livro calculo

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PRÉ-CÁLCULO 
 
1ª edição 
 
 
 
Wellington Ribeiro dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Desenvolvimento de Materiais Didáticos – CEMAD 
 
Araras – SP 
2019
© 2019 Fundação Hermínio Ometto – FHO 
Todos os Direitos Reservados 
 
 
Reitor 
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Centro de Desenvolvimento de Materiais Didáticos – CEMAD 
 
 
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FICHA CATALOGRÁFICA 
Elaborada pela Biblioteca “DUSE RÜEGGER OMETTO” 
- UNIARARAS - 
 
 
 
S237p 
 
Santos, Wellington Ribeiro dos. 
 Pré-cálculo. / Wellington Ribeiro dos Santos. – 1. ed. – Araras, SP: 
Fundação Hermínio Ometto-FHO/CEMAD, 2019. 
280 p.. il. 
 
ISBN: 978-85-60433-78-0 
 
1. Pré-cálculo – Estudo e ensino. I. Fundação Hermínio Ometto – FHO. 
II. Centro de Desenvolvimento de Materiais Didáticos – CEMAD III. Título. 
 
CDD 515.3 
 
Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida sem a autorização, por escrito, da 
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Fundação Hermínio Ometto – FHO 
Av. Dr. Maximiliano Baruto – 500 
Jardim Universitário – 13607-339 – Araras – SP
Sumário 
 
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 8 
Capítulo 1 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................ 10 
CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................... 11 
INTRODUÇÃO E SIMBOLOGIA UTILIZADA ............................................................. 11 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .............................................................. 13 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ............................................................... 14 
 ALGUNS SUBCONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS ............................................. 15 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ............................................................ 15 
TRANSFORMANDO NÚMEROS DECIMAIS EM FRAÇÕES ........................................ 16 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ......................................................... 18 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ..................................................................... 19 
INTERVALOS NUMÉRICOS (NOÇÃO E SIMBOLOGIA) .............................................. 19 
Exercícios ............................................................................................................ 23 
Gabarito .................................................................................................................. 27 
 
Capítulo 2 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ............. 29 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS: ORDEM DE RESOLUÇÃO .............................................. 30 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ................................................................................. 31 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES ..................................................................... 33 
CALCULANDO O M.M.C. ....................................................................................... 34 
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES .............................................................................. 35 
DIVISÃO DE FRAÇÕES .......................................................................................... 36 
Exercícios ............................................................................................................ 40 
Gabarito .................................................................................................................. 45 
 
Capítulo 3 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU ............................................................... 48 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU ...................................................................................... 49 
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU ....................................................... 49 
MÉTODO DA BALANÇA ........................................................................................ 50 
MÉTODO RESUMIDO: OPERAÇÕES INVERSAS ....................................................... 51 
Exercícios Resolvidos ........................................................................................... 51 
PROBLEMAS COM EQUAÇÕES DO 1º GRAU .......................................................... 54 
Exercícios ............................................................................................................ 61 
Gabarito .................................................................................................................. 66 
 
Capítulo 4 
SISTEMAS LINEARES .................................................................... 67 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 2X2 ............................................................. 68 
O MÉTODO DA ADIÇÃO ....................................................................................... 68 
O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO ............................................................................. 70 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS LINEARES .......................... 72 
Exercícios ............................................................................................................ 76 
Gabarito .................................................................................................................. 79 
 
Capítulo 5 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ............................................................... 81 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ........................................................................................ 82 
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO ................................................................................... 83 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS ....................................... 84 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS .......................................... 88 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 2º GRAU ............................................................ 91 
Exercícios ............................................................................................................ 97 
Gabarito ................................................................................................................ 103 
 
 
Capítulo 6 
FUNÇÃO DO 1º GRAU ................................................................ 106 
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO .......................................................................... 107 
TIPOS DE FUNÇÕES ............................................................................................ 107 
IDENTIFICANDO UMA FUNÇÃO .......................................................................... 108 
FUNÇÃO DO 1º GRAU ........................................................................................ 110 
CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E INTERVALOS ONDE f(x) > 0 OU f(x) < 0 .......... 110 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU ............................................................ 113 
Determinando uma função do 1º grau: .............................................................. 116 
Exercícios .......................................................................................................... 122 
Gabarito ................................................................................................................ 130 
 
Capítulo 7 
FUNÇÃO DO 2º GRAU ................................................................ 132 
FUNÇÃO DO 2º GRAU (Resumo) .........................................................................133 
ESBOÇO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU ......................................... 133 
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA ........................................................................... 134 
PASSOS PARA ESBOÇAR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU (Parábola) ... 135 
INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO ............................................ 138 
INTERVALOS EM QUE f(x) > 0 E f(x) < 0 ............................................................... 140 
PROBLEMAS ENVOLVENDO A FUNÇÃO QUADRÁTICA ......................................... 143 
Exercícios .......................................................................................................... 148 
Gabarito ................................................................................................................ 154 
 
Capítulo 8 
REVISÃO DE POTENCIAÇÃO ....................................................... 156 
POTENCIAÇÃO ................................................................................................... 157 
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO ..................................................................... 159 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................. 166 
Exercícios .......................................................................................................... 169 
Gabarito ................................................................................................................ 175 
 
Capítulo 9 
FUNÇÃO EXPONENCIAL ............................................................. 179 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ............................................................... 180 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL ......................................................... 181 
PROBLEMAS ENVOLVENDO A FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................ 183 
Exercícios .......................................................................................................... 189 
Gabarito ................................................................................................................ 194 
 
Capítulo 10 
LOGARITMO .............................................................................. 197 
INTRODUÇÃO .................................................................................................... 198 
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO ............................................................................... 199 
CÁLCULO DE LOGARITMOS PELA DEFINIÇÃO ...................................................... 200 
NOTAÇÕES ESPECIAIS E LOGARITMO NEPERIANO ............................................... 201 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LOGARITMOS ................................................ 203 
MUDANÇA DE BASE ........................................................................................... 205 
LOGARITMOS NA CALCULADORA CIENTÍFICA ..................................................... 206 
PROBLEMAS E APLICAÇÕES DE LOGARITMOS ..................................................... 207 
Exercícios .......................................................................................................... 212 
Gabarito ................................................................................................................ 218 
 
Capítulo 11 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO ............................................................................ 221 
TRIÂNGULO RETÂNGULO E NOMENCLATURA ..................................................... 222 
O TEOREMA DE PITÁGORAS ............................................................................... 222 
RELAÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE ............................................................ 223 
O seno de um ângulo ......................................................................................... 224 
O cosseno de um ângulo .................................................................................... 225 
A tangente de um ângulo ................................................................................... 225 
ARCOS NOTÁVEIS .............................................................................................. 229 
A RELAÇÃO FUNDAMENTAL ............................................................................... 230 
Exercícios .......................................................................................................... 236 
Gabarito ................................................................................................................ 249 
 
Capítulo 12 
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS.................................... 255 
LEI DOS SENOS .................................................................................................. 256 
LEI DOS COSSENOS ............................................................................................ 257 
Exercícios .......................................................................................................... 260 
Gabarito ................................................................................................................ 266 
 
REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 274 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ............................................................................... 282 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caro leitor! 
 
Gostaria de parabenizá-lo pela atitude, vontade e esforço em busca 
do conhecimento científico. Este tipo de conhecimento vem se tornando 
indispensável na “sobrevivência” no mundo moderno e tão competitivo 
que estamos inseridos. Todo seu sucesso nessa jornada, em especial, 
àquele que está relacionado ao aprendizado matemático, depende de seus 
esforços e será diretamente proporcional a eles. Este livro será útil para 
estudantes que ingressaram no Ensino Superior, em cursos na área de 
Exatas, e proporcionará uma base matemática para acompanhar, de forma 
eficiente, as primeiras disciplinas de tais cursos. Todo o material foi 
organizado para atender às suas necessidades e nele apresento o conteúdo 
de forma resumida, seguido de exemplos e exercícios para a sua 
autoavaliação; tudo em uma linguagem simples e direta, sem 
preocupações excessivas com a formalidade. É importante salientar que os 
temas trabalhados não seguem uma ordem ou estrutura de Ensino 
Fundamental ou Ensino Médio, como estamos acostumados com os livros 
didáticos utilizados em escolas e colégios por todo o País; muito pelo 
contrário, o objetivo aqui é dar suporte e proporcionar aprendizado 
eficiente em conceitos que considero fundamentais para iniciar um curso 
na área de Exatas, em especial, as Engenharias. 
 
 
 
 
 
 
Espero que você possa criar seu próprio universo de estudos e que, 
aos poucos, elabore estratégias para facilitar seu aprendizado. Não existe 
uma fórmula pronta, você irá descobrir as melhores formas de estudo, de 
acordo com suas características, seus objetivos pessoais e sua vivência na 
área. O que é certo é a necessidade de entrega e dedicação aos estudos. 
Aproveite ao máximo as listas de exercícios no final de cada capítulo e 
lembre-se de que um problema é sempre diferente do anterior, por mais 
parecidos que sejam; sempre temos algo a aprender com um problema ou 
exercício. Por isso, sinta-se desafiado e não desista na primeira tentativa; a 
prática leva à perfeição! Faça resumos, anotações, estude em grupo, 
busque de alguma forma estar sempre conectado com os assuntos e você 
verá resultados satisfatórios durante o processo. 
Desejo a você sucesso profissional e que consiga atingir seus 
objetivos com excelência, sendo perseverante e honesto em qualquer 
situação, sem abrir mão dos seus valores. Bons estudos e aproveite ao 
máximo essa experiência. 
 
 ↑ 
Sumário 
 
8 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
 
 
 
Síntese: Neste capítulo, você terá uma 
introdução históricada formação dos principais 
conjuntos e subconjuntos numéricos e toda 
simbologia utilizada para suas representações. A 
ênfase deste capítulo está na sessão de Números 
Racionais, onde você irá aprender técnicas para 
transformar números decimais em frações ou 
vice-versa e também na utilização correta da 
simbologia matemática. Toda a teoria foi 
fundamentada nos livros da bibliografia 
consultada e também de acordo com a minha 
própria vivência na área. Não deixe de resolver os 
exercícios ao final do capítulo e de conferir seus 
resultados com o gabarito. 
11 ↑ 
Sumário 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os conjuntos numéricos constituem um ramo muito importante da 
Matemática. Podemos ter um conjunto formado por “alunos que usam óculos em 
determinada sala de aula”, ou o conjunto dos “números que não podem ser escritos na 
forma de fração” e até mesmo o conjunto dos “números inteiros compreendidos entre 
−10 e 2”. Seja qual for o tipo de conjunto, a noção é exatamente esta: um conjunto é 
uma coleção de elementos, geralmente, com alguma característica em comum, em 
outras palavras, obedecem a certa propriedade (IEZZI et al., 2004). 
Os principais conjuntos numéricos estudados em Matemática são: Números 
Naturais (ℕ), Números Inteiros (ℤ), Números Racionais (ℚ), Números Irracionais (𝕀𝕀), 
Números Reais (ℝ) e Números Complexos ( ). Além desses conjuntos, temos seus 
subconjuntos, que podem ser formados seguindo uma determinada propriedade. Veja 
o exemplo: 
 
Exemplo 1.1 
A = {x ∈ ℤ| − 10 ≤ x < 2} = {−10; −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1} 
 
Lê-se: “A é igual a x pertencente aos inteiros, tal que −10 é menor ou igual a x, 
que é menor que 2”. Outra maneira: “A é o conjunto dos Números Inteiros x, tal que 
esteja entre −10 e 2, incluindo o −10”. 
Observe que um conjunto pode ser escrito por meio de uma simbologia específica 
ou descrevendo cada um de seus elementos (quando for possível). Neste caso, a 
propriedade obedecida pelos elementos é: “estar compreendido entre −10 e 2, incluindo 
o −10”. Note que cada conjunto tem um nome, no exemplo, o nome dado foi “A”. 
 
INTRODUÇÃO E SIMBOLOGIA UTILIZADA 
Como vimos, muitos conjuntos serão descritos por uma simbologia própria da 
linguagem Matemática. Para compreendermos melhor o estudo dos conjuntos 
numéricos ou qualquer tema em Matemática, devemos, primeiramente, entender a 
12 ↑ 
Sumário 
 
linguagem utilizada e, por isso, apresentamos uma tabela com diversos símbolos 
matemáticos que serão úteis no decorrer dos capítulos. 
 
Principais símbolos matemáticos. 
Símbolo Significado Símbolo Significado 
∈ Pertence > Maior que 
∉ Não pertence < Menor que 
| Tal que ≥ Maior ou igual 
⊂ Está contido ≤ Menor ou igual 
⊄ Não está contido ∀ Para todo 
⊃ Contém ± Mais ou menos 
! Fatorial ℂ Números Complexos 
≠ Diferente ∞ Infinito 
Σ Somatório log Logaritmo 
A

 Vetor lim Limite 
∅ Conjunto vazio ⇔ Se e somente se 
∴ Portanto ⇒ Implica 
∪ União ≅ Aproximadamente igual 
∩ Intersecção ≡ Equivalente 
∃ Existe f ’, y ’ou 
dy
dx
 Derivada 
∄ Não existe ∫ Integral 
∃! Existe um único f (x) Função 
⊥ Ortogonal 
y
x
∂
∂
 Derivada parcial 
 
 
13 ↑ 
Sumário 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
Sociedade neanderthal. 
 
Fonte: Newsela (2017, s/p). 
 
“Um”, “dois”, “três”... São os números que “dizemos” naturalmente quando 
necessitamos contar objetos. Esses números são chamados de Números Naturais e 
são representados pela letra ℕ. Originalmente, o número 0 (zero) não pertencia a 
este conjunto, mas, pela necessidade de representar uma quantidade nula, incluímos o 
0 ao conjunto dos Naturais (EVES, 2004). A maioria dos sistemas de numeração 
desenvolvidos ao longo da história tem como base os números 5 e 10, numa referência 
à quantidade de dedos que temos nas mãos. 
ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} 
 
Caso necessite escrever qualquer conjunto sem o zero, insira o símbolo ∗ na 
parte superior de seu nome: 
ℕ∗ = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ⇒ “O zero não pertence ao conjunto”. 
 
14 ↑ 
Sumário 
 
Operações Permitidas: No conjunto dos Números Naturais estão definidas 
apenas duas operações matemáticas: adição e multiplicação (IEZZI et al., 2004). Note 
que, ao escolher dois números aleatoriamente, a operação de subtração, por exemplo, 
pode gerar um resultado não pertencente a este conjunto: 
 
Exemplo 1.2 
Usando os números 3 e 10 podemos obter 3 − 10 = −7. 
O resultado −7 era um número “desconhecido” e, assim, surgiu a necessidade 
de outro conjunto numérico: “os Números Inteiros”. 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Representado pela letra ℤ, o conjunto dos Números Inteiros reúne todos os 
Números Naturais e também os seus opostos (números negativos): 
ℤ = {...; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} 
 
Da mesma forma que em ℕ, basta inserir o símbolo ∗ para excluir o 0 (zero) do 
conjunto: 
ℤ∗ = {...; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; ...} 
 
Note que todo número natural é também um número inteiro. Dizemos, então, 
que o conjunto dos Números Naturais está contido no conjunto dos Números Inteiros, 
e representamos por: ℕ ⊂ ℤ. 
 
 
15 ↑ 
Sumário 
 
ALGUNS SUBCONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS 
Em alguns momentos, representaremos os números inteiros que “não são 
negativos” ou que “não são positivos” e usaremos os símbolos: 
ℤ+ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} são os números inteiros não negativos. Observe que o 
zero não é positivo e nem negativo; o zero é nulo. Por conta do zero, não podemos dizer 
que ℤ+ é o conjunto dos Números Inteiros Positivos. 
ℤ− = {...; −5; −4; −3; −2; −1; 0} são os números inteiros não positivos. 
ℤ∗+ = {1; 2; 3; 4; 5; ...} são os números inteiros não negativos, sem o zero. 
ℤ∗- = {...; −5; −4; −3; −2; −1} são os números inteiros não positivos, sem o zero. 
Operações Permitidas: No conjunto dos Números Inteiros estão definidas três 
operações matemáticas: adição, subtração e multiplicação. Note que, ao escolher dois 
números aleatoriamente, a operação de divisão pode gerar um resultado não 
pertencente a esse conjunto. 
 
Exemplo 1.3 
Usando os números 5 e 2, podemos obter 5 ÷ 2 = 2,5. 
O resultado 2,5 não pertence aos números inteiros. Assim, surgiu a necessidade 
de outro conjunto numérico: “os Números Racionais”. 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Os Números Racionais são todos os números que podem ser escritos na forma 
de fração, são os números dos dois conjuntos anteriores (Naturais e Inteiros), os 
decimais finitos e as dízimas periódicas. Podemos dizer que o conjunto dos Números 
Racionais é uma “ampliação” dos Números Inteiros. Agora, é possível realizar as quatro 
operações: adição, subtração, multiplicação e divisão (IEZZI et al., 2004). 
3 7
5; ; 1; 0,888...;0;2; ;4,2121...;10;...
2 3
 = − − − − 
 
 
16 ↑ 
Sumário 
 
Este conjunto tem uma representação simbólica: 
*| 
p
p eq
q
 
= ∈ ∈ 
 
    
 
Lê-se: O conjunto dos Números Racionais é formado por números na forma “p” 
sobre “q”, tal que “p” pertença aos Números Inteiros e “q” pertença aos Números 
Inteiros Não Nulos. O denominador q deve ser diferente de zero, pois, em Matemática, 
não existe divisão por zero. 
 
 
TRANSFORMANDO NÚMEROS DECIMAIS EM FRAÇÕES 
1º Caso: Decimais finitos 
Para transformar números decimais finitos em fração, devemos dividir “todo” 
o número, sem considerar a vírgula, por 10, 100, 1.000, 10.000, e assim sucessivamente, 
de acordo com a quantidade de casas depois da vírgula que o número possuir. Veja os 
exemplos: 
 
 
Observações: 
1) Todo número inteiro é um número racional, basta 
considerar o denominador da fração como 1. 
2) Toda dízima periódica é um número racional 
(pode ser transformada em fração). 
Veremos, a seguir, um processo que permite 
transformar qualquer decimal finito ou dízima periódica em 
frações e, futuramente, utilizaremos para simplificar e 
calcular expressões numéricas. 
 
17 ↑ 
Sumário 
 
Exemplo 1.4 
a) 25 5 10,25
100 20 4
= = = 
b) 34141413,414141
1000000= 
c) 220122,01
100
= 
d) 000078 78 36 18 90,0078
100000 100000 50000 25000 12500
= = = = = 
e) 1542915,429
1000
= 
 
2º Caso: Dízimas periódicas 
O processo para encontrar a fração geratriz, em outras palavras, transformar o 
número decimal em fração, exige um pouco mais de cuidado. Vamos analisar a regra 
prática e compreender melhor, por meio dos exemplos: 
Passo 1: Identifique o período do número, que são os dígitos que se repetem a 
partir de algum momento. A quantidade de dígitos do período será responsável pelos 
números 9 que aparecerão no denominador da fração geratriz. 
Passo 2: Conte os dígitos depois da vírgula que não fazem parte do período. A 
quantidade de dígitos não pertencentes ao período será responsável pelos zeros no 
denominador, isso quando houver. 
Passo 3: Monte a fração. O numerador será todo o número até o primeiro 
período, menos a parte que não se repete. O denominador será composto por 9 e 0, 
nessa ordem, de acordo com os passos 1 e 2. 
 
 
 
 
18 ↑ 
Sumário 
 
Exemplo 1.5 
a) 5 0 50,5555...
9 9
−
= = 
b) 7 0 70,77777...
9 9
−
= = 
c) 9 0 90,9999... 1
9 9
−
= = = 
d) 13 0 130,131313131...
99 99
−
= = 
e) 2502 25 247725,02020202...
99 99
−
= = 
f) 1423 1 14221,423423423423...
999 999
−
= = (423 ⇒ 999) 
g) 300341 3003 29733830,0341414141...
9900 9900
−
= = (41 ⇒ 99 e 03 ⇒ 00) 
h) 8241 824 74178,24111111...
900 900
−
= = (1 ⇒ 9 e 24 ⇒ 00) 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
Os números decimais que não podem ser escritos na forma de fração formam 
o chamado conjunto dos Números Irracionais, o qual é representado por 𝕀𝕀. Abrange os 
números decimais não exatos, que possuem uma representação infinita e não periódica 
(não apresentam um padrão de repetição). 
𝕀𝕀 }{...; 4,965156...; 2; 3; ; 12; 98,6268...;...π= − 
 
Observação: Os conjuntos dos Números Racionais e Irracionais não possuem 
intersecção, isto é, não existe um número que seja racional e irracional ao mesmo 
tempo. São dois conjuntos completamente distintos. 
ℚ ∩ 𝕀𝕀 = ∅ (A intersecção dos dois conjuntos é um conjunto vazio). 
19 ↑ 
Sumário 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
O conjunto dos Números Reais, representado por ℝ, é formado pela união dos 
Números Racionais com os Números Irracionais (DANTE, 2005). Em símbolos: =  ∪ 𝕀𝕀. 
Note que todo número natural é um número inteiro, e todo número inteiro é 
um número racional; este último conjunto faz parte do conjunto dos Números Reais, 
assim, podemos simbolizar a inclusão de conjuntos da seguinte forma: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. 
 
 
INTERVALOS NUMÉRICOS (NOÇÃO E SIMBOLOGIA) 
Muitos dos subconjuntos dos Números Reais podem ser representados na 
forma de um intervalo. Vamos analisar os principais casos e compreender sua escrita e 
representação na reta. Para isso, consideramos os números reais a e b, com a < b. 
 
1º) Intervalo Fechado: [a, b] = {x ∈ ℝ| a ≤ x ≤ b} 
Os valores de x estão compreendidos entre a e b, incluindo os extremos. 
Exemplo: [−2, 3] = {x ∈ ℝ| − 2 ≤ x ≤ 3}. 
Observe que, na imagem, os extremos são representados por “bolinhas 
fechadas”. 
 
20 ↑ 
Sumário 
 
2º) Intervalo Aberto: ] a, b [= {x ∈ ℝ| a < x < b} 
Os valores de x estão compreendidos entre a e b, excluindo os extremos. 
Exemplo: ]−2, 3[ = {x ∈ ℝ| − 2 < x < 3}. 
Observe que, na imagem, os extremos são representados por “bolinhas 
abertas”. 
 
 
3º) Intervalo Fechado à Direita: ]a, b] = {x ∈ ℝ| a < x ≤ b} 
Os valores de x estão compreendidos entre a e b, incluindo o extremo b. 
Exemplo: ] − 2, 3] = {x ∈ R| − 2 < x ≤ 3}. 
Observe que, na imagem, o extremo −2 é representado por “bolinha aberta” e 
o extremo 3 é representado por “bolinha fechada”. 
 
 
4º) Intervalo Fechado à Esquerda: [a, b[= {x ∈ ℝ| a ≤ x < b} 
Os valores de x estão compreendidos entre a e b, incluindo o extremo a. 
Exemplo: [−2, 3[= {x ∈ ℝ| − 2 ≤ x < 3}. 
Observe que, na imagem, o extremo −2 é representado por “bolinha fechada” 
e o extremo 3 é representado por “bolinha aberta”. 
 
 
 
 
 
21 ↑ 
Sumário 
 
5º) Intervalo Infinito: ] −∞, b] = {x ∈ ℝ| x ≤ b} 
Os valores de x são menores ou iguais a b. 
Exemplo: ] − ∞, 3] = {x ∈ ℝ| x ≤ 3}. 
Observe que, na imagem, os valores de x são números tão pequenos quanto se 
queira, incluindo o 3. 
 
 
6º) Intervalo Infinito: ] −∞, b[ = {x ∈ ℝ| x < b} 
Os valores de x são menores que b. 
Exemplo: ]−∞, 3[ = {x ∈ ℝ| x < 3}. 
Observe que, na imagem, os valores de x são números tão pequenos quanto se 
queira, excluindo o 3. 
 
 
7º) Intervalo Infinito: [b, +∞ [= {x ∈ ℝ| x ≥ b} 
Os valores de x são maiores ou iguais a b. 
Exemplo: [−2, +∞ [= {x ∈ ℝ| x ≥ −2}. 
Observe que, na imagem, os valores de x são números tão grandes quanto se 
queira, incluindo o −2. 
 
 
 
 
 
22 ↑ 
Sumário 
 
8º) Intervalo Infinito: ]b, +∞[= {x ∈ ℝ| x > b} 
Os valores de x são maiores que b. 
Exemplo: ] − 2, +∞[= {x ∈ ℝ| x > −2}. 
Observe que, na imagem, os valores de x são números tão grandes quanto se 
queira, excluindo o −2. 
 
 
23 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1. Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações a seguir: 
a) ( ) 3
4
∈ℚ 
b) ( ) 1,57329...∈ℚ 
c) ( ) 0∈ℚ 
d) ( ) ℕ ⊂ ℤ 
e) ( ) ℤ ⋂ ℤ+ = 0 
f) ( ) 17
9
∉ℚ 
g) ( ) 12− ∉ℝ 
h) ( ) 62∈ℚ 
i) ( ) 0,11111...∈ℚ 
j) ( ) 0∉ℤ* 
k) ( ) 1,9999∈ℕ 
l) ( ) 1,9999...∈ℕ 
m) ( ) 10− ∉  
n) ( ) *+ ℕ 
o) ( ) + ⊃ ℕ 
p) ( ) 12
3
∈ℕ 
 
2. Usando os símbolos ⊂ e ⊄, relacione os conjuntos numéricos a seguir, na ordem 
estabelecida: 
a) ℚ ____ ℚ* 
b) ℕ ___ ℤ 
c) ℕ ___ ℚ 
d) ℚ ____ ℕ 
e) ℝ ____ 𝕀𝕀 
f) 𝕀𝕀 ____ ℝ* 
g) ℤ ___ ℤ_ 
h) ℕ*___ ℤ 
i) 𝕀𝕀 ____ ℚ 
j) ℤ+ ____ ℕ 
 
24 ↑ 
Sumário 
 
3. Encontre a fração geratriz para cada um dos números decimais a seguir: 
a) 0,41 
b) 0,414141... 
c) 2,3262626... 
d) 15,133333... 
e) 68,00251515151... 
f) 1,2604040404... 
g) 2,356 
h) 4,5801 
 
4. Se A = {a, b}, classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as afirmações a seguir: 
a) ( ) { }b ∈A 
b) ( ) { }b ⊂ A 
c) ( ) ∅ A 
d) ( ) ∅ ⊂ A 
e) ( ) { }a ⊂ A 
f) ( ) b ⊂ A 
 
5. Dado o conjunto U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, determine: 
a) O subconjunto A dos números menores que 5. 
b) O subconjunto B dos números maiores que 3 e menores ou iguais a 6. 
c) O subconjunto C dos números pares maiores que 6. 
d) O subconjunto D dos números ímpares maiores que 7. 
 
6. Sendo A = {7, –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, determine: 
a) A ⋂ B b) A ⋃ B 
 
7. Seja A = { x ∈ ℤ+ | x < 15 e x = 2p, p ∈ ℕ} e B = { x ∈ ℤ+ | x < 30 e x = 3p, p ∈ ℕ}, 
descreva: 
a) Os elementos do conjunto A. 
b) Os elementos do conjunto B. 
c) A ⋃ B 
d) A ⋂ B 
 
25 ↑ 
Sumário 
 
8. (FCC/DPESP, Oficial de Defensoria Pública, 2008, Questão no 27) Sendo x e y números 
naturais, o resultado da divisão de x por y, obtido com o auxílio de uma calculadora, foi 
a dízima periódica 3,333... Dividindo-se y por x, nessa calculadora, o resultado obtido 
será igual a: 
a) 1,111... 
b) 0,9 
c) 0,333... 
d) 0,3 
e) 0,111... 
 
9. (FCC/TRT, Auxiliar Judiciário, 2007, Questão no 24) O número 0,0202 pode ser lido como: 
a) Duzentos e dois milésimos. 
b) Duzentos e dois décimos de milésimos. 
c) Duzentos e dois centésimos de milésimos. 
d) Duzentos e dois centésimos. 
e) Duzentos e dois décimos de centésimos. 
 
10. (FCC/TRF, Auxiliar Judiciário, 2007, Questão no 25) Calculando os 38% de vinte e 
cinco milésimos, obtém-se: 
a) 95 décimos de milésimos. 
b) 19 milésimos. 
c) 95 milésimos. 
d) 19 centésimos. 
e) 95 centésimos. 
 
11. (UECE, 2009, Questão no 19, adaptada) Se S e P são, respectivamente, a soma e o 
produto dos seis menores números naturais primos, então o número racional P
S
 
pertence ao intervalo: 
a) [700; 750] 
b) [750; 800] 
c) [800; 850] 
d) [850; 900] 
e) [900; 950] 
26 ↑ 
Sumário 
 
12. Assinale a alternativa que apresentaum número irracional, ou seja, um número que 
não pode ser escrito na forma de fração. 
a) 12
3
 
b) 
1
2
−
π π 
c) 
2
4log 
d) 9
3
 
e) 
3
1
27log
 
 
13. Sem o auxílio da calculadora, encontre o valor de 5
0,6666...
e assinale a alternativa 
correta: 
a) 3,3333... 
b) 3 
c) 0,12121... 
d) 0,12 
e) 7,5 
 
14. Sem o auxílio da calculadora, encontre o valor numérico da expressão: 
3,999... 0,5
2,25
− . 
a) 3 b) 2 c) 1 d) –0,5 e) –1 
 
15. (UECE, 2009, Questão no 15, adaptada) Todo número inteiro positivo pode ser 
representado de maneira única, como uma soma na qual cada parcela é uma potência 
de 2. Por exemplo, o número 45 ( 0 2 3 545 2 2 2 2= + + + ) é representado como uma soma 
de quatro parcelas. Nessas condições, o número de parcelas da soma que representa o 
número 100 é: 
a) Quatro. 
b) Seis. 
c) Cinco. 
d) Três. 
e) Sete. 
 
27 ↑ 
Sumário 
 
Gabarito 
1. 
a) V 
b) F 
c) V 
d) V 
e) F 
f) F 
g) F 
h) V 
i) V 
j) V 
k) F 
 
l) V 
m) F 
n) V 
o) V 
p) V 
 
2. 
a) ⊄ 
b) ⊂ 
c) ⊂ 
d) ⊄ 
e) ⊄ 
f) ⊂ 
g) ⊄ 
 
h) ⊂ 
i) ⊄ 
j) ⊂ 
 
3. 
a) 41
100
 
b) 41
99
 
c) 2303
990
 
d) 1362
90
 
e) 6732249
99000
 
f) 12478
9900
 
g) 2356
1000
 
h) 45801
10000
 
28 ↑ 
Sumário 
 
4. 
a) F b) V c) F d) V e) V f) F 
 
5. 
a) A = {0,1,2,3,4} 
b) B = {4,5,6} 
c) C = {8} 
d) D = ∅ ou D = { } 
 
6. 
a) A ⋂ B = {1,3,5,7} 
b) A ⋃ B = {–7, –5, –3, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
 
7. 
a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
b) B = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
c) A ⋃ B = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
d) A ⋂ B = {0, 6, 12} 
 
8. d) 
 
9. b) 
 
10. a) 
 
11. a) 
 
 
12. d) 
 
13. e) 
 
14. c) 
 
15. d) 
29 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS E 
OPERAÇÕES 
 COM FRAÇÕES 
 
 
 
 
Síntese: Neste capítulo, você recordará 
como resolver uma expressão numérica, dos 
mais variados níveis, e a realizar as principais 
operações matemáticas com frações. O foco do 
capítulo será as operações com frações, conceito 
fundamental para diversas disciplinas de cursos 
da área de Exatas. Não deixe de resolver os 
exercícios ao final do capítulo e de conferir seus 
resultados com o gabarito. 
 
 
 
 
 
 
 
30 ↑ 
Sumário 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS: ORDEM DE RESOLUÇÃO 
Uma expressão numérica é formada, basicamente, por várias operações 
matemáticas: potências, raízes, multiplicação, divisão, adição, subtração e também por 
sinais de agrupamento – parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }. Existe uma ordem de 
resolução, tanto para os sinais de agrupamento quanto para as operações. Veja: 
 
Caso I: Sinais de agrupamento 
1º: Resolve-se o que está no interior dos parênteses ( ). 
2º: Eliminados os parênteses, resolve-se o interior dos colchetes [ ]. 
3º: Por último, resolve-se o interior das chaves { }. 
 
Caso II: Operações Matemáticas 
1º: Resolve-se, na ordem que aparecem, potências e raízes. 
2º: Em seguida, resolve-se, na ordem que aparecem, multiplicação e divisão. 
3º: Por último, resolve-se, na ordem que aparecem, adição e subtração. 
 
Exemplo 2.1 
Resolva as expressões numéricas a seguir: 
1. 2 2 2 2 10 0[(4 2 3 ) (16: 8) 35] 1 10+ ⋅ + − + − 
 2 2[(16 2 9) (2) 35] 1 1+ ⋅ + − + − 
 2[(16 18) 4 35] 0+ + − + 
 2[34 4 35]+ − 
 2[3] 
 9 
 
31 ↑ 
Sumário 
 
2. ( ){ }2 43 4 15 2 5 1 7 3 8 100 ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −  
 ( ){ }3 4 15 4 5 7 81 80 ⋅ + ⋅ − + ⋅ −  
 [ ]{ }3 4 60 5 7 1⋅ + − + ⋅ 
 [ ]{ }3 64 5 7⋅ − + 
 { }3 64 12⋅ − 
 3 52⋅ 
 156 
 
3. ( ) ( )223 2 5 23 3 7 : 2 2 5 9 4 10  + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +     
 ( ) ( ){ }2 227 21 : 4 32 25 9 2 10 + ⋅ ⋅ − ⋅ +  
 ( ) ( ){ }2 248 : 4 800 18 10 ⋅ − +  
 ( ){ }22034 : 4 800 28 ⋅ −  
 [ ]{ }2034 : 4 800 784⋅ − 
 { }2034 : 4 16⋅ 
 2034 : 64 
 36 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
Resolver expressões com números racionais (frações) é fundamental para a 
resolução de diversos problemas. A seguir, temos um exemplo típico do curso de Cálculo 
Diferencial e Integral I: o cálculo de áreas de regiões não poligonais. 
32 ↑ 
Sumário 
 
Exemplo 2.2 
Calcule a área da região em destaque, na figura: 
 
 
 
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I, você aprenderá que a área em 
destaque será encontrada por meio do cálculo de uma Integral Definida. No momento, o 
que nos interessa é o final do processo, onde aparecem os cálculos envolvendo frações: 
 
Resolução: 
( )
1
1 1
2 2
2
³ ²
2 ² 3 2 2. 3. 2.
3 2
x x
área f x dx x x dx x− −
−
= = + + = + + ∫ ∫   
 
1³ 1² ( 2)³ ( 2)²
2. 3. 2.1 2. 3. 2.( 2)
3 2 3 2
− −   = + + − + + −   
   
 
2 3 16
2 6 4
3 2 3
−   = + + − + −   
   
 
 
33 ↑ 
Sumário 
 
2 3 16
2 6 4
3 2 3
= + + + − + 
2 3 16
3 2 3
= + + 
4 9 32 45 15
7,5
6 6 2
+ +
= = = = 
 
Portanto, a área da região é 7,5 cm². 
Não se preocupe com o início do cálculo (são conceitos de Cálculo Diferencial e 
Integral I). Você deve perceber a importância de resolver expressões com números 
racionais e ter em mente que este tipo de cálculo será útil futuramente. 
A seguir, acompanhe um resumo das principais operações com números 
racionais. É importante que o estudante resolva muitos exercícios para melhor fixar as 
ideias; quanto mais, melhor! 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
Processo prático 
1. Calcule o m.m.c. dos 
denominadores. 
2. Encontre as frações 
equivalentes com 
denominadores iguais ao 
m.m.c. 
3. Faça a adição (ou 
subtração) dos 
numeradores e mantenha 
o denominador. 
4. Simplifique, se possível. 
34 ↑ 
Sumário 
 
CALCULANDO O M.M.C. 
Números Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... 
 
 
 
Devemos transformar as frações envolvidas em frações equivalentes com 
mesmo denominador (Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C.). Feito isso, basta somar ou 
subtrair os numeradores e manter o denominador. Para o cálculo do M.M.C. entre dois 
ou mais números, usamos o processo das divisões pelos fatores primos: 
M.M.C. (10, 15, 6) = 30 
M.M.C. (4, 5, 6) = 60 
M.M.C. (10, 15, 8 ) = 120 
 
Veja alguns exemplos: 
1. 2 2 5 2 15 2 15 175
3 3 1 3 3 3 3
+
+ = + = + = = 
2. 3 5 1 30 25 4 30 25 4 9
2 4 5 20 20 20 20 20
− +
− + = − + = = 
3. 2 3 1 4 9 5 30 4 9 5 30 301 1
15 10 6 30 30 30 30 30 30
− + − −
− + − = − + − = = = − 
4. 10 4 3 5 400 96 36 75 400 96 36 75 457
3 5 10 8 120 120 120 120 120 120
− + −
− + − = − + − = = 
5. 2 5 3 1 2 5 3 1 8 30 9 6 19
3 2 4 2 3 2 4 2 12 12
− + − + − + − − = − + − + = = 
 
 
35 ↑ 
Sumário 
 
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 
Para multiplicar duas ou mais frações, é bem simples. Basta multiplicar o 
numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador. Veja: 
a c ac
b d bd
⋅ = 
 
As letras a, b, c e d indicam números inteiros quaisquer, sendo que os 
denominadores b e d são diferentes de zero. 
1. 
:3
:3
2 6 12 4
3 7 21 7
⋅ = = (Fração na forma irredutível, simplificada). 
2. 5 3 15 15
4 8 32 32
− −
⋅ = = − 
3. 1 9 9
2 10 20
   − ⋅ − =   
   
 (Vale a regra de sinal). 
4. 10 6 3 180 6
3 5 2 30
   ⋅ − ⋅ − = =   
   
, outra maneira de resolver a expressão seria 
simplificar primeiro e depois multiplicar: 
10 6 3 2 3 1 6
6
3 5 2 1 1 1 1
   ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ = =   
   
 
5. 20 15 1 8 5 3 1 4
5 4 2 3 1 1 1 3
           − ⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − ⋅ − =           
           
 
5 1 1 4
20
1 1 1 1
     = − ⋅ ⋅ − ⋅ − = −     
     
 
 
 
 
 
 
36 ↑ 
Sumário 
 
DIVISÃO DE FRAÇÕES 
Para dividir duas frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da 
segunda: 
a c a d ad
b d b c bc
÷ = ⋅ = 
 
Veja alguns exemplos: 
1. 5 5 2 5 1 5:2 :
2 2 1 2 2 4
= = ⋅ = 
2. 8 1 8:
15 30 15
=
30
⋅
8 2
16
1 1 1
= ⋅ = 
3. 
5
5 5 4 201
3 3 1 3 3
4 4
= = ⋅ = 
4. 
2
2 93 3
2 3 2
9
= ⋅ = 
5. 
1 1 6 52 5 4 203 3 3 3
3 3 3 3 3 94 4 4
−
− −
= = = − ⋅ = − 
6. 
3 3 3
0,333... 3 19 9 9 2
1 2 1 2 3 4 1 9 6
2 3 2 3 6 6 6
 = = = = ⋅ − = − 
 − − − −
 
 
 
 
 
37 ↑ 
Sumário 
 
Exemplos 
1. A seguir, encontra-se parte da resolução de uma Integral Definida realizada 
por um aluno do curso de Cálculo Diferencial e Integral I. Você deve apenas finalizar o 
cálculo e não se preocupar com o que foi feito no início: 
... 
23 2 3 2 3 2
1
5 2 5 2 2 2 5 ( 1) 2 ( 1)
1 1 1 ...
3 2 3 2 3 2
x x
−
   ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −
= − + = − + − − + =  
   
 
 
Resolução: 
( ) ( )5. 1 ³ 2. 1 ²5.2³ 2.2²
1 1
3 2 3 2
 − −
− + − − +  
 
 
( )5. 15.8 2.4 2.1
1 1
3 2 3 2
 −
− + − − +  
 
 
40 5 2
4 1 1
3 3 2
− + + + − 
40 5
3 1 1
3 3
− + + − 
40 5
3
3 3
− + 
40 9 5
3 3 3
− + 
40 9 5
3
− + 
36
3
 = 12 
 
 
 
38 ↑ 
Sumário 
 
2. O valor da expressão 
1
a b
a b
−
+ ⋅
 para 1
5
a = e 
1
3
b = − . 
 
Resolução: 
1 1 1 1 8 8
8 15 8 45 3 5 3 15 15
1 15 1 141 11 15 14 14 711
15 15 15 155 3
a b
a b
 − − + −  = = = = = ⋅ = =
+ ⋅   − −+ ⋅ − 
 
 
 
3. Calcule o valor de: 
1 1
5 3
3 1
5 15
+
−
 
 
Resolução: 
1 1 3 5 8
5 3 15 15 1
3 1 9 1 8
5 15 15 15
+
+
= = =
−
−
 
 
4. Calcule o valor de : 
11
11
2
31
11
2
+
−
− +
+
 
 
 
 
 
39 ↑ 
Sumário 
 
Resolução: 
1 11 1
1 1 21 1 1 1 2 32 2 1 3
3 3 2 1 2 11 1 1 3
1 3 31
2 2
+ +
− + ⋅ +
= = = = =
− +− + − + − + ⋅
+
 
 
5. Calcule o valor da expressão numérica 0,4444... 0,444...
0,0370370370...
+ 
 
Resolução: 
4 4 2 4 6 4 10
0,4444... 0,444... 10 9999 9 3 9 9 9 9 30
37 37 37 370,0370370370... 9 37
999 999 999 999
+ + ++
= = = = = ⋅ = 
40 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1. Resolva as seguintes expressões numéricas: 
a) 7 – (1 + 3) 
b) 9 – (5 –1 + 2) 
c) 10 – (2 + 5) + 4 
d) (13 – 7) + 8 – 1 
e) 15 – (3 + 2) – 6 
f) (10 – 4) – (9 – 8) + 3 
g) 50 – [37 – (15 – 8 )] 
h) 28 + [50 – (24 – 2) – 10] 
i) 20 + [13 – 2 · (10 – 6) + 4] 
j) 52 – 12 + [15 – (8 – 4)] 
k) 25 + 12 · (–3) + [2 – (8 – 6) + 2] 
l) ( ) ( )018 3 7 5 2 5 12 − + + − + −  
m) 65 – 30 – [20 – (10 – 1 + 6) + 1] 
n) ( ) ( )3 245 15 10 2 7 2 3 16 + − − + − − −  
o) ( )2 20 50 35 25 25 1 7 ⋅ + − − + − +  
 
p) 38 – 20 – [22 – (5 + 3) + (7 – 4 · 2)] 
q) ( ) ( )0 026 12 30 2 9 4 20 6 2 + − − ⋅ + − − −  
r) ( )25 100 7 10 − + −  
s) 32 + [10 – (– 9 – 2 · 2) + 8] 
t) ( )045 12 4 2 5 − − + +  
u) ( )2 35 2 2 3 81+ − + 
v) 2 26 3 4 10 12÷ + ⋅ − 
w) ( )23 7 3 : 3 2 5⋅ − + ⋅ 
x) ( )2 32 4 10 2 5⋅ − + − 
y) ( )2 330 2 1 2− + + 
z) ( ) ( )3 324 5 3 : 9 7 + − −  
 
 
41 ↑ 
Sumário 
 
2. Calcule o valor das expressões: 
a) 2 10
7 7
+ 
b) 5 34
9 9
+ − 
c) 1 25
2 3
+ + 
d) 5 3
3 4
− 
e) 3 85
5 10
+ + 
f) 7 510
4 6
− − 
g) 1 20 5
4 3 6
+ + 
h) 27 1 1
5 3 2
− + 
 
3. Efetue os produtos com frações. Em alguns casos, é possível simplificar antes de 
realizar as multiplicações. 
a) 1 2
1 5
⋅ 
b) 18 3
7 2
⋅ 
c) 6 5
5 4
⋅ 
d) 4 9
18 6
⋅ 
e) 7 32
6 21
⋅ 
f) 8 48 7
9 50 6
⋅ ⋅ 
g) 10 48 25
12 50 16
⋅ ⋅ 
h) 2 21 8
7 14 6
⋅ ⋅ 
 
4. Encontre os quocientes indicados: 
a) 7 3
5 10
÷ 
b) 3 9
4 2
÷ 
c) 2 8
7 14
÷ 
d) 6 4
9 15
÷ 
e) 1 3
3
÷ 
f) 2 10 1
3 12 15
÷ ÷ 
g) 74 6
3
÷ ÷ 
h) 31 10
5
÷ ÷ 
 
5. Encontre as potências indicadas: 
a) 
22
3
 
 
 
 b) 
31
2
−
 
 
 
 c) 
14
7
 
 
 
 
42 ↑ 
Sumário 
 
d) 
09
20
 
 
 
 e) 
00,3
0,5
 
 
 
 f) 
22
5
−
 
 
 
 
 
6. Encontre as raízes das frações a seguir: 
a) 1
4
 
b) 9
25
 
c) 3 8
27
 
d) 5 1
32
 
e) 16
81
 
f) 
1
236 
 
7. Converta as frações em números decimais: 
a) 3
10
 
b) 5
100
 
c) 7
1000
 
d) 56
10
 
e) 43
1000
 
f) 1234
10
 
g) 51005
100
 
h) 57803
10000
 
 
8. Converta cada número decimal em fração: 
a) 0,2 
b) 1,323 
c) 0,08 
d) 0,201 
e) 0,485 
f) 34,72 
g) 764,34 
h) 0,525252... 
i) 0,66666... 
j) 0,3244444... 
k) 5,2412412412... 
l) 0,481211211211... 
m) 34,212121... 
n) 5,13113113113113... 
o) 0,64377777... 
 
 
 
 
43 ↑ 
Sumário 
 
9. Os cálculos, a seguir, costumam aparecer com frequência na resolução de integrais 
definidas. Resolva cada item: 
a) 
4 2 4 23 1 5 1 3 ( 1) 5 ( 1)
10 10
4 2 4 2
 ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −
− + − − + 
 
 
b) 
3 2 3 24 3 2 3 4 ( 2) 2 ( 2)
1 1
3 2 3 2
 ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −
− − − − − 
 
 
c) 
2 22 4 2 ( 1)
3 4 5 3 ( 1) 5
2 2
 − ⋅ − ⋅ −
− ⋅ + − − ⋅ − + 
 
 
d) 
3 2 3 23 5 3 5 3 ( 3) 3 ( 3)
2 2
3 2 3 2
 − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −
+ + − + + 
 
 
 
10. Seja ( ) ( )1 22 5 15 3 8 2 2 : 4A  = ⋅ + ÷ + − ⋅  e ( )3 34 04 2 1 48 ,B = ⋅ + ⋅ calcule o valor de 
A + B. 
 
11. Encontre o valor numérico das expressões a seguir: 
a) ( ){ }310: 2 16 2 4 3 + + − ⋅  
b) 3 316700 9 5 2 20: ( 5)
256
    − ⋅ ⋅ − + −         
 
c) ( )
2
2 1 1 1
1 2 2 1
2 2 3
  − + ÷ ⋅ − − −  
   
 
d) 
29 2 4
3 2
4 3 9
    ⋅ − + ÷   
     
 
 
 
 
44 ↑ 
Sumário 
 
12. Calcule o valor das expressões numéricas a seguir: 
a) 2 3 1 5
3 4 6 6
⋅ + ÷ 
b) 3 4 31
2 9 6
÷ + ⋅ 
c) 2 3 1 5
3 4 6 6
⋅ + ÷ 
d) 2 5 3 1
3 3 2 4
 + ⋅ − 
 
 
e) 15 6 1 31
4 8 2 4
    + − ÷ +   
    
 
f) 1 5 1 1 3
10 2 3 9
⋅ + ÷ − 
g) 
1 01 2 1 4
2 3 4 5
   + ⋅ −   
   
 
h) 
1 25 2 5 9 1
3
6 5 2 16 2
    − ⋅ − ⋅ +    
     
 
i) 36 4 4 14 2 1
1 3
3
 
 − ⋅ + ÷
÷ 
  
 
 
j) 
11
11
2
31
11
2
+
−
− +
+
 
k) 1 0,3333... 0,3
3
+ + 
l) 11
11
11
3
+
+
+
 
m) 1 12,42222...
4 2
+ ÷ 
 
13. Sendo a e b números reais, tais que 22
15
a b+ = e 
1 1 11
4a b
+ = , calcule o valor do 
produto a b⋅ . 
 
45 ↑ 
Sumário 
 
Gabarito 
 
1. 
a) 3 
b) 3 
c) 7 
d) 13 
e) 4 
f) 8 
g) 20 
h) 46 
i) 29 
j) 51 
k) –9 
l) 4 
m) 29 
n) 54 
o) 93 
p) 5 
q) 28 
r) 18 
 s) 63 
t) 36 
u) 9 
v) 32 
w) 58 
x) 25 
y) 29 
z) 3 
 
2. 
a) 12
7
 
b) 38
9
 
c) 37
6
 
d) 11
12
 
e) 64
10
 
f) 89
12
 
g) 31
4
 
h) 167
30
 
 
 
 
46 ↑ 
Sumário 
 
3. 
a) 2
5
 b) 27
7
 c) 3
2
 d) 1
3
 e) 16
9
 f) 224
225
 g) 5
4
 h) 4
7
 
 
4. 
a) 14
3
 b) 1
6
 c) 1
2
 d) 5
2
 e) 1
9
 f) 12 g) 
2
7
 h) 1
6
 
 
5. 
a) 4
9
 b) 8 c) 4
7
 d) 1 e) 1 f) 25
4
 
 
6. 
a) 1
2
 b) 3
5
 c) 2
3
 d) 1
2
 e) 4
9
 f) 6 
 
7. 
a) 0,3 
b) 0,05 
c) 0,007 
d) 5,6 
e) 0,043 
f) 123,4 
g) 510,05 
h) 57803 
 
8. 
a) 1
5
 
b) 1323
1000
 
c) 8
100
 
d) 201
1000
 
e) 485
1000
 
f) 3472
100
 
g) 76434
100
 
h) 52
99
 
i) 2
3
 
47 ↑ 
Sumário 
 
j) 292
900
 
k) 5236
999
 
l) 48073
99900
 
m) 3387
99
 
n) 5126
999
 
o) 5794
9000
 
 
9. 
a) 0 b) 125
3
 c) –30 d) –128 
 
10. 49 
 
11. 
a) 3 b) 1905 c) 35 d) 37
12
 
 
12. 
a) 7
10
 
b) 8
9
 
c) 21
30
 
d) 33
12
 
e) 83
20
 
f) 1
4
 
g) 5
18
− 
h) 41
24
 
i) 243 
j) 3 
k) 29
30
 
l) 11
7
 
m) 263
90
 
 
13. 8
15
 
48 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
Síntese: Neste capítulo, você recordará 
como resolver uma equação do 1º grau, 
primeiramente pelo método original, “o método 
da balança”, e em seguida fixará o processo 
prático de resolução. Recordará,também, como 
resolver problemas matemáticos utilizando 
equações do 1º grau. São muitos exemplos e 
exercícios no final do capítulo, aproveite-os! 
 
 
 
 
 
 
 
49 ↑ 
Sumário 
 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Neste capítulo, iremos estudar e compreender as técnicas de resolução de 
equações do 1º grau com uma variável real. Primeiramente, uma equação é uma 
sentença matemática onde está presente o sinal de igual e uma letra (incógnita). O grau 
de uma equação é definido pelo maior expoente da incógnita em questão. A incógnita 
presente nas equações representa valores numéricos desconhecidos e o objetivo é 
descobrir qual ou quais valores satisfazem a equação. 
 
Grau de uma equação. 
Equação Grau 
5x2 − 2x + 1 = −3x + 8 2º grau 
20y2 − y3 = 10 − 2y5 5º grau 
2x − 1 = x + 3 1º grau 
10x4 − 3x2 + 5x = −1 4º grau 
 
 
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
Resolver, solucionar ou encontrar as raízes de uma equação, significa encontrar 
o valor da incógnita que satisfaz a igualdade. No caso das equações do 1º grau, 
encontraremos um único valor para a incógnita, caso houver solução. 
 
0ax b+ = 
⇔ 
b
x
a
= − 
50 ↑ 
Sumário 
 
Resolveremos uma equação do 1º grau por meio das operações inversas. O 
objetivo é isolar a incógnita e tudo que for feito de um lado, deve ser feito do outro lado 
da igualdade. Sendo assim, pensaremos uma equação como uma balança de dois pratos 
e realizaremos operações inversas até que a incógnita seja completamente isolada. 
 
 
 
MÉTODO DA BALANÇA 
2x − 2 = 16 – x 
2x – 2 + x = 16 – x + x (Acrescentou-se + x dos dois lados da igualdade) 
2x – 2 + x = 16 
3x − 2 = 16 
3x – 2 + 2 = 16 + 2 (Acrescentou-se +2 dos dois lados da igualdade) 
3x = 16 + 2 
3x = 18 
3 18
3 3
x
= (Dividiu-se por 3 dos dois lados da igualdade) 
x = 6 (Incógnita isolada) 
Portanto, a solução ou raiz da equação é 6. 
 
51 ↑ 
Sumário 
 
MÉTODO RESUMIDO: OPERAÇÕES INVERSAS 
2x – 2 = 16 – x 
2x – 2 + x = 16 (A parcela –x aparece do outro lado como +x) 
3x – 2 = 16 (Juntou-se 2x com x, resultando em 3x) 
3x = 16 + 2 (A parcela –2 aparece do outro lado como +2) 
3x = 18 
x = 18
3
 (O fator 3 aparece do outro lado, dividindo) 
x = 6 (Incógnita isolada) 
 
O método da balança nos faz compreender o motivo das parcelas trocarem de 
sinal no outro lado da igualdade. Não é necessário resolver equações usando este 
método; a forma resumida é mais prática e a mais comum dentre as formas de 
resolução. 
 
Exercícios Resolvidos 
Veja, a seguir, alguns exemplos da resolução de diversas equações do 1º grau: 
a) 8 – 50 110x− = 
8 110 50− = + 
8 160x− = 
8 160x = − 
160
8
x
−
= 
20x = − 
 
b) ( ) ( )3 2 3 2 1 3 18x x x− + + = + 
6 – 9 2 2 3 18x x x+ + = + 
6 2 – 3 18 9 – 2x x x+ = + 
5 25x = 
25
5
x = 
5x = 
 
52 ↑ 
Sumário 
 
c) ( ) ( )10 – 5 1 3 2 2 – 20y y y+ = − 
10 – 5 – 5 6 – 6 20y y y= − 
10 – 5 – 6 6 – 20 5y y y = − + 
( )21. 1y− = − − 
21y = 
 
d) ( ) ( )2 – 1 5 – 3x x x− = − 
2 – 1 5 – 3x x x+ = + 
2 – 5 3 – 1x x x+ = + 
2 7x = 
7
2
x = 
 
e) 2 3 1
3 2
x x+ +
− = 
( )2 2
6
x − ( )3 3
6
x −
−
6
6
= 
( ) ( )2 2 3 3 6x x− − − = 
2 4 3 9 6x x+ − − = 
2 3 6 4 9x x− = − + 
11.( 1)x− = − 
11x = − 
 
f) 3 2 11
5 2
x x+ +
− = 
10
10
( )2 3 2
10
x +
−
( )5 1
10
x +
= 
( ) ( )10 2 3 2 5 1x x− + = + 
10 6 4 5 5x x− − = + 
6 5 5 10 4x x− − = − + 
11 1.( 1)x− = − − 
11 1x = 
1
11
x = 
 
g) 5 325 4
2
x
x
+
− = 
( )2 5 4
2
x − 5 32
2
x +
= 
( )2 5 4 5 32x x− = + 
10 5 32 8x x− = + 
5 40x = 
40
5
x = 
8x = 
 
 
 
 
 
 
53 ↑ 
Sumário 
 
h) 2 7 6 8 40
5 3 2
x x x− +
− + = 
6(2 7)
30
x − 10(6 8)
30
x −
−
1200
30
+
15
30
x
= 
6(2 7) 10(6 8) 1200 15x x x− − − + = 
12 42 60 80 1200 15x x x− − − + = 
12 60 15 1200 80 42x x x− − = − + + 
63 1078.( 1)x− = − − 
63 1078x = 
1078
63
x = 
154
9
x = 
 
i) 6 3 2 1 5 3 1
4 2 3 2
x x x− − −
− + = 
3(6 3)
12
x − 6(2 1)
12
x −
−
4(5 3)
12
x −
+
6
12
= 
3(6 3) 6(2 1) 4(5 3) 6x x x− − − + − = 
18 9 12 6 20 12 6x x x− − + + − = 
18 12 20 6 9 6 12x x x− + = + − + 
26 21x = 
21
26
x = 
 
j) 3 2 4 7 22
4 2 3
x x x
x
− − −
− = − 
3(3 2)
12
x − 6(4 )
12
x−
−
24
12
x
=
4(7 2)
12
x −
− 
3(3 2) 6(4 ) 24 4(7 2)x x x x− − − = − − 
9 6 24 6 24 28 8x x x x− − + = − + 
9 6 24 28 8 6 24x x x x+ − + = + + 
19 38x = 
38
19
x = 
2x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 ↑ 
Sumário 
 
PROBLEMAS COM EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Primeiramente, é preciso treino e ter em mente que não existe um método, 
uma fórmula ou um caminho a ser seguido até a solução de qualquer problema. Cada 
problema é diferente do anterior e possui suas particularidades. O que existe é um 
passo a passo, que o ajudará a compreender melhor o problema e conseguir a solução 
desejada com mais facilidade: 
Passo 1: Leia o problema mais de uma vez e destaque as informações principais. 
Passo 2: Faça uma tabela, um diagrama, um desenho ou qualquer ilustração que 
ajude-o a compreender o problema visualmente. 
Passo 3: Identifique a incógnita do problema. 
Passo 4: Monte a equação e resolva corretamente. 
 
Veja exemplos de exercícios resolvidos, a seguir: 
Problema 1: Fábio tem 12 anos e Pedro 21. Daqui a quantos anos a soma de 
suas idades será 87? 
 
Compreendendo o problema. 
Fábio 12 anos (hoje) 
Pedro 21 anos (hoje) 
Incógnita x Número de anos, a partir de hoje 
 
Fábio 12 + x anos (futuramente) 
Pedro 21 + x anos (futuramente) 
Soma das idades 12 + x + 21 + x 
55 ↑ 
Sumário 
 
Resolução: 
12 21 87x x+ + + = 
2 87 12 21x = − − 
2 54x = 
 27x = 
Logo, em 27 anos, a soma de suas idades será 87 anos. 
 
Problema 2: Em um museu, 1
3
 das obras são esculturas e 72 são pinturas. Qual 
é o total de obras desse museu? 
 
Resolução: 
Total de obras: x 
Esculturas: 1
3 3
x
x⋅ = 
Pinturas: 72 
72
3
216 3
3 3 3
216 3
216 3
216 2
216
2
108
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
+ =
+ =
+ =
= −
=
=
=
 
Logo, no total, são 108 obras. 
 
 
56 ↑ 
Sumário 
 
Problema 3: De um tubo de xampu, Carla usou 1
9
 pela manhã, 1
3
 do vidro 
cheio no período da tarde e 2
5
 à noite. Sobraram no vidro 70 ml. Qual é a capacidade 
total do recipiente? 
 
Resolução: 
Tubo completo: x 
Usado pela manhã: 1
9 9
x
x⋅ = 
Usado à tarde: 1
3 3
x
x⋅ = 
Usado à noite: 2 2
5 5
x
x⋅ = 
Sobra no vidro: 70 ml 
 
2
70
9 3 5
x x x
x+ + + = 
5 15 18 3150 45
45 45 45 45 45
x x x x
+ + + = 
5 15 18 3150 45x x x x+ + + = 
3150 45 18 15 5x x x x= − − − 
3150 7x= 
3150
7
x = 
450 mlx = 
Logo, o tubo de xampu possui 450 ml. 
 
57 ↑ 
Sumário 
 
Problema 4: Um maratonista corre 2
3
 de um percurso e anda 1
7
 do mesmo 
percurso. Faltaram 800 m para completar todo o trajeto. Qual o comprimento total 
desse percurso? 
 
Resolução: 
Percurso Total: x 
Realizado correndo: 2 2
3 3
x
x⋅ = 
Realizado andando: 1
7 7
x
x⋅ = 
Faltaram para completar: 800 m 
2
800
3 7
x x
x+ + = 
14 3 16800 21
21 21 21 21
x x x
+ + = 
14 3 16800 21x x x+ + = 
16800 21 14 3x x x= − − 
 
16800 4x= 
16800
4
x = 
4200x = 
Logo, o comprimento total do percurso é 4.200 metros. 
 
 
 
 
58 ↑ 
Sumário 
 
Problema 5: Uma pequena empresa tem um gasto fixo de R$ 600,00 e para 
produzir cada peça ela gasta R$ 15,00. Após a fabricação, cada peça é vendida por R$ 85,00. 
Quantas peças a empresa deverá produzir para obter um lucro de R$ 800,00? 
 
Resolução: 
Quantidade de peças produzidas e vendidas: x 
Receita/Arrecadação: 85x 
Custos: 600 + 15x 
Lucro = Receita – Custos 
( )800 85 600 15x x= − + 
800 85 600 15x x= − − 
800 600 85 15x x+ = − 
1400 70x= 
1400
70
x = 
20x = 
Logo, a empresa deverá produzir 20 peças para obter um lucro de R$ 800,00. 
 
Problema 6: Bruno completou o tanque do seu carro e gastou 1
5
 da capacidade 
viajando até Ararase, em seguida, gastou 28 litros até Ribeirão Preto. Sobrou no tanque 
uma quantidade que corresponde a 1
3
 de sua capacidade. Quanto o carro gastou, em 
litros, para chegar até Ribeirão Preto? 
 
 
 
59 ↑ 
Sumário 
 
Resolução: 
Capacidade do tanque: x 
Gasto até Araras: 1
5 5
x
x⋅ = 
Gasto até Ribeirão Preto: 28 litros 
Sobra no tanque: 1
3 3
x
x⋅ = 
28
5 3
x x
x+ + = 
3 420 5 15
15 15 15 15
x x x
+ + = 
3 420 5 15x x x+ + = 
420 15 5 3x x x= − − 
420 7x= 
420
7
x = 
60x = 
 
A capacidade total é de 60 litros. 
Gasto até Ribeirão Preto: 6028 28 12 28 40
5 5
x
+ = + = + = litros. 
 
Problema 7: Luan têm R$ 1325,00 e Júlio têm R$ 932,00. Mensalmente, Luan 
consegue economizar R$ 32,90 de sua mesada e Júlio R$ 111,50. Depois de quanto 
tempo os garotos terão exatamente a mesma quantia? 
 
 
 
60 ↑ 
Sumário 
 
Resolução: 
Quantidade de meses até as duas quantias se igualarem: x 
Total de Luan: 1325 + 32,90x 
Total de Júlio: 932 + 111,5x 
1325 + 32,90x = 932 + 111,5x 
1325 – 932 = 111,5x – 32,9x 
393 = 78,6x 
393
78,6
5
x
x
=
=
 
Logo, eles terão a mesma quantia após cinco meses. 
61 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1. Resolva as equações a seguir: 
a) 3x − 8 = −14 
b) 6x + 12 = x – 3 
c) x +22 = – x – 40 
d) x + 3 + x − 5 = – x − 6 + 5x 
e) 10x − 200 = −15x + 75 
f ) 3x − 2(4x − 3) = 2 − 3(x − 1) 
g) 5x − (8 − x) = −2 
h) 6(4 − t) − 55 = −5(2t + 3) 
i) −3(3x − 42) = 2(7x − 52) 
j) 3(y − 3) + 4 = 2 [−(y − 5) − 4(2y + 1)] 
k) 3 5
4 3
x x
− = 
l) 5 22
2 3
x x
x
−
− = 
m) 1 2 3
2 3 4
x x x− − −
+ = 
n) 5 1 2 3 3 1
3 4 2
x x x− − −
− = 
o) 
( )3 2 3
1
5 2
x x− −
− = 
p) 1 3 2 4
2 4 3
x x x+ − −
− = 
 
2. A raiz da equação ( )3 1 2
3
x
x x− − = + é igual a: 
a) 1
2
 
b) 3
5
− 
c) 1
7
 
d) 3
2
− 
e) 3
7
 
 
62 ↑ 
Sumário 
 
3. Em uma chácara há galinhas e coelhos, totalizando 13 animais e 46 pés. Quantas 
galinhas e quantos coelhos há nessa chácara? 
 
4. Larissa disse a Amanda: “Pense” em um número, dobre esse número, some 12 ao 
resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu? Amanda disse: “15”. Larissa, 
imediatamente, revelou o número original em que Amanda havia pensado. Calcule esse 
número. 
 
5. Um reservatório contém combustível até 2
5
 de sua capacidade total e necessita de 
15 litros para atingir 7
10
 da mesma. Qual é a capacidade total desse reservatório? 
 
6. A soma da sexta parte com a quarta parte de um determinado número é o mesmo 
que a diferença entre esse número e 56. Qual é o número? 
 
7. (VUNESP, Soldado da Polícia Militar, 2012, Questão no 27) Um eletricista comprou um 
rolo de fio com 50 metros de comprimento para realizar três ligações. Na primeira 
ligação, ele utilizou 18,7 metros do fio; na terceira ligação, utilizou 2
3
 do comprimento 
de fio que havia utilizado na segunda ligação, restando ainda 2,3 m de fio no rolo. Pode-
se concluir que o comprimento, em metros, de fio utilizado na terceira ligação foi: 
a) 14,3 
b) 13,2 
c) 12,9 
d) 11,6 
e) 10,8 
 
8. (FCC/BB, Escriturário, 2011, Questão no 33, adaptada) Em um dado momento em que 
Amanda e Ivan atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma agência bancária, 
foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Amanda tinha quatro 
pessoas a mais que aquela formada em frente ao guichê de Ivan. Sabendo que, nesse 
momento, se oito pessoas da fila de Amanda passassem para a fila de Ivan, esta última 
63 ↑ 
Sumário 
 
fila ficaria com o dobro do número de pessoas da de Amanda, então, o total de pessoas 
das duas filas era: 
a) 24 b) 26 c) 30 d) 32 e) 36 
 
9. Para realizar um jantar, um grupo de amigos decidiu dividir as despesas entre os 
integrantes. Se cada um contribuísse com R$ 13,00, faltariam R$ 24,00, e se cada um 
contribuísse com R$ 16,00, sobrariam R$ 12,00. Quantos são os amigos? 
a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10 
 
10. Numa partida de basquetebol, a equipe FHO, entre cestas de três e dois pontos, fez 
50 cestas, totalizando 120 pontos. O número de cestas de três pontos foi de: 
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 16 
 
11. (ENEM, 2015, 2ª aplicação, Questão no 145, prova azul) Uma barraca de tiro ao alvo 
de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que 
ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. 
Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, 
recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? 
a) 30 b) 36 c) 50 d) 60 e) 64 
 
12. Sandra entrou em uma loja de um shopping e escolheu um relógio, um sapato e uma 
bolsa. O preço das três peças juntas foi R$ 1.000,00, mas o sapato custava R$ 150,00 
mais caro do que o relógio e R$ 100,00 mais barato do que a bolsa. Se Sandra decidir 
comprar apenas o relógio e o sapato, então o valor a ser pago será de: 
a) R$ 350,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 450,00 
d) R$ 500,00 
e) R$ 550,00 
 
13. Para um show, foram vendidos 10 mil ingressos, sendo que o participante podia 
escolher uma opção entre Pista Simples ou Pista Premium. De acordo com a 
64 ↑ 
Sumário 
 
organização, a quantidade de ingressos do tipo Pista Simples foi o triplo da quantidade 
de ingressos do tipo Pista Premium. Nesse caso, é CORRETO afirmar que foram 
vendidos: 
a) Entre 4.000 e 5.000 ingressos da Pista Simples. 
b) Entre 6.000 e 7.000 ingressos da Pista Simples. 
c) Entre 5.000 e 6.000 ingressos da Pista Simples. 
d) Mais de 7.000 ingressos da Pista Simples. 
e) Menos de 4.000 ingressos da Pista Simples. 
 
14. (ALBERT EINSTEIN, 2016, Questão no 37, adaptada) Em virtude do aumento dos 
casos de diferentes tipos de gripe que têm assolado a cidade de São Paulo, 
preventivamente, alguns prontos-socorros têm distribuído máscaras cirúrgicas àqueles 
que buscam atendimento. Todas as máscaras de um lote foram distribuídas em quatro 
dias sucessivos de uma Campanha de Vacinação: no primeiro dia, foi distribuído 1
8
 do 
total; no segundo, 1
6
 do total; no terceiro, o dobro da quantidade distribuída nos dois 
primeiros dias. Se no último dia tiverem sido distribuídas as 105 máscaras restantes, o 
total de máscaras de tal lote é um número compreendido entre: 
a) 700 e 900. 
b) 500 e 700. 
c) 300 e 500. 
d) 100 e 300. 
e) Maior que 900. 
 
15. (UECE, 2016, Questão no 14, adaptada) Num certo instante, uma caixa-d’água está 
com um volume de líquido correspondente a um terço de sua capacidade total. Ao 
retirarmos 80 litros de água, o volume de água restante na caixa corresponde a um 
quarto de sua capacidade total. Nesse instante, o volume de água, em litros, necessário 
para encher totalmente a caixa-d’água é: 
a) 720 b) 740 c) 700 d) 760 e) 730 
 
65 ↑ 
Sumário 
 
16. Uma empresa de transporte de areia cobra R$ 75,00 por metro cúbico de areia fina. 
O valor do frete da carga, entre o ponto de distribuição de areia e o local da entrega, é 
de R$ 5,00 por metro cúbico de areia, por quilômetro rodado. Considere que uma 
encomenda de 2 metros cúbicos de areia fina foi orçada em R$ 450,00. Nessas 
condições, a distância entre o ponto de distribuição de areia e o local da entrega é, em 
quilômetros: 
a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 75 
 
17. (EPCAR, 2016, Questão no 19) As idades atuais de dois irmãos são números inteiros 
e consecutivos. Daqui a 4 anos, a diferença entre as idades deles será 1/10 da idade do 
mais velho. A soma das idades desses irmãos, hoje, é um número x, tal que: 
a) 0 5x≤ < 
b) 5 6x< < 
c) 5 11x< < 
d) 10 15x< < 
e) 11 20x< ≤ 
 
66 ↑ 
Sumário 
 
Gabarito 
 
1. 
a) –2 
b) –3 
c) –31 
d) 2 
e) 11 
f) 1
2
 
g) 1 
h) 4 
i) 10 
j) 1
3
 
k) 12 
l) –4 
m) 5
7
 
n) 19
4
 
o) 7 
p) 4 
 
2. e) 
3. 3 galinhas e 10 
coelhos 
4. 9 
5. 50 litros 
6. 96 
7. d) 
8. e) 
9. d) 
10.b) 
11. a) 
12. e) 
13. d) 
14. a) 
15. a) 
16. b) 
17. d) 
67 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 
SISTEMAS LINEARES 
 
 
 
 
 
 
Síntese: Neste capítulo, você aprenderá 
a resolver um sistema linear simples de duas 
equações e duas incógnitas, utilizando dois 
métodos: o método da adição e o método da 
substituição. Na sequência, acompanhará a 
resolução de alguns problemas matemáticos 
utilizando sistemas lineares. Não deixe de 
resolver os exercícios ao final do capítulo e de 
conferir seus resultados com o gabarito. 
 
 
 
 
 
 
 
68 ↑ 
Sumário 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 2X2 
Um sistema linear de duas equações e duas incógnitas é algo como 
2 5 6
,
3
x y
x y
+ =
 − =
 em que encontrar a solução significa “encontrar” valores para x e y, que 
satisfazem as equações simultaneamente. Neste caso, a solução seria x = 3 e y = 0. Ao 
substituir x por 3 e y por 0, a igualdade é satisfeita tanto na primeira equação quanto 
na segunda. Dessa forma, ao finalizar a resolução de um sistema linear, você pode 
conferir se sua solução está correta ou não, basta substituir os resultados encontrados 
nas equações. 
São dois os métodos mais usados para resolver sistemas: o Método da Adição 
e o Método da Substituição. Não existe uma regra para saber qual método é mais fácil, 
isso varia de sistema para sistema e você perceberá com a prática qual é a melhor 
opção. 
 
O MÉTODO DA ADIÇÃO 
Para resolver um sistema linear de ordem 2×2 pelo método da adição, devemos 
“somar” as equações e com isso eliminar uma das incógnitas. Para facilitar o processo, 
podemos multiplicar ou dividir as equações do sistema por números inteiros, exceto o 
zero. Veja alguns exemplos: 
 
Exemplo 4.1 
Resolva o sistema: 
2 5 11
3 6 3
x y
x y
− =
 + =
 
Modificaremos o sistema, multiplicando a primeira equação por –3 e a segunda 
por 2: 
( )
( )
2 5 11 6
 
3
3
3 6 2
x y x
x y =
⋅ − − = − ⇒
⋅+
15 33
6
y
x
+ = −
12 6y


+ =
 
 
69 ↑ 
Sumário 
 
Somando as equações, conseguiremos eliminar a incógnita x. 
27 27y = − 
27
27
y
−
= 
1y = − 
 
Encontrado o valor de uma das incógnitas, basta substituí-lo em qualquer 
equação do sistema e encontrar o valor da outra incógnita, neste caso, iremos substituir 
y = −1, na segunda equação 3x + 6y = 3. 
3x + 6y = 3 
3x + 6.(−1) = 3 
3x − 6 = 3 
3x = 9 
x = 3 
A solução do sistema é: ( ){ }3; 1S = − 
 
Exemplo 4.2 
Resolva o sistema: 
3 2 12
 
4 5 7
x y
x y
− =
 + = −
 
 
Multiplicando e somando as equações: 
( )
( )
3 2 12 12
 
4
4 7 35
x y x
x y
 − = − ⇒
+ =
⋅ −
 ⋅−
8 48
12
y
x
+ = −
15 21y


+ = −
 
23 69
69
23
3
y
y
y
= −
−
=
= −
 
70 ↑ 
Sumário 
 
Substituindo y = –3 em 3 2 12x y− = : 
3 2 ( 3) 12
3 6 12
3 6
2
x
x
x
x
− ⋅ − =
+ =
=
=
 
A solução do sistema é: ( ){ }2; 3S = − 
 
O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
Para resolver sistemas lineares de ordem 2×2 pelo método da substituição, 
basta isolar uma das incógnitas, em qualquer uma das equações, e substituir na outra 
equação. Veja alguns exemplos: 
 
Exemplo 4.3 
Resolva o sistema: 
5
3 3
x y
x y
− + =
 − =
 
Vamos isolar a incógnita y na primeira equação: 
5 5
3 3
x y y x
x y
− + = ⇒ = +
 − =
 
O próximo passo será substituir a expressão encontrada na outra equação, no 
caso, a segunda: 
3x − y = 3 
3x − (5 + x) = 3 
3x − 5 − x = 3 
3x − x = 3 + 5 
2x = 8 
x = 4 
 
71 ↑ 
Sumário 
 
Encontrado o valor de uma das incógnitas, basta substituí-lo em qualquer 
equação do sistema e encontrar a outra incógnita: 
y = 5 + x 
y = 5 + 4 
y = 9 
Solução: ( ){ }4;9S = 
 
Exemplo 4.4 
Resolva o sistema: 
2 3 21
5 28
x y
x y
− =
 − =
 
1) Isolando o x na segunda equação: 
x – 5y = 28 
x = 28 + 5y 
 
2) Substituindo-o na outra equação: 
2x – 3y = 21 
2 (28 + 5y) –3y = 21 
56 + 10y – 3y = 21 
7y = –35 
Y = – 35
7
 
y = –5 
 
 
 
 
72 ↑ 
Sumário 
 
3) Substituindo o y = –5 em qualquer equação: 
x = 28 + 5y 
x = 28 + 5.(–5) 
x = 28 – 25 
x = 3 
Solução ( ){ }3; 5S = − 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS LINEARES 
Problema 1: Uma caneta custa o triplo de uma lapiseira. As duas juntas custam 
R$ 8,80. Qual é o valor de uma caneta e de uma lapiseira, separadamente? 
 
Resolução: 
Compreendendo e atribuindo as variáveis: 
Valor da caneta: x 
Valor da lapiseira: y 
Montando o sistema linear: 
3
8,8
x y
x y
=
 + =
 
Neste caso, o método da substituição será mais fácil, substituindo a expressão 
de x na segunda equação: 
x + y = 8,8 e como x = 3y, então: 
3y + y = 8,8 
4y = 8,8 
8,8
4
y = 
y = 2,2 (valor da lapiseira) 
 
73 ↑ 
Sumário 
 
Agora, basta utilizar qualquer equação e encontrar a outra incógnita: 
x + y = 8,8 
x + 2,2 = 8,8 
x = 8,8 – 2,2 
x = 6,6 (valor da caneta) 
Logo, a caneta custa R$ 6,60 e a lapiseira R$ 2,20. 
 
Problema 2: Há carros e motos em um estacionamento, totalizando 36 veículos 
e 116 rodas. Qual é o total de carros e de motos, separadamente, neste 
estacionamento? 
 
Resolução: 
Seja x o total de carros e y o total de motos. 
36
4 2 116
x y
x y
+ =
 + =
 
Utilizaremos o método da substituição novamente: 
Isolando uma incógnita na primeira equação: y = 36 – x 
Substituindo a expressão encontrada na segunda equação: 
4x + 2y = 116 
4x + 2(36 – x) = 116 
4x + 72 – 2x = 116 
4x – 2x = 116 – 72 
2x = 44 
x = 22 (total de carros) 
 
 
74 ↑ 
Sumário 
 
Substituir o valor de x em qualquer equação e encontrar o valor de y: 
 x + y = 36 
22 + y = 36 
y = 36 – 22 
y = 14 (total de motos) 
Logo, no estacionamento, há 22 carros e 14 motos. 
 
Problema 3: Para montar pentágonos regulares e triângulos equiláteros, utilizei 
71 palitos do mesmo tamanho. No total, consegui montar 19 figuras. Quantos 
pentágonos e quantos triângulos foram montados? 
 
Resolução: 
Total de triângulos: x 
Total de pentágonos: y 
3 5 71
19
x y
x y
+ =
 + =
 
Resolveremos pelo método da adição, basta multiplicar a segunda equação por 
–3 e somar ambas as equações: 
3 5 71
3 3 57
x y
x y
+ =
+ − − = −
 
2 14
7
y
y
=
=
 
y = 7 (total de pentágonos) 
x = 12 (total de triângulos) 
Logo, foram montados 7 pentágonos e 12 triângulos. 
 
 
75 ↑ 
Sumário 
 
Problema 4: Um bolão, nada convencional, para os jogos da copa do mundo de 
futebol funciona da seguinte forma: se o integrante acertar o placar exato de um jogo, 
recebe R$ 100,00; se errar, paga R$ 10,00. Sabendo que, no total, são 64 partidas e que 
um integrante teve um lucro de R$ 240,00, determine quantos jogos ele acertou e 
quantos ele errou. 
 
Resolução: 
Jogos com os placares corretos: x 
Jogos com os placares errados: y 
64
100 10 240
x y
x y
+ =
 − =
 
Resolveremos pelo método da substituição: 
y = 64 – x 
Substituindo na segunda equação: 
100x – 10(64 – x) = 240 
100x – 640 + 10x = 240 
100x + 10x = 240 +640 
110x = 880 
880
110
x = 
8x = (total de jogos corretos) 
y = 64 – 8 = 56 (total de jogos errados) 
Logo, concluímos que foram 8 jogos corretos e 56 jogos errados. 
76 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
1. Resolva os sistemas lineares a seguir: 
a) 
2 3 21
5 28
x y
x y
− =
 − =
 
 
b) 
6 5 185
40
x y
x y
− = −
 − = −
 
 
c) 
2 5 13
2 7 23
a b
a b
+ =
− + =
 
 
d) 
3
4 5
3
7
4
a b
a
b
 − = −

 + =

 
 
e) 
3 12
2 5 34
x y
x y
+ =
− − = −
 
 
f) 
3 5 6
2
x y
x y
− + = −
 − =
 
 
g) 
20 40 40
5 10 50
x y
x y
+ = −
 − =
 
 
h) 
1
11
x y
x y
+ = −
 − =
 
 
i)
0,6 0,866 0
0,8 0,5 5390
F P
F P
− =
 + =
 
 
 
77 ↑ 
Sumário 
 
2. Resolva o sistema: 
6 9
3
2 10
3
2 7
2
x y x y
x
y
− + − = −

 + =

 
 
3. Monte um sistema linear de duas equações e duas incógnitas cuja solução seja 3x = − 
e 5.y = 
 
4. Monte um sistema linear de duas equações e duas incógnitas cuja solução seja 
0,5x = e 10.y= 
 
5. Em um sítio há cavalos e galinhas e, no total, são 97 cabeças e 264 patas. Quantos 
são os animais de cada espécie? 
 
6. Com apenas notas de R$ 10,00 e R$ 20,00, Letícia juntou uma quantia de R$ 610,00. 
Sabendo que ao todo a garota tem 38 notas, descubra quantas notas de cada tipo ela 
possui. 
 
7. Certo dia, numa mesma casa de câmbio, Heloísa trocou US$ 40,00 e 20,00 € por R$ 
225,00 e Pedro trocou US$ 50,00 e 40 € por R$ 336,00. Nesse dia, 1 € estava cotado em 
quanto? E US$ 1? 
 
8. A soma de dois números é 14. O segundo número é o triplo do primeiro. Que números 
são esses? 
 
9. No bolso de Vitória existem notas de R$ 10,00 e R$ 50,00. Ao todo, ela tem R$ 280,00 
e oito notas. Quantas notas de cada valor ela possui? 
 
 
78 ↑ 
Sumário 
 
10. Na chácara de Natália havia galos e carneiros. Sabe-se que havia 76 patas e 30 
animais. Quantos galos e quantos carneiros havia na chácara de Natália? 
 
11. A soma de dois números inteiros é 31. Encontre os números sabendo que um excede 
o outro de 7 unidades. 
 
12. Patrick cortou uma tábua de 45 cm de comprimento em pedaços de 3 cm e 2 cm. 
Sabendo que no final se obteve 19 pedaços, quantos eram de 3 cm e quantos eram de 
2 cm? 
 
13. (VUNESP, 2016, Questão no 85, 1ª fase) Uma imobiliária exige dos novos locatários 
de imóveis o pagamento de uma taxa, ao final do primeiro mês no imóvel, junto com a 
primeira mensalidade do aluguel. Rafael alugou um imóvel nessa imobiliária e pagou 
R$ 900,00 ao final do primeiro mês. No período de um ano de ocupação de imóvel, ele 
contabilizou gastos totais de R$ 6.950,00 com a locação. Na situação descrita, a taxa 
paga foi de: 
a) R$ 450,00 
b) R$ 250,00 
c) R$ 300,00 
d) R$ 350,00 
e) R$ 550,00 
 
79 ↑ 
Sumário 
 
Gabarito 
 
1. 
a) (3; –5) d) (–4; 10) g) (4; –3) 
b) (15; 55) e) (2; 6) h) (5; 6) 
c) (–1; 3) f) (2; 0) i) (4701,59; 3257,45) 
 
2. (2; 2) 
 
3. Resposta pessoal. Uma opção seria 
2 11
3 12
x y
x y
− = −
 + =
 
 
4. Resposta pessoal. Uma opção seria 
10,5
9,5
x y
x y
+ =
 − = −
 
 
5. São 35 cavalos e 62 galinhas. 
 
6. São 15 notas de R$ 10,00 e 23 notas de 
R$ 20,00. 
 
7. O Euro, R$ 3,65 e o Dólar, R$ 3,80. 
 
 
80 ↑ 
Sumário 
 
8. Os números são 3,5 e 10,5. 
 
9. São três notas de R$ 10,00 e cinco notas de R$ 50,00. 
 
10. São 22 galos e oito carneiros. 
 
11. Os números são 12 e 19. 
 
12. São sete pedaços de 3 cm e 12 pedaços de 2 cm. 
 
13. d) 
81 ↑ 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
 
 
 
 
 
Síntese: Neste capítulo, você aprenderá 
a resolver equações do 2º grau completas e 
incompletas, poderá treinar a utilização da 
fórmula resolutiva, conhecida como fórmula de 
Bhaskara e verificará como resolver alguns 
problemas matemáticos utilizando equações do 
2º grau. Não deixe de resolver os exercícios ao 
final do capítulo e de conferir seus resultados 
com o gabarito. 
 
 
 
 
 
 
 
82 ↑ 
Sumário 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
 
 
Uma equação do 2º grau também pode ser chamada de equação quadrática e 
recebe este nome devido ao termo de maior grau, que é 2. 
A forma geral e simplificada de uma equação do 2º grau é: 
 
 
Os termos a, b e c são os coeficientes da equação, onde, a, b e c ∈ ℝ e a ≠ 0. 
a Número que acompanha o x2 
b Número que acompanha o x 
c Termo independente 
 
ax2 + bx + c = 0 
83 ↑ 
Sumário 
 
Resolver uma equação do 2º grau significa encontrar valores para a incógnita 
que satisfaça a igualdade. Esses valores são chamados de raízes da equação, zeros da 
equação ou simplesmente soluções da equação. Podemos encontrar até dois valores 
diferentes para a solução de uma equação do 2º grau. 
 
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO 
São diversos os métodos para resolver uma equação do 2º grau: 
 
Equações incompletas 
(b = 0 ou c = 0) 
Isolar a incógnita, realizar a 
fatoração (evidência), completar 
quadrados etc. 
 
Equações completas 
Pode-se fazer a fatoração T.Q.P. 
(Trinômio Quadrado Perfeito), 
completar quadrados, usar 
soma e produto (recurso 
indicado quando a = 1) ou ainda 
a fórmula resolutiva. 
 
O recurso que permite resolver qualquer equação do 2º grau, independentemente 
de ser completa ou incompleta, é a fórmula resolutiva. Nessa fórmula, é essencial 
identificar corretamente os coeficientes da equação (a, b e c). 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
= 
Fórmula resolutiva: 
(popularmente conhecida como 
Fórmula de Bhaskara). 
 
84 ↑ 
Sumário 
 
Na próxima sessão, iremos apresentar a resolução de equações incompletas, 
por meio de métodos alternativos de resolução que não necessitam da fórmula 
resolutiva. 
 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS 
Uma equação do 2º grau será incompleta se b = 0 ou c = 0. Vamos analisar e 
resolver alguns casos de resolução dessas equações: 
 
² 3 10 0x x− + = Equação completa 
² 25 0x− + = Equação incompleta (b = 0) 
5 ² 10 0x x− = Equação incompleta (c = 0) 
 
1º Caso: b = 0 
Quando o coeficiente b for igual a 0 (zero), podemos resolver a equação 
facilmente isolando a incógnita. 
 
Exemplo 5.1 
Encontre as raízes da equação 2 ² 32 0x− + = : 
2 ² 32 0x− + = 
2 ² 32x− = − 
22 32x = 
2 32
2
x = 
2 16x = 
 
85 ↑ 
Sumário 
 
16x = ± 
4x = ± 
As raízes ou a solução da equação será: S = {– 4; 4}. 
Observação: Note que a operação inversa de “elevar ao quadrado” é “extrair a 
raiz quadrada” e não podemos nos esquecer do sinal de ± (mais ou menos). 
 
Exemplo 5.2 
Encontre as raízes da equação ( )2 210 100 5 7x x− = − : 
( )2 210 100 5 7x x− = − 
210 ² 100 35 5x x− = − 
210 ² 100 35 5 0x x− − + = 
215 135 0x − = 
215 135x = 
2 135
15
x = 
2 9x = 
9x = ± 
3x = ± 
As raízes ou a solução da equação será: S = {– 3; 3}. 
 
Observação: Note que a equação inicial não estava reduzida à sua forma padrão 
² 0ax bx c+ + = . Independentemente do método a ser usado, é sempre importante 
reduzir a equação para a forma padrão e, em seguida, iniciar a resolução. 
 
 
86 ↑ 
Sumário 
 
Exemplo 5.3 
Encontre as raízes da equação 2 23 80:x x= − + 
2 2
2 2
2
2
3 80
3 80 0
4 80 0
4 80
x x
x x
x
x
= − +
+ − =
− =
=
 
2
2
80
4
20
20
2 5
x
x
x
x
=
=
= ±
= ±
 
As raízes ou a solução da equação será: S = { 2 5− ; 2 5+ }. 
 
2º Caso: c = 0 
Quando o coeficiente c for igual a 0, podemos resolver utilizando a fatoração, 
colocando o x em evidência. Após colocarmos corretamente o fator comum em 
evidência, teremos uma multiplicação com produto igual a zero. O produto em uma 
multiplicação será zero somente se um dos fatores for zero. Esse raciocínio permite 
resolver a expressão obtida. 
Se 0x y⋅ = , então, 0x = ou 0y = . 
Se ( )5 0x x⋅ − = , então, 0x = ou 5 0x − = e, então, 5x = . 
Se ( ) ( )2 4 0x x+ ⋅ − = , então, 2 0
2
x
x
+ =
= −
 ou 
4 0
4
x
x
− =
=
. 
 
 
 
 
87 ↑ 
Sumário 
 
Exemplo 5.4 
Encontre as raízes da equação 25 10 0x x+ = : 
25 10 0
(5 10) 0
x x
x x
+ =
+ =
 0x = ou 
5 10 0
5 10
10
5
2
x
x
x
x
+ =
= −
−
=
= −
 
As raízes ou a solução da equação será: S = {0; –2}. 
 
Observação: Para utilizar este recurso o estudante deve saber colocar o fator 
comum em evidência. Note que para uma multiplicação ser igual a zero, um dos fatores 
deve ser zero. 
 
Exemplo 5.5 
Encontre as raízes da equação ( )2 25 2 5x x x x− = − : 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
5 2 5
5 10 2
5 10 2 0
3 15 0
3 15 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
− = −
− = −
− − + =
− =
⋅ − =
 0x = ou 
3 15 0
3 15
5
x
x
x
− =
=
=
 
As raízes ou a solução da equação será: S = { 0, 5 }. 
 
Exemplo 5.6 
Encontre as raízes da equação ( ) ( )22 4 2 2x x x x− + = + : 
88 ↑ 
Sumário 
 
( )
2 2
2 2
2
2 8 2 2
2 8 2 2 0
4 10 0
4 10 0
x x x x
x x x x
x x
x x
− − = +
− − − − =
− − =
⋅ − − =
 0x = ou