aula-3

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Operador Gradiente
Considere um escalar f que é uma função explícita das coordenadas xi e, além disso, é
uma função contínua e de valor único dessas coordenadas em uma determinada região
do espaço. Sob uma transformação de coordenadas que leva xi para o xi', f'(x1',x2',x3') =
f(x1, x2, x3), e pela regra da cadeia de diferenciação, podemos escrever:
considerando o modo geral:
(1)
Usando a transformação inversa:
Temos:
a derivada no parêntesis só não é nula quando i = k, assim:
Logo, substituindo em (1), temos:
que corresponde a uma transformação de um vetor  mesmo f sendo um escalar, o 
resultado da aplicação do operador gradiente é um vetor.
Definição:
O operador gradiente pode: 
(i) operar diretamente em uma função escalar (gradiente);
(ii) ser usado em um produto escalar em uma função vetorial (divergente);
(iii) Ser usado em um produto vetorial em uma função vetorial (rotacional).
Interpretação:
Seja f o valor da função em qualquer ponto 
f = f(x1, x2, x3). Então:
Os elementos do vetor deslocamento ds são:
Logo
O valor máximo de df resulta quando f e ds
estão na mesma direção; então: 
Portanto, f está na direção da maior mudança 
em f. 
Laplaciano:
A operação sucessiva do operador gradiente produz:
Que é conhecido como operador Laplaciano:
E pode ser aplicado tanto em uma função escalar, como em uma função vetorial. No caso
de uma função escalar:
Integração de vetores:
O vetor resultante da integração de volume de uma função vetorial A = A(xi) ao longo de 
um volume V é dado por:
A integral sobre uma superfície S da projeção de uma função vetorial A = A(xi) na direção 
normal dessa superfície é definida como sendo:
Escrevemos da como uma grandeza vetorial 
porque podemos atribuir a ela não apenas uma 
magnitude da, mas também uma direção 
correspondente à normal à superfície no ponto 
em questão. Se o vetor normal unitário for n, 
então:
Integral de linha:
A integral de linha de uma função vetorial A = A(xi)
ao longo de um determinado caminho que se estende 
do ponto B ao ponto C é dada pela integral da 
componente de A ao longo do caminho: 
Relações úteis:
1. Teorema da Divergência:
2. Teorema de Stokes:
Exercícios:
Desafio: Demonstre a última propriedade.
Mais Exercícios:
1. Para os dois vetores: 
Calcule:
a) 
b) A componente de B ao longo de A
c) O ângulo entre A e B
d) 
e) 
2. Uma partícula se move em uma órbita plana elíptica descrita pelo vetor posição:
a) ache v e a e a velocidade da partícula 
b) qual é o ângulo entre v e a quando t = p/2w?
3. Considere as matrizes
Calcule: