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Matrizes, vetores & cálculo vetorial
• O estudo da Mecânica é um estudo sobre o movimento de objetos.
• Verificar o movimento de objetos é observar se este muda de posição após
decorrido um intervalo de tempo.
• Para detectar esta mudança, precisamos de determinar esta posição relativa
a um sistema de referência, ou um referencial.
• O referencial escolhido deverá ser constituído por um sistema de
coordenadas.
• Após este processo, podemos aplicar as leis da Física para algumas situações
particulares e, o resultado não deve depender do sistema de coordenadas
escolhido.
• O uso de vetores nos dará essa independência.
Logo, rever a noção de vetores, matrizes e cálculo vetorial é importante para a
descrição de problemas envolvendo o movimento de objetos.
1. A noção de Partícula é quando descrevemos o movimento de um corpo como se este
tivesse sua dimensão e forma reduzidas a um ponto. Quando a sua dimensão e forma
forem consideradas, chamamos de corpo rígido em Mecânica.
2. As grandezas físicas em Mecânica podem ser qualificadas como grandezas escalares ou
grandezas vetoriais. No caso de grandezas escalares, elas são completamente
definidas e caracterizadas por apenas um valor, conhecido como o seu módulo. No
caso das grandezas vetoriais, além do módulo, precisamos de conhecer, também, a
sua direção e sentido.
Podemos melhorar o conceito de grandezas escalares e vetoriais quando introduzimos um
sistema de referência. Considere o seguinte arranjo de partículas em dois referenciais
diferentes:
Primeiros conceitos
Podemos especificar uma partícula particular por um par de números (x,y). A massa
M da partícula em (x,y) pode ser expressa como M(x,y); assim, a massa da partícula
em x = 2, y = 3 pode ser escrita como M(x = 2, y = 3) = 4.
Agora considere os eixos girados e deslocados da maneira mostrada na Figura 1-1b. A
massa de 4 g agora está localizada em x '= 4, y' = 3,5; ou seja, a massa é especificada
por M(x '= 4, y' = 3,5) = 4.
Logo, uma grandeza escalar é invariante por transformações de coordenadas, ou
seja:
M(x,y) = M(x’,y’)
Desta forma, temos que, também, revisar o conceito de transformação de
coordenadas.
Transformação de Coordenadas
Considere um ponto P com coordenadas (x1,x2) em relação a um determinado sistema de
coordenadas. Em seguida, considere um sistema de coordenadas diferente, que pode ser
gerado a partir do sistema original por uma simples rotação (de ângulo q); sejam as
coordenadas do ponto P em relação ao novo sistema de coordenadas (x1',x2').
A nova coordenada x1’ pode ser determinada como:
Analogamente, para x2’ temos:
Ou seja, podemos definir um conjunto de números lij como:
De forma que:
Logo, substituindo estes números nas equações para as transformações de coordenadas 
temos:
Estendendo o raciocínio para um sistema 3D temos:
que, de forma geral se reduz a:
A transformação inversa é dada por:
A quantidade lij é chamada de cosseno diretor do eixo xi’ em relação ao eixo xj. É
conveniente organizar o lij em uma matriz quadrada chamada matriz das
transformações de coordenadas ou matriz de rotações, ou seja:
Propriedades das matrizes de rotações
Da figura (a) temos:
Da figura (b) temos:
Aplicando estas relações para os elementos da matriz de rotação, como o ângulo entre o
eixo x1’ e o eixo x2' é p/2, temos:
que, em geral fica:
Da primeira relação entre cossenos, temos que:
Ou seja:
Então, combinando as duas somatórias:
(1)
onde dik é o delta de Kronecker:
A relação dada por (1) só é válida dependendo do fato de que os eixos de coordenadas
em cada um dos sistemas sejam mutuamente perpendiculares. Tais sistemas são
conhecidos como sistemas ortogonais e a relação (1) é a condição de ortogonalidade.
Operação com matrizes
Matriz coluna (vetor):
Matriz linha (vetor):
Multiplicação de matrizes:
1. vetor  matriz

que, em geral fica:
ou seja:
2. matriz  matriz
Seja:
Então:

Que, de forma geral é:
Adição de matrizes (de mesma ordem):
𝑪 = 𝑨 + 𝑩
𝐶𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗
Outras definições:
1. Matriz Transposta:
logo:
2. Matriz Identidade:
assim:
3. Matriz Inversa:
então:
Algumas regras:
1. A multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa:
Algumas exceções:
e
2. A multiplicação de matrizes é associativa:
Definição de vetor:
Considere a transformação de coordenadas do tipo:
onde
Se aplicarmos esta transformação em uma quantidade f e esta permanecer inalterada, 
então f é um escalar.
Se um conjunto de quantidades (A1,A2,A3) é transformado do sistema xi para o sistema 
xi’, com o resultado
, então a quantidade é um vetor.
Operações elementares:
1. Adição:
a) vetores:
é comutativa e associativa.
b) escalares:
Também é comutativa e associativa.
2. A multiplicação por um escalar:
3. Produto escalar de dois vetores:
a) O resultado de um produto escalar é invariante por transformação de coordenadas:
Suponha que A e B se transformam como:
Logo
Mas,
então
෍
𝑖
𝜆𝑖𝑗𝜆𝑖𝑘 = 𝛿𝑗𝑘
Vetores unitários (versor):
Ƹ𝑖 =
Ԧ𝑥
𝑥
onde
Ԧ𝑥 = (𝑥, 0, 0)
Isto ajuda a definir o sistema de coordenadas que estamos utilizando: coordenadas 
cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.
Desta forma, escrevemos um vetor como:
onde 
é a componente do vetor, i.e., a projeção do vetor nos eixos que definem o sistema de 
coordenadas.
Se os vetores que definem o sistema de coordenadas forem ortonormais: