionado por comando é gerado um teclado digital onde se dá a digitação das informações que se 
quer registrar (tal como num tablet). 
 Alguns fabricantes disponibilizam programas educativos, principalmente da disciplina 
Matemática, personalizados, com opções de interação e consulta on-line. São programas 
educativos, com desenvolvimento focado no ensino e aprendizagem, geralmente, aplicados para 
o Ensino Básico (ensinos fundamental e médio). O ponto positivo da lousa digital é o 
reconhecimento da maioria dos formatos de arquivos gerados pelos principais programas (Suíte 
do MS-Office, arquivos no formato WMV, JPG, entre outros), havendo apenas a necessidade de 
instalação e configuração de programas, caso não haja compatibilidade (assim como se dá no uso 
de um computador de mesa). Têm-se na lousa digital a proposta de interatividade que a Internet 
oferece, mas tendo o professor como o orientador e gestor do acesso às informações. 
 
 
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 A ideia que as novas tecnologias de informação marcam uma nova etapa na vida da 
sociedade, conduzindo a novas formas de viver, de trabalhar e de pensar. As tecnologias de 
informação (TIC) devem ser exploradas pelo professor para ser usado em sala de aula, pois 
segundo Prado (2001): 
Parte importante do conhecimento profissional dos professores diz respeito ao uso das 
TIC como ferramentas cada vez mais presentes na atividade dos professores de 
matemática constituindo, (i) um meio educacional auxiliar para apoiar a aprendizagem 
dos alunos, (ii) um instrumento de produtividade pessoal, para preparar materiais para 
as aulas, para realizar tarefas administrativas e para procurar informação e materiais, e 
(iii) um meio interactivo para interagir e colaborar com outros professores e parceiros 
educacionais. Os professores precisam de saber como usar os novos equipamentos e 
software e também qual é o seu potencial, os seus pontos fortes e os seus pontos fracos. 
Estas tecnologias, mudando o ambiente em que os professores trabalham e o modo 
como se relacionam com outros professores, têm um impacto importante na natureza do 
trabalho do professor e, desse modo, na sua identidade profissional. 
 
 Portanto, com a utilização das TIC em sala de aula, a Matemática tradicional será uma 
Matemática interativa, logística e qualitativa ao aluno e ao professor. A criação de atividades que 
proponha a resolução associada com as TIC deve ser integralmente ligada ao aspectos da 
realidade do aluno, como situações do cotidiano, compra de uma fruta com a matemática 
 
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financeira, medição de um terreno com as unidades de medidase conversão, construção de 
prédios com a geometria, etc. 
 O professor, por sua vez deve inserir essa nova metodologia e aceitar as transformações 
do ensino, criando uma perspectiva de ensino para a formação de alunos reflexivos e críticos. 
Nesse contexto, não significa o abandono total da lousa, quadro e livros e sim uma associação 
intermediária entre as tecnologias de informação para um desenvolvimento do ensino-
aprendizagem do aluno. 
 Com isso, segundo Prado (2001), as comparações do antigo método de ensino 
(tradicional) e o novo método de ensino possui diferenças nas quais: 
 
Comparações dos Métodos de Ensino 
Velhos papéis Novos papéis 
Fornecer informação Criar situações de aprendizagem 
Controlar Desafiar, apoiar 
Uniformizar Diversificar 
 
 Os velhos papéis estão ligados ao ensino tradicional com a aplicação das ferramentas 
como livros didáticos e quadro negro ou branco, enquanto os novos papéis estão relacionados a 
um ensino construtivo que hoje é muito aplicado com o auxílio das TIC. Verificamos uma total 
relação de interação entre o professor e o aluno nos novos papéis dos métodos de ensino, 
enquanto a outra não existe essa relação. Logo, as TIC têm um papel fundamental na educação e 
aprendizagem dos alunos tornando-o construtivos. 
 Quanto a escola, a sua função em relação as TIC deve ser de cooperação entre o 
planejamento e o professor, ambos tem que concordarem a importância da aplicação da TIC e 
 
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criar meios de utilizá-las. Não basta apenas adquiri-las e deixar de enfeites na escola. È preciso 
treinar o professor e os profissionais ligados a escola para que ambos conduzam o ensino e 
aprendizagem dos alunos através das TIC. 
 Além disso, é de fundamental importância ao professor, em suas aulas de Matemática, 
seguir os seguintes passos na inserção das TIC, de acordo com Prado (2001): (i) usar software 
utilitário; (ii) usar e avaliar software educativo; (iii) integrar as TIC em situações de ensino-
aprendizagem; (iv) enquadrar as TIC num novo paradigma do conhecimento e da aprendizagem; 
e (v) conhecer as implicações sociais e éticas das TIC. Ou seja, resumidamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por fim, é preciso compreender que o professor tem que ter atenção no uso das TIC no 
processo de ensino-aprendizagem tanto pode ser perspectivado no quadro de um ensino de 
matriz tradicional como pode ser encarado como um fator facilitador de um processo de 
mudança educativa (PRADO, 2001). Assim, ainda hoje, o papel do professor, em muitas 
situações é visto, sobretudo como o de fornecer informação aos alunos, controlar o discurso e o 
desenvolvimento da aula, procurando que todos os alunos atinjam os mesmos objetivos no mais 
curto espaço de tempo. 
TIC 
INTEGRAÇÃO 
UTILIZAÇÃO 
AVALIAÇÃO 
ENQUADRAMENTO 
IMPLICAÇÕES 
ÉTICAS E SOCIAIS 
 
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UNIDADE III 
SOFTWARES MATEMÁTICOS E SUAS IMPLICAÇÕES NO ENSINO DA 
MATEMÁTICA 
 
 Os softwares matemáticos são programas elaborados para aquisição e aprendizagem do 
conhecimento matemático, podendo ser trabalhado paralelamente com os conteúdos que o 
professor aplica em sala de aula aos alunos. Eles podem ser de licença livre (gratuitos) ou de 
licença privada (pagos), dependendo do software a sua aplicação pode ser no nível fundamenta, 
médio ou superior. 
 Dentre os softwares, segundo a tabela podemos destacar (SANTOS et al., 2010): 
 
Softwares de código aberto, gratuitos ou livres de matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 De acordo com Santos et al. (2010), os softwares listados abaixo são de licença livre e 
atendem ao ensino da Matemática, entre eles temos: 
 
1) Calc 3D: é um conjunto de ferramentas matemáticas disponíveis em duas versões – Calc 3D 
Standard e Professional. As funções são praticamente as mesmas, porém, somente a versão 
Standard está disponível em português. O Calc 3D Standard permite a manipulação de ponto, 
reta e plano, além de realizar cálculos vetoriais, matrizes, coordenadas, números complexos 
(CALC3D, 2010). Endereço para download: http://www.calc3d.com/pdownload.html ou 
http://www.calc3d.com/zip/Calc3D.exe. 
 
Instalação: Digitar o endereço para download, salvar o arquivo no disco rígido e em seguida 
clicar duas vezes sobre ele para iniciar a instalação. Clicar na opção next a medida em que for 
aparecendo até a conclusão da instalação. A primeira vez que iniciar o software, deverá ser feito 
o registro. No campo username colocar "Now Freeware", No campo key: digitar o código "6029-
9275-8747-8359". Documentação e tutorial: http://www.calc3d.com/help/en/pindex.html. 
 
2) Geogebra: é um software de matemática dinâmico para se utilizar em ambiente de sala de 
aula, que reúne aritmética, geometria, álgebra e cálculo (GEOGEBRA, 2009). Projeta-se o 
desenho de figuras como pontos, vetores, curvas, parábolas e também é possível trabalhar com 
derivadas e represente funções matemáticas mediante gráficos. Endereço para download: 
http://www.geogebra.org. 
 
Instalação: duas opções: a) Botão “Webstart” onde a instalação será automática, identificando o 
sistema operacional presente no computador ou b) Botão “Download” onde tem-se a opção de 
escolha do sistema operacional (Windows 95/98/98SE/Me/2000/NT/XP, MacOS X ou Linux) e 
a possibilidade de salvar o software em uma pasta para posterior instalação. Documentação e 
Tutorial: http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/index.html ou http://geogebra.softonic. 
com.br/ ou 
http://mandrake.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/grupos/pri_igor/tutorial_geogebra.htm. 
Manuais: http:// didisurf.googlepages.com/. 
 
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3) Kmplot: é um software livre para desenhar gráficos e funções. Pode ser usado para desenhar 
as funções cartesianas, paramétricas e as funções nas coordenadas polares. Para quem deseja 
salvar os resultados em arquivos no disco, o Kmplot trabalha com os formatos BMP, PNG e 
SVG (KMPLOT, 2010). Os cálculos de integração e derivação, de primeiro e segundo graus, são 
outra funcionalidade bastante interessante do programa. Após serem calculados, eles são 
impressos graficamente na tela. Endereço para download: http://tucows-linux.up.pt/files/kmplot-
0.3.tgz . 
 
Instalação: Efetuar o download do pacote .tgz, realizando um duplo-clique sobre o arquivo para 
descompactá-lo e, logo em seguida, efetuar um duplo-clique para instalá-lo. Documentação e 
Tutorial: http://www.kde.org/announcements/announce-4.0.3-pt_BR.php. 
Manual: http://docs.kde.org/stable/pt_BR/ kdeedu/kmplot/index.html . 
 
4) Kseg: pode ser usado em sala de aula para exploração de geometria. É um programa com fins 
educativos que traz várias ferramentas especiais para explorar o mundo da geometria euclidiana 
(BARAN, 1999). Endereço para download: http://www.mit.edu/~ibaran/kseg.html ou 
http://objetoseducacionais2. mec.gov.br/handle/mec/10488. 
 
Instalação: acessar o segundo link, ir até o final da página e clicar em “download”, escolher a 
opção “salvar” e indicar a pasta. O arquivo kseg-0.401.zip será salvo na pasta indicada. Em 
seguida, clicar no arquivo, descompactá-lo e clicar no arquivo executável, a instalação será 
imediata. Documentação e Tutorial: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10488.5) Maxima: trata-se de um sistema de álgebra computacional para manipulação de expressões 
simbólicas e numéricas, incluindo a diferenciação, integração, série de Taylor, transformações de 
La Place, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, polinomiais, séries, 
listas, vetores, matrizes (TORRES, 2009). Endereço para download: http://sourceforge. 
net/project/showfiles.php?group_id=4933. 
 
 
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Instalação: o código fonte pode ser compilado nos sistemas Windows, Linux e MacOSX. A 
instalação é simples, basta clicar no botão verde “Download Now Máxima-5.20.1.exe”. O 
software com a versão 5.20-1 será instalado automaticamente no computador. Se preferir 
escolher o sistema operacional, no final da página existem os arquivos para download referente a 
cada sistema. Documentação e Tutorial: http://maxima.sourceforge.net/documentation.html ou 
http:///www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/ maxima/042290Bruno.pdf. Manuais: 
http://www.ime. unicamp.br/ ~marcio/ss2006/grupo10.pdf. 
 
6) Octave: programado inicialmente para cálculo numérico, fornece uma linha de comando 
para resolução de problemas lineares e não-lineares numericamente. Possui ferramentas 
extensivas para a resolução de problemas lineares numéricos de álgebra, cálculo aproximado de 
raízes de equações não-lineares, funções ordinárias, polinômios, integrais, integração numérica, 
equações diferenciais ordinárias e diferenciais-algébricas (GNU, 2010). Endereço para 
download: http://www.gnu.org/software/ octave/download.html ou 
http://octave.en.softonic.com. 
 
Instalação: acessando o segundo link, basta clicar no botão “Download” e escolher a opção 
“Salvar”, definindo uma pasta para salvar o arquivo Octave-3.2.2.exe. Após, clicar neste arquivo 
e a instalação será imediata. Documentação e Tutorial: http://www.gnu.org/software/octave/doc/ 
interpreter. Manuais: http://manual-de-instrucoes.com/marca-manual-de-instrucoes/OCTAVE. 
 
7) Régua e Compasso: as construções feitas com o "Régua e Compasso" permitem que o aluno 
(ou o professor) possa testar suas conjecturas através de exemplos e contra-exemplos que ele 
pode facilmente gerar. Uma vez feita à construção, pontos, retas e círculos podem ser deslocados 
na tela mantendo-se as relações geométricas (pertinência, paralelismo, etc.) previamente 
estabelecidas (BORTOLOSSI, 2009). Também conhecido como C.a.R (Compasses and Ruler) 
foi criado por René Grothman. Endereço para download: 
http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/ ou http://zirkel.sourceforge.net. 
 
 
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Instalação: fazer o download e instalar o arquivo executável car.exe (4.6 Mb). Para fazer com 
que o programa rode sempre em português, basta baixar o arquivo zirkel.jar (1.4 Mb) e salvá-lo 
no diretório onde o C.a.R. foi instalado (tipicamente C:\Arquivos de Programa\JavaCar ou 
C:\Program Files\JavaCar), substituindo o arquivo de mesmo nome já existente. Documentação e 
Tutorial: http://zirkel.sourceforge.net ou http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/. 
 
8) Scilab: ambiente voltado para o desenvolvimento de software para resolução de problemas 
numéricos. O software permite manipulação com matrizes, polinômios, razões de polinômios, 
funções de transferência, equações de estados. Possui funções primitivas básicas para álgebra 
linear, soluções de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), otimização, controle automático, 
processamento de sinais, etc. Fornece ao usuário a possibilidade de criar e usar novas funções, 
possibilitando o desenvolvimento de programas especializados que podem se integrar no pacote 
do Scilab de forma simples e modular (bibliotecas). Endereço para download: 
http://www.scilab.org. 
 
Instalação: Botão “Download Scilab 5.2.0”, instala automaticamente a versão 5.2.0, 
identificando o sistema operacional presente no computador. Documentação e Tutorial: 
http://www.rau-tu. unicamp.br/scilab/read.php?tid=2 ou http://scilabsoft.inria.fr/doc.html. 
Manuais: http://www.dca.ufrn. br/~pmotta e http://www.scribd.com/doc/23215202/Apostila-de-
Scilab-Scicos-aplicada-aproblemas-de-engenharia-quimica-COBEQ-2004. 
 
9) WinGeon: permite a construção de figuras bidimensionais e tridimensionais. Foi 
desenvolvido por ichard Parris da Phillipas Exeter Academy. Endereço para download: 
http://math.exeter.edu/rparris/ wingeom.html. 
 
Instalação: ao acessar o link, clicar em “Wingeon”, escolher a opção “salvar” e identificar o 
destino para salvar o arquivo Wg32z.exe. Em seguida, clicar neste arquivo e a instalação 
começará imediatamente. Documentação e Tutorial: 
http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html. 
 
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Manuais: http://math.exeter. edu/rparris/peanut/Explorando%20Wingeom%20-%20Vol%201.pdf 
e http://www.scribd.com/doc/67434 19/Wingeom-basico-Univap ou 
http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_ diversas/ativ_wingeo1/ wingeom.html. 
 
10) Winplot: é um software livre elaborado por Richard Parris, da Phillips Exeter Academy. 
Possui a vantagem de ser simples, utiliza pouca memória, dispõe de vários recursos que o tornam 
útil para os diversos níveis de ensino-aprendizagem. É um software para plotar gráficos em 2D e 
em 3D de funções trigonométricas, funções trigonométricas inversas, funções hiperbólicas, 
funções definidas por várias sentenças, etc. Endereço para download: http://math.exeter. 
edu/rparris . 
 
Instalação: Clicar em “Winplot”, em seguida abrirá uma janela para fazer o download do 
arquivo wppr32z.exe, basta salvá-lo em um diretório e a partir do gerenciador de arquivos, dar 
um duplo clique no referido arquivo, começando o processo de descompactação do arquivo. A 
versão em português pode ser obtida enviando um e-mail para Adelmo Ribeiro de Jesus - 
(adelmo.jesus@unifacs.br) autor da versão do software em português. Documentação e Tutorial: 
http://www.gregosetroianos.mat.br/softwinplot.asp. 
Manuais: http://www.mat.ufpb.br/~sergio/inplot/ winplot.html . 
 
 Mas apesar de todos esses recursos serem gratuitos existe a implicação por parte, 
principalmente dos professores em utiliza-los. Pois: 
[...] o emprego do computador no processo pedagógico, assim como o uso de qualquer 
tecnologia, exige do educador uma reflexão crítica. Refletir criticamente sobre o valor 
pedagógico da informática significa também refletir sobre as transformações da escola e 
repensar o futuro da educação (HAIDT, 2001, p.215). 
 
 Muitos se questionam sobre a implantação da informática na área educacional. Entretanto 
pode-se afirma que não vê o porquê de não utilizá-la, pois através dela se realiza pesquisas, 
simulações, ela também nos proporciona momentos de entretenimento. Cabe, portanto, a quem 
vai utilizá-la para fins educacionais, definir qual objetivo se quer atingir. 
 Segundo Prado (1997), para as escolas e para muitos professores, as novas tecnologias 
continuam a ser um corpo estranho, que provoca, sobretudo, incomodidade. O receio de ficar 
 
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para trás tem levado a investir na compra de equipamentos, mas, se efetuarmos o ensino das 
próprias tecnologias de informação, pouco partido se tira da capacidade instalada para a 
atividade normal de ensino-aprendizagem das diversas disciplinas. Os efeitos profundos que 
estas tecnologias têm tido em numerosas esferas de atividade social tardam a surgirinstituição 
educativa. É preciso perguntar, porquê? 
 De acordo com o autor, a escola que ainda não foi por esta completamente interiorizada. 
A missão fundamental da escola já não é a de preparar uma pequena elite para estudos superiores 
e proporcionar à grande massa os requisitos mínimos para uma inserção rápida no mercado de 
trabalho. Pelo contrário, passa a ser a de preparar a totalidade dos jovens para se inserirem de 
modo criativo, crítico e interveniente numa sociedade cada vez mais complexa, em que a 
capacidade de descortinar oportunidades, a flexibilidade de raciocínio, a adaptação a novas 
situações, a persistência e a capacidade de interagir e cooperar são qualidades fundamentais. 
 Para os professores de Matemática, esta nova missão tem consequências fundamentais a 
dois níveis: na sua visão da Matemática e na sua visão do papel do professor. O trabalho com as 
novas tecnologias envolve muitos imprevistos de ordem técnica (computadores avariados, 
problemas com o servidor local, problemas a nível da rede e das comunicações com o exterior). 
Estes problemas, por vezes, perturbaram o desenvolvimento das aulas, obrigando a alterar o que 
estava previsto. O surgimento destes imprevistos, o tempo requerido para trabalhar nas aulas as 
questões relativas à Internet e o tempo que os futuros professores necessitaram para desenvolver 
as suas páginas indicam a necessidade de um cuidado planejamento numa disciplina deste tipo. 
 Em particular, a escola coloca desafios muito específicos relativamente ao papel do 
professor. O seu uso requer uma grande atenção ao desenvolvimento do espírito crítico dos 
alunos. A utilização da Internet pode remeter para uma simples lógica de consumo (da 
informação nela disponível) como envolver também uma lógica de produção (de informação, de 
materiais, de documentos que podem por sua vez ser transformados por toda uma comunidade de 
utilizadores). É precisamente a exploração das potencialidades desta segunda lógica para a 
aprendizagem e a formação que constitui a ideia orientadora da disciplina que serve de base ao 
presente estudo. 
 As TIC não são apenas ferramentas auxiliares de trabalho. Senso um elemento 
tecnológico fundamental que dá forma ao ambiente social, incluindo o ensino da matemática. 
 
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Como tal, influenciam a evolução do conhecimento e da identidade profissional do professor de 
matemática. Os futuros professores precisam desenvolver confiança no uso destas tecnologias e 
uma atitude crítica em relação a elas. Precisam ser capazes de as integrar as nas finalidades e 
objetivos do ensino da matemática. 
 A tarefa dos programas de formação não é ajudar os futuros professores a aprender a usar 
estas tecnologias de um modo instrumental, mas considerar como é que elas se inserem do 
desenvolvimento do seu conhecimento e identidade profissional. O currículo desta disciplina 
proporciona aos futuros professores experiências aprofundadas de trabalho em projetos 
envolvendo as TIC, mas outros contextos de trabalho precisam de ser criados, tomando em 
consideração outros aspectos destas tecnologias em rápida expansão, especialmente o seu 
potencial para interações e trabalho colaborativo à distância. 
 De acordo com Cândido e Rodrigues (2010), existe outro agente importante na 
implantação das TIC: os pais dos alunos. Eles também precisam apoiar essa novidade. Alguns 
pais pensam que a didática tradicional é eficiente, desconsiderando o uso das TIC. O apoio é 
muito importante. Em contra partida “[...] o precário envolvimento dos pais e sua visão sobre o 
trabalho didático pedagógico podem atrapalhar seu andamento e até implicar sua interrupção. 
Isso é mais grave em escolas particulares, em que os pais exercem maior influência”. 
 Assim cria-se um ruído no sistema de ensino aprendizagem para os alunos em relação a 
disciplina Matemática. O ruído a interferência por um desses motivos anteriores, na qual a 
aprendizagem do aluno não é transmitida, de acordo com o diagrama abaixo temos uma visão 
plena da interferência nesse processo: 
 
 
 
 
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 Portanto, segundo Cândido (2010), esse processo ocorre também pelo fato de que para 
muitos professores, o computador é um mito, ou seja, existe a ideia de que ele é um instrumento 
muito poderoso e que exige pessoas altamente qualificadas para manuseá-lo, o que provoca 
medo, insegurança e calafrios no primeiro contato. Há o medo do desconhecido, medo de 
mostrar incompetência perante os colegas, medo de danificar a máquina e causar prejuízos, medo 
de não conseguir desenvolver as competências em informática. Outro motivo é a falta de 
incentivo. Não há um apoio à mudanças, mas sim, um comodismo. Prefere-se continuar na 
rotina, a fazer inovações. É preciso que, em nível de escola, o professor seja motivado a 
organizar e desenvolver atividades com o computador como enfatiza. 
 Consideram que os sistemas computacionais educativos para a matemática no ensino 
fundamental têm os seguintes objetivos: ser fonte de informação, auxiliar o processo de 
construção de conhecimentos, desenvolver a autonomia do raciocínio, visualizar, refletir e criar 
soluções. No caso particular da geometria, assunto abordado neste trabalho, a visualização dos 
conceitos geométricos é fundamental não apenas pelo seu próprio valor, mas também porque os 
tipos de processos mentais que estão envolvidos para tal aprendizagem são necessários para o 
desenvolvimento das estruturas de pensamento e podem também transferir-se para outras áreas 
de conhecimento da Matemática. 
 Procuramos destacar a importância do uso de figuras na indução do raciocínio formal e a 
facilidade que o uso de softwares educacionais pode oferecer quando se tem interesse no 
fortalecimento da compreensão de resultados. Procuramos também mostrar que o uso de 
softwares pode, e em geral consegue, instigar os estudantes, abrindo perspectivas de 
investigações e busca de resultados que são induzidos pelas construções dinâmicas. Não fazemos 
a apologia da não-demonstração, mas destacamos a importância do convencimento, ainda que de 
maneira informal. Temos que ter o cuidado ao se utilizar qualquer tipo de recurso, seja 
tecnológico ou não, por exemplo, o computador ou o lápis, para que seu uso não cause 
dependência e consequentemente não tenha o devido valor. 
 Mesmo hoje contando com diversos recursos tecnológicos, alguns professores não fazem 
uso destes e um dos motivos é o medo. Pensam que não irão saber utilizar esse novo instrumento 
de trabalho. Por outro lado é importante enfatizar que a tecnologia não ocupará o lugar do 
professor, será apenas um meio pelo qual o saber será construído. Sem o professor é impossível 
 
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chegar ao objetivo almejado, que é fazer com que os aprendizes, além do conhecimento, 
adquiram afeição pelos estudos. A presença do professor é fundamental para que este oriente as 
atividades propostas, e que seus alunos não desviem o foco da aula. Como aborda Cândido 
(2010), o professor não será substituído pelo computador. O que ocorrerá é uma mudança de 
postura em relação ao processo ensino–aprendizagem, complementando esta visão. Penteado 
apresenta que o computador não substituirá o ser humano, mas sim o complementará e 
reorganizará a forma como se pensa e se age. 
 A implicação da utilização das TIC requer uma comunhão da escola, professores, alunos 
e a família dos alunos. Uma vez que, o conhecimento só é adquirido se for aceito e aplicado para 
a formaçãodo indivíduo. Assim o papel fundamental das TIC no ensino da Matemática é 
auxiliar em uma aprendizagem facilitadora e interativa ao aluno e ao professor, sem causar danos 
as metodologias de ensino. 
 Se os professores inserirem as TIC terão nas aulas de Matemática traçar um planejamento 
reflexivo na qual temos as seguintes condições: 
 
 
 
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 Portanto, para que amenize o problema de implicações com entre os professores e os 
softwares matemáticos a escola precisa: 
 
• Criar uma disciplina específica “geral”, que ensine como utilizar novas tecnologias, pois 
nem todos têm acesso ao computador e muito menos a Softwares Educativos - “Inclusão 
Digital”; 
• Aumentar a carga horária das disciplinas relacionadas à Softwares; 
• Capacitar os professores; 
• Utilizar as novas tecnologias não apenas como complemento, mas como um dos 
instrumentos para a aquisição de conhecimento. 
• Ter aulas práticas, pois o aluno não consegue assimilar os conceitos apenas visualizando 
o que é feito pelo professor; 
• Trazer atividades contextualizadas proporcionando uma aprendizagem significativa, 
para que os alunos não se tornem um mero apertador de teclas. 
 
 
 
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UNIDADE IV 
O COMPUTADOR E O USO DA TECNOLOGIA EM MATEMÁTICA 
 
 O computador tem a importante missão de além de ser uma tecnologia de informação, 
compartilhar seu conhecimento nas aulas de Matemática, construindo uma relação de 
aprendizagem entre os alunos e os professores. 
 Com isso, segundo Prado (1997) a Matemática é agora chamada a dar um contributo 
essencial para aprender a interrogar, conjecturar, descobrir e argumentar raciocinando sobre 
objetos abstratos e relacionando-os com a realidade física e social. Não é para reforçar a 
aquisição dos conhecimentos e técnicas em grande parte já obsoletos, mas para desenvolver 
novas competências e capacidades que é preciso usar as novas tecnologias, sejam calculadoras, 
computadores, sistemas multimídia ou a Internet. 
 Além disso, a Matemática, como ciência, sempre teve uma relação muito especial com as 
novas tecnologias, desde as calculadoras, os computadores, aos sistemas multimídia e à Internet. 
No entanto, os professores (como, de resto, os próprios matemáticos) têm demorado a perceber 
como tirar partido destas tecnologias como ferramenta de trabalho. 
 O grande desafio que elas põem hoje em dia à disciplina de Matemática é saber se esta 
conseguirá dar um contributo significativo para a emergência de um novo papel da escola ou se 
continuará a ser a parte mais odiosa do percursos escolar da grande maioria dos alunos. 
(PRADO, 2001). Assim, o computador no ensino da Matemática possui as seguintes ênfases: 
 
 Ferramenta eficiente para ensinar – o computador é um forte aliado para o ensino 
e a aprendizagem dos alunos que possui déficit na disciplina Matemática, além da 
busca da inovação nas aulas. 
 
 Adaptação à realidade maior – a interação do computador com a aula de 
Matemática pode provocar a sensação de satisfação e interesse dos alunos, uma vez 
que é preciso lidar com o conhecimento tecnológico no seu dia-a-dia e além disso, 
auxilia na formação do indivíduo para a sociedade. 
 
 
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 Quebra de paradigma – ao aliar o ensino da Matemática com o computador, o 
professor descartar a possibilidade de voltar a aula tradicional para se tornar uma 
aula construtiva aos alunos. A tríade o computador, o software e o aluno constituem 
uma associação na busca de soluções das dúvidas pelos alunos no ensino da 
Matemática e o computador via software ensinando o aluno é a busca de um software 
que se enquadre ao conteúdo que o professor ministre em sala de aula. 
 
 Nova paradigma – a associação do computador com a Matemática é uma maneira 
de construir alunos reflexivos e críticos. A tríade o computador, o software e o aluno 
constrói o diálogo entre professor e alunos e o computador via software ensinando o 
aluno é a exploração dos recursos do software e a promoção de desafios com 
atividades no ensino da Matemática. 
 
 Logo, associado ao um diagrama temos: 
 
 
 
 
O ENSINO DA MATEMÁTICA COM O COMPUTADOR 
 
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 Gonçalves (2003) afirma ainda que, ao fazer a escolha do software é preciso fazer 
algumas considerações, como por exemplos: 
 
 Quanto ao conteúdo, ou seja, se este atende às necessidades de seu objetivo curricular 
e se tem relevância pedagógica; 
 
 Se o software permite modificações a fim de atender às necessidades individuais dos 
alunos, se é autossuficiente ou ele precisa da intervenção do professor, se pode ser 
utilizado em várias situações de sala de aula (individual, pequeno ou grande grupo), se os 
softwares possibilitam diferentes formas de aprendizagem (visual, auditiva, numérica, 
verbal); 
 
 Na operação do software, como é tratado o erro dos usuários, qual o controle que o 
usuário tem da operação do software, se existe um bom manual tanto para o professor 
como para o aluno e se o software usa as capacidades gráficas, sonoras e de cor. 
 
 Outro fator importante observar que existem alguns aspectos técnicos que devem ser 
considerados na escolha de um software (GONÇALVES, 2003): 
 
 Apresentação clara de objetivos e indicação das possibilidades de uso; 
 Adequação ao equipamento disponível nos respectivos ambientes de ensino; 
 Facilidade de instalação e desinstalação; 
 Interativo em relação a diferentes opções de manuseio; 
 Oferecimento de recursos multimídias; 
 Fornecimento do manual de utilização; 
 Compatibilidade e integração com outros softwares e hardware; 
 Layout que facilite a utilização do software; 
 Atualização de conteúdo via Internet. 
 
 
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 Com a computador e o software, o ensino da Matemática possui dois ciclos para a 
aquisição da \aprendizagem. O primeiro ciclo corresponde a troca de conhecimento entre o 
computador, softwares, professor e alunos em que se estabelece uma rede de aprendizagem, 
como mostra o diagrama abaixo. 
 
 
1° Ciclo -Relação do ensino da Matemática com o computador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O segundo ciclo se refere a troca de informações entre os próprios alunos, com os 
professores e entre os próprios professores do conhecimento matemático adquirido pelo software 
tornando uma aprendizagem continua, na qual há uma intensa relação da aprendizagem através 
do diálogo. A seguir temos a representação por diagrama desse ciclo: 
 
 
Computador 
 
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2° Ciclo -Relação do ensino da Matemática com o computador 
 
 
 Deste modo, o computador com o ensino na Matemática baseia-se na perspectiva 
que o processo de apropriação do conhecimento pelos alunos são adquiridos sobre uma nova 
ferramenta e uma linguagem – neste caso, a exemplo das TIC com ênfase na Internet como meio 
de produção e expressão – poderia assentar em dois tipos principais de atividade: a exploração de 
materiais e recursos e a realização de um projeto. De acordo com Prado (2001), estas atividades 
envolveram: (i) momentos deprática, em que os professores trabalharam em tarefas propostas 
para os alunos ou realizaram tarefas específicas da sua iniciativa, (ii) momentos de discussão, 
quer a nível do grupo de alunos, quer entre o grupo e o professor, quer a nível de toda a turma e 
(iii) momentos de criação, concebendo e desenvolvendo um projeto de alcance educativo 
envolvendo a prática. 
 O ensino da Matemática com o computador só ocorre mediante a etapas da educação, o 
aluno só compreenderá sua funcionalidade se passar pelas seguintes etapas: 
 
COMPUTADOR 
 
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Etapas para a aprendizagem Matemática 
 
 
 Portanto, o ensino da Matemática só será viável se o aluno estiver compreendido a etapa 
de alfabetização e interpretação como primeiro passo e logo em seguida a compreensão da 
Matemática com resolução de problemas. E por fim com essas duas etapas, o professor pode 
inserir as novas tecnologias como um instrumento interdisciplinar aos alunos para uma aquisição 
do conhecimento. 
 Além do computador podemos inserir a lousa eletrônica, calculadora, TV, vídeos, etc. 
como forma de tecnologias a serem aplicados. O professor não pode esquecer que todas as 
tecnologias tem que serem provenientes de uma associação entre as TIC e o conteúdo a serem 
aplicados em sala de aula. Assim, podemos ver que as funções das TIC no ensino da Matemática 
são: 
 
 
 
 
 
 
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 As Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) na Matemática permite a busca de 
evidencias, a aplicação prática, efetuar escolhas e impulsionar novas relações. Essas funções só 
são desenvolvidas se houver a interligação entre o conteúdo da Matemática e as TIC. Podemos 
definir essas funções como: 
 
 A busca de evidências – o objetivo dessa função é desenvolver sistematização de 
critérios na qual o professor através de uma atividade com o uso das TIC com grupos de 
alunos buscam as soluções e as dúvidas relacionadas ao conteúdo matemático. 
 
 Aplicação prática – significa a transposição de situações do cotidiano em forma de 
problemas junto com os conteúdos matemáticos, através de um plano de aula o 
professor desafia os alunos a visualizar a Matemática não só na teoria, mas também na 
prática. 
TECNOLOGIA DE INFORMAÇÃO -TIC 
 
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 Efetuar escolhas – para o desenvolvimento das TIC para a resolução de problemas 
matemáticos é preciso a escolhas de métodos, na qual o professor deve orientar novas 
buscas e assim aprofundar o conhecimento para uma melhor compreensão da 
Matemática. 
 
 Impulsionar novas escolhas – o objetivo dessa função é tentar despertar nos alunos 
com o uso das TIC, além de solucionar problemas do cotidiano proposto, os alunos 
podem fazer descobertas através de leituras e desenrolar as informações realizadas. 
Outro aspecto que o professor pode desenvolver com as TIC nos alunos é modificar 
conhecimentos iniciais da Matemática em um conhecimento com compreensões 
coerentes e originais e métodos organizados. 
 
 Portanto a ampliação do conhecimento matemático pode ser ampliada com o uso de 
tecnologias e principalmente do computador, já que, ensinar é um ato de transmitir 
conhecimento. Cabe apenas ao professor adequar-se com qualificação e didática renovadora, sem 
restrições de seu uso. 
 
 
 
 
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UNIDADE V 
SEQUÊNCIA DIDÁTICA ENVOLVENDO UM SOFTWARE 
MATEMÁTICA EDUCACIONAL 
 
 A sequência didática, segundo Haruana (2000) é um termo em educação para definir um 
procedimento encadeado de passos ou etapas, para tornar mais eficiente o processo de 
aprendizado ou um conjunto sistematizado de atividades ligadas entre si, planejadas das para 
ensinar um conteúdo etapa por etapa. Essa proposta envolve atividades de aprendizagem e 
avaliação, organizadas de acordo com os objetivos que o professor quer alcançar. 
 A sequência didática é constituída por tópicos para a construção do conhecimento, esses 
tópicos são essenciais para o desenvolvimento do conteúdo, que são: 
 
 Objetivos – é a finalidade na qual quer se atingir com um conteúdo que será abordado em 
sala de aula pelo professor, podendo ser geral, que abrange todo o conteúdo, ou 
específico que, abrange por níveis para cumprimento do conteúdo. 
 
 Conteúdos – é o assunto ou tema esquematizado em um planejamento anual de cada 
unidade ou ciclo de ensino, na qual através do livro didático o professor seleciona junto a 
área pedagógica os conteúdos de relevância para aprendizagem de uma determinado ano. 
 
 Tempo estimado - é o período da execução da aula, estabelecida de modo equivalente 
para todas as disciplinas, de acordo com a carga horária estabelecida pelo Ministério da 
Educação. 
 
 Material necessário – é a disponibilidade de instrumentos que a escola possui para que 
alunos e professores utilizam-nos como forma de aprendizagem, como, livros, 
computadores, lunetas, microscópios, etc. 
 
 
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 Desenvolvimento – é a fase que o professor deve proporcionar o conhecimento para que 
o aluno consiga resolver os problemas propostos, avalia-los quanto à habilidade e a 
escrita e expor os resultados obtidos; 
 Produção Final - é o resultado obtido com a aplicação do conhecimento associado a 
realidade do aluno para a resolução de um problema ou atividade proposta pelo professor. 
Assim, o professor analisará as características que levam os alunos a adquirir ou não o 
conhecimento matemático. 
 
 Avaliação – é um processo que o professor deve ser analisado através de observações, 
interpretações, domínio e opiniões do aluno, utilizando de forma escrita ou oral. 
 
 Ao organizar uma sequência didática, é preciso preparar detalhadamente cada uma as 
etapas do trabalho que são: 
 
 Compartilhar a proposta de trabalho com os alunos: é importante explicar o trabalho 
passo a passo. Apresentar o que será estudado e comentar as atividades que serão 
desenvolvidas. Organize com a turma um plano de ação, anotando e um cartaz cada 
etapa da proposta. 
 
 Mapear o conhecimento prévio dos alunos: Nesta etapa, os alunos conversam sobre o 
que conhecem sobre o assunto que será trabalhado. 
 
 Desenvolver atividades que proporcionem a ampliação do repertório dos alunos: de 
posse do mapeamento dos alunos – informação precisa para avaliar em que ponto está a 
turma – o professor elabora um conjunto de atividades de leitura, escrita e oralidade, o 
mais diversos possível. É fundamental oferecer bons e variados textos aproximando a 
turma do assunto estudado. Essa diversidade de propostas amplia a possibilidade deêxito 
dos alunos. 
 
 A sequência didática é um processo expansivo como mostra o esquema abaixo: 
 
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 O trabalho com a sequência didática com o uso de um software podem ser utilizadas em 
vários ciclos do ensino para que os alunos tenham uma ampliação do conhecimento teórico e 
prático dos conteúdos matemáticos. O professor deve elaborar uma sequência didática 
explorando o registro figural, discursivo e numérico, com tratamentos pertinentes num mesmo 
registro e as várias faces pela qual poderão os alunos verem o conteúdo e propondo novas 
atividades para serem desenvolvidos e avaliado o conhecimento matemáticos dos alunos. 
 Um exemplo de elaboração de uma sequência didática que os professores de Matemática 
podem seguir é utilizando o software Cabri-Geometry II junto com o material de apoio 
pedagógico e instrumentos do desenho (régua, transferidor, lápis, compasso, esquadro e papel) 
abordando o assunto geometria plana para os alunos do 9° do ensino fundamental. 
 
 As etapas que o professor deve seguir são: 
 
1º passo: Mostrar a História da Geometria e do Cabri-Geometry 
 
 A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, apesar dos gregos não 
possuir domínios com a álgebra, aperfeiçoada pelos egípcios e árabes, dessa maneira a geometria 
possui diversos tipos, como a Geometria Euclidiana e a Geometria Analítica. 
 A geometria Euclidiana já era de conhecimento no Egito antes do século III a.C. para a 
medição de terrenos, construções de pirâmides e manejamento no ensino das constantes, como o 
Pi. Atraindo matemáticos de outras regiões do mundo, como Tales de Mileto e Pitágoras ao 
Egito para saberem as novidades em matéria de ângulos e linhas. Mas foi Euclides que tornou a 
geometria a matéria das mais formidáveis, com as obras Elementos e mais tarde Postulado das 
Paralelas, por volta do século III a.C. 
 Somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão 
criativa com a geometria. Um dos grandes descobridores, Pierre de Fermat contribuiu para a 
introdução de planos e sólidos, com a obra Introdução aos Lugares Planos e Sólidos, publicado 
em 1636 e Descartes, o criador da Geometria Analítica, com a sua obra: A Geometria como um 
dos três apêndices do discurso do método, em 1637, superando Fermat nas notações algébricas. 
(DOMINGUES, 1998). 
 
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 O Cabri-Geometry II é um software que permite construir todas as figuras da geometria 
elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um compasso, afim de uma 
manipulação dinâmica e imediata da figura da figura, desenvolvido por J. M. Laborde, Franck 
Bellemain e Y. Baulac, no Laboratório de Estruturas Discretas e de Didática da Universidade de 
Grenoble, em 1994, considerados umas das importantes ferramentas para o ensino da Geometria 
nas Instituições Educacionais. 
 O objetivo é demonstrar aos alunos a repercussão da Geometria e Cabri-Geometry II 
desde a sua criação até os tempos atuais. 
 
2º passo: Utilizar as Noções Básicas da Geometria: 
 
 Neste contexto abordaremos os conceitos fundamentais da Geometria, como o ponto, a 
reta, o plano etc., para a ampliação do conhecimento e a representação geométrica com o uso do 
Cabri-Geometry II aos alunos. 
 
Reta, Ponto e Plano: 
 
a) Definição: Segundo Dolce e Pompeo (1997) consideram que a reta, o ponto e o plano são 
adotados sem definição, mas são representadas da seguinte forma: 
 
 Ponto – letras maiúsculas latinas: A, B, C,... 
 Reta – letras minúsculas latinas: a, b, c,... 
 Plano – letras gregas minúsculas: , , ,... 
 
Notações Gráficas (N.G.1): Para a construção no Cabri-Geometry II da reta, do ponto e do 
plano é necessário seguir os seguintes passos e mostrar aos alunos: 
 
 Ponto – Na caixa de ferramentas Pontos selecione o item ponto e dê um clique utilizando 
o lápis na área de trabalho (em branco) e será representado um ponto. Para nomeá-lo, selecione a 
caixa de Ferramenta Mostrar e selecione a opção Rótulo e arraste a seta do “mouse” para cima 
 
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do ponto que será exibida a frase: “este ponto” e dê um clique, insira a letra desejada e selecione 
a caixa de ferramenta Ponteiro para posicionar o ponto ou a letra que representa o ponto. 
 
 Reta - Na caixa de ferramentas Retas selecione o item Reta, clique na área de trabalho 
para escolher ou criar o ponto de origem da reta, arraste o lápis até determinar a inclinação e a 
tamanho da reta, depois nomeie as extremidades (pontos) da reta com a caixa de ferramentas 
Mostrar na opção Rótulo, mostrada no item anterior. 
 
 Plano – Na caixa de ferramentas Retas, selecione a opção Polígonos, clique na área de 
trabalho para iniciar o desenho do plano, arraste o lápis ligando os quatro ou três pontos não 
colineares, em seguida nomeie os pontos e o plano com a caixa de ferramentas Mostrar na opção 
Rótulo, mostrada no item ponto. 
 
 
 
 O ponto P A reta r O plano  
 
 O objetivo dessa demonstração desses conceitos é demonstrar a construção desses 
elementos geométricos aos alunos. 
 
b) Postulado de Existência, Inclusão e Determinação: Em relação aos postulados ou axiomas são 
aceitos sem demonstrações, de acordo com Dolce e Pompeo (1997): 
 
 Postulado de Existência: 
i. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. 
ii. Num plano há infinitos pontos. 
 
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Notação Gráfica 2 (N.G.2): Na construção da reta, dos pontos sobre e fora da reta e da 
nomeação da reta e dos pontos com o Cabri-Geometry II utilize a caixa de ferramentas Reta com 
a opção Reta, a caixa de ferramenta Pontos com a opção Pontos, a caixa de ferramentas Mostrar 
na opção Rótulo, como mostrada na N.G.1 e a caixa de ferramentas Verificar Propriedades na 
opção pertence, selecione a reta e depois os pontos e clique na área de trabalho, logo aparecerá o 
comentário “este objeto pertence a reta ou esse objeto não pertence a reta. 
 
 
 Postulado de Determinação: Para determinar uma reta e um plano precisamos saber as 
notações para as suas construções, de acordo com Dolce e Pompeo (1997): 
 
i. Da reta: dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa 
por eles, ou seja, A  B, A  r, B  r  r = AB. 
 ii. Do plano: Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles, ou 
seja, A, B e C   (esses pontos são chamados de coplanares, pois estão contidos no plano). 
 
Notação Gráfica 3 (N.G.3): Para a construção dos postulado de determinação siga os passos das 
N.G.1, N.G.2 e N.G.3. 
 
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 Postulado de Inclusão: De acordo com, Dolce e Pompeo (1997) – Se uma reta tem 
dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano, ou seja, A  B, r = 
AB, A  , B    r  . 
 
Notação Gráfica 4 (N.G.4): A representação do postulado de construção,também pode ser feita 
pelos passos N.G.1, N.G.2 e N.G.3. 
 
 
 c) Posições de Dois Pontos, da Reta e de Ponto: Neste, contexto são dados dois pontos A e B e a 
reta r que servirá para conhecermos os seguintes tipos de posições de dois pontos, da reta e do 
ponto (DOLCE E POMPEO, 1997): 
 
 Coincidentes: Quando dois pontos A = B; 
 Distintos: Quando dois pontos A  B; 
 Pertence: Quando um ponto A (ou mais pontos) está(ao) sobre uma reta r, ou seja, A r: 
 Não Pertence Quando um ponto A (ou mais pontos) está(ao) fora de uma reta r, ou seja, 
A  r; 
 Colineares: Quando três pontos A, B e C pertencem a uma reta r, ou seja, A, B e C  r; 
 
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 Não Colineares: Quando apenas dois pontos A e B estão sobre a reta r e o outro ponto 
(C) está fora da reta r, ou seja, A, B  r e C  r. 
 
 Notação Gráfica 5 (N.G.5): A representação das posições de dois pontos, da reta e do 
ponto podem ser apresentados no Cabri-Geometry II seguindo as N.G.1 e N.G.2. 
 
 
 
d) Tipos de Retas: Segundo Dolce e Pompeo (1997) existem os seguintes tipos de retas: 
 
 Retas paralelas: Duas ou mais retas paralelas se, somente se, são coincidentes ou iguais 
(a = b  a // b), ou são coplanares ou distintas entre si e não têm nenhum ponto comum 
(a  , b  , a  b =   a // b). 
 Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, concorrem a um único 
ponto entre si ou são coplanares (a  , b  , a  b = P  a  b). 
 Retas perpendiculares: Duas ou mais retas são perpendiculares quando o ângulo entre 
elas é igual a 90º e concorrem a um único ponto entre si (a  , b  , a  b = Q  a 
 b). 
 
 Notação Gráfica 6 (N.G.6): A construção dos tipos de retas no Cabri-Geometri II podem 
ser construídas utilizando os itens N.G.1, 2, 3, 4 e 5. 
 
 
 
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 Esses postulados da geometria são essenciais para que professor demonstre aos alunos 
através do Cabri-Geometry II as posições do ponto e da reta e comentar sobre as suas 
propriedades. 
 
3º) passo:Apresentar a Noção de Segmento da Reta: 
 
 De acordo com as definições de Dolce e Pompeo (1997) existem os seguintes critérios 
quando são dados dois pontos distintos: 
 
 a) Segmento de Reta: Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois 
pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. 
 
b) Semi-reta: dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta AB como 
o conjunto dos pontos X tais que B está entre A e X é a semi-reta AB (indicada por AB). 
 
c) Ponto médio: Um ponto M é o ponto médio do segmento AB se, somente se, M está 
entre A e B e AM  MB. 
 
 
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Prova da existência do ponto médio: Seja a reta AB e o ponto M é o ponto médio localizado na 
reta AB, então AB = AM + MB e AM = MB. Por convicção temos que para AM = MB  M-A 
= B-M  2 M = A+ B  M = (A + B)/2. Logo M é o ponto médio da reta AB. 
 
 
 Notação Gráfica 7 (N.G.7): A construção do segmento da reta e da semi-reta no Cabri-
Geometry II podem ser representadas utilizando a caixa de ferramentas Reta nas opções 
Segmento e Semi-reta, depois na caixa de ferramentas Mostrar, na opção Rótulo, para nomear o 
segmento e a semi-reta. 
 
 
 
 segmento AB semi-reta AB 
 
 
 Essa etapa tem a importância de demonstrar aos alunos a diferencia entre segmento e 
semi reta e segmento de reta, com a utilização do Cabri-Geometry II. 
 
4°) passo: Construção de Região e Ângulos: 
 
 Neste item abordaremos as noções sobre regiões e ângulos para a ampliação do 
conhecimento geométrico do aluno que serão úteis nas próximas seções, segundo Dolce e 
Pompeo (1997): 
 
 
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a) Definição de Região: Um conjunto de pontos formando um plano , dois pontos 
distintos quaisquer A e B são extremidades de um segmento AB contido em , ou se  é 
unitário, ou se  é vazio, dessa forma determina uma região. 
 
b) Tipos de Região: A região divide-se em dois tipos: 
 
 Convexa: Quando o segmento AB está totalmente contido no plano . 
 Côncava: Quando o segmento AB não está totalmente contido no plano . 
 
 
Notação Gráfica 8 (N.G.8): A construção geométrica da região no Cabri-Geometry II pode ser 
feita utilizando as caixas de ferramentas Reta nas opções Polígonos (plano) e Retas (retas), a 
caixa de ferramenta Mostrar na opção Rótulos e Comentários (nomeação e comentários do plano 
e dos pontos), a caixa de ferramenta Construir (Verificação das retas pertencentes ao plano) e a 
caixa de ferramentas Desenhar nas opções Cor, Preenchimento e Espessura. 
 
 
Regiões Convexas 
 
 
 A  B, A  r,B  r  AB  r CD  t GH  s e GH   
 
 
 
 
 
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Regiões Côncavas: 
 
 
c) Definição de Ângulos: A reunião de duas semi-retas da mesma origem, não contidas numa 
mesma reta (não colineares) determinam um ângulo. 
 
 Elementos: o ponto O é o vértice do ângulo e as semi-retas OA e OB são os lados dos 
ângulos. 
 
Notação Gráfica 9 (N.G.9): A construção do ângulo no Cabri-Geometry II é feita com a 
utilização da caixa de ferramentas Medir na opção Ângulos, mas antes deve-se construir duas 
semi-retas, seguindo os passos da N.G.6, depois selecione os três pontos para a marcação do 
ângulo que será mostrada em seguida. 
 
 
d) Propriedades dos Ângulos: os ângulos apresentam as seguintes propriedades quando são 
congruentes: 
 RS  r AB  t TV  u 
 
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 I. Reflexiva: Todos os ângulos são congruentes AÔB  BÔA. 
II. Simétrica: Se AÔB  CÔD, então CÔD  AÔB. 
III. Transitiva: Se AÔB  CÔD e CÔD  EÔF, então AÔB  EÔF. 
 
e) Tipos de Ângulos: Os ângulos se classificam em: 
 
 Internos: é quando a soma com o ângulo externo (adjacente) é igual a 180º (AÔB + 
BÔC = 180º). 
 Externos: é quando a soma com o ângulo interno (adjacente) é igual a 180º (AÔB + 
BÔC = 180º). 
 Nulo: é quando o ângulo formado é igual a 0º (lados das semirretas coincidentes). 
 Raso: é quando o ângulo formado é igual a 180º (lados das semirretas opostas). 
 Reto: é quando o ângulo é congruente a seu suplementar adjacente (AÔB = AÔC = 
90ºou lado das semirretas são perpendiculares). 
 Agudo: é quando o ângulo é menor que um ângulo reto (0º  AÔB < 180º). 
 Obtuso: é quando o ângulo é maior que um ângulo reto (90º  AÔB < 180º). 
 Complementares: é quando a soma da medida dos ângulos é igual a 90º. 
 Suplementares: quando a soma das medidas dos ângulos é igual a 180º. 
 
f) Bissetriz de um ângulo: Uma semirreta OC interna a um ângulo AÔB é bissetriz do ângulo 
AÔB se, somente, se AÔC  BÔC. Notação: Oc. 
 
Prova da existência da bissetriz: Dado um ângulo AÔB, marquemos nas semirretas Os dois 
pontos distintos A’e A, Ob dois pontos distintos B’e B e Oe um ponto E’, tais que: 
 
Este módulo deverá ser