Distribuicao de Frequência

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
( Notas de aula da professora Ilza Patrícia) 
 
Dados Brutos 
 
São aqueles valores a que se chegou pela simples coleta, sem qualquer 
preocupação quanto à sua ordenação. 
 
Exemplo: 
Tabela 1 
Consumo Mensal de Energia Elétrica, por 50 Usuários Particulares 
KWH(quilowatts-hora) 
 
58 62 80 57 8 126 136 96 144 19 
90 86 38 94 82 75 148 114 131 28 
66 95 121 158 64 105 118 73 83 81 
50 92 60 52 89 58 10 90 94 74 
9 75 72 157 125 76 88 78 84 36 
 
Como se pode ser observado, as cifras estão dispostas de forma 
desordenada. Em razão disso, pouca informação se consegue obter inspecionando 
os dados anotados. Mesmo uma informação tão simples como a de saber os 
consumos máximo e mínimo requer um certo exame dos dados da tabela. 
 
Rol 
 
Tabela 2 
Consumo Mensal de Energia Elétrica, por 50 Usuários Particulares 
KWH(quilowatts-hora) 
 
8 58 75 89 118 
9 58 76 90 121 
10 60 78 90 125 
19 62 80 92 126 
28 64 81 94 131 
36 66 82 94 136 
38 72 83 95 144 
50 73 84 96 148 
52 74 86 105 157 
57 75 88 114 158 
 
Essa classificação dos dados proporciona algumas vantagens concretas com 
relação à sua forma original: 
- é possível visualizar de forma ampla as variações de consumo 
- os valores extremos são percebidos de imediato 
- é possível observar uma tendência de concentração dos valores na faixa de 50-
90 kwh 
 
Apesar de o rol propiciar ao analista mais informações e com menos esforço de 
concentração do que os dados brutos, ainda assim persiste o problema de a análise 
ter que se basear nas 50 observações. O problema se agravará quando o número 
de dados for muito grande. 
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Tabelas de freqüências 
 
 
 
As tabelas de freqüências são representações nas quais os valores se 
apresentam em correspondência com suas repetições, evitando-se assim que eles 
apareçam mais de uma vez na tabela, como ocorre com o rol. 
 
 
Exemplo: Uma empresa fabricante de instrumentos de precisão está 
interessada em saber o número de aparelhos defeituosos rejeitados pela seção 
encarregada do controle de qualidade. 
 
 
 
Tabela 3 
Número Mensal de Aparelhos Defeituosos 
 
Mês 
Ano 
 
Jan 
 
Fev 
 
Mar 
 
Abr 
 
Mai 
 
Jun 
 
Jul 
 
Ago 
 
Set 
 
Out 
 
Nov 
 
Dez 
1971 6 2 5 6 0 8 7 6 3 4 5 8 
1972 10 9 7 6 3 4 6 4 5 4 5 1 
1973 3 6 7 9 3 1 4 6 5 3 5 4 
1974 7 2 5 8 6 4 2 5 1 6 5 2 
 
 
 
Os dados brutos não informam muita coisa sobre o fenômeno “número de 
aparelhos defeituosos” . 
 
 
Valores repetidos como o zero(que aparece duas vezes), esse fato irá sugerir, 
naturalmente, que se condensem todos os resultados em uma tabela, estabelecendo 
a correspondência entre o valor individual e o respectivo número de vezes que ele 
foi observado(freqüência). 
 
 
Através de uma tabela de freqüências obtemos estatísticas(medidas 
baseadas na amostra) com menos cálculo e em menos tempo do que se esse 
trabalho fosse realizado a partir dos dados brutos. 
 
 
As tabelas de freqüências podem representar tanto valores individuais como 
valores agrupados em classes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Distribuição de freqüências de dados tabulados não-agrupados em 
classes 
 
 
Esse tipo de apresentação é utilizada para representar uma variável 
discreta(que só assume valores pontuais) ou descontínua. 
 
Tabela 4 
Número Mensal de Aparelhos Defeituosos 
Número de 
aparelhos com 
defeito (xi) 
Número de 
meses (fi) 
0 2 
1 3 
2 4 
3 5 
4 7 
5 8 
6 9 
7 4 
8 3 
9 2 
10 1 
 
48=‡” fi
11
1=i
 
 
 
 
 
Distribuição de freqüências de dados agrupados em classes 
 
 
Nesse tipo de apresentação os valores observados não mais aparecerão 
individualmente, mas agrupados em classes. 
 
Quando a variável objeto do estudo for contínua, será sempre conveniente 
agrupar os valores observados em classes. Se, por outro lado, a variável for discreta 
e o número de valores representativos dessa variável for muito grande, recomenda-
se o agrupamento dos dados em classes, evitando com isso grande extensão da 
tabela, aparecimento de diversos valores com freqüência nula e impossibilidade de 
visualização do fenômeno como um todo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
Tabela 5 
Resultados do teste de Estatística 
Classes de 
Notas 
 
fi 
 
xi 
 
fri 
 
fri% 
 
Fi 
 
Fri 
 
Fri% 
 0 |-- 10 5 5 0,01 1 5 0,01 1 
10 |-- 20 15 15 0,03 3 20 0,04 4 
20 |-- 30 20 25 0,04 4 40 0,08 8 
30 |-- 40 45 35 0,09 9 85 0,17 17 
40 |-- 50 100 45 0,20 20 185 0,37 37 
50 |-- 60 130 55 0,26 26 315 0,63 63 
60 |-- 70 100 65 0,20 20 415 0,83 83 
70 |-- 80 60 75 0,12 12 475 0,95 95 
80 |-- 90 15 85 0,03 3 490 0,98 98 
90 |-- 100 10 95 0,02 2 500 1,00 100 
 
- 500fi
10
1i
=∑
=
 
 
- 
 
- 
 
- 
 
- 
 
- 
 
- 
 
 
 
Símbolos para representar o intervalo de classe: 
 
0 ---| 10 : a classe compreende valores de 0, exclusive, até 10, inclusive 
0 --- 10: a classe compreende valores de 0, exclusive, até 10, exclusive 
0 |---| 10: a classe compreende valores de 0, inclusive, até 10, inclusive 
 
 
Elementos de uma distribuição de freqüências 
 
a) Freqüência Simples Absoluta: 
 
A freqüência simples absoluta de uma classe ou de um valor individual é o 
número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor. 
 
Símbolo fi 
 
 
b) Amplitude Total: (At) 
 
A amplitude total ou intervalo total é a diferença entre o maior e o menor valor 
observado da variável em estudo. 
 
Exemplo: 
 
Na tabela 2 a amplitude total é: At = 158 – 8 = 150 
 
 
 
 
 
 5 
c) Classe: 
 
É cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do 
conjunto de valores observados da variável. 
Uma determinada classe pode ser identificada por seus extremos ou pela 
ordem em que ela se encontra na tabela. 
Exemplo: 
 
Na tabela 5: 
Classe 0 |-- 10 ou primeira classe 
Classe 80 |-- 90 ou nona classe 
 
O número de classes em uma distribuição de freqüências, é representado por k. 
 
REGRA DE STURGES para determinação do número de classes: 
 
Essa regra estabelece que o número de classes é igual a: 
 
k = 1 + 3,3 log10 n, onde k = número de classes e n = nº total de observações 
 
 
Exemplos: 
 
a) Se o número de observações for 500: 
n = 500 
k = 1 + 3,3 log10(500) = 1 + 3,3(2,699) = 9,907 
k = 9,907 ou arredondando k=10 
 
b) Se n = 50: 
k = 1 + 3,3log10(50) = 1 + 3,3(1,699) = 6,607 
k = 7 
 
d) Limites de Classe: 
 
Os limites de classes são seus valores extremos. A segunda classe do exemplo 
da tabela 5 tem como limites os valores 10 e 20. O valor 10 é denominado limite 
inferior, enquanto o valor 20 é denominado limite superior. 
 
 
e) Amplitude do intervalo de Classe (h): 
 
É o comprimento da classe, sendo geralmente definida como a diferença entre os 
limites superior e inferior ou: 
 
 
 
 
 
 
k
At
=h
 6 
f) Ponto Médio de Classe (xi) 
 
Ponto médio ou valor médio de classe é o ponto eqüidistante dos limites de 
classe. 
Para obter o ponto médio de uma classe, basta acrescentar ao seu limite inferior 
a metade da amplitude do intervalo de classe. 
 
Exemplo: 
Classe: 0 |-- 10 
Amplitude do intervalo: 10 
Metade da amplitude: 5 
Ponto médio dessa classe será: x1 = 0 + 5 = 5 
 
Tipos de freqüências 
 
 
Freqüência Simples : Absoluta (fi) 
 Relativa (fri ou fri%) 
 
 
Freqüência Acumulada: Absoluta (Fi) 
 Relativa (Fri ou Fri%) 
 
 
 
 
Freqüência Simples Absoluta (fi) 
 
 É o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores 
da variável. 
 
 
Freqüência Simples Relativa (fri ou fri%) 
 
Representa a proporção de observações de um valor individual ou de uma 
classe, em relação ao número total de observações. 
 
n
fi
fi
fifri k
1i
=
∑
=
=
 
 
 
Desejando expressar o resultado em termos percentuais: 
 
100•
n
fi
=%fri 
 
 
nfi
k
1i
=∑
=
 7 
Freqüência Absoluta Acumulada (Fi) 
 
A freqüência acumulada “abaixo de” uma classe ou de um valor individual é a 
soma da freqüência simples absoluta dessa classe ou desse valor com as 
freqüências simples absolutas das classes ou dos valores anteriores. 
 
Freqüência Relativa Acumulada(Fri ou Fri%) 
 
Apresentaremos duas maneiras de calcular: 
 
a) acumulando as freqüências simples relativas de acordo com a definição de 
freqüências acumuladas 
b) calculando as freqüências relativas diretamente a partir das freqüências 
absolutas, de acordo com a definição de freqüências relativas: n
FiFri= 
 
Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência: 
 
A representação gráfica de uma distribuição de freqüência é feita através do 
histograma. 
 
O histograma é um gráfico formado por um conjunto de retângulos 
justapostos, de forma que a área de cada retângulo seja proporcional à freqüência 
da classe que ele representa. Assim sendo, a soma dos valores correspondentes às 
áreas dos retângulos será sempre igual à freqüência total. 
 
O histograma é construído tomando-se como referência dois eixos 
coordenados. No eixo horizontal, ou eixo das abcissas, são anotados os valores 
individuais da variável em estudo, ou os limites das classes.A dimensão horizontal 
de cada retângulo representará a classe. 
 
No eixo vertical, ou eixo das ordenadas, será construída a escala onde serão 
lidos os valores relativos ao número de observações ou freqüências da classe. A 
área de cada retângulo do histograma corresponde à freqüência da classe que o 
retângulo representa. Para determinar a altura do retângulo, basta tomar a fórmula 
de cálculo da área de um retângulo: 
 
 
S = b x h, onde 
 
b = base do retângulo = amplitude do intervalo de classe 
h = altura do retângulo 
S = área do retângulo = freqüência da classe 
 
Para traçar o gráfico deve-se calcular as alturas dos retângulos: 
b
Sh = 
 
 8 
 
 
 Fonte: Dados Fictícios