Critérios de Divisibilidade

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Lista de Exercícios – Critérios de 
Divisibilidade 
 
 
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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo 
Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de Divisibilidade - (parte 1 de 2) 
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1F1Qlke27mE 
 Gabaritos nas últimas páginas! 
 
E1: Qual o critério de divisibilidade por 2? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 2: 
a) 35 b) 43 c) 67890765438 d) 56123487438 
 
E2: Qual o critério de divisibilidade por 3? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 3: 
a) 729 b) 816 c) 6632 d) 4584 
 
E3: Qual o critério de divisibilidade por 4? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 4: 
a) 22857 b) 56329600 c) 148 d) 25698 
 
E4: Qual o critério de divisibilidade por 5? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 5. 
a) 2394239485 b) 29478324723857280 c) 83743284782 
 
E5: Qual o critério de divisibilidade por 6? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 6 
a) 245794589 b) 84327847234823743 c) 2148 
 
 
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E6: Qual o critério de divisibilidade por 7? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 7 
a) 37625 b) 336 c)214 d) 896 
 
E7: Qual o critério de divisibilidade por 8? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 8. 
a) 1328738478528 b) 398934894832 c) 47845784576 
E8: Qual o critério de divisibilidade por 9? Verifique se os números abaixo 
são divisíveis por 9. 
a) 216 b) 185 c) 309 d) 428 
E9: Descubra o menor número natural que é divisível simultaneamente por 
2, 3, 5 e 7. 
E10: Descubra o menor natural que é divisível simultaneamente por 2, 3, 4. 
 
E11: Descubra o último número divisível por 11 menor que 23412. 
E12: Calcule o maior número de 4 algarismos simultaneamente divisível 
por 3 e por 7. 
E13: O número 61125ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos 
algarismos a e b será: 
a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) 15. 
E14: Mostre que a soma de dois números ímpares ou a soma de dois 
números pares é um número divisível por 2. 
E15: Mostre que a soma de três números naturais em sequência é divisível 
por 3. 
E16: Mostre que o dobro da soma de três números naturais em sequência é 
divisível por 6. 
 
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E17 (Desafio): Considere os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Com eles é possível montar um número ��������	
 (cada letra representa 
um algarismo distinto) de forma que: 
a forma um número divisível por 1; 
ab forma um número divisível por 2; 
abc forma um número divisível por 3; 
abcd forma um número divisível por 4; 
... 
��������	
	 forma um número divisível por 10. 
Descubra o valor de ��������	
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
E1: Para ser divisível por 2, basta ser par (podemos, simplesmente, 
observar se o último algarismo é par) 
a) 35: não é par (logo, não é divisível por 2). 
b) 43: não é par (logo, não é divisível por 2). 
c) 67890765438: é par (logo, é divisível por 2). 
d) 56123487438: é par (logo, é divisível por 2). 
 
E2: Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve fornecer um 
número que é divisível por 3. 
a) 729: 7 + 2 + 9 = 18 (18 é divisível por 3, logo, 729 também é). 
b) 816: 8 + 1 + 6 = 15 (como 15 é divisível por 3, então 816 também é). 
c) 6632: 6 + 6 + 3 + 2 = 17 (17 não é divisível por 3. Logo, 6623 também 
não é). 
d) 4584: 4 + 5 + 8 + 4 = 21 (21 é divisível por 3. Logo, 4584 também é). 
 
E3: Basta verificar se os dois algarismos finais formam um número 
divisível por 4 (inclusive, 00). 
a) 22857: Não é divisível por 4. 
b) 56329600: Termina em 00: É divisível por 4. 
c) 148: Termina em 48 (que é divisível por 4). Logo, 148 também é. 
d) 25698: Não é divisível por 4, pois 98 não é divisível por 4. 
 
E4: Basta verificarmos se o último algarismo é zero ou 5, o que garante a 
divisibilidade por 5. 
a) 2394239485: É divisível por 5. 
b) 29478324723857280: É divisível por 5. 
c) 83743284782: Não é divisível por 5. 
 
 
 
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E5: Para ser divisível por 6, basta ser divisível por 2 e 3 simultaneamente, 
ou seja: ser par e ter a soma dos algarismos valendo um número divisível 
por 3. Obviamente, se o número não for par (critério de divisibilidade por 
2) a verificação do segundo critério é desnecessária. Ganhe tempo! 
a) 245794589: É ímpar. Logo, não é divisível por 6. 
b) 84327847234823743: É ímpar. Logo, não é divisível por 6. 
c) 2148: 2 + 1 + 4 + 8 = 15 (que é um número divisível por 3). É par. Logo, 
é divisível por 6. 
 
E6: Verificação um pouco trabalhosa, mas simples: Para ser divisível por 7 
basta subtrairmos o dobro do valor do último algarismo do número original 
sem este algarismo. Se o resultado obtido é um múltiplo de 7, então o 
número original é divisível por 7. Também é possível (em caso de números 
muito grandes) repetir o processo até que o número obtido seja facilmente 
verificável como um múltiplo de 7 ou não, conforme mostrado no vídeo. 
a) 37625: 
Dobro do último algarismo: 10 
Calculando 3762 – 10: 3752. 
Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo: 
3752: Dobro do último algarismo: 4 
Calculando 375 – 4 = 371. 
Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo mais uma vez: 
371: Dobro do último algarismo: 2 
Calculando 37 – 2 = 35 (que é um múltiplo de 7). 
Logo, 37625 é múltiplo de 7. 
 
Sendo um pouco mais direto com os outros itens, temos: 
 
b) 336: 33 – 12 = 21 (é múltiplo de 7, pois 21 é múltiplo de 7) 
c)214: 21 – 8 = 13 (não é múltiplo de 7) 
d) 896: 89 – 12 = 77 (é múltiplo de 7, pois 77 vale 7 × 11). 
 
 
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E7: Há dois critérios, mas vamos usar um só, mais simples: vamos 
verificar se os 3 últimos algarismos formam um múltiplo de 8. Se 
formarem, o número em questão também é múltiplo de 8. 
a) 1328738478528: 528 é divisível por 8. Logo, o número em questão 
também é. 
b) 398934894832: 832 é divisível por 8. Logo, o número em questão 
também é. 
c) 47845784576: 576 é divisível por 8. Logo, o número em questão 
também é. 
 
E8: Se a soma dos algarismos fornece um número divisível por 9, então o 
número em questão também é divisível por 9: 
 
a) 216: 2 + 1 + 6 = 9. Logo, 216 é divisível por 9. 
b) 185: 1 + 8 + 5 =14. Logo, 185 não é divisível por 9. 
c) 309: 3 + 0 + 9 = 12. Logo, 309 não é divisível por 9. 
d) 428: 4 + 2 + 8 = 14. Logo, 428 não é divisível por 9. 
 
E9: Para que um número seja simultaneamente divisível por 2, 3, 5 e 7 
(todos fatores primos) então basta que esse número tenha pelo menos um 
de cada fator mencionado, ou seja, 2 × 3 × 5 × 7 = 210 
E10: Problema parecido com o anterior, com um detalhe: 4 não é um fator 
primo. Na verdade, 4 = 2 × 2 (contém dois fatores iguais a 2). Isso significa 
que todo número divisível por 4 também será divisível por 2. Assim sendo, 
basta fazer 3 × 4 = 12. Um outro exemplo para ilustrar melhor: 35 = 7 × 5 
isso significa que 35 possui um fator 7 e um fator 5 o que o torna divisível 
tanto por 7 quanto por 5. É uma outra forma de se verificar a divisibilidade. 
Nota: esse tipo de problema discutido no exercício E10 será melhor 
estudado na aula de MMC e MDC. 
 
 
 
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E11: Basta realizarmos a divisão inteira de 23412 por 11. 
 
Ao fazermos a divisão inteira, percebemosque ao dividirmos 23412 por 11 
obtemos 2128. Isso significa que, ao multiplicarmos 2128 por 11 
obteremos o maior número possível (menor que 23412) que é múltiplo de 
11: 23408. 
Uma outra forma de se chegar no mesmo número: Note que o resto da 
divisão inteira foi 4. Isso significa que 23412 é 4 unidades maior que o 
último múltiplo de 11. Ou seja, 23412 – 4 = 23408. 
E12: Parecido com o anterior, mas precisamos pensar um pouquinho: para 
que um número seja simultaneamente divisível por 3 e por 7 (ambos fatores 
primos) então o tal número precisará ser divisível por 3 × 7 = 21. É uma 
situação similar ao que ocorre com os múltiplos de 6: Para que um número 
seja divisível por 2 e 3 simultaneamente, ele deve ser divisível por 
2 × 3 = 6 (pois 2 e 3 são também fatores primos). O maior número de 4 
algarismos vale 9999. Vamos então dividi-lo por 21 para encontrar o maior 
múltiplo de 21 de 4 algarismos: 
 
Logo, ao fazermos 9999 – 3 = 9996 (veja a explicação para isso no E11) 
encontraremos o maior múltiplo de 21 de 4 algarismos, logo, o maior 
múltiplo de 4 algarismos tanto do 3 como também do 7. 
Nota: Cuidado!!! O problema pede que o número em questão seja 
SIMULTANEAMENTE divisível por 7 e por 3. Esse número é o 9996. É 
claro que 9999 é divisível por 3 (e é maior que o número encontrado) mas 
ele não é divisível por 7. Atenção nisso! 
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E13:ALTERNATIVA B. 
 O valor máximo de a + b (sem observarmos as condições do exercício) 
vale 9 + 9 = 18 (ou seja, ocorreria quando os dois valores fossem os 
maiores possíveis). No entanto, ao somarmos os algarismos de 61125ab 
(exceto a e b) obtemos 15. Logo, o máximo valor da nossa soma (sem 
observar as condições do exercício) valeria 
15 + 18 = 33. Precisamos então obter o máximo múltiplo de 9 menor que 
33 (podemos calcular isso de forma idêntica à realizada no exercício E11 
ou E12, mas é desnecessário). É fácil concluir então que esse número é o 
27 (pois o próximo múltiplo de 9, que vale 36, passaria de 33). Logo, a 
soma de todos os algarismos vale 27, e concluímos que a + b = 
27 – 15 = 12. 
E14: Essa parte exige um pouco mais de conhecimento algébrico. Vamos 
lá: um número par pode ser representado genericamente por 2x (ou 2y ou 
2z...) Já um número ímpar pode ser representado por 2x + 1 ou também 
2x – 1 (este último deve ser evitado para não cairmos em resultados 
negativos). Disso, temos: 
Dois números pares: 2x e 2y (x , y )∈ ∈ℕ ℕ 
2
 � 2�	 � 	2	�
 � ��. 
Se x e y são naturais, �	 � � também é um natural. Temos então um natural 
(x + y) multiplicado por 2, o que o torna automaticamente divisível por 2. 
Logo, a soma de dois números pares é um número par. 
Dois números ímpares: �� � � e �� � � (x , y )∈ ∈ℕ ℕ 
2
 � 1 � 2� � 1 � 2
 � 2� � 2 � 2�
 � � � 1� 
Como x + y são naturais e 1 também é um natural, temos que x + y + 1 é 
um natural. Como temos ��� � � � �� então isso equivale a dizer que 
temos um natural multiplicado por 2, o que o torna automaticamente 
divisível por 2. Logo, a soma de dois números ímpares é um número par.	
 
 
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E15: Sendo x um natural, podemos representar 3 números em sequência 
desta maneira: x, x + 1 e x + 2. 
Vamos somá-los: 
 � �
 � 1� � �
 � 2� � 
 � 
 � 1 � 
 � 2 � 
3
 � 3 � 
3�
 � 1�	
Note novamente: (x + 1) é um natural. Temos então um natural 
multiplicado por 3, o que o torna automaticamente divisível por 3. Logo, a 
soma de 3 números naturais em sequência resulta em um número divisível 
por 3.	
 
E16: Simples. Vimos, no E15 que a soma de três números naturais em 
sequência resulta em ��� � ��. Multiplicando este resultado por 2 (o 
dobro) teremos � ⋅ 	�	�� � �� 	� 	�	�� � ��. Ou seja, temos um número 
natural (x +1) multiplicado por 6. Devido ao fator 6 (e pelo fato de ser um 
natural) tal número é divisível por 6.	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E17: O número procurado vale 3816547290 
Observação 1: O número é do tipo ímpar-par-ímpar...par. Ou seja, posições pares são ocupadas 
por algarismos pares, enquanto posições ímpares, por algarismos ímpares. A justificativa é 
simples: Para ter um divisor par, um número precisa ser par, o que obrigatoriamente o faz 
terminar em algarismo par. Um número como 3217 jamais vai ser divisível por 4, por exemplo. 
Assim, as 5 posições alternadamente pares são ocupadas por 5 algarismos pares que são, pelas 
condições do exercícios, distintos. Da mesma forma, números como 324 (2 pares seguidos, note 
o 24) são impossíveis de ocorrer. Se os pares são alternados, por exclusão, os ímpares também 
são (de modo similar, não existem números como 314, note os dois ímpares seguidos). 
Observando um pouco mais o exercício, podemos concordar com duas posições: 
A posição final é o zero (j = 0) pois para que um número seja divisível por 10 ele deve terminar 
em zero; 
A quinta posição é ocupada pelo 5, afinal para que um número seja divisível por 5 ele deve ser 
divisível por 0 ou 5. Como o zero já foi utilizado, resta o 5, portanto e = 5. 
Assim sendo, nosso número abcdefghij agora passou a ser abcd5fghi0. 
O número abcd deve ser divisível por 4, o que significa que cd é divisível por 4 (pelos critérios 
de divisibilidade por 4, lembra?) Assim sendo, cd vale 12, 16, 32, 36, 72, 76, 92 ou 96. Logo, d 
vale 2 ou 6. 
Como ��� é divisível por 3, então a soma �	 � 	�	 � 	� é divisível por 3. Como ���� ! é 
divisível por 6, então �	 � 	 	 � ! também é divisível por 3 (e f é par). Como já sabemos que 
" � 5 e d só pode valer 2 ou 6, então def vale 258 ou 654. Assim sendo, f vale 8 ou 4. 
Como abcdefgh é divisível por 8, então fgh forma um número divisível por 8. Assim sendo, 
fgh=416, 432, 472, 496, 816, 832, 872, ou 896. Assim sendo, h vale 2 ou 6 (da mesma forma 
que d). 
Logo, nenhum dos números pares restantes podem valer 2, 6 ou 0 (o zero já havia sido usado no 
começo). Assim sendo, b = 4 ou 8. Note que essa escolha afeta o valor de def (se b = 4, então 
� !	 � 	�$%. Se b = 8 então � !	 � �$&) e também afeta a escolha de h (que vale 2 ou 6). 
Usando essa regra e lembrando que não podemos repetir algarismos, concluímos que nosso 
número vale a4c258g6i0 ou a8c654g2i0. Faltam ainda os algarismos 1, 3,7, 9. Os números a4c 
e a8c são divisíveis por 3. Isso nos dá as seguintes possibilidades para abc: 147, 183, 189, 381, 
387, 741, 783, 789, 981, ou 987. E os números fgh, como vistos, 416, 432, 472, 496, 816, 832, 
872, ou 896. Como abc e fgh estão relacionados, se abc for 147 ou 741 (supondo que nosso 
número comece com a4c) então necessariamente fgh valerá 896). Se o nosso número for a8c 
(segunda possibilidade para início da sequência) então, necessariamente, fgh valerá 432 ou 472. 
Vamos testar as possibilidades e ver se a divisibilidade por 7 é verificada em algum caso: 
1472589 (não se verifica) 7412589 (não se verifica). Logo, resta apenas a segunda 
possibilidade: fgh vale 432 ou 472. Logo, os valores possíveis para a8c foram reduzidos 
para:183, 189, 381, 387, 783, 789, 981, ou 987. 
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São relativamente poucas as tentativas agora, que precisam ser verificadas até a sétima casa para 
conferir se o resultado obtido é divisível por 7: Para abc valendo 183, fgh não pode valer 432 
(devido ao 3) então temos 1836547 (não é divisível por 7). 1896543 (não é divisível por 7) 
1896547 (não é divisível por 7). Finalmente, temos 3816547 que é divisível por 7. Logo, i 
(único algarismo que restou) vale 9 e temos o número 3816547290 que verifica as condições 
exigidas.