Atividade_07_Práticas_02

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PLANO DE AULA 
Escola: Escola Municipal de Ensino Fundamental Monteiro Lobato. 
Professora: Danuza Renosto. 
Etapa de ensino: Ensino Fundamental – Anos Finais. 
Ano de ensino: 8º ano. 
Turma: 8.2. 
Tempo previsto: 04 aulas de 60 minutos cada. 
Modo de ensino: remoto síncrono. 
Local: laboratório de informática. 
Organização dos alunos: 
Recursos: quadro, datashow, caderno, lápis, borracha, calculadora. 
Componente curricular: Matemática. 
Unidade temática: Números. 
Conteúdos: Números irracionais, Operações com os números irracionais. 
Habilidades: compreender o que são números irracionais, calcular raízes 
quadradas de números irracionais por aproximação, calcular adição e 
subtração de números irracionais usando decomposição em fatores primos. 
Objetivos: conhecer a ideia de número irracional, aprender a definição de 
número irracional, compreender a diferença entre dízima periódica e dízima 
não periódica, indicar quais números são racionais e quais são irracionais, 
compreender que o conjunto dos números reais é formado pelos números 
racionais e pelos números irracionais, compreender que existem raízes 
quadradas não exatas, calcular aproximações de raízes não exatas, aprender 
sobre a origem dos números irracionais, aprender sobre a descoberta de √2, 
indicar entre quais números inteiros está uma raiz não exata, usar a 
calculadora para determinar o valor aproximado de uma raiz não exata, 
decompor o radicando em fatores primos para determinar se a raiz é exata 
ou não, decompor o radicando em fatores primos para efetuar as operações 
de adição e subtração. 
Condução das aulas: será utilizada a metodologia dialética, em que, 
inicialmente, os alunos serão mobilizados por meio de uma atividade 
envolvendo a razão áurea e a sequência de Fibonacci. Depois, para a 
compreensão, serão realizadas quatro aulas envolvendo atividades no 
Geogebra, leituras, construções de algoritmos e resolução de exercícios. 
Para a síntese do conteúdo os alunos irão elaborar um mapa conceitual 
abarcando tudo o que acharam relevante em sua aprendizagem. Por fim, 
será realizada uma atividade que relaciona os números irracionais a 
geometria. 
Mobilização para o conhecimento: para a mobilização dos alunos será 
solicitado que eles assistam ao desenho Donald no País da Matemágica em 
casa (Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ekJlMW3wAtA). 
Na aula, os alunos farão uma atividade sobre a sequência de Fibonacci e os 
coelhos no Scratch. 
Desenvolvimento conceitual da aula: 
 
Aula 01 - Números racionais: representações e localização na reta 
numerada 
 
Para compreender a origem dos números irracionais, será necessário 
recordar os racionais. Então, essa aula iniciará retomando os conjuntos 
numéricos estudados nos anos anteriores: os naturais, os inteiros e os 
racionais. Na lousa, será escrito exemplos desses e a relação de inclusão 
entre os conjuntos e será conversado sobre a localização dos naturais e 
inteiros na reta numerada. Depois, será definido o conjunto dos números 
racionais. Depois a aula será direcionada para a representação, na reta 
numerada, de números racionais não inteiros. Para isso, será mostrado no 
Geogebra uma reta numerada que considera 1 cm como unidade de medida 
de comprimento e os alunos terão de localizar na reta numerada os decimais 
exatos 4,5 e 2,8, sendo esperado que os alunos não apresentem dificuldade 
nessa tarefa. Depois terão de estimar a localização do número 3,666... Após, 
será questionado aos alunos se é possível localizar esse número na reta 
numerada com precisão. Diante das respostas, será afirmado que é possível 
e que para isso é necessário escrever esse número racional na forma de 
fração de números inteiros. Na lousa, será mostrado o seguinte modo para 
obter essa representação: 
𝑥 = 3,666 … (𝐼) 
 
⇒ 10𝑥 = 36,666 … (𝐼𝐼) 
 
⇒ 10𝑥 − 𝑥 = 36,666 … − 3,666 … 
 
 
⇒ 9𝑥 = 33 
 
⇒ 𝑥 =
33
9
 
 
⇒ 𝑥 =
11
3
 
Retornado à reta numerada, será mostrado aos alunos como se divide um 
segmento de reta em partes iguais. Nesse caso, será dividido um segmento 
de reta de medida de comprimento de 11 cm em 3 partes iguais. Para isso, 
será considerado um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Em seguida, será traçada uma 
semirreta qualquer 𝐴𝑋̅̅ ̅̅ e sobre ela será construído, os segmentos de reta 
𝐴𝐴1̅̅ ̅̅ ̅, 𝐴1𝐴2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ e 𝐴2𝐴3̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, os quais devem ter a mesma medida de comprimento. 
Feito isso, será traçada a reta que passa por A3 e B e, em seguida, traçada a 
reta paralela a ela que passa pelo ponto A1, obtendo o ponto P1 no segmento 
de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . De forma análoga, será traçada outra reta paralela a essas 2 que 
passa pelo ponto A2, obtendo o ponto P2 também no segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
Os pontos P1 e P2 dividem o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ em 3 partes iguais. Dessa 
forma, sendo AB = 11 cm, tem-se que AP1 = P1P2 = P2B = 
11
3
, e o ponto P1 
representa a localização do número 
11
3
 na reta numerada. Por fim, será 
discutido com os alunos que é possível dividir qualquer segmento de reta em 
quantas partes iguais se queira, e que o procedimento anterior devidamente 
adaptado permite encontrar a localização de qualquer número racional na 
reta numerada. 
Tarefa para casa: (1) escrever um algoritmo para os procedimentos de 
determinação da fração geratriz de um número racional, (2) encontrar a 
localização de outro número racional na reta numerada por meio do 
Geogebra. 
 
Aula 02 – Irracionalidade de um número primo positivo 
 
Essa aula será iniciada explicando de maneira breve qual o significado de 
uma demonstração por absurdo. Para isso, será relatado que, para provar a 
veracidade de uma afirmação, uma demonstração por absurdo demonstra 
que a falsidade da afirmação gera, por consequência, um absurdo. Em 
outras palavras, no caso de uma hipótese (p) que implica uma tese (q), p ⇒ 
q, a demonstração por absurdo consiste em, considerando a hipótese (p) 
verdadeira, mostrar que a não validade da tese (q) tem, por consequência, 
um resultado contraditório ou absurdo. Cabendo destacar que o que garante 
a validade da demonstração por absurdo é o princípio do terceiro excluído, 
o qual afirma que uma propriedade matemática ou é verdadeira ou é falsa, 
não havendo uma terceira possibilidade. Após essa explanação inicial, será 
iniciado na lousa a demonstração por absurdo da irracionalidade do número 
√3, que consiste em demonstrar que o número √3 não é racional por não 
poder ser escrito na forma de fração de 2 números inteiros com 
denominador diferente de zero. Primeiramente será suposto que √3 é um 
número racional. Assim, pela definição de número racional, é possível ter √3 
= 
𝑝
𝑞
 (I), sendo p e q números inteiros, q ≠ 0 e p e q números primos entre si, 
ou seja, o 1 é o único divisor comum entre p e q, isto é, mdc (p, q) = 1. Depois, 
ambos os membros da equação (I) serão elevados ao quadrado, tendo-se o 
seguinte resultado: 
3 =
𝑝2
𝑞2
 
 
⇒ 𝑝2 = 3𝑞2 (𝐼𝐼) 
A equação (II) revela que 𝑝2 é divisível por 3. Pelo fato de o mdc (p, q) = 1, 
tem-se que q = 1 e, consequentemente, que 𝑝2 = 3, o que é um absurdo, 
pois p é um número inteiro e 3 não é um quadrado perfeito. Isso posto, tem-
se que a premissa de que √3 é um número racional é falsa, restando apenas 
a possibilidade de √3 ser um número irracional. Nesse momento, será 
destacado que o conjunto dos números irracionais (I) é, diferentemente do 
conjunto dos números racionais (ℚ), que é composto apenas por números 
cuja representação decimal é infinita e não periódica, escrevendo na lousa a 
sua definição. Será apresentado outros exemplos de números irracionais e 
seus respectivos valores com 3 casas decimais, como: √2 = 1,414…; √5 = 
2,236…;  = 3,141…;  = 1,618…; e = 2,718… Também será discutida a relação 
entre os conjuntos dos números racionais e irracionais e o conjunto dos 
números reais de forma que os alunos percebam as seguintes relações: ℚ  
I =  e ℚ  I = ℝ. Em seguida, será representado essas relações por meio 
dos diagramas de Venne discutido a representatividade dos números reais. 
Tarefa para casa: (1) escrever um algoritmo para o procedimento de 
demonstração por absurdo; (2) utilizando a demonstração por absurdo, 
provar a irracionalidade de √2. 
 
 
Aula 03 - Localização de √2 na reta numerada 
 
No começo dessa aula será recordado o procedimento feito na Aula 01 para 
localizar um número racional na reta numerada, sendo explicado que esse 
não se aplica aos números irracionais, apenas as dízimas periódicas, pois não 
é possível representar esse tipo de número por uma fração de números 
inteiros com denominador não nulo e por mais que se busquem 
aproximações sucessivas, sequencialmente, aos décimos, aos centésimos, 
aos milésimos, elas nunca serão suficientes para determinar sua localização 
na reta numerada, esse procedimento não se esgota, por maior que seja a 
quantidade de casas decimais que se utilize. Contudo, será explicado aos 
alunos que existem outras possibilidades de obter essa localização. Será 
afirmado aos alunos que, quando se toma a medida de comprimento do lado 
de um quadrado como unidade de medida, a medida de comprimento de sua 
diagonal é √2. Assim, considerando um quadrado cuja medida de 
comprimento do lado é de 1 cm, a diagonal desse quadrado terá medida de 
comprimento de √2 cm. A partir disso, no Geogebra sobre uma reta 
numerada será destacado um quadrado cujo lado se apoia exatamente na 
parte que representa o primeiro centímetro da régua. Em seguida, será 
traçada a diagonal do quadrado. Após, será desenhado um arco entre a 
extremidade da diagonal até a reta numerada, em que o ponto de encontro 
desse traçado com a reta numerada será o ponto representativo da medida 
√2 cm. Para aferir a aprendizagem dos alunos, eles terão que determinar a 
localização de 2√2 (diagonal de um quadrado de medida de comprimento do 
lado de 2 cm), considerando 1 cm como unidade de medida de comprimento, 
no Geogebra. 
Tarefa para casa: para uma melhor assimilação do que foi visto até agora 
os alunos terão que ler o texto Segmentos de reta comensuráveis e 
segmentos de reta incomensuráveis (Anexo 01) para consolidar o 
entendimento sob a origem dos números irracionais. 
 
Aula 04 – Raízes não exatas de números racionais e Adição e subtração 
de números irracionais 
 
A aula iniciará apresentando aos alunos raízes exatas de números racionais, 
sendo explicado que essas raízes são chamadas de exatas, pois os resultados 
delas são números racionais. Em seguida, será feita a decomposição em 
fatores primos dos números 256, 2,25 e 125 e indagado aos alunos se as 
raízes são exatas ou não, sendo explicado que as raízes são exatas quando 
todos os expoentes dos fatores são divisíveis pelo índice da raiz. Neste 
momento, será mostrado que, no caso de a raiz ser exata, pode-se calcular 
o valor dela e, no caso de não ser exata, pode-se determinar parte da 
representação decimal dela por aproximações sucessivas. Será mostrada as 
aproximações sucessivas de 2, por meio da pergunta: “Entre quais números 
inteiros está 2?”. Após as respostas da turma, será mostrado que 2 está entre 
1 e 4 e, consequentemente, 2 está entre 1 e 2. Em seguida, na lousa, será 
elevado ao quadrado os números 1,1, 1,2, 1,3, 1,4 e 1,5 para que os alunos 
vejam como pode-se determinar entre quais números com 1 casa decimal 
está 2. Então, os alunos terão que determinar entre quais números com 2 e, 
depois, com 3 casas decimais está 2. Feito isso, será mostrado aos alunos 
que é possível aproximar, mas nunca encontrar um valor exato, pois 2 é um 
número irracional. 
Em seguida, serão dados exercícios aos alunos que envolvem a adição e a 
subtração de números irracionais (radicais) por meio da decomposição em 
fatores primos, pois será dado espaço aos alunos tentarem intuir como 
resolvê-los, podendo utilizar a calculadora para verificar primeiramente qual 
o resultado. Será solicitado que construam, em seus cadernos, um algoritmo 
para tal resolução. Os exercícios dados aos alunos serão os seguintes: 
Exercício 1) √18+√8= 
Exercício 2) √18+√50-√2-√8= 
Exercício 3) O resultado da adição e da subtração de dois números irracionais 
é racional ou irracional? 
Tarefa para casa: (1) fazer a leitura do texto (Anexo 02) e escrever uma 
pequena conclusão sobre a descoberta dos irracionais na Antiguidade 
utilizando o texto da tarefa da aula passada como base também e/ou 
pesquisa na internet caso necessário, (2) resolver exercícios (Anexo 03) que 
envolvem o que foi visto nessa aula e em aulas anteriores. 
Síntese e expressão do conhecimento: para aferição da aprendizagem dos 
alunos será solicitado que eles elaborem um mapa conceitual envolvendo os 
conjuntos numéricos e destacando os números irracionais por meio dos 
principais conceitos ensinados em aula. 
Instrumento de avaliação: para a avaliação dos alunos será feita uma 
atividade que relaciona a geometria com os números irracionais, a qual terá 
o valor de 4 pontos (Anexo 04). 
Referências bibliográficas 
 
DANTE, L. R. Teláris Matemática, 9º ano: ensino fundamental, anos 
finais. São Paulo: Ática, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 01 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 03 
 
01) Classifique os números abaixo em racional ou irracional. 
a) 0,01 b) 0,01234567891011... c) 0,01̅̅̅̅ 
 
02) Entre quais números inteiros consecutivos fica cada uma destas raízes? 
a) √10 b) √12
3
 
 
03) Indique uma raiz quadrada irracional que fica entre 8 e 9. 
 
04) Determine por aproximações (até os décimos), sem o uso de calculadora, o valor de cada raiz. 
a) √7 b) √13 
 
05) Agora, aproxime até os centésimos. 
a) √8 b) √20 
 
06) Para calcular o valor da raiz quadrada de um número natural em uma calculadora, teclamos o 
número e, em seguida, a tecla √ . Confira os resultados das atividades 05 e 06 usando uma 
calculadora. 
 
07) Use a decomposição dos números naturais em fatores primos e determine no caderno quais 
das raízes quadradas são números racionais e quais são números irracionais. Nas raízes exatas, 
calcule o valor de cada uma delas. 
a) √441 b) √6875 
 
08) Identifique no número abaixo qual é o índice, o radical, o radicando e a raiz. 
√86 
 
09) Faça a fatoração dos números abaixo, identifique em quais casos os expoentes dos fatores são 
divisíveis pelo índice da raiz e quando não o são, classificando as raízes em exatas ou em não 
exatas. 
a) √8 b) √81
3
 c) √81 d) √20 
 
10) Opere os números conforme abaixo utilizando a decomposição em fatores primos. 
a) 5√3 + 4√7 − 2√3 + 9√7 
b) 2√28 − √63 + 7√7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 04 
 
Atividade – Números irracionais e a geometria 
Você recorda do vídeo sobre a razão áurea que vimos e da atividade dos 
coelhos que fizemos na Aula 01? A atividade que fecha esse conteúdo está 
relacionada ao número de ouro e a sequência de Fibonacci. Essa atividade 
pode ser feita em dupla ou individualmente, como preferir. Ela terá o valor de 
4 pontos, os quais serão distribuídos da seguinte forma: a) 0,5 pontos; b) 0,5 
pontos; c) 1 ponto; d) 0,5 pontos; e) 1,5 pontos. Boa atividade!