RESOLUO_2019 2_N12_SEGUNDA_AVALIAO

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Oi 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT 2207 – Probabilidade e Estatística 
Professora: Kellen Lima 
 
 
 
A sua prova vale nota 10?  SIM  NÃO 
 
Nome: 
 
 
LEIA: OBSERVAÇÕES IMPORTANTES! 
 
(1) A interpretação dos enunciados faz parte da prova; 
(2) Explique claramente o seu raciocínio em todas as questões, mesmo que não seja pedido; 
(3) As respostas podem ser a lápis; 
(4) É permitido o uso de calculadoras científicas não-programáveis. O uso de calculadoras 
programáveis implica na retirada da prova e anulação do resultado para o aluno envolvido; 
(5) É proibido destacar as folhas, tanto do caderno de questões quanto do caderno de respostas. 
O destaque intencional de qualquer uma das folhas implica na retirada da prova e anulação 
do resultado para o aluno envolvido; 
(6) O uso de celulares, mesmo que apenas para efetuar os cálculos, é proibido (eles devem 
permanecer desligados durante a hora da prova) e implica na retirada da prova e anulação 
do resultado para o aluno envolvido; 
(7) A consulta a qualquer material que não seja fornecido pela prova é proibida, e implica na 
retirada da prova e anulação do resultado do aluno envolvido; 
(8) A consulta ou conversa com qualquer outro aluno é proibida, e implica na retirada da prova 
e anulação do resultado do aluno envolvido; 
(9) A professora não aceitará questão resolvida de maneira intuitiva, mas sim aplicando as 
definições aprendidas em sala de aula; 
(10) A prova é sem consulta! 
 
 
 
 
DEFINIÇÕES E RESULTADOS ÚTEIS 
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 √
 ( )
 
 √
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) [ ( )] 
 √ √∑[ ( )] ( )
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ∑ ( )
 
 
 
 ( ) 
 
 √ 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 [ 
 
 
] 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 √
( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
√ 
 
 
 ( ) 
 
√ 
 
 
 
 
(
( )
 
)
 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 [ ( )] ∫ ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 
∑ ( ̅
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
)-(1nσ2 pp
PROBLEMA 01 (2,5 / 2,0 pontos) – Diversas experiências com determinado tipo de ventilador, 
usados em motores a diesel, indicam que a distribuição exponencial sugere um bom modelo para 
cálculo do tempo até uma falha. Suponha que o tempo médio seja 25.000 horas. Qual é a 
probabilidade de: 
(a) Um ventilador selecionado aleatoriamente durar pelo menos 20.000 horas? No máximo 30.000 
horas? 
(b) O tempo de vida de um ventilador exceder o valor médio em mais de 2 desvios padrão? 
 
Obs: A distribuição exponencial analisa inversamente o experimento. 
 
Trata-se de uma Distribuição Contínua Exponencial, pois analisa o intervalo de tempo entre a ocorrência de 
eventos, que no caso é o tempo até uma falha. ( ) 
 
Sendo ⋋ o número médio de falhas por tempo: 
(a) 
 
⋋
 = 25000 / 𝒔 => ⋋ = 0,00004 𝒔/ 
 
A probabilidade de um ventilador durar pelo menos 20000h: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
P( ) ( ) (1 ) = = 0,6988 
 
(b) O desvio-padrão e a média populacionais da Distribuição Exponencial é dada por: 
μ σ 𝟏/⋋ = 25.000 / 𝒔 
Com isso, determina-se: 
 ( μ σ) ( ) (1 ) = 1 0,9502 = 0,0498 = 0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 02 (2,5 / 2,0 pontos) Um geólogo coletou 10 amostras de rocha basáltica e 10 de 
granito. Instruiu o geólogo assistente de laboratório para selecionar aleatoriamente 15 amostras 
para análise 
(a) Qual é o número de amostras x de granito selecionadas para análise? 
(b) Qual é a probabilidade de todas as amostras de um dos dois tipos de rocha serem selecionadas 
para análise? 
(c) Qual é a probabilidade de o número de amostras de granito selecionadas para análise estarem 
dentro de 1 desvio padrão do valor médio? 
 
(a) Sem reposição e probabilidades não independentes = hipergeométrica. 
Tamanho da população (N) = 20 
Sucessos na população (A) = 10 
Tamanho da amostra (n) = 15 
Sucessos na amostra (x) = x 
 
Como dentro da população de 20 existem 10 amostras de granito para selecionar e são retiradas 15 
amostras aleatórias, serão selecionadas pelos menos 5 granitos. Logo 𝟏 . 
 
E a probabilidade de se retirar um desses montantes é: 
 ( ) 
( )(
 
 )
( )
 
(𝟏 )(
 𝟏 
𝟏 )
( 𝟏 )
, para x=5, ..., 10 
 
(b) Probabilidade de todas do tipo rocha basáltica serem selecionadas: 
 ( 𝟏 ) 
(𝟏 
𝟏 
)( 𝟏 
𝟏 𝟏 
)
( 
𝟏 
)
 𝟏 
Probabilidade de todas do tipo granito serem selecionadas: 
 ( 𝟏 ) 
(𝟏 
𝟏 
)( 𝟏 
𝟏 𝟏 
)
( 
𝟏 
)
 𝟏 
Então, a probabilidade de todas do tipo rocha basáltica OU todas do tipo granito serem 
selecionadas é de: 
 ( =10 U y=10) = 0,01625 + 0,01625 = 0,03250 
 
(c) Sabendo-se que trata de uma distribuição Hipergeométrica, determina-se a média e o desvio-padrão: 
 
 
 
 
 
𝟏 𝟏 
 
 𝒔 
 
 
 √
 ( )
 
 √
 
 𝟏
 √
𝟏 𝟏 ( 𝟏 )
 
 √
 𝟏 
 𝟏
 
 
Determina-se a probabilidade: 
 
 ( ) ( ) ( 𝟏 ) ( ) 
 ( ) ( ) 
(𝟏 
 
)( 𝟏 
𝟏 
)
( 
𝟏 
)
 = 0,348 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 03 (2,5 / 2,0 pontos) O artigo Mo t Carlo Simulatio -Tool for Better Understanding 
of LRFD (J Structural gr 86-1599) sugere que a resistência de rendimento (ksi) de 
aço d graduação 6 t m distribuição ormal com μ σ 
(a) Qual é a probabilidade de a resistência ser no máximo 40? 
(b) Que valor de resistência separa os 75% mais fortes dos outros? 
 
(a) Sabendo-s qu a r sistê cia d r dim to do aço t m distribuição ormal com μ σ . 
Calculam-se as probabilidades transformando os valores de X em valores de Z, logo temos: 
 ( ) ( 
 
 
) ( ) 𝟏 
(b) O valor de Z que separa os 75% mais fortes é aproximadamente 0,67 (valor obtido na tabela). 
 
 
 ( ) 
 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 04 (2,5 / 2,0 pontos) T m o d ava ço o fluxo do tr f go o t m o tr o 
instante em que um carro termina de passar por um ponto fixo e o instante que o próximo carro 
começa a passar por esse ponto. Seja X = tempo (em segundos) de avanço para dois carros 
consecutivos escolhidos ao acaso, em uma estrada durante um período de tráfego intenso. Suponha 
que, em um ambiente de tráfego diferente, a distribuição do tempo de avanço tenha a forma: 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
(0,6 / 0,7 ponto) Determine o valor de k para o qual ( ) é uma fdp legítima. 
(0,7 / 0,9 ponto) Obtenha a função de distribuição acumulada. 
(0,7 / 0,9 ponto) Use a fda de (b) para determinar a probabilidade de o tempo de avanço exceder 
2 segundos. E, também de ele estar entre 2 e 3 segundos. 
 
(a) Para que f(x) seja uma fdp legítima, deve satisfazer as seguintes condições: 
 
 ( ) 
e 
∫ ( ) 𝟏
 
 
 
 
Então, determina-se k: 
 
∫
 
 
 𝟏 
 
 
 
 
𝟏
 
𝟏
 𝟏 [ ( 
 
 (𝟏 )
)] 𝟏 
 
(b) A Fda F(x) de uma variável contínua é definida por: 
 
F(x) = ∫ ( ) 
 
 
 
 
Obtém-se a Fda: 
 
F(x) = ∫ ( ) ∫
 
 
 
 
 
 
𝟏
 ( )
 
𝟏
 
𝟏
 
𝟏
 
 𝟏 
 
(c) 
 ( ) 𝟏 ( ) 𝟏 ( 
𝟏
( ) 
 𝟏) 
𝟏
 
 𝟏 
 
 ( ) ( ) ( ) [ 
𝟏
( ) 
 𝟏] [ 
𝟏
( ) 
 𝟏] [
 
 
] [
 
 
]