Integrais - Resumo e Exercícios II

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PLANO DE ESTUDO-MAT 140 
MONITOR: Rondinei Almeida da Silva 
� Revisão sobre derivadas 
Para se estudar sobre integrais imediatas é necessário ter uma boa compreensão sobre 
derivada, sobretudo a derivada de funções que aparecem com muita frequência no 
cálculo integral, como por exemplo: 
���� = ���	
�	�				 ⟹ 			 � ,��� =
1
√1 − ��
		 
� Integrais Imediatas 
Depois de uma boa revisão dos assuntos estudados anteriormente pode-se estudar 
integrais imediatas com um ou mais livros que consta na bibliografia do programa de 
disciplina da matéria. Para ajudar na compreensão do assunto os seguintes vídeos 
podem ser útil: 
Introdução as integrais (primitivas): 
 http://www.youtube.com/watch?v=gcYyLFKHebE 
Antiderivada ou integral indefinida (parte 1 e 2): 
http://www.youtube.com/watch?v=DiXFHDncB3E 
Exercícios: 
1) ∫ dxx2 
∫ ++
−− dxxxx )33()2 74
 
dx
x
xxx∫ 





+++ −−
3
562 14
3
2)3
 
dx
x∫ − 21
9)4 
0,)()5 22 ≠+∫ aaax
dx
 
dx
xx
x
∫ )ln(
)ln()6 2 
Ζ∈
−
∫ nonde
tn
dt
n
,
)
2
1(
)7
 
 
Soluções: 
As soluções das três primeiras integrais acima podem ser encontradas em 
http://www.youtube.com/watch?v=DiXFHDncB3E 
4) cxarcsen +)(3 
5) cxarctg
a
+)(12 
6) cx +ln
2
1
 
7) 






=+
≠+
−−
−
1,ln2
1,
)1)(
2
1(
1
nsect
nsec
nn
t n
 
 
� Integração por Substituição 
Uma boa compreensão sobre a regra da cadeia é importante para fixar as ideias sobre a 
técnica de integração por substituição. Os vídeos citados abaixo se tornam bons aliados 
nesse estudo: 
Substituição de variável: 
Integral indefinida (parte 3)- Integração por substituição: 
http://www.youtube.com/watch?v=T40GeUPAyfk&feature=fvwrel 
Cálculo integral: A integral indefinida. O método da substituição da variável: 
http://www.youtube.com/watch?v=PqJuIoQtZyc&feature=related 
Exercícios: 
dx
x
x
∫
2)(ln)1
 
dxxsenx 3)()cos()2 ∫
 
∫
∫
∫
∫
−
−
+
+
dttt
dx
x
x
duug
dx
e
e
x
x
4)6
1
3)5
)(cot)4
16
)3 2
 
Soluções: 
As soluções das duas primeiras integrais acima podem ser encontradas em 
http://www.youtube.com/watch?v=T40GeUPAyfk&feature=fvwrel 
3) cearctg
x
+)
4
(
4
1
 
 4) cusen +ln 
5) c
x
x
x +
+−
++
−+
32
32ln232 
6) ctttt +−−+−− 4)4(
3
84)4(
5
2 2
 
 
� Integração por Substituição Trigonométrica 
 
Uma boa revisão em trigonometria é necessária quando estamos empregando o método 
da substituição trigonométrica, sobretudo, as identidades trigonométricas que contenha 
arcos duplos. Saber calcular integrais envolvendo potências de funções trigonométricas 
também é essencial para um melhor desenvolvimento no uso dessa técnica. 
Alguns vídeos sobre o assunto podem ajudar. São eles: 
Integral por Substituição Trigonométrica: 
http://www.youtube.com/watch?v=i4zAlh8gOvQ 
http://www.youtube.com/watch?v=t-25polC8eI&feature=related 
 
Exercícios: 
 
 
A solução da integral acima pode ser encontrada em 
http://www.youtube.com/watch?v=i4zAlh8gOvQ 
∫ + dxx 94)2 2 
∫ dxx
3)(sec)3
 
A solução das duas integrais acima pode ser encontrada em 
http://www.youtube.com/watch?v=t-25polC8eI&feature=related 
dx
x
x
dx
x
x
∫
∫
+
−
43
)5
2
9)4
2
2
2
2
 
Soluções: 
A solução da primeira integral acima pode ser encontrada em 
http://www.youtube.com/watch?v=i4zAlh8gOvQ 
A solução da segunda e terceira integral acima pode ser encontrada em 
http://www.youtube.com/watch?v=t-25polC8eI&feature=related 
4) cxarcsen
x
x
+








−
−
−
3
9
2
1 2
 
5) ( ) cxxxx +++−+ 4ln
3
24
6
1 22
 
 
 
 
 Bom Estudo! 
∫ − dxx
21)1