Exercicios Lista3

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ANÁLISE DE ESTRUTURAS I – LISTA 3 
VIGAS, PÓRTICOS, ARCOS E LINHAS DE PRESSÕES, TRELIÇAS, ESTRUTURAS MISTAS 
 
Exercícios propostos (Lista 3) 
 
1) Traçar para a viga Gerber dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor 
(DM), indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos. 
 
1m 4m5m
1 2 3 4
4kN/m
 
 
2) (a) Traçar para a viga Gerber dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor 
(DM), indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos. (b) Usando o 
princípio dos trabalhos virtuais complementar, calcular o deslocamento vertical do nó 1 ( 1δ ). 
Considerar que a viga tem rigidez constante com EI=104kNm2. (c) Traçar as linhas de influência da 
reação vertical em 2, do cortante à esquerda e direita do apoio 3, do momento fletor em 3 e do momento 
fletor no meio do vão 2-3. Em que ponto se encontra a carga móvel quando a reação vertical no apoio 2 
atinge o valor máximo? Qual a faixa de variação desta reação? 
 
1m 1m 1m 1m4m
6kN3kN 8kN/m
1 2
3 5 6
 
 
3) Traçar para a viga dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor (DM), 
indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos. 
 
1m 1m 1m 1m4m
6kN8kN/m
3m
4kN/m
 
 
 
 
4) Traçar para a viga dada abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e de momento fletor (DM), 
indicando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos. 
 
1m1m1m1m 4m
6kN 8kN/m
3m
4kN/m
 
 
5) Determinar para o arco circular dado abaixo as equações de esforço normal, esforço cortante e 
momento fletor em função da coordenada polar θ. Para tornar o arco mais econômico, pode-se construi-
lo de tal forma que o seu eixo coincida com a linha de pressões do carregamento. Considerando que o 
arco deve passar pelas mesmas rótulas que o arco circular, pede-se deduzir as equações que descrevem a 
forma da linha de pressões para o carregamento de 4kN/m, suas tangentes e o esforço normal. A seguir, 
desenhar o diagrama de esforço normal, destacando os valores extremos. 
 
R=2m
θ
4kN/m
 
 
6) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada que passe pelas três rótulas indicadas abaixo e cujo 
eixo coincida com a linha de pressões do carregamento dado. Para isto pede-se escrever as equações que 
descrevem a forma da linha de pressões, suas tangentes e o esforço normal. A seguir, desenhar o 
diagrama de esforço normal, destacando os valores extremos. Qual o valor da inclinação do arco nos 
apoios? 
 
h=2m
4m 4m
4kN/m
 
 
7) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada com 4m de vão e uma altura de 2m, cujo eixo 
coincida com a linha de pressões do carregamento dado. Sabe-se que a rótula intermediária se encontra 
no ponto de esforço normal mínimo. Escrever as equações que descrevem a forma da linha de pressões, 
suas tangentes e o esforço normal. A seguir, desenhar o diagrama de esforço normal, destacando os 
valores extremos. Qual o valor da inclinação do arco nos apoios? 
 
h=2m
4m
3kN/m
1 3
 
 
8) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições. A seguir, 
identificar na estrutura as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras os diagramas de cortante 
e momento fletor. A seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia que 
achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões. 
 
2m2m
h=2m
2m 2m
3m 3m
6kN 6kN
1
2
3 4
5
6
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições. A seguir, 
identificar na estrutura as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras os diagramas de cortante 
e momento fletor. Finalmente, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia 
que achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões. 
 
2m2m2m2m
2m
2m
3kN/m
2kN/m
 
 
10) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições. A seguir, 
identificar na estrutura as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras os diagramas de cortante 
e momento fletor. A seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia que 
achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões. 
 
1m
1m
1m
1m4m
2kN
3kN
3kN
3kN/m
1
2 3
4 5
6 7 8
9
 
 
 
 
 
11) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições. A seguir, 
identificar na estrutura as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras os diagramas de cortante 
e momento fletor. A seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia que 
achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões. 
 
1m
1m
1m
1m 4m
2kN
3kN
3kN
3kN/m
5
432
1
6
7 8
9
 
 
12) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições e identificar as 
barras submetidas a flexão, traçando para estas barras os diagramas de cortante e momento fletor. A 
seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia que achar mais 
conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões. 
 
2m2m 2m 2m
h=2m
3m 3m
6kN 6kN
1
2
3 4
5
6
7
4m
8
2kN/m
 
 
 
 
 
13) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) determinar o número de graus de liberdade e 
restrições; (2) decompor a estrutura, indicando as reações de apoio e forças de ligação e descrever, a 
seguir, como as cargas são transmitidas no interior da estrutura e qual a seqüência adotada para os 
cálculos; (3) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de cortante e momento fletor, 
mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. Usando diagramas de 
corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós. 
 
1m2m4m
2m
2m
2kN4kN/m
1
2
3
4 5 6
7
8
 
 
14) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) determinar o número de graus de liberdade e 
restrições; (2) decompor a estrutura, indicando as reações de apoio e forças de ligação e descrever, a 
seguir, como as cargas são transmitidas no interior da estrutura e qual a seqüência adotada para os 
cálculos; (3) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de cortante e momento fletor, 
mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. Usando diagramas de 
corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós. 
 
1m 2m 4m
2m
2m
2kN 3kN/m
2
3 4 5
6
7
1 8
 
 
15) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) determinar o número de graus de liberdade e 
restrições; (2) decompor a estrutura, indicando as reações de apoio e forças de ligação e descrever, a 
seguir, como as cargas são transmitidas no interior da estrutura e qual a seqüência adotada para os 
cálculos; (3) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de cortante e momento fletor, 
mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. Usando diagramas de 
corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 1 e 4. 
 
1m 4m
2m
2m
2kN 4kN/m
2
3 4 5
6 7
1
8
9
2kN.m
1m4m
 
 
16) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) determinar o número de graus de liberdade e 
restrições; (2) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de normal, cortante e 
momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. (3) 
Calcular, usando o PTVC o valor do deslocamento vertical em 4 4Vδ . Considerar que o pórtico tem 
rigidez constante com EI=104kNm2. (4) Usando diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 2 
e 5. 
 
1m 2m 4m
2m
2m
1kN 4kN/m
2
3
4 5 6 7
1
8
9
 
 
17) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições. A seguir, 
identificar na estrutura as barras submetidas a apenas esforço normal e as barras submetidas a flexão e 
traçar para estas últimas os diagramas de cortante e momento fletor. A seguir, calcular os esforços 
normaisem todas as barras, usando a metodologia que achar mais conveniente. 
 
2m
2m
1m1m3m
2kN.m
1kN
2kN/m
1
2 3 4
5 6 7
8
 
 
18) Determinar para a estrutura dada abaixo o número de graus de liberdade e restrições. A seguir, 
identificar na estrutura as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras os diagramas de cortante 
e momento fletor. Finalmente, calcular os esforços normais em todas as barras, usando a metodologia 
que achar mais conveniente. Colocar estes valores nesta folha de questões. 
 
1m 2m
2m
3kN/m
1m
1m
1m
1
2 3 4 5
6 7
1m2m
8
9
 
 
19) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se traçar os diagramas de cortante e momento fletor, 
mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. Usando diagramas de 
corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós. 
 
1kN
1kN
2kN
2kN/m
1
2
3
4
5
6
7 8
1m
1m
1m
1m1m 2m
 
 
20) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) determinar o número de graus de liberdade e 
restrições; (2) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de cortante e momento 
fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. Mostrar 
também a distribuição de esforços normais na estrutura. Usando diagramas de corpo livre, mostrar o 
equilíbrio dos nós 2, 4 e 7. 
 
1kN
3kN
4kN/m
1
2
3
4 5
6
7
8
9
2m
2m
2m 2m 2m4m
 
 
21) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os 
diagramas de normal, cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo 
entendimento dos resultados. (2) Calcular, usando o PTVC o valor da rotação da tangente à elástica no 
nó 1 1θ . Considerar que o pórtico tem rigidez constante com EI=104kNm2. (3) Usando diagramas de 
corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 3 e 6. 
 
2kN/m
3
1
2
1m
1m
1m 1m2m
3kN
1m
4
5
7
6
8
1,5kN.m
 
 
 
 
22) Para o pórtico plano dado abaixo pede-se: (1) determinar o número de graus de liberdade e 
restrições; (2) decompor a estrutura, indicando as reações de apoio e forças de ligação e descrever, a 
seguir, como as cargas são transmitidas no interior da estrutura e qual a seqüência adotada para os 
cálculos; (3) usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de cortante e momento fletor, 
mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados e (4) usando 
diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós 2 e 4. 
 
2kN/m
2kN
6kN.m
1,5m
1,5m
1,5m
1,5m
2m2m4m 4m
1
2
3
4
5
6
8
9
7
2kN/m
7
 
Exercícios resolvidos (Lista 3) 
 
1) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada cujo eixo coincida com a linha de pressões do 
carregamento dado abaixo. Para isto pede-se escrever as equações que descrevem a forma da linha de 
pressões, suas tangentes e o esforço normal. Sabe-se que a rótula intermediária se encontra no ponto de 
normal mínimo e que a altura máxima do arco deve ser de 3m. A seguir, desenhar o diagrama de 
esforço normal, destacando os valores extremos. Qual a vantagem de se construir uma barra curva na 
forma da linha de pressões do seu carregamento? 
 
6 kN/m
4 m 2 m
1 3
 
 
 
Cálculo das reações verticais: 
 
6 kN/m
1 3
V1
H1 H3
V3
 
 
( )
( ) ( ) 02246V:0M
24VV046VV:0V
31
3131
=−=Σ
=+⇒=−+=Σ
 
 
 
 
logo: 
kN8V
kN16V
3
1
=
=
 
 
Variação da resultante das forças verticais: 
 
16 kN
2.67 m
8 kN
+
-
 
 
Variação do momento causado pelas forças verticais: 
 
21.33 kN.m
16.00 kN.m
 
 
A.- A equação da carga é: 6q −= para m4xm0 ≤≤ . 
A equação da resultante das forças verticais é: xCdxqRv 6161 −=+= ∫ para 
( )[ ]16160 1 =⇒= CR 
A equação do momento é: ∫ −=+=
2
2 316 xxCdxRM vv para ( )[ ]0C00M 2 =⇒= 
 
Cálculo das reações horizontais: 
Esforço normal mínimo ocorre quando Rv é igual a zero (x=5m). Estando a rótula neste ponto (y=3m), 
tem-se 
 
kN11.7
3
33.21H
HH0HH:0H
1
3131
==
=⇒=−=Σ
 
 
logo: 
kN11.7H
kN11.7H
3
1
=
=
 
 
A equação do que descreve a geometria do arco é: 
11.7
x3x16y
2
1
−
= 
A equação da tangente é: 
 



 −
=ϕ
11.7
x616
arctg1 
 
logo, a equação do esforço normal será: 
( )22 x61611.7N −+−= 
 
B.- A equação da carga é: 0q −= para m6xm4 ≤≤ . 
 
A equação da resultante das forças verticais é: 83 −=+= ∫ CdxqRv para 
( )[ ]880 3 −=⇒−= CRv 
A equação do momento é: ∫ −=+= xCdxRM vv 8164 para ( )[ ]0C00M 4 =⇒= 
 
A equação do que descreve a geometria do arco é: 
11.7
x816y1
−
= 
A equação da tangente é: 
 



 −
=ϕ
11.7
8
arctg2 
 
logo, a equação do esforço normal será: 
 
22 811.7N +−= 
 
 
 
 
O diagrama de esforços normais será: 
 
17.5 kN
10.7 kN
10.7 kN
7.11 kN
-
 
 
2) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada cujo eixo coincida com a linha de pressões do 
carregamento dado abaixo. Para isto pede-se escrever as equações que descrevem a forma da linha de 
pressões, suas tangentes e o esforço normal. Sabe-se que a rótula intermediária se encontra no ponto de 
normal mínimo e que a altura máxima do arco deve ser de 4m. A seguir, desenhar o diagrama de normal 
destacando os valores extremos e determinar o valor da tangente nas extremidades de cada barra. Pede-
se também para definir a linha de pressões e comentar sobre sua importância em engenharia estrutural. 
 
3 m
1 3
2 kN/m
 
 
Cálculo das reações verticais: 
 
1 3
2 kN/m
H1
V3
H3
V1
4 m
 
 
( )( )
( ) ( ) 03V3
3
13:0M
HH0HH:0H
3VV023
2
1VV:0V
31
2121
3131
=+





−=Σ
=⇒=−=Σ
=+⇒=−+=Σ
 
 
logo: 
 
kN1V
kN2V
3
1
=
=
 
 
A equação da carga é: x
3
22q +−= 
A equação da resultante das forças verticais 21 3
222 xxCdxqRv +−=+= ∫ para 
( )[ ]220 1 =⇒= CRv 
A equação do momento é: 
9
2
3
2
2
x
xxCdxRM vv +−=+= ∫ para ( )[ ]0C00M 2 =⇒= 
 
A força vertical será nula quando: 
 
0
3
22:0
2
=+−=
x
xRv (ponto de normal mínimo) em m268.1x = 
 
O momento fletor das forças verticais nesse ponto é: ( ) m.kN1547.1268.1M = . 
O valor da reação horizontal será (momento nulo na rótula intermediária): 
4
155.1H = 
logo: 
 
kN29.0H
kN29.0H
2
1
=
=
 
 
A equação que descreve a geometria do arco é: 








+−=
9
x
xx2
29.0
1y
3
2
 
 
A equação do ângulo da tangente ao eixo da barra será: 
















+−=ϕ
3
x
x22
29.0
1
arctg
2
 
 
Finalmente, a equação do esforço normal será: 
 
22
2
3
x
x2229.0N








+−+−= 
 
A geometria final do arco é: 
 
1 3
4 m
81.7o 73.8o
1.27 m 1.73 m
 
 
 
O diagrama de esforços normais será: 
 
-
2.02 kN
2.021.04
0.29 kN
 
 
3) Deseja-se construir uma estrutura tri-articulada cujo eixo coincida com a linha de pressões do 
carregamento dado abaixo. Para isto pede-se escrever as equações que descrevem a forma da linha de 
pressões, suas tangentes e o esforço normal. Sabe-se que a rótula intermediária se encontra no ponto de 
normal mínimo e que a altura máxima do arco deve ser de 3 m. A seguir, desenhar o diagrama de 
esforço normal, destacando os valores extremos. 
 
12 kN
6 kN/m
2 m 4 m
 
 
Cálculo das reações: 
 
12 kN
6 kN/m
H1
V1 V3
H3
 
 
( ) ( ) ( ) 03362126V:0M
48VV03612VV:0V
31
3131
=−−=Σ
=+⇒=−−+=Σ
 
 
logo: 
 
kN26V
kN22V
3
1
=
=
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante e momento fletor: 
 
26 kN
1/3 m
2 kN
14 kN
22 kN
40 kN.m
40.33 kN.m
2.0 m
 
 
A.- Tramo m0.2x0.0 ≤≤ 
 
A equação do carregamento será: 6q −= 
 
A equação da resultante das forças verticais: xCdxqRv 6261 −=+= ∫ para 
( )[ ]26260 1 =⇒= CR 
A equação do momento será: ∫ −=+=
2
2 326 xxCdxRM vv para ( )[ ]0C00M 2 =⇒= 
 
Cálculo das reações horizontais: 
 
kN44.13
3
33.40H
HH0HH:0H
1
3131
==
=⇒=−=Σ
 
 
logo: 
kN44.13H
kN4.13H
3
1
=
=
 
 
A equação que descreve a geometria do arco é: 
 
44.13
x3x26y
2
1
−
= 
 
A equação da tangente é: 
 



 −
=ϕ
44.13
x626
arctg1 
 
E a equaçãodo esforço normal será: 
 
( )221 x62644.13N −+−= 
 
 
B.- Tramo m0.4x0.2 ≤≤ 
 
A equação do carregamento será: 6q −= 
 
A equação da resultante das forças verticais: xCdxqRv 623 −=+= ∫ para 
( )[ ]220 3 =⇒= CRv 
A equação do momento será: ∫ −+=+=
2
4 3240 xxCdxRM vv para 
( )[ ]40C400M 2 =⇒= 
 
A equação que descreve a geometria do arco é: 
 
44.13
x3x240y
2
2
−+
= 
 
A equação da tangente é: 
 



 −
=ϕ
44.13
x62
arctg1 
 
E a equação do esforço normal será: 
 
( )221 x6244.13N −+−= 
 
Diagrama de esforços normais: 
 
29.26 kN
13.56 kN
19.4 kN
13.44 kN
25.27 kN
 
 
4) Identificar na estrutura isostática dada abaixo as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras 
os diagramas de cortante e momento fletor. A seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, 
usando a metodologia que achar mais conveniente. 
 
2 kN
2 kN/m
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
2 m
2 m
1
10
8
976
5
4
3
2
 
 
Cálculo das reações: 
 
2 kN
2 kN/m
1
10
8
976
5
4
3
2
V1
H1
H10
V10
 
 
( ) ( )
( ) ( ) 04168V:0M
0224H:0M
2HH02HH:0H
16VV:0V
10)dir(4
1)esq(4
101101
101
=−=Σ
=+−=Σ
=+⇒=+−−=Σ
=+=Σ
 
 
logo: 
 
kN8V
kN8V
kN1H
kN1H
10
1
10
1
=
=
=
=
 
 
Esforços normais nas barras: 
 
1
10
8
976
5
4
3
2
8
1
8
1
-7
0
-1.41
-9
+11.31
-8-1.41
-7
-9
+8
-8
-9-9
+11.31
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante e de momento fletor: Só há momento fletor e cortante na viga de rigidez. 
 
1
10
8
976
5
4
3
2
+
--
- -
+
4 kN.m
4 kN 4 kN
4 kN4 kN
4 kN.m
 
 
5) Identificar na estrutura isostática dada abaixo as barras submetidas a flexão. a seguir, calcular os 
esforços normais em todas as barras usando a metodologia que achar mais conveniente. 
 
4 kN/m
2 kN
2 m1 m 2 m 2 m 1 m2 m
1 m
1 m
1 432
1211
10
9
7
8
65
1413
 
 
Barras submetidas a flexão: barra 10-13 e barra 7-9 
 
Cálculo das reações: 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0185.112724V:0M
0H:0H
22VV0254VV:0V
31
1
3131
=−+−=Σ
==Σ
=+⇒=−−+=Σ
 
 
logo: 
 
0H
kN1V
kN21V
1
3
1
=
=
=
 
 
Esforços nas barras: 
 
4 kN/m
2 kN
1 432
1211
10
9
7
8
65
1413
21 1
-48
-1
0
0
-21
0+42
6
-6-50
42
2121
42
- +
44
22 +19-20 -
-
3
25
+50
+50
-
50
+25
+50
0
 
 
6) Identificar na estrutura isostática dada abaixo as barras submetidas a flexão e traçar para estas barras 
os diagramas de cortante e momento fletor. a seguir, calcular os esforços normais em todas as barras, 
usando a metodologia que achar mais conveniente. (3 pontos) 
 
2 m 2 m 2 m
2 m
2 m
2 m 2 m
4 kN/m
2 kN
12
7
5
6
1011
98
4
2
31
 
 
Cálculo das reações: 
 
4 kN/m
2 kN
12
7
5
6
1011
98
4
2
31
V12
V1
H1
 
 
( ) ( ) ( ) 06V22432:0M
02H:0H
032VV:0V
121
1
21
=++−=Σ
=+−=Σ
=−+=Σ
 
 
logo: 
kN0.2H
kN67.20V
kN33.11V
1
12
1
=
=
=
 
 
E estrutura pode ser dividida em: 
 
4 kN/m
2 kN
7
5
6
10
98
4
2
3
11
12
V12
1
V1
H1
RH10
RV10
RH1
RV1
RH1
RV1
RH10
RV10
 
Cálculo das reações internas: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 04RH22:0M
04RH8RV22432:0M
02RVRH:0H
032RVRV:0V
10esq7
10101
101
101
=−=Σ
=−++−=Σ
=+−−=Σ
=−+=Σ
 
 
logo: 
kN1RH
kN16RV
kN1RH
kN16RV
10
10
1
1
=
=
=
=
 
 
As barras submetidas a flexão são: Barra 1 – 7, Barra 1 – 11, Barra 11 – 10. 
 
Barra 1-7: Diagramas de esforço cortante e momento fletor na viga de rigidez 
 
8 kN
8 kN
8 kN
8 kN
8 kN.m8 kN.m
-
--
-
 
 
 
Barra 1-11-10: Diagramas de esforço cortante e momento fletor no pórtico inferior 
 
+
-
-
-
-
1 kN
16 kN
4.67 kN
4 kN.m
4 kN.m
32 kN.m
 
 
7) Classificar o pórtico plano dado abaixo e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas 
de cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos 
resultados. Usando diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós. (3 pontos) 
 
1
2
3 5
7
64
8
9
1 kN.m
3 kN/m
2 kN
2 kN
6 kN.m
2 m 2 m 4 m 3 m
2 m
2 m
 
 
Cálculo das reações: 
 
1
2
3 5
7
64
8
9
1 kN.m
3 kN/m
2 kN
2 kN
6 kN.m
V2
H9 V8V9
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0424142224H6V:0M
063V:0M
02H:0H
0242VVV:0V
92esq7
8dir7
9
892
=+++−+−=Σ
=+−=Σ
=−=Σ
=−−−+=Σ
 
 
logo: 
 
kN0.2V
kN0.2H
kN83.9V
kN17.18V
8
9
9
2
=
=
=
=
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
+
+
1 kN
-
+
-
+
-
1 kN
0
2 kN
1 kN
7.83 kN
10.17 kN
1.2 kN
 
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
--
-
+ -
-
-
+
+
+2 kN.m
6 kN.m
2 kN.m
10.24 kN.m
7 kN.m
6 kN.m
4 kN.m
1 kN.m
1 kN.m
 
 
Equilíbrio dos nos: 
 
7
1
6
4
2
1
1
 
 
8) Classificar o pórtico plano dado abaixo e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas 
de cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos 
resultados. Usando diagramas de corpo livre, mostrar o equilíbrio dos nós. 
 
2 m
2 m
12 kN 4 kN/m
4 kN.m
2 m 2 m2 m6 m
1
6
5432 7
 
 
 
Cálculo das reações: 
 
12 kN 4 kN/m
4 kN.m
1
6
5432 7
H1 V1
H6
V6
 
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 84H2V303248124H6V:0M
6HV04182H2V:0M
0HH:0H
44VV08412VV:0V
1111)esq(4
6666)dir(4
61
6161
−=+−⇒=+++−=Σ
=−⇒=−−−=Σ
=+−=Σ
=+⇒=−−+=Σ
 
 
logo: 
kN6H
kN12V
kN6H
kN32V
10
10
1
1
=
=
=
=
 
 
Diagrama de esforços cortantes: 
 
+
-
-
+
-
6 kN
0 kN.m
6 kN
12 kN
12 kN
20 kN
5 m
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
-
-
-
-
-
-
24 kN.m 12 kN.m
4 kN.m
16 kN.m
2 kN.m
24 kN.m
48 kN.m
 
 
Equilíbrio nos nós: 
 
24 kN.m
24 kN.m
48 kN.m 16 kN.m
12 kN.m
4 kN.m
 
 
9) Classificar o pórtico isostático dado abaixo, mostrando claramente as restrições, e explicar como as 
cargas são transmitidas até os apoios. A seguir, traçar os diagramas de cortante e momento fletor. (3 
pontos) 
 
2 m 1 m2 m4 m2 m
2 m
2 m
2 kN/m
4 kN.m2 kN.m
1
9
87
6
5432
 
 
Estrutura com: Isostática
LG12
R12
⇒



 
 
Cálculo das reações: 
 
2 kN/m
4 kN.m2 kN.m
1
9
87
6
5432
V1
V9
H9
H1
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0424162H6V:0M
02282H2V:0M
16VV016VV:0V
119
11)esq(4
9191
=+−−+=Σ
=−−−=Σ
=+⇒=−+=Σ
 
 
logo: 
 
kN1H
kN1H
kN6V
kN10V
9
1
9
1
=
=
=
=
 
 
 
Cálculo das reações na estrutura à direita do pórtico: 
 
4 kN.m
87
6
5
V5
H5
H6
V6
 
 
( )
( ) ( ) 02V22:0M
2H042H:0M
VV:0V
HH:0H
5sup7
665
65
65
=−=Σ
=⇒=−=Σ
==Σ
==Σ
 
 
logo: 
 
kN2H
kN2V
kN2H
kN2V
5
5
6
6
=
=
=
=
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
4 kN
1 kN
1 kN
0
2 kN
3 kN
6 kN
6 kN
3 m
-
+
-
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
-
-
- -
-
-
2 kN.m 2 kN.m
4 kN.m
8kN.m
8 kN.m
1 kN.m
8 kN.m
4 kN.m
4 kN.m