Livro- Texto - Unidade III

Prévia do material em texto

82
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Unidade III
7 GEOMETRIA ESPACIAL EM UM APLICATIVO COMPUTACIONAL LIVRE
Veja a definição de Oliva e Rezende (2013) a respeito de software livre:
Entendemos que um software seja livre quando ele for licenciado através de 
termos que respeitem as seguintes liberdades de seus usuários:
• a liberdade de executar o programa, para qualquer propósito 
(liberdade nº 0);
• a liberdade de estudar como o programa funciona e adaptá‑lo para 
as suas necessidades (liberdade nº 1). Acesso ao código fonte é um 
pré‑requisito para essa liberdade;
• a liberdade de redistribuir cópias de modo que você possa ajudar ao 
seu próximo (liberdade nº 2);
• a liberdade de aperfeiçoar o programa e distribuir os seus aperfeiçoamentos, 
de modo que toda a comunidade se beneficie (liberdade nº 3). Acesso ao 
código fonte é um pré‑requisito para esta liberdade.
7.1 Wingeom: instalação
 Observação
Para baixar o software Wingeom, você deve acessar no site <http://
math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>.
Nesse endereço eletrônico, você encontrará a seguinte frase em negrito “Foreign‑language 
versions”, que nada mais é do que versões do Wingeom em outras línguas estrangeiras (seu padrão é o 
inglês); você deve escolher: “portuguese (prepared with the help of Franciele Cristine Mielke, Who has 
also translated two tutorials)”. Você deve clicar sobre a palavra portuguese para baixar o programa para 
seu computador, em uma pasta previamente criada; aparecerá um ícone de arquivo compactado com 
o nome Wgpr32z.exe. Clique com o botão direito do mouse sobre a imagem e escolha a opção “Extrair 
aqui”. Depois, arraste o ícone para área de trabalho do seu computador. Clicando sobre esse 
ícone, o programa abrirá, e, clicando no comando “Janela”, você terá em sua tela a seguinte imagem:
83
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 112 – Janela Wingeom
Na sequência, escolha a modalidade e seu tema de estudo.
O Wingeom oferece recursos nos espaços bidimensional e tridimensional, assim como a possibilidade 
de se construirem animações de forma simples e direta. Apresentaremos neste texto algumas tabelas 
que sintetizam os principais comandos e as opções do menu do Wingeom, tais como criar, editar, 
realçar e medir figuras geométricas. Caso você deseje aplicações para além dos conteúdos dos presentes 
no Ensino Fundamental e no Ensino Médio, recomendamos a utilização do Wingeom no estudo dos 
poliedros e na ilustração do estudo das geometrias esféricas e hiperbólicas. Mais especificamente, 
você pode explorar os seguintes conteúdos no Wingeom: geometria euclidiana plana (identificada no 
programa como “2‑dim”); geometria euclidiana espacial (identificada no programa como “3‑dim”); 
outras geometrias (geometria “Hiperbólica” e geometria “Esférica”); “Voronoi” (divisões do plano); 
“Adivinhe” (transformações no plano); “Mosaicos” (modelos de preenchimento/ladrilhamento do plano); 
“RVA demo” (composição de cores, utilizando o mouse).
 Lembrete
Destacamos que o uso de ambientes informatizados de aprendizagem 
pode oferecer diferentes perspectivas no processo de construção, elaboração 
e apropriação do conhecimento matemático.
Os ambientes virtuais de construção de conhecimento podem oferecer uma dinâmica diferenciada 
ao aprendiz, na qual o papel de investigador e/ou construtor de conceitos e verificador de propriedades 
precisa ser assumido pelo usuário do pacote computacional. Nesse processo, podemos encontrar 
motivações para construirmos e aprimorarmos nosso próprio conhecimento por meio de situações 
problemas que nos possibilitem, pela experiência prática, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar, 
abstrair, generalizar e posteriormente demonstrar.
84
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
 Saiba mais
Você sabia que o Wingeom é uma excelente ferramenta no auxílio do 
aprendizado da geometria plana? Para fazer alguns testes, bem como 
exercícios, utilize o seguinte tutorial que está disponível em: <http://math.
exeter.edu/rparris/peanut/Explorando%20Wingeom%20‑%20Vol%201.pdf>.
7.2 Wingeom: recursos tridimensionais básicos
O foco de nosso estudo na disciplina de Geometria Espacial são os recursos tridimensionais 
apresentados pelo Wingeom. Ao clicar em “3‑dim” na janela apresentada na figura 107, obtemos a 
seguinte barra:
Figura 113 – Barra da janela “3‑dim”
 Observação
Nessa barra, podemos fazer uso das seguintes ferramentas:
• Pontos: usada para construir um ponto, temos as opções de 
construção em coordenadas absolutas ou relativas.
• Linear: usada para construir planos e marcar alturas relativas a retas, 
planos, reta à reta e normais ao plano.
• Curvo: usada para construir esferas; cones; troncos; cilindros; discos.
• Unidades: usada na construção computacional de: a. poliedros 
(sólidos geométricos); b. superfícies geométricas completas, a saber, 
cilindros, cones, troncos e esferas ou apenas um de seus hemisférios; 
c. polígonos regulares; d. duplicar essa função viabiliza a construção 
automática de uma figura congruente a uma anteriormente 
construída ou, se desejar, construir parte da figura já construída.
• Transf: possibilita, entre outras ações, transladar, rotacionar e dilatar 
uma imagem.
85
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Daremos sequência aos nossos estudos de geometria espacial, apresentando procedimentos de 
construções geométricas no Wingeom “3‑dim”.
Antes, porém, vamos nos assegurar de que a barra de ferramentas esteja visível. Proceda da seguinte 
forma: escolha a opção “Botões” e clique sobre o título “Barra de ferramentas”, como ilustramos na 
figura a seguir.
Figura 114 – Inserindo a Barra de ferramentas na janela 3‑dim
Em seguida, a barra de ferramentas ficará visível. Observe a figura a seguir.
Figura 115 – Imagem da barra de ferramentas
7.3 Construções geométricas analíticas (pontos, segmento, face, esfera, 
cone, tronco, cilindro e disco)
7.3.1 Construindo poliedros regulares
Os procedimentos para construir poliedros regulares são os seguintes:
1. Abra o programa e, em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
86
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Clássicos...”.
Figura 116 – Construindo poliedros regulares
Vamos, a seguir, apresentar os procedimentos de construção de alguns poliedros regulares.
7.3.1.1 Construindo um cubo azul com aresta (lado) igual a duas unidades
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Clássicos...”.
3. Selecione a opção “regular” e clique no item “cubo”.
4. No espaço destinado ao comprimento da aresta, digite o valor 2.
5. Ative a opção “todas as faces”, clique no botão “cor” e selecione a cor azul, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
87
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 117 – Construindo um cubo
1. Clique no botão “construir”.
2. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem do cubo, conforme 
mostra a figura a seguir.Figura 118 – O cubo construído
88
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
7.3.1.2 Construindo um tetraedro regular azul com aresta igual a uma unidade
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Clássicos...”.
Figura 119 – Construindo um tetraedro regular
3. Selecione a opção “regular” e clique no item “tetraedro regular”.
4. No espaço destinado ao comprimento da aresta, digite o valor 1.
5. Ative a opção “todas as faces”, clique no botão “cor” e selecione a cor azul, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
Figura 120 – Construindo um tetraedro regular azul
89
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
6. Clique no botão “construir”.
7. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem do tetraedro, conforme 
mostra a figura a seguir.
Figura 121 – O tetraedro regular construído
De modo semelhante, você pode construir outros poliedros regulares clássicos. Divirta‑se.
7.3.2 Construindo poliedros semirregulares
7.3.2.1 Construindo um semirregular: o cuboctaedro branco com aresta igual a uma unidade
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Clássicos...”.
3. Selecione a opção “semirregular” e clique no item “cuboctaedro”.
4. No espaço destinado ao comprimento da aresta, digite o valor 1.
5. Ative a opção “todas as faces”, clique no botão “cor” e selecione a cor branca, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
90
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Figura 122 – Construindo um poliedro semirregular
6. Clique no botão “construir”.
7. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem do cuboctaedro, conforme 
mostra a figura a seguir.
Figura 123 – O cuboctaedro construído
91
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
7.3.3 Construindo prismas
7.3.3.1 Construindo um prisma regular, tendo um quadrado como base, com uma unidade de 
lado e duas unidades de altura
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Prisma...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
Figura 124 – Construindo um prisma regular: base quadrada
3. No espaço destinado ao comprimento da aresta, digite o valor 1 para o item comprimento e 2 
para a altura, conforme ilustramos na figura a seguir.
Figura 125 – Definindo o comprimento do lado da base e a altura do prisma regular: base quadrada
92
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
4. Clique no botão “construir”.
5. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem do prisma, tendo um 
quadrado como base.
Figura 126 – Prisma regular construído: base quadrada
7.3.3.2 Construindo um prisma regular, tendo um hexágono com base, com 1 u.m. de lado e 
2 u.m. de altura
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Prisma...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
Figura 127 – Construindo um prisma regular: base hexagonal
93
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
3. No espaço destinado ao comprimento da aresta, digite o valor 1 para o item comprimento e 2 
para a altura, conforme ilustramos na figura a seguir.
Figura 128 – Definindo o comprimento do lado da base e a altura do prisma regular: base hexagonal
4. Clique no botão “construir”.
5. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem do prisma tendo um 
hexágono como base.
Figura 129 – Prisma regular construído: base hexagonal
94
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
7.3.4 Construindo pirâmides regulares
7.3.4.1 Construindo uma pirâmide, tendo um quadrado como base, com uma unidade de lado 
e duas unidades de altura
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades”, “Poliedro”. Clique na opção “Pirâmide...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
Figura 130 – Construindo uma pirâmide: base quadrada
3. No espaço destinado ao número de lados, opte por 4 e digite o valor 1 para o item comprimento 
e 2 para a altura da pirâmide1, conforme ilustramos na figura 126.
Figura 131 – Definindo o comprimento do lado da base e a altura da pirâmide regular: base quadrada
1 Dependendo da construção desejada, podemos optar por escolher o comprimento da aresta lateral ou a altura 
da face da pirâmide.
95
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
4. Clique no botão “construir”.
5. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem da pirâmide, tendo um 
quadrado como base.
Figura 132 – Pirâmide regular construída: base quadrada
7.3.4.2 Construindo uma pirâmide, tendo um pentágono como base, com uma unidade de 
lado e duas unidades para o comprimento da aresta lateral
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Pirâmide...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
96
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Figura 133 – Construindo uma pirâmide: base pentagonal, dado o comprimento da aresta lateral
3. No espaço destinado ao número de lados, opte por 5 e digite o valor 1 para o item comprimento 
e 2 para a altura da pirâmide, conforme ilustramos na figura a seguir.
Figura 134 – Definindo o comprimento do lado da base e da aresta lateral da pirâmide regular
4. Clique no botão “construir”.
5. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem desejada da pirâmide.
97
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 135 – Pirâmide regular: base pentagonal com 2 u.m. de aresta lateral
7.3.4.3 Construindo uma pirâmide, tendo um pentágono como base, com uma unidade de 
lado e duas unidades para o comprimento da altura da face
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Poliedro”. Clique na opção “Pirâmide...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
Figura 136 – Construindo uma pirâmide: base pentagonal, dado o comprimento da altura da face
3. No espaço destinado ao número de lados, opte por 6 e digite o valor 1 para o item comprimento 
e 2 para a altura da face da pirâmide, conforme ilustramos na figura a seguir.
98
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Figura 137 – Definindo o comprimento do lado da base e a altura da face da pirâmide regular
4. Clique no botão “construir”.
5. Para concluir o processo, clique no botão “fechar”, e você terá a imagem desejada da pirâmide.
Figura 138 – Pirâmide regular: base hexagonal com altura da face de 2 u.m.
 Saiba mais
É possível fazer a construção dos sólidos platônicos utilizando o Wingeom 
em três dimensões. Para auxiliá‑lo, explore o manual disponível em: <http://
wwwp.fc.unesp.br/~valocci/UtilizdoWingeom.pdf>. Nele, você encontra 
diversos exercícios e o passo a passo para a construção dos sólidos.
99
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
7.3.5 Construindo superfícies regulares
7.3.5.1 Construindo cilindros
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Superfície”. Clique na opção “Cilindro...”, conforme 
ilustramos na figura a seguir.
Figura 139 – Construindo um cilindro
3. Para construirmos um cilindro, precisamos apenas entrar com o raio da circunferência da base e 
a altura desejados, conforme ilustramos na figura a seguir.
Figura 140 – Definindo o raio e a altura do cilindro
4. Clique no botão “ok” para obter a imagem desejada do cilindro.
100
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Figura 141 – Cilindro
7.3.5.2 Construindo cones
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Superfície”. Clique na opção “Cone...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
Figura 142 – Construindo um cone
3. Para construirmos um cone, precisamos apenas entrar com o valor do raio da circunferência da 
base e a altura desejados2, conforme ilustramos na figura a seguir.
2 Se seu desejo é construir um cone com base no raio e na aresta lateral, basta ativar a opção �aresta lateral� e entrar 
com a medida desejada. 
101
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 143 – Definindo o raio e a altura do cone
4. Clique no botão “ok” para obter a imagem do cone, como na figura a seguir.
Figura 144 – Cone de raio igual a 1 u.m. e altura 1,5 u.m.
7.3.5.3 Construindo troncos
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3 D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Superfície”. Clique na opção “Tronco...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
Figura 145 – Construindo um tronco
102
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
3. Para construirmos um tronco, precisamos apenas entrar com o raio inferior da circunferência da 
base, 2 u.m., a altura, 3 u.m., e o raio superior do tronco desejado, 1 u.m., conforme ilustramos na 
figura a seguir.
Figura 146 – Definindo os elementos do tronco a ser construído
4. Clique no botão “ok” para obter a imagem do tronco desejado, como na figura a seguir.
Figura 147 – O tronco
7.3.5.4 Construindo esferas
1. Abra o programa. Em seguida, escolha, na barra de ferramentas, a opção “3D”.
2. Escolha os comandos “Unidades” e “Superfície”. Clique na opção “Esfera...”, conforme ilustramos 
na figura a seguir.
103
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 148 – Construindo uma esfera
3. Para construirmos uma esfera, precisamos apenas entrar com o raio desejado, 1 u.m., conforme 
ilustramos na figura a seguir.
Figura 149 – Definindo o raio da esfera
4. Clique no botão “ok” para obter a imagem da esfera gerada pela Wingeom, como na figura a 
seguir.
Figura 150 – Representação da esfera
104
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
7.4 Exercitando e aplicando
Um arquiteto deseja construir um aquário para peixes ornamentais, com as seguintes dimensões 
internas: 3,40 metros de comprimento, 2,10 metros de largura e 1,80 metro de altura. Vale destacar que 
o modelo geométrico que caracteriza o aquário desse exemplo é um paralelepípedo. Quantos metros 
cúbicos de água esse aquário pode receber, no máximo?
Representação e resolução no Wingeom:
1. Abra o programa. Em seguida, na barra de ferramentas, opte por “3 D”.
2. Clique em “Unidades”, selecione “Poliedro” e, depois, “Paralelepípedo”. Você obterá a janela 
representada na figura a seguir.
Figura 151 – Definindo o paralelepípedo
3. Digite as dimensões do aquário na janela da figura a seguir. Clique em “ok”.
Figura 152 – O aquário com as dimensões definidas
105
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 153 – Ilustração do aquário representado pelo Wingeom
Calculando o volume do aquário:
Figura 154 – Calculando o volume do paralelepípedo
4. Clique em “Outros”, na barra de ferramentas, depois opte por “Volume...”, e se abrirá uma janela, 
como a representada na figura a seguir.
Figura 155 – Digite todos os vértices do paralelepípedo
5. Após digitar todos os vértices, como mostra a figura 146, clique no botão “calcular”, e você terá o 
valor do volume, como na figura a seguir.
106
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Figura 156 – Anote o valor do volume e clique em fechar
Utilizando o Wingeom
1. Construa uma pirâmide triangular (tetraedro) utilizando os comandos “Ponto” e “Linear”.
Primeiro, devemos abrir o Wingeom 3‑D:
Figura 157
Em seguida, abra o menu “Ponto”, escolha “Coordenadas (absoluta)...” e insira os seguintes pontos:
Figura 158
107
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
A=(0,0,0),
Figura 159
B=(1,0,0),
Figura 160
C=(0,1,0)
Figura 161
108
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
e D=(0,0,1)
Figura 162
Para que esses pontos sejam mais bem visualizados, vá ao menu “Ver”, escolha “Ver eixos”, e isso irá 
mostrar os eixos x, y e z. Ou, caso prefira, aperte as teclas Ctrl+A.
Figura 163
109
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Agora, no menu “Linear”, selecione a opção “Segmento ou face...”:
Figura 164
Então, digite simultaneamente os planos:
ABC, ABD, ACD, BCD
Figura 165
110
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
E, em seguida, clique em “OK”, o que resultará em:
Figura 166
Para verificar as outras faces desse tetraedro, basta girar as setas do teclado.
Vamos verificar suaárea e volume, bem como as relações de Euler:
Para sabermos o valor da área, vamos ao menu “Outros”, na opção “Área de superfície...”:
111
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 167
Aparecerá a janela:
Figura 168
Clicando em “calcular”, sabemos que a área do tetraedro é:
Figura 169
112
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Outra maneira de calcularmos a área deste sólido é somando as áreas de suas faces no menu 
“medidas”:
Figura 170
O que resulta em:
Figura 171
Ou seja, temos a mesma área encontrada anteriormente no menu “Outros”, opção “Área de 
superfície...”.
O volume também é encontrado no menu “Outros”:
113
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 172
Aparecerá a janela:
Figura 173
Clicando em “calcular”, sabemos que o volume do tetraedro é:
Figura 174
114
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Teste, utilizando o menu “Medidas”, se é possível encontrar o volume desse sólido, assim como foi 
possível encontrar sua área.
Assim como a área e o volume, as relações de Euler são encontradas no mesmo menu, ou seja, menu 
“Outros”:
Figura 175
Aparecerá a janela:
.
Figura 176
115
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
1. Vamos construir as secções de um prisma utilizando o aplicativo Wingeom:
Primeiro, vamos utilizar o menu “Unidades” e escolher as opções “Poliedro” e “Prisma...”:
Figura 177
O prisma a ser criado é pentagonal, de lado 2 e altura 5. Digite esses valores na caixa de texto como 
segue:
Figura 178
Em seguida, devemos clicar em “Construir”, e o resultado será o seguinte sólido:
116
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Figura 179
Para alterar a cor das faces desse sólido, devemos utilizar o menu “Outros”, escolhendo as opções 
“Cores” e “Faces transparentes”:
Figura 180
117
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
E teremos:
Figura 181
Vamos marcar um ponto qualquer na aresta AF. Para isso, utilizaremos o menu “Ponto”, escolhendo 
a opção “coordenadas relativas...”:
Figura 182
118
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Na caixa que aparecerá, devemos digitar, na primeira linha (“relativo ao segmento”), AF, e, na segunda 
linha (“coordenada”), devemos digitar @. Veja a figura a seguir:
Figura 183
Em seguida, clicaremos na opção “marcar”, e o novo ponto será marcado.
Figura 184
Faremos o procedimento anterior para marcamos os pontos nos segmentos BG e CH como segue:
119
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Figura 185
Figura 186
O que resultará nos pontos L e M, como mostra a figura a seguir:
Figura 187
120
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Agora faremos a secção do prisma que passa pelos pontos K, L e M. Para isso, utilizaremos o menu 
“Linear” escolhendo a opção “Cortar plano...”:
Figura 188
Aparecerá uma caixa solicitando os vértices (que não deverão ser alterados) e, em seguida, por meio 
dos vértices (nesse item devem ser digitados os pontos K, L e M):
Figura 189
121
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Em seguida, clique em “fazer” e feche a caixa. Aparecerá um novo polígono:
Figura 190
A partir dessa secção construída utilizando‑se o parâmetro @, podemos simular o princípio de 
Cavalieri utilizando o menu “Anim” e escolhendo a opção “Variação de @”, como segue:
Figura 191
122
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
Aparecerá a caixa:
Figura 192
Se movermos o cursor entre as setinhas, perceberemos que o polígono KLMVY se moverá dentro 
do prisma hexagonal. Clicando na opção “reverso”, você poderá ver esse polígono se movimentando 
verticalmente até os extremos do sólido. No caso da opção “ciclo”, o polígono se movimenta também 
verticalmente, porém, sempre de cima para baixo.
Baseando‑se nessa atividade, você pode criar outros polígonos de mesma área, tantos quantos forem 
necessários para completar esse sólido, descobrindo assim seu volume. Teste!
 Lembrete
Lembre‑se de que a utilização de um software não substitui a exploração 
da construção de sólidos utilizando o material concreto. Experimente 
utilizar as duas ferramentas!
8 ATIVIDADES PARA O FÓRUM: USE AS FERRAMENTAS DO WINGEOM 3‑D 
PARA CONSTRUIR OS DESAFIOS SOLICITADOS
Desafio 1: construa uma luminária como a apresentada na figura a seguir e registre a construção 
etapa por etapa.
Figura 193
123
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
Desafio 2: inspire‑se em seu cotidiano e construa um modelo geométrico de algum objeto. Registre 
cada etapa e desafie os seus colegas de curso a reproduzirem seu modelo.
Desafio 3: crie uma escultura usando quaisquer ferramentas do Wingeom. Registre etapa por etapa 
e contribua com as habilidades artísticas de seus colegas de disciplina, disponibilizando o projeto de seu 
modelo e abrindo‑o para críticas e sugestões.
8.1 Exercícios
1. Após abrirmos o Wingeom, se desejamos construir figuras espaciais, devemos escolher, no item 
Janela, a opção:
a) Hiperbólica.
b) 3‑dim.
c) 2‑dim.
d) Mosaicos.
e) RVA demo.
2. Em um software livre, o usuário tem as seguintes liberdades:
a) Liberdade de executar o programa, mas não de estudar como ele funciona e de adaptá‑lo 
para as suas necessidades; liberdade de redistribuir cópias, aperfeiçoá‑lo e distribuir os seus 
aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie.
b) Liberdade de executar o programa, de estudar como ele funciona e de adaptá‑lo para 
as suas necessidades, mas não pode redistribuir cópias, aperfeiçoá‑lo e distribuir os seus 
aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie.
c) Liberdade de executar o programa, mas não pode estudar como ele funciona nem adaptá‑lo 
para as suas necessidades; também não pode redistribuir cópias, aperfeiçoá‑lo e distribuir os 
seus aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie.
d) Liberdade de executar o programa e estudar como ele funciona, mas não pode adaptá‑lo para 
as suas necessidades; também não pode redistribuir cópias, aperfeiçoá‑lo e distribuir os seus 
aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie.
e) Liberdadede executar o programa, de estudar como ele funciona e de adaptá‑lo para as suas 
necessidades, de redistribuir cópias, aperfeiçoá‑lo e distribuir os seus aperfeiçoamentos, de 
modo que toda a comunidade se beneficie.
124
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
3. Para inserir a barra de ferramentas, caso ela não esteja visível, você deve:
a) Clicar em Arquivos e escolher a opção Barra de ferramentas.
b) Clicar em Unidades e escolher a opção Barra de ferramentas.
c) Clicar em Ver e escolher a opção Barra de ferramentas.
d) Clicar em Botões e escolher a opção Barra de ferramentas.
e) Clicar em Outros e escolher a opção Barra de ferramentas.
4. Um poliedro regular:
a) É um sólido geométrico, cuja superfície é composta por um número finito de faces, e cada uma 
de suas faces é um polígono.
b) É uma figura plana, cuja superfície é composta por um número finito de faces, e cada uma de 
suas faces é um polígono.
c) É um sólido geométrico, cuja superfície é composta por um número infinito de faces, e cada 
uma de suas faces é um polígono.
d) É um sólido geométrico, cuja superfície é composta por doze faces, e cada uma de suas faces 
é um polígono.
e) Possui ângulos internos de 120º e lados iguais dois a dois.
5. Se você vai elaborar o roteiro de construção de um cilindro no Wingeom, deve obedecer os 
seguintes passos:
a) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cilindro. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
b) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 2 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cilindro. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
c) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 2 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cone. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
125
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
d) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cone. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
e) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Escolher o comando 
Superfícies... e clicar na opção Cone. 3. Entrar com o raio da circunferência da base e a altura 
desejados. 4. Clicar no botão ok.
6. Se você vai elaborar o roteiro de construção de um cone, uma das opções no Wingeom, deve 
obedecer os seguintes passos:
a) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cilindro. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
b) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 2 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cilindro. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
c) 1. Abrir o programa. Em seguida escolher na barra de ferramentas, 2 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cone. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
d) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cone. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
e) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Escolher o comando 
Superfícies... e clicar na opção Cone. Entrar com o raio da circunferência da base e a altura 
desejados. 4. Clicar no botão ok.
7. Se você vai elaborar o roteiro de construção de um tronco no Wingeom, deve se orientar pelos 
seguintes passos:
a) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Optar pelos 
comandos Unidades e Superfícies... e clicar na opção Tronco. 3. Entrar com o raio inferior da 
circunferência da base, a altura do tronco, o raio superior. 4. Clicar no botão ok.
b) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher na barra de ferramentas, 2 D. 2. Optar pelos Unidades 
e Superfícies... e clicar na opção Tronco. 3. Entrar com o raio da circunferência da base e a 
altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
c) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Escolher os comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Tronco. 3. Entrar com a altura do tronco, o raio 
superior. 4. Clicar no botão ok.
126
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
d) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Optar pelos comandos 
Unidades e Superfícies... e clicar na opção Cone. 3. Entrar com o raio da circunferência da 
base e a altura desejados. 4. Clicar no botão ok.
e) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Optar pelo comando 
Superfícies... e clicar na opção Tronco. 3. Entrar com o raio da circunferência da base. 4. Clicar 
no botão ok.
8. Os poliedros de Platão são poliedros classificados como clássicos no Wingeom. Qual destes a 
seguir não é considerado como sendo de Platão?
a) Tetraedro.
b) Hexaedro.
c) Octaedro.
d) Dodecaedro plano.
e) Dodecaedro.
9. O Wingeom oferece a opção para se construir poliedros semirregulares 3‑D. Qual dos poliedros a 
seguir não é do tipo semirregular?
a) Cuboctaedro.
b) Cubo truncado.
c) Octaedro.
d) Dodecaedro truncado.
e) Tetraedro truncado.
10. Se você vai elaborar o roteiro de construção de uma esfera no Wingeom, deve se orientar pelos 
seguintes passos:
a) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Clicar em 
Unidades, em Superfícies e selecionar a opção Cone. 3. Entrar com o raio. 4. Clicar no 
botão ok.
b) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Clicar em 
Unidades, em Superfícies e selecionar a opção Esfera. 3. Entrar com o raio. 4. Clicar no 
botão ok.
127
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
c) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Clicar em Poliedros, 
em Superfícies e selecionar a opção Esfera. 3. Entrar com o raio. 4. Clicar no botão ok.
d) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D 2. Clicar em Unidades, 
em Superfícies e selecionar a opção Esfera. 4. Clicar no botão ok.
e) 1. Abrir o programa. Em seguida, escolher, na barra de ferramentas, 3 D. 2. Clicar em Superfícies 
e selecionar a opção Esfera. 3. Entrar com o raio. 4. Clicar no botão ok.
8.2 Respostas dos exercícios
1. Resposta correta: alternativa B.
Comentário: a opção B (3 dim) nos permite efetuar a construção de figuras tridimensionais.
2. Resposta correta: alternativa E.
Comentário: a opção E traz a definição correta de software livre
3. Resposta correta: alternativa D.
Comentário: o caminho é explicado na figura a seguir:
Figura 194
4. Resposta correta: alternativa A.
Comentário: um sólido geométrico pode ser considerado uma região do espaço limitada por uma 
superfície fechada. Os sólidos geométricos são classificados em poliedrose não poliedros. Os poliedros 
são sólidos cujas faces são polígonos, ou seja, superfícies planas. A superfície de um poliedro é composta 
por um número finito de faces.
128
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
5. Resposta correta: alternativa A.
Comentário: essa alternativa é a única opção que constrói um cilindro em 3D.
6. Resposta correta: alternativa D.
Comentário: essa alternativa é a única opção que constrói um cone em 3D.
7. Resposta correta: alternativa A.
Comentário: essa alternativa é a única opção que constrói um tronco em 3D.
8. Resposta correta: alternativa D.
Comentário: os poliedros de Platão são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Não 
existe um sólido chamado dodecaedro plano.
9. Resposta correta: alternativa C.
Comentário: chamamos de poliedros semirregulares aos poliedros convexos cujas faces são formadas 
por mais de um tipo de polígono regular.
10. Resposta correta: alternativa B.
Comentário: essa alternativa é a única opção que constrói uma esfera em 3D.
 Resumo
A utilização de ferramentas computacionais vêm a cada dia ganhando 
mais força e importância no processo de ensino‑aprendizagem. Isso ocorre 
no ensino de geometria em geral e, no caso da geometria espacial, não 
seria diferente. O Wingeom é um excelente aliado nesse contexto, pois 
além de ser um software livre, ele nos permite efetuar diversas construções 
geométricas com dinamicidade, fazendo com que o aluno consiga enxergar 
e compreender a geometria e suas propriedades.
Vimos nesta unidade algumas possíveis contruções de sólidos 
geométricos e seus respectivos cálculos, o que facilita a vida do aluno, 
embora não substitua a compreensão do conceito.
Vale ressaltar que, juntamente com o software, podem ser utilizadas 
outras ferramentas, como material concreto, para que o aluno tenha mais 
opções de compreender a geometria como um todo.
129
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
 Exercícios
Questão 1. (Enade, 2008) Observe a seguinte atividade de construções geométricas:
• Construir um triângulo ABC qualquer.
• Traçar a bissetriz do ângulo BAC� e, em seguida, a bissetriz do ângulo ABC� .
• Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes.
• Traçar a bissetriz do ângulo ACB� .
O que você observa? Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará 
à mesma observação? O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de 
outras similares:
A) Pode mostrar que o estudo das construções com régua e compasso é desnecessário.
B) Dispensa a demonstração dos resultados encontrados pelos alunos.
C) Prejudica o desenvolvimento do raciocínio lógico‑dedutivo.
D) Dificulta o desenvolvimento do pensamento geométrico.
E) Pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das alternativas
Com base nos conhecimentos sobre softwares educacionais, softwares de geometria dinâmica e 
geometria básica, podemos analisar as alternativas da questão, conforme segue.
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: as construções feitas com o auxílio de régua e compasso e o uso de softwares são 
complementares, envolvem diferentes tipos de mediações e mobilizam funções cognitivas distintas.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: os softwares de geometria dinâmica reforçam a necessidade da demonstração dos 
resultados encontrados pelos alunos.
130
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: os softwares de geometria dinâmica auxiliam no desenvolvimento lógico‑dedutivo.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: os softwares de geometria dinâmica auxiliam no desenvolvimento do pensamento 
geométrico.
E) Alternativa correta.
Justificativa: o uso de softwares de geometria dinâmica pode contribuir para a elaboração de 
conjecturas pelos alunos, fazendo com que cheguem às comprovações de suas hipóteses.
Questão 2. (Enade, 2008) O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado 
utilizando‑se um software geométrico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A 
figura a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano α de interseção.
R
M
U
N
S
P T
Figura 195
Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que o tetraedro RSTU 
tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações:
I. O volume da pirâmide SMNP é igual 1
2
.
II. A interseção do plano α com o tetraedro é um paralelogramo.
III. As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas.
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) III, apenas.
131
Re
vi
sã
o:
 L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
01
/0
2/
20
13
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 L
ua
nn
e 
/ C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
20
/0
2/
20
13
GEOMETRIA ESPACIAL
C) I e II, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Resolução desta questão na plataforma.
132
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 46
00437V.JPG. Disponível em: <http://www.loc.gov/pictures/resource/matpc.00437/>. Acesso em: 1 nov. 2012.
Figura 72
DSC05268.JPG. Disponível em: <http://morguefile.com/archive/display/37829>. Acesso em: 1 nov. 2012.
Figura 73
COOKOUT_003.JPG. Disponível em: <http://morguefile.com/archive/display/21298>. Acesso em: 1 nov. 2012.
Figura 74
1.JPG. Disponível em: <http://openphoto.net/gallery/image.html?image_id=8992a&rls>. Acesso em: 
1 nov. 2012.
REFERÊNCIAS
Audiovisuais
OS SÓLIDOS geométricos. Disponível em: <http://www.slideboom.com/presentations/116318>. Acesso 
em: 22 jan. 2013.
Textuais
BRASIL. Ministério da Educação. 3, 2, 1 – Mistério. (Série Matemática na Escola). Disponível em: 
<http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3R6IwNQ_MDA_8f351_>. Acesso em: 22 jan. 2013.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Geometria plana. v. 10. (Coleção Fundamentos de Matemática Elementar). 
São Paulo: Atual, 2005.
GARCIA, A. C. A.; CASTILHO, J. C. A. Matemática sem mistérios: geometria plana e espacial. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
HIPPLER, D. Sólidos Platônicos IA841: introdução à modelagem de sólidos. In: UNIVERSIDADE 
ESTADUAL DE CAMPINAS. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. Departamento 
de Sistemas e Controle de Energia. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/
IA841/2s2006/projects/proj_1/hippler/index.htm>. Acesso em: 22 jan. 2013.
IEZZI, G. et al. Matemática. São Paulo: Atual, 2007.
133
LOCCI, V. Minicurso: utilização do software Wingeom no ensino fundamental, médio e superior. 
Apostila produzida para o Ermac. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. Faculdade de Ciências – 
Bauru. Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~valocci/UtilizdoWingeom.pdf>. Acesso em: 22 jan. 
2013.
LOPEZ, A. J. O enigma das pirâmides. São Paulo: Hemus, 1978.
OLIVA, A.; REZENDE, P. A. D. Fundação software livre América Latina. 2013. Disponível em: <http://
www.fsfla.org/svnwiki/texto/pref‑const‑br‑swl.pt>. Acesso em: 22 jan. 2013.
PINTO, P. R. Notas sobre sólidos platônicos e simetrias. In: INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO 
LISBOA. Estágio de iniciação científica para alunos dos 10º e 11º anos. 2006. Disponível em: <http://
www.math.ist.utl.pt/~ppinto/plato5.htm#_ftnref1>. Acesso em: 22 jan. 2013.
POLIEDROS regulares: sólidos platônicos. Disponível em: <http://www.walter‑fendt.de/m14pt/
platonsolids_pt.htm>. Acesso em: 22 jan. 2013.
UNIVERSIDADE DE LISBOA. Departamento de Educação. Geometria a várias dimensões: sólidos 
platônicos. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/sol_plat.htm>. Acesso em: 22 
jan. 2013.
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Geometria plana.In: BROLEZZI, A. C.; SALLUM, E. M.; MONTEIRO, M. S 
(Org.). Ciência à mão: portal de ensino de ciências. S/d. Disponível em: < http://200.144.189.54/tudo/
exibir.php?midia=pru&cod=_geometriaplana>. Acesso em: 22 jan. 2013.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL. Programa de Pós‑Graduação em Ensino de 
Matemática. Instituto de Matemática. Princípio de Cavalieri. Disponível em: <http://www6.ufrgs.br/
espmat/disciplinas/geotri/modulo1/conteudo/conteudos13.htm>. Acesso em: 22 jan. 2013.
VASCONCELOS, E. S. Explorando o Wingeom: geometria básica. In: PHILLIPS EXETER COMPANY. 
Mathematics Department. v. 1. (Série Softwares Matemáticos). Disponível em: <http://math.exeter.
edu/rparris/peanut/Explorando%20Wingeom%20‑%20Vol%201.pdf>. Acesso em: 22 jan. 2013.
WINGEOM (1.01M) for Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7. Microsoft, 2012. Disponível em: <http://
math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 22 jan. 2013.
Site
<http://www.edumatec.mat.ufrgs.br>.
Exercícios
Unidade I – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (Inep). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Matemática. Questão 
134
17. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 31 jan. 2013.
Unidade I – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (Inep). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Matemática. Questão 
35. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 31 jan. 2013.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (Inep). Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) 2010: 2º dia. Questão 151. Disponível em: 
<http://public.inep.gov.br/enem/2010/CINZA_Domingo.pdf>. Acesso em: 31 jan. 2013.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS 
ANÍSIO TEIXEIRA (Inep). Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) 2010: 2º dia. Questão 
157. Disponível em: <http://public.inep.gov.br/enem/2010/CINZA_Domingo.pdf>. Acesso 
em: 31 jan. 2013.
Unidade III – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (Inep). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
34. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 31 jan. 2013.
Unidade III – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (Inep). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
25. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 31 jan. 2013.
135
136
137
138
139
140
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000
	Blank Page