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76 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Unidade II 5 MÉTODO DA INDUÇÃO, CONCEITOS DE DIVISÃO E NÚMEROS PRIMOS 5.1 Introdução Milies e Coelho (2001) comentam o fato de que as ciências naturais frequentemente utilizam o método denominado “indução empírica” para formular leis relacionadas a determinados fenômenos da realidade, a partir de um grande número de observações particulares. Para eles, esse tipo de procedimento não é considerado como demonstração logicamente verdadeira, mas é possível ser satisfatório. Mas, em verdade, sua validade frequentemente está relacionada à evolução dos equipamentos dos quais os cientistas dispõem e está sujeita a modificações. Os autores argumentam a favor do método, quando comentam sobre a validade da afirmação de que um corpo liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície da Terra, cai segundo a vertical local. No entanto, as histórias da física e da química, por exemplo, estão repletas de exemplos de mudanças decorrentes das condições instrumentais dos cientistas. A validade de um teorema matemático, no entanto, observam Milies e Coelho (2001), estabelece‑se de forma diferente. Uma afirmação ser verdadeira, em um grande número de situações particulares, não permite afirmar que ela seja válida. Nascimento e Feitosa (2009) introduzem a indução matemática como um princípio postulado por Peano, que resolve tal problema para os números naturais. Ou seja, se uma propriedade é verificada para o zero, e sempre verificada para um número natural n, também pode ser verificada para seu sucessor n+1, então a propriedade é verificada para todos os números naturais. Lembrete Dada a ordem (A, <), todo subconjunto B de A, não vazio, tem elemento mínimo. Nesse caso, (A, <) é uma boa ordem. Seja um conjunto A, não vazio, e contido em Z. Se A é um conjunto limitado inferiormente, então existe um elemento m ∈ A, tal que m< x, ∀x ∈ A. O elemento m é então denominado de mínimo de A. 5.2 Princípio da Indução (PI) Seja m ∈ N, e seja o conjunto A = {x ∈ N : m < x}. Considere que P(n) é uma propriedade sobre n ∈ N tal que: i) P(m) é verdadeira. 77 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números ii) Se n ∈ A e P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira. iii) Então P(n) é verdadeira para todo n ∈ A. Saiba mais O estudante interessado em lógica formal e provas encontrará bons materiais no site do grupo CLE – Centro de Lógica, Epistemologia e História da Ciência. Disponível em: <http://www.cle.unicamp.br/principal/grupoglta/ index.php?pag=publicacoes.php>. Acesso em: 9 dez. 2011. Exemplo 1 Mostrar que a expressão 1 2 1 2 + + + = +... ( )n n n É verdadeira para todo n > 1. Solução: i) Para n = 1 e substituindo na forma geral: 1 11 1 2 = +( ) 1 12 2 = ( ) Logo, 1=1 ii) Como P(n) é verdadeira, então P(n+1) deve ser verdadeira: 1 2 1 2 + + + = +... ( )n n n , Escrevendo um termo a mais (o anterior a n) na expressão acima não a alteramos: 1 2 1 1 2 + + + − + = +... ( ) ( )n n n n 78 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Observação A expressão acima é uma progressão aritmética de razão 1: r = 2‑1 = 1 Como o último termo é n, para obtermos o penúltimo termo faremos: n‑1. Para P(n+1) temos: 1 2 1 1 1 1 1 1 2 + + + + − + + = + + +... [( ) ] ( ) ( )[( ) ]n n n n 1 2 1 1 1 1 1 1 2 + + + + − + + = + + +... ( ) ( )[ ]n n n n 1 2 1 1 2 2 + + + + + = + +... ( ) ( )( )n n n n Fazendo de outra forma Somando um termo a mais (an+1) a ambos os membros da igualdade inicial a ser verificada, ou seja, somando n+1 a ambos os membros da igualdade: 1 2 1 1 2 1+ + + + + = + + +... ( ) ( ) ( )n n n n n 1 2 1 1 2 1 2 + + + + + = + + +... ( ) ( ) ( )n n n n n 1 2 1 2 2 2 2 + + + + + = + + +... ( ) ( )n n n n n 1 2 1 3 2 2 2 + + + + + = + +... ( )n n n n Como n2 + 3n + 2 = (n + 1) (n +2) 79 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números 1 2 1 1 2 2 + + + + + = + +... ( ) ( )( )n n n n Portanto, 1 2 1 1 2 2 + + + + + = + +... ( ) ( )( )n n n n É a fórmula para P(n+1). Exemplo 2 Verificar a validade do termo geral, por indução, de uma progressão aritmética utilizada em livros do ensino médio: an = a1 + (n –1) . r Resolução Consideremos a progressão aritmética dada por (a1, a2, ..., an, ...) de razão r que representa a diferença entre um dos termos da progressão aritmética e o termo imediatamente anterior. Assim: a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r Observação O número que multiplica a razão corresponde ao índice que indica a posição do termo na progressão aritmética a menos de uma unidade. Ou seja: 3 = 4 –1 an = an–1 + r = a1 + (n – 2) r + r = a1 + nr – 2r + r = a1 + nr – r = a1 + (n –1) r 80 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 an+1 = an + r = a1 + (n –1) r + r = a1 + nr – r + r = a1 + nr an+1 = a1 + nr Aplicando o princípio de indução: i) Para n=1: a1 = a1 + (1 – 1) . r a1 = a1 ii) Considerando que o termo geral vale para n, então é preciso testar para n+1. an+1 = a1 + [(n + 1) – 1] . r an+1 = a1 + [n + 1 – 1] . r Logo, a fórmula vale para n+1. an+1 = a1 + nr Observação Os princípios da indução são utilizados para verificar algumas fórmulas de progressões aritméticas e geométricas. No entanto, é necessário tomar cuidado com sua aplicação, uma vez que a aplicação incorreta de conceitos pode levar a resultados enganosos. 5.3 Princípio forte da indução (PFI) Observação Esse princípio da indução matemática é a propriedade fundamental dos números naturais, observa Ávila (2009). Ela é consequência direta do último dos cinco postulados que o matemático Giuseppe Peano utilizou na construção de números naturais. Seja m ∈ N, e seja o conjunto A = {x ∈ N : m < x}. Considere que P(n) é uma propriedade sobre n ∈ N tal que: 81 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números i) P(m) é verdadeira. ii) Para todos n, r ∈ A , com m < r < n sempre que P(r) é verdadeira tem‑se que P(n) é verdadeira. (iii) Então P(n) é verdadeira para todo n ∈ A. Lembrete É preciso ter cuidado com o princípio de Indução Matemática, que exige que se provem duas proposições separadamente. Ávila (2009, p.13) comenta que Pierre de Fermat imaginava que os números da forma: F n n ( ) = +2 12 Fossem todos primos, qualquer que fosse o n > 0 Um momento de reflexão para o futuro professor Teste para valores de n variando de 0 a 4 e terá os resultados 3, 5, 17, 257 e 65.537. O princípio de indução não é aplicável neste caso, uma vez que não há forma de relacionar F(n) com F(n+1). Como os cinco primeiros números obtidos são primos, Fermat conjecturou que F(n) é primo para todo n. Mas foi apenas uma conjuntura porque bastou Leonardo Euler, no século seguinte, calcular F(5) e verificar que o resultado é um número composto. Estava dado o contraexemplo à conjectura de Fermat. Os números com a forma anterior ficaram conhecidos como “primos de Fermat”. Observação Mesmo que o quinto termo não tivesse resultado em um contraexemplo, não seria possível afirmar que Fermat estava certo uma vez que testar sua afirmação seria uma tarefa sempre interminável, visto que os número Naturais não são limitados superiormente. Demonstração de teoremas (Ávila, 2009, p. 11‑12). 1) Teorema 1. Dados quatro números reais a, b, c, d, podemos afirmar que: a b c d a b b c d d = ⇒ + = + 82 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Demonstração: basta notar que: Multiplicando ambos os lados da igualdade por d.b: a b c d a b db c d db ad b c= ⇔ = ⇔ =. . . . . (1) Multiplicando ambos os lados da igualdade por b/c: a b c d a bb c c d b c a c b d = ⇔ = ⇔ =. . (2) Logo de (1) e (2): a b c d ad b c a c b d = ⇔ = ⇔ =. . Fazendo 1 1= =b b d d e a b c d a b c d a b b b c d d d a b b c d d = ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ + = +1 1 (transitividade) Logo: a b c d a b b c d d = ⇒ + = + 2) Teorema 2. Dados quatro números reais a, b, c, d, podemos afirmar que: a b c d a b c d a c b d = ⇒ = = + + Demonstração: basta notar que da mesma forma, como no teorema anterior, podemos escrever ao somar 1 de ambos os lados da igualdade: a c b d a c b b b d d d + = + ⇒ + = +1 1 b d b d b d b d a b c c b d d d a c c b d d = ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ + = +1 1 Ou seja, multiplicando ambos os lados da igualdade por d.c, temos: a c c b d d a c d b d c + = + ⇔ + = +( ). ( ). 83 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Dividindo ambos os lados da igualdade por (b+d).d, temos: a c c b d d a c d b d d b d c b d d a c b d c d + = + ⇔ + + = + + ⇔ + + =( ). . ( ). ( ). . ( ). 1 1 Logo: a b c d a c b d c d = ⇔ + + = Por fim: a b c d a c b d = = + + 5.4 Múltiplos e divisores (i) Múltiplos: Definição: Seja m ∈ Z. Os múltiplos de m são os números: 0, ± m, ± 2m, ... Ou seja, todos os números da forma: km, m ∈ Z Propriedades Sejam os múltiplos de m das formas km e pm. A soma e o produto de múltiplos de m também são múltiplos de m. km + pm = (k + p) m (km) . (pm = (kmp) m (ii) Divisor Definição: Seja q = km, k, m, q ∈ Z: k é denominado divisor de q, ou k divide q, ou q é divisível por k. 84 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Notação: k | q Exemplos 1) O número inteiro 6 divide 12. De fato: 12 = 2 . 6 2) O número inteiro ‑6 divide 12. De fato: 12 = (–2) . ( –6) 3) O número inteiro 3 divide 0. De fato: 0 = 0 . 3 4) Todo número inteiro n divide 0. De fato: 0 = 0 . n 5) O número inteiro 1 divide todo número inteiro n. De fato: n = 1 . n 6) Qualquer número inteiro n divide n. De fato: n = 1 . n Propriedades i) q | q, ∀q ∈ Z, pois q = q . 1. 85 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números ii) p | q e q | p, p, q ∈ Z, então p = q. iii) p | q e q | r, p, q, r ∈ Z, então p | r. iv) p | q e p | r, p, q, r ∈ Z , então p | (qx + ry), ∀ x, y ∈ Z. 5.5 Algoritmo da divisão de Euclides O algoritmo da divisão garante que se a e b são números inteiros e b ≠ 0, então a é divisível por b e o resultado é um único quociente q e um único resto r, em que 0 < r < b. Teorema (algoritmo da divisão de Euclides) Sejam a, b ∈ Z com b > 0. Então existem (e são únicos) q, r ∈ Z, tais que a = qb + r e 0 < r < b. Esse teorema decorre do fato de que se b é um número estritamente positivo, então ou a é um múltiplo de b ou está situado entre dois múltiplos qb e (q+1)b do número b. Ou seja: qb < a < (q + 1) b qb < a < qb + b Somando –(qb) às desigualdades anteriores, temos: qb + (–qb) < a + (–qb) < qb + (–qb) + b 0 < a – qb < b Fazendo: r = a – qb 0 < r < b Observação É claro que se r = 0, então a é múltiplo de b. Exemplos 1) Sejam a = 56 e b = 7. Assim 56 = 7 . 8 + 0. Logo, q=8 e r = 0. 86 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Vamos observar a posição de 56 na reta: 49 56 63 Figura 51 Foram listados três múltiplos de 7 próximos a 56. Como um dos múltiplos coincidiu com o valor do divisor, o resto da divisão é zero. 2) Sejam a = –56 e b = 7. Assim, – 56 = 7 . (–8) + 0. Logo, q = –8 e r = 0. Foram listados três múltiplos de 7 próximos a ‑56. Como um dos múltiplos coincidiu com o valor do divisor, o resto da divisão é zero. Vamos observar a posição de ‑56 na reta: –63 –56 –49 Figura 52 3) Sejam a = –60 e b = 7. Assim, –60 = 7 . (–9) + 3. Logo, q = – 9 e r = 3. Foram listados três múltiplos de 7 próximos a ‑60. Observe que ‑60 situa‑se entre os múltiplos de 7: ‑56 e ‑63. Assim: –63 < –60 < –56 –(7 . 9) < –60 < –(7 . 8) 87 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Como: r = a– qb , sendo 0 < r < b r = – 60 – (– 9) 7 r = –60 + 63 r = 3 Vamos observar a posição de ‑60 na reta: –63 –56 –49 Figura 53 4) Sejam a = 35 e b = 8. Assim 35 = 8 . 4 + 3. Logo, q = 4 e r = 3. Foram listados três múltiplos de 8 próximos a 35. Observe que 35 situa‑se entre os múltiplos de 8, 32 e 40. Assim: 32 < 35 < 40 4 . 8 < 35 < 5 . 8 Como: r = a – qb , sendo 0 < r < b r = 35 –(4) 8 r = 35 – 32 r = 3 88 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Vamos observar a posição de 35 na reta: 32 40 48 Figura 54 5.5.1 Representação de inteiros em uma base Para que o leitor entenda melhor o algoritmo usual prático da divisão, é necessária a identificação da base de numeração utilizada. Embora seja usual o tratamento com a base decimal, e será nesse campo que o professor do Ensino Fundamental e Médio irá atuar, outras bases podem ser utilizadas. Não se pode desconsiderar que o professor de matemática pode atuar em outras áreas e, particularmente na computação, a base binária é de importância fundamental. Saiba mais o estudante interessado em material didático para conversão de bases encontrará em um material da Revista Nova Escola interessantes sugestões. Disponível em: <http://www.pead.faced.ufrgs.br/sites/publico/eixo7/didatica/ unidade2/materiais_didaticos/montessori_link2.pdf>. Acesso em: 9 dez. 2011. Teorema (representação na base a) Sejam a, b ∈ N e 1 < a. Se b ≠ 0, então existem r0, r1, ..., rn ∈ N, tais que b = rn . a n + rn–1 . a n–1 + ... + r1 . a + r0 em que n ∈ N e, para todo i, 0 < ri < a e rn ≠ 0. Essa representação de b é única. Observação: será feita a demonstração do teorema acima em relação à existência porque ela será útil na compreensão de sua aplicação prática e também na compreensão do algoritmo da divisão. Demonstração da existência Como b ≠ 0, vamos considerar a situação na qual b < a. Nesse caso, basta tomar b = r0. Considerar a situação na qual b > a. Passo 1: considere q0 = b. Passo 2: pelo algoritmo da divisão, a partir de qi serão obtidos qi+1 e ri, de tal forma que qi = qi + 1 . a + ri com qi + 1, ri ∈ N e 0 < ri < a. 89 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Da igualdade: qi = qi+1 . a + ri Obtêm‑se as expressões equivalentes: qi+1 . a = qi – ri < qi Transatividade qi+1 . a < qi (1) Mas, como 1 < a podemos afirmar que: qi+1 < qi+1 . a (2) Logo utilizando (1) e (2): qi+1 < qi+1 . a < qi qi+1 < qi Logo: Passo 3: quando qi > a, repete‑se o passo 2. Passo 4: quando qi+1 = 0, o processo está terminado. Sintetizando: qi = qi+1 . a + ri b = q0 = q1 . a + r0 q1 = q2 . a + r1 q2 = q3 . a + r2 . . . qi–1 = qi . a + ri–1 qi = 0 . a + ri b = q1 . a + r0 = (q2 . a + r1) . a + r0 = q2 . a 2 + r1 . a + r0 = (q3 . a + r2) . a 2 + r1 . a + r0 = q3 . a 3 + r2 . a 2 + r1 . a + r0 =... =qi . a i + ... + r1 . a + r0 = ri . a i + ... + r1 . a + r0 Substituindo q1 Substituindo q2 90 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Logo: b = (ri, ri–1, ... + r1, r0) Observação Coluna de restos de baixo para cima! Exemplos 1) Escrever o número 125 na base 2. Tomando como base a demonstração do teorema acima, para a base dois só utilizaremos os algarismos 0 e 1: b = q0 = q1 . a + r0 125 = q0 = 62.2 + 1 q1 = 62 = 31.2 + 0 q2 = 31 = 15.2 + 1 q3 = 15 = 7.2 + 1 q4 = 7 = 3.2 + 1 q5 = 3 = 1.2 + 1 q6 = 1 = 0.2 + 1 = 0.2 1 + 1.20 Logo: 125 = 62.2 + 1 = (31.2 + 0) . 2 + 1 = 31.22 + 1 = (15.2 + 1) . 22 + 1 = 15.23 + 1,22 + 1 = (7.2 + 1) . 23 + 1.22 + 1 = 7.24 + 1.23 + 1.22 + 1 = (3.2 + 1) . 24 + 1.23 + 1.22 + 1 = 3.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 1 (1.2+ 1) . 25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 1 = 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 1 = 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + (0.2 + 1) = 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 91 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Observação Um pequeno rearranjo foi necessário para manter a sequência de base 2: (0.2 + 1) é equivalente a 0.21 + 1.20, uma vez que valem as igualdades a seguir: 2 = 21 e 1 = 20 Assim: 125 = 1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 Portanto: (125)10 = (1111101)2 Sistema binário O exemplo anterior deu como resultado da conversão de um número no sistema de base 10 para o sistema de base 2 um tipo de sequência de “1” e “0”. O leitor já deve ter se deparado no dia a dia com esse tipo de sequência em pagamentos de faturas que dispunham de códigos de barras e até mesmo ao observar os operadores de caixa nos supermercados utilizando leitoras para computar os itens comprados. A razão é o fato de os computadores operarem normalmente no sistema binário (sistema de base 2). No entanto, o que parece tão simples em sua utilização é na verdade uma fonte de problemas para os que são responsáveis por sistemas operacionais e, até mesmo, usuários de calculadoras científicas, mesmo aquelas em versões simples. Ruggiero & Rocha Lopes (1996) comentam sobre a armadilha que se esconde no fato de usualmente utilizarmos o sistema decimal e as máquinas, o sistema binário: Observe o que acontece na interação entre o usuário e o computador: os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; toda esta informação é convertida para o sistema binário, e as operações serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e, finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo esse processo de conversão é uma fonte de erros que afetam o resultado final dos cálculos. (RUGGIERO & ROCHA LOPES, 1996. p. 3‑4). Durante a graduação (em disciplinas como física e cálculo numérico) e em ambientes de pesquisa, esse problema será tratado, face a sua importância, em tópicos especiais denominados “análises de erros”. 92 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Esse sistema que nos parece, então, tão contemporâneo, em verdade, observa Fomin (1997), é muito antigo. Algumas tribos da Austrália e da Polinésia o utilizavam, mesmo que de forma muito imperfeita. Isso porque a vantagem desse sistema, observa o autor, é sua extrema simplicidade. Código binário na telegrafia Uma das aplicações, relativamente antiga, do sistema binário é o código telegráfico, observa Fomin (1997). A ideia fundante é a associação em ordem alfabética de letras (incluindo “_” para o espaço entre as palavras) com números, que são representados no sistema binário. Ele permite dar a um texto a forma de uma sucessão determinada de combinações de cinco dígitos formadas por zeros e uns que podem ser transmitidos por uma linha mediante uma combinação determinada de impulsos elétricos. Por exemplo: Letras Números Sistema binário _ 0 00000 A 1 00001 B 2 00010 C 3 00011 No entanto, comenta o autor, esse sistema permite que mensagens sejam interceptadas com facilidade. Por isso, particularmente nas condições de guerra, foram empregados diferentes procedimentos de codificação. Sistema binário e computadores Para uma noção da utilidade do sistema binário, consideremos um medidor usual de luz. Ele é composto de vários relógios com 10 posições distintas e ponteiros que giram sobre essas dez posições. Se quiséssemos um contador na base n, precisaríamos de n posições no relógio. Um medidor composto por relógios, ou outro processo mecânico qualquer, é relativamente lento para mudar de posição, e seria pouco prático usarmos tais medidores para a realização de milhares de operações aritméticas por segundo. Devido a isso, nos computadores convencionais são utilizados semicondutores por onde uma corrente elétrica pode passar (quando o circuito está fechado) ou não (quando o circuito está aberto). Assim, associa‑se o algarismo 0, quando não passa corrente, e 1 quando passa. Por ser um sistema eletrônico, e não mecânico, a mudança de estado aberto‑fechado é operada em velocidade altíssima, permitindo a realização de operações aritméticas com velocidades muito grandes. Assim as máquinas de Turing/Von Neuman, que são nossos computadores, operam com sistemas binários que traduzem na aritmética a passagem ou não de impulsos elétricos. É justamente a conversão de uma linguagem em outra que possibilita a construção dos computadores. (NASCIMENTO e FEITOSA, 2009). 2) Escrever o número 743 na base 8. Tomando como base a demonstração do teorema acima, para a base oito utilizaremos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7: 93 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números b = q0 = q1 . a + r0 743 = q0 = 92.8 + 7 q1 = 92 = 11.8 + 4 q2 = 11 = 1.8 + 3 q3 = 1 = 0.8 + 1 = 0.8 0 + 1 (743)10 = (1.347)8 Retomando o assunto do tópico, ou seja, o algoritmo da divisão ou de Euclides, percebe‑se a razão da inserção do conceito de representação de números em um sistema de base. O algoritmo usual prático da divisão é a utilização de uma base decimal. Exemplo Sejam a = 743 e b = 8. Assim, 743 = 92.8 + 7. Logo, q = 92 e r = 7. Foram listados três múltiplos de 8 próximos a 743. Observe que 743 situa‑se entre os múltiplos de 8: 92 e 93. Assim: 736 < 743 < 744 92.8 < 743 < 93.8 Como: r = a –qb , sendo 0 < r < b r = 743 – (92)8 r = 743 – 736 r = 7 Vamos observar a posição de 743 na reta: 94 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 744 736 728 Figura 55 i) Comparando com o sistema de representação de base decimal: 743 = 7.102 + 4.101 + 3.100 = 700 + 40 + 3 = 740 + 3 = 74.10 + 3 = (9.8 + 2)10 + 3 = 9.8 + 20 + 3 = 9.8 + (2.8 + 4) + 3 = 9.8 + 2.8 + 7 Assim, numa primeira etapa da aplicação do algoritmo prático da divisão tem‑se: 743 8 972 2 O que se obteve sob a chave é o algarismo das dezenas do quociente procurado. Retomando o processo, verifica‑se que a continuidade do que se obteve sob a chave é o algarismo das dezenas e da unidade do quociente procurado. 743 8 9272 2 3 16 7 i) No exemplo anterior de utilização de sistema de base obteve‑se o seguinte resultado: (743)10 = (1.347)8 Apenas é preciso relembrar que: a = 743= (1347)8 = 1. 8 3 +3. 82 +4. 81 +7.80 b = 8 = 1. 81 95 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números 1.347 8 1341 0 3 3 04 4 07 O que é equivalente a: 1 . 83 + 3 . 82 + 4 . 81 + 7.80 1.8 1. 82 +3. 81 +4. 80 1. 83 3. 82 3. 82 4. 81 4. 81 7. 80 Logo: q = 1. 82 +3. 81 +4. 80 e r = 7.80 q = 64 +24 +4 e r = 7.1 q = 92 e r = 7 5.6 Números primos Definição Um número p ∈ Z é chamado inteiro primo (ou simplesmente primo) se, e somente se, p ≠ 0, p ≠ ± 1 e os únicos divisores de p são ±1 e ±p. Seja a ∈ Z. Os divisores a, –a, 1, –1 são chamados divisores triviais de a. Portanto, um número a ∈ Z é dito não primo, sendo a ≠ 0 e a ≠ ± 1 quando existem outros divisores de a além dos triviais. Quando a ∈ Z, não primo e, além disso, a ≠ 0 e a ≠ ± 1esse número é denominado de número inteiro composto. Exemplos 1) O número 7 é primo porque só admite os divisores triviais: 7, ‑7, 1 e ‑1. 96 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 2) O número 6 é composto porque, além dos divisores triviais 6, ‑6, 1 e ‑1, admite também os divisores 2, ‑2, 3 e ‑3. Observação Seja um número p ∈ Z inteiro primo (ou simplesmente primo). Se p | ab então p | a ou p | b. Pelo Lema de Euclides, se p | a1 a2 ... an, então p divide um dos ai. 6 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA Teorema Dado um número a ∈ Z e a > 1. Existem r números inteiros estritamente positivosp1, ... pr de maneira que a = p1 p2 ... pr (r > 1). Além disso, se a = q1 q2 ... qs e os qj são primos estritamente positivos, então r = s e cada pi é igual a um dos qj (ou seja, a decomposição, a menos da ordem, é única). Observação Se dado um número a ∈ Z e a < –1, existem r números inteiros estritamente positivos p1, ... pr de maneira que a = –p1 p2 ... pr (r > 1) e a decomposição, a menos da ordem, também é única. Exemplos de aplicação 1) Decompor em fatores primos, segundo o teorema fundamental da matemática: a) ‑100 = ‑22.52 b) 100 = 22.52 2) Decompor em fatores primos, segundo o teorema fundamental da aritmética em Z, os seguintes inteiros: 28820 e ‑1996. a) 2880 ÷ 2 = 14410 14410 ÷ 2 = 7205 7205 ÷ 5 = 1441 1441 ÷ 11 = 131 131 ÷ 131 = 1 97 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Logo: 28820 = 2.2.5.11.131 28820 = 22.5.11.131 b) 1996 ÷ 2 =998 998 ÷ 2 =499 499 ÷499 = 1 Logo: 1996 = 2.2.499 1996 = 22.499 ‑(1996) = ‑(22.499) 1996 = – 22.499 7 MAIOR DIVISOR COMUM E MENOR MÚLTIPLO COMUM; CONGRUÊNCIAS MÓDULO M EM Z; ARITMÉTICA MODULAR; EQUAÇÕES DIOFANTINAS 7.1 Introdução Há alguns critérios simples que permitem determinar se um número é divisível por outro, sem realizar a divisão. No tópico anterior, foi introduzido um importante conceito sobre números inteiros que é o de divisor, que possibilitará tal antecipação a partir de conceitos desenvolvidos neste tópico. Lembrete Seja q = km, k, m, q ∈ Z: k é denominado divisor de q, ou k divide q, ou q é divisível por k. Notação: k | q As notações utilizadas na unidade anterior são muito utilizadas, a partir do Ensino Fundamental, em uma forma mais intuitiva e mais simples, mas que preserva o conceito de divisor. 98 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Seja uma equação do tipo a = bx, a, b ∈ Z e b ≠ 0 Diz‑se que b divide a, ou b é um divisor de a, se existe um número inteiro x tal que a equação tenha solução. Nesse caso, a solução é única. O número inteiro, assim definido, é denominado quociente de a por b e é indicado por: Notação: x a b x a b= =, / ou Alguns critérios de divisibilidade: Se a é um número inteiro positivo cuja expansão decimal é dada por: a = rn . 10 n + rn–1 . 10 n–1 + ... + r1 . 10 + r0 em que para todo i , 0 < ri < 10, isto é: a = (rn . rn–1 ... + r1 r0)10 i) 2 | a ⇔ 2 | r0. ii) 5 | a ⇔ 5 | r0. iii) 3 | a ⇔ 3 | (rn + rn–1 + ... + r0). iv) 9 | a ⇔ 9 | (rn + rn–1 + ... + r0). v) 11 | a ⇔ 11 | (r0 –r1 + . r2 – r3 + ...). vi) Para 0 < m < n, 2m | a ⇔ 2m | (rm–1 10 m—1 + ... + r1 . 10 + . r0). vii) Para 0 < m < n, 5m | a ⇔ 5m | (rm–1 . 10 m—1 + ... + r1 . 10 + . r0). Observação Os critérios i e ii são resultados obtidos em consequência de 2 e 5 serem divisores de 10. Exemplos 1) Verificar se a = 225 é divisível por 5. 99 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Podemos escrever o número a ser analisado como: 225 = 2 . 102 + 2 . 101 + 5 Portanto, 225 é divisível por 5, uma vez que r0 = 5 e o critério 5 | a ⇔ 5 | r0 foi verificado. Ou seja, 5 é divisor de 225, pois 5 é divisor de 5. 5 | 225, pois 5 | 5 2) Verificar se a = 220 é divisível por 2. Podemos escrever o número a ser analisado como: 220 = 2.102 + 2.101 + 0 2 | 220, pois 2 | 0 3) Verificar se a = 225 é divisível por 3. Podemos escrever o número a ser analisado como: 225 = 2 . 102 + 2.101 + 5 Portanto, 225 é divisível por 3, uma vez que (rn + rn–1 + ... + r0) = 2 + 2 + 5 = 9 e o critério 3 | a ⇔ 3 | (rn + rn–1 + ... + r0)foi verificado. Ou seja, 3 é divisor de 225, pois 3 é divisor de 9. 3 | 225, uma vez que 3 | 9 4) Verificar se a = 231 é divisível por 11. Podemos escrever o número a ser analisado como: 231 = 2 . 102 + 3 . 101 + 1 Lembrando que: 11 | a ⇔ 1 | (r0 – r1 + . r2 –r3 + ...) (r0 – r1 + . r2 –r3) = 1 – 3 + 2 – 0 = 0 Como o critério de divisibilidade por 11 exige que sejam efetuadas diferenças entre os rn foi necessário escrever o número dado na forma: 231 = 0 . 103 + 2 . 102 + 3 . 101 + 1, ou seja, da direita para a esquerda: 100 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 r0 = 1, r1 = 3, r2 = 2, r3 = 0 Obtendo as diferenças utilizadas acima: r0 – r1 = 1 – 3, r2 – r3 = 2 – 0 Portanto, 231 é divisível por 11, uma vez que o critério foi verificado. Ou seja, 11 é divisor de 231, pois 11 é divisor de 0. 11 | 231, uma vez que 11 | 0 1) Verificar se a = 7264 é divisível por 8. Como: 8 = 23 Logo, confrontando com o critério (vi): m = 3 Podemos escrever o número a ser analisado como: 7264 = 7 . 103 + 2 . 102 + 6 . 101 + 4 Ou seja, da direita para a esquerda: r0 = 4, r1 = 6, r2 = 2, r3 = 7 Lembrando que pelo critério v: 2m | a ⇔ 2m | (rm–1 . 10 m–1 + r1 . 10 + . r0) Então: 23 | 7264 ⇔ 23 | (r2 . 10 2 +... + r1 . 10 + . r0) 23 | 7264 ⇔ 23 | (2 . 102 + 6 . 10 + . 4) 23 | 7264 ⇔ 23 | 264 É preciso verificar se 264 é divisível por 8. Da direita para a esquerda de 264 = 2 . 102 + 6 . 10 + 4 101 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números r0 = 4, r1 = 6, r2 = 2 Lembrando que: 2m | a ⇔ 2m | (rm–1 . 10 m–1 + ... + r1 . 10 + . r0) Então: 23 | 264 ⇔ 23 | (6 . 10 + 4) Como 8 é divisor de 64, então a = 7264 também é divisível por 8. Proposição Se b | a e a ≠ 0, então |b| < |a|. 7.2 Maior divisor comum (MDC) Definição: Maior divisor comum – MDC Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de zero. O máximo divisor comum de a e b é um número inteiro d tal que: i) d | a e d | b. ii) Se c ∈ Zé tal que c | a e c | b, então c | d. Assim, chama‑se máximo divisor comum, ou maior divisor comum de a e b, o maior dos seus divisores comuns, isto é: mdc (a, b) = max D (a, b) Observação Existindo mdc(a, b), então mdc(a, b) = mdc(b, a). 102 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Exemplos 1) Para um número inteiro dado, indicar por D(a) o conjunto de seus divisores e M(a) o conjunto de seus múltiplos. D(2) = {1, ‑1, 2, ‑2} e M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ...}. D(‑3) = {1, ‑1, 3, ‑3} e M(‑3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}. D(0) = Z e M(0) = {0}. D(3) = {1, ‑1, 3, ‑3} e M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}. D(1) = {1} e M(1) = Z. 2) Utilizando os resultados do exercício acima, obter: mdc(3, 3) = 3 mdc(3, ‑3) = 3 mdc(1, ‑3) = 1 mdc(1, 3) = 1 Consequências: 1) Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de zero. Então o máximo divisor comum de a e b é o menor número inteiro positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z. 2) Sejam a, b ∈ Z*. Se existem r, s ∈ Z, tais que ra + sb = 1, então a e b são primos entre si. 3) Dois números inteiros a e b são ditos relativamente primos se mdc(a, b) = 1. Teorema de Euclides Sejam a, b ∈ Z, tais que a | b . c. Se mdc(a, b) = 1, então a | c. Exemplo 1) Seja n ∈ Z*, mostrar que se mdc(n, 1) = 1. Como os números n e 1 são diferentes de zero, então o máximo divisor comum desses números é o menor número inteiro positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z. Logo: ra + sb = 1 103 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Observação Os números r e s procurados não são unicamente determinados. A forma de determinar o conjunto das soluções de equações como esta será assunto no estudo de equações diofantinas, ainda neste tópico. É possível mostrar, no entanto, que r =1 e s = 1 – n constituem solução para a equação: 1n + (1–n) . 1 = 1 Utilizando as propriedades dos números Inteiros para adição e multiplicação: n + 1 – n = 1 n – n + 1 = 1 +1 = 1 2) Mostrar que se mdc(‑26, 18) = 2, então existe um número inteiro positivo da forma ra + sb = 2, tal que r = 2 e s = 3. Como os números ‑26 e 18 são diferentes de zero, então o máximo divisor comum desses númerosé o menor número inteiro positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z. Logo: r (–26) + s(18) = 2 Utilizando as propriedades dos números inteiros para adição e multiplicação: –26r + 18s = 2 É possível mostrar que r = 2 e s = 3 constituem uma das possíveis soluções para a equação: –26.2 + 18.3 = 2 –52 + 54 = 2 +2 = 2 Observação Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de zero. Se o máximo divisor comum de a e b é d então: 104 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 mdc a d b d , = 1 Observação: Sejam a, b ∈ Z, sendo ao menos um deles diferente de zero. Então o máximo divisor comum de a e b é o menor número inteiro positivo da forma ra + sb para r, s ∈ Z. 7.3 Mínimo múltiplo comum – MMC Definição: mínimo múltiplo comum – MMC Sejam a, b ∈ Z*. O mínimo múltiplo comum de a e b é um número inteiro m tal que: a | m e b | m Se c ∈ Zé tal que a | c e b | c, então m | c. Assim, chama‑se mínimo múltiplo comum de a e b o menor dos seus múltiplos positivos comuns, isto é: mmc (a, b) = minM+ (a, b) Observação Sejam a, b ∈ Z+, então: mmc (a, b) . mdc (a, b) = a .b Exemplo 1) Em exemplos anteriores foi constatado que: D(3) = {1, ‑1, 3, ‑3} e M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...} D(1) = {1} e M(1) = Z mdc (3, 3) = 3 mdc (1, 3) = 1 Utilizando esses resultados, obter o mmc(3, 3) e mmc(1, 3) de acordo com a afirmação acima de que: mmc (a, b) . mdc (a, b) = a .b 105 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números a) Tomando M+(3) = {3, 6, 9, ...} Observe que pela definição de mínimo múltiplo comum a, b ∈ Z* Portanto, 0 ∉ M+ (3). mmc (3, 3) . mdc (3, 3) = 3 .3 mmc (3, 3) . 3 = 9 mmc (3. 3) = 3 Observando os conjuntos M+(3) e M+(3), comprova‑se o resultado obtido. a) Tomando M+(1) = Z+ = {1, 2, 3....} e M+(3) = {3, 6, 9, ...} Observe que pela definição de mínimo múltiplo comum a, b ∈ Z* Portanto, 0 ∉ M+ (1) mmc (1, 3) . mdc (1, 3) = 1 .3 mmc (1, 3) . 1 = 3 mmc (1. 3) = 3 Observando os conjuntos M+(1) e M+(3), comprova‑se o resultado obtido. 7.4 Congruências módulo m em Z – aritmética modular 7.4.1 Introdução O conceito de congruência na Teoria dos Números, observam Nascimento e Feitosa (2009) e Domingues (1998), foi introduzido por Karl Friedrich Gauss em um trabalho intitulado Disquisitiones aritmeticae, publicado em 1801, com apenas 24 anos de idade. Uma das importantes aplicações de congruência é encontrar o resto da divisão, uma vez que cada número inteiro é congruente ao resto de sua divisão pelo número que define a congruência. 7.4.2 Congruências Lembrete A definição a seguir já havia sido introduzida na seção de exercícios do tópico 2. Mas naquele momento ela foi tomada apenas em relação à proporcionalidade entre dois números inteiros. 106 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Definição Seja m ∈ Z : m > 1. Dados x, y ∈ Z, dizemos que x é côngruo a y, módulo m, se e somente se, m dividir x – y (o que é representado por m | (x – y)). Notação: x ≡ y(mod m) ⇔ m | (x – y) Exemplos 1) Um interessante exemplo de matemática modular, a partir do conceito de congruências módulo m em Z, encontra‑se em Domingues (1998, p. 124‑125). O autor propõe o seguinte problema: considere a correspondência biunívoca entre a sucessão dos dias e o conjunto dos números inteiros: o dia de sábado será considerado como ponto de partida (dia de hoje) e a ele será associado o número 0, ao dia de domingo (amanhã) o 1, e assim por diante. Dessa forma, o dia de sexta‑feira (ontem) será associado ao ‑1, ao de anteontem ‑2 etc. Observe o quadro abaixo: Quadro 1 ‑14 ‑13 ‑12 ‑11 ‑10 ‑9 ‑8 ‑7 ‑6 ‑5 ‑4 ‑3 ‑2 ‑1 Sábado Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A primeira coluna representa os sábados: abaixo da linha do 0, posteriores a hoje; acima, anteriores. Dois números inteiros representam o mesmo dia da semana se, e somente se, sua diferença é um múltiplo de 7. Denominando os números da primeira coluna como 7k, a segunda será representada por 7k+1, e assim sucessivamente, com k = 0, ±1, ±2... Para ser respondida, a partir desse esquema, o autor coloca a questão: considerando que hoje é sábado, daqui a 152 dias, que dia da semana será? E há 152 dias, que dia da semana foi? Como os dias da semana podem ser modulados segundo o esquema acima, então se pelo algoritmo da divisão de Euclides, visto na unidade anterior: a = qb + r 152 7 215 107 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Então: 152 = 21.7 + 5 Logo 152 está na coluna do 5 (quinta‑feira). Da mesma forma podemos escrever: –152 = (–22) . 7 + 2 Então, ‑152 está na coluna do 2 (segunda‑feira). Assim, o problema proposto poderia ser escrito da seguinte forma, uma vez que: x ≡ y(mod m) ⇔ m | (x – y) a) 152 ≡ 5(mod 7), uma vez que 7 | (152 – 5). b) – 152 ≡ 2(mod 7), uma vez que 7 | (–152 –2). Sejam a, m, r ∈ Z, m > 1. Se r é o resto da divisão de a por m, então a ≡ r (mod m). 2) Mostrar que 7 ≡ –1 (mod 4) é verdadeira. Sabe‑se que: x ≡ y (mod m) ⇔ m | (x – y) Logo: 7 ≡ –1(mod 4) ⇔ 4 | (7–(–1), 7 ≡ –1(mod 4) ⇔ 4 | (7+1), 7 ≡ –1(mod 4) ⇔ 4 | 8 Portanto, a expressão é verdadeira, uma vez que 4 é divisor de 8. 3) Mostrar que 31 ≡ 31 (mod 7) é verdadeira. Sabe‑se que: x ≡ y (mod m) ⇔ m | (x –y) 108 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Logo: 31 ≡ 31 (mod 77) ⇔ 77 | (31 –31) 31 ≡ 31 (mod 77) ⇔ 77 | 0 Portanto, a expressão é verdadeira, porque 77 é divisor de 0 (uma vez que todo número inteiro é divisor de 0). Importante A congruência módulo m é uma relação de equivalência, uma vez que é: i) Reflexiva Para todo a ∈ Z, tem‑se a – a = 0 = 0 . m, isto é, a ≡ a (mod m) Logo, a relação é reflexiva. ii) Simétrica Para todo a, b ∈ Z, se a ≡ b (mod m), então a – ≡ km. Para todo a, b ∈ Z, se b ≡ a (mod m), então b – a ≡ k1m. Mas: b – = –(a –b) = –k . m, logo k1 = –k Logo, a relação é simétrica. iii) Transitiva Para todo a, b, c ∈ Z, se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), então a – b ≡ k1m b – c ≡ k2m. No entanto, usando as propriedades dos números inteiros, é possível escrever que a – c = a – b + b – c = (a – b) + (b – c) = k1m + k2m Observe que se somou –b + b (simétrico aditivo) à expressão a – c, uma vez que –b + b = 0 (elemento neutro da adição). = k1m + k2m = (k1 + k2) . m. Logo, a relação é transitiva. 109 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Sejam a, b ∈ Z. Então a ≡ b (mod m) se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m. Sejam a, b, c, d, m ∈ Z > 1. Então: i) Se a ≡ b (mod m), então a + c ≡ b + c (mod m). ii) Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a + c ≡ b + d (mod m). iii) Se a ≡ b (mod m), então a . c ≡ b . c (mod m). iv) Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a.c ≡ b.d (mod m). v) Se a ≡ b (mod m) e c > 0, então ac ≡ bc (mod m). vi) Se a+ c ≡ b (mod m) , então a ≡ b (mod m). vii) Se c ≠ 0, (c, m) = 1 e a.c ≡ b.c (mod m), então a ≡ b (mod m). viii) Se c ≠ 0 e a.c ≡ b.c (mod m), então a b m d ≡ mod em que d = mdc (c, m). Lembrete (am)n = am.n Exemplos 1) Obter o resto da divisão de 5100 e 5101 por 24. a) Observe que: 25 24 11 Então, como foi visto acima que: Sejam a, m, r ∈ Z, m > 1. Se r é o resto da divisão de a por m, então a ≡ r(mod m). Então: a ≡ r (mod m) 110 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 25 ≡ 1 (mod 24) 52 ≡ 1 (mod 24) De acordo com o quadro acima: Se a ≡ b (mod m) e c > 0, então ac ≡ bc (mod m). Logo: (52)50 ≡ 150 (mod 24) 5100 ≡ 1 (mod 24) Assim, o resto da divisão de 5100 por 24 é 1. a) Como a congruência módulo m é uma relação de equivalência, é verdade que:a ≡ a (mod m) Logo: 5 ≡ 5 (mod 24) (1) No item a obteve‑se que: 5100 ≡ 1 (mod 24) (2) De acordo com o quadro acima: Se c ≡ d (mod m), então a.c ≡ b.d (mod m). Então, utilizando os resultados (1) e (2): a.c ≡ b.d (mod m) 515100 ≡ 5 . 1 (mod 24) 5101 ≡ 5 (mod 24) Assim, o resto da divisão de 5101 por 24 é 5. 2) Obter o resto da divisão de 19138 por 17. 111 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Observe que: 19 17 12 Então, como foi visto acima que: Sejam a, m, r ∈ Z, m > 1. Se r é o resto da divisão de a por m, então a ≡ r (mod m). Então: a. ≡ r (mod m) 19 ≡ 2 (mod 17) De acordo com o quadro acima: Se a ≡ b (mod m) e c > 0, então ac ≡ bc (mod m). Logo: (19)2 ≡ 22 (mod 17) ≡ 4 (mod 17) (19)2 ≡ 4 (mod 17) (1) (19)3 ≡ 23 (mod 17) ≡ 8 (mod 17) (19)4 ≡ 24 (mod 17) ≡ 16 (mod 17) Mas observe que: a 17 116 Como: a = b . q + r a = 1 . 17 + 16 (2) Como o resto, nesse caso, está próximo de 17, vamos considerar que o quociente tenha mudado para 2: 112 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 a 17 2r Novamente: a = b . q + r a = 2 . 17 + r (3) Igualando (2) e (3): 1.17 + 16 = 2 . 17 + r 1 . 17 – 2 . 17 + 16 = r –17 + 16 = r –1 = r Portanto, 16 (mod 17) é equivalente a –1 (mod 17) Retomando: (19)4 ≡ 24 (mod 17) ≡ 16 (mod 17) Temos: (19)4 ≡ 24 (mod 17) ≡ 16 (mod 17) ≡ –1 (mod 17) (19)4 ≡ –1 (mod 17) (4) Como nosso objetivo é obter o resto de 19138 dividido por 17: 138 4 342 Então: a = b . q + r 113 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números 138 = 4.34 + 2 Podemos escrever 19138 = 194.34+2 Assim, (3) pode ser escrito como: (194)34 ≡ (–1)34 (mod 17) (194)34 ≡ 1 (mod 17) (4) Acima, em (1), obteve‑se que: (19)2 ≡ 4 (mod 17) (5) Utilizando: Se a ≡ b (mod m), e c ≡ d (mod m), então a.c ≡ b.d (mod m). (194)34 . (19)2 ≡ 1 . 4 (mod 17) 194.34.192 = 194.34+2 = 19138 19138 ≡ 4 (mod 17) Assim, o resto da divisão de 19138 por 17 é 4. 7.4.3 Aritmética modular (aritmética módulo m) Seja m ∈ Z : m > 1. Dado a ∈ Z, denotamos a classe de equivalência de a módulo m por a r Z r a m − = ∈ ≡{ : (mod )} . Zn é denominado conjunto quociente de Z pela relação de congruência módulo m. Assim, Z a a Zn = ∈{ : } _ . Exemplo 1) Listar os elementos na congruência módulo 3, ou seja, Z3 0= { , , } _ 1 2 _ _ . Z nm = −{ , , , ..., } _ ______ 0 1 1 2 _ _ é um conjunto com m elementos. a) 0 0 3 3 0 3 _ { : (mod )} { : | ( )} { : ,= ≡ = − = = ∈ =a a a a a a m m Z} {..., ‑9, ‑6, ‑33, 0, 3, 6, 9...} 114 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 b) 1 1 3 3 1 1 3 3 1 _ { : (mod )} { : | ( )} { : , { : ,= ≡ = − = − = ∈ = = +a a a a a a m a a m m m Z} ∈∈ = = + ∈ = Z Z} {..., ‑8, ‑5, ‑2, 1, 4, 7, 10...} } { ,a m m3 1 c) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 _ { : (mod )} { : | ( )} { : , { : ,= ≡ = − = − = ∈ = = +a a a a a a m a a m m m Z} ∈∈ = = + ∈ = Z , Z} {..., ‑7, ‑4, ‑1, 2, 5, 8, 11...} } {a m m3 2 Adição e multiplicação em Zm Para a b Zm _ _ , ∈ : a + b = a + b a . b = a . b 8 EQUAÇÕES DIOFANTINAS 8.1 Introdução Segundo Nascimento e Feitosa (2009) e Domingues (1998), a denominação de equações diofantinas para todas as equações polinomiais (com qualquer número de incógnitas), com coeficientes inteiros, deve‑se ao interesse de Diofanto de Alexandria por algumas equações, em casos particulares. Diofanto de Alexandria, segundo Domingues (1998), viveu provavelmente no século III d.C. e a ele é atribuída uma coletânea de problemas, na maioria indeterminados, para cuja solução usou sempre métodos algébricos, o que o distingue substancialmente da matemática grega clássica. Dele se conhecem duas obras: Sobre números poligonais e Aritmética. Da última só restaram seis livros (dos 13 existentes, segundo o prefácio), sendo a mais importante e original. 8.2 Equações diofantinas lineares (a duas incógnitas) Uma equação diofantina: ax + by = c Em que a ≠ 0 ou b ≠ 0 , admite solução se, e somente se, d = mdc(a, b) divide c. Seja (x0, y0) uma particular solução da equação diofantina ax + by = c em que a ≠ 0 ou b ≠ 0, d = mdc(a, b) e d|c. Então essa equação admite infinitas soluções e o conjunto de soluções é: 115 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números S x r c d y s c d d ra sb= − − = +0 0, onde S x b d t y a d t t Z= + − ∈ 0 0, | Se a ≠ 0 ou b ≠ 0 e mdc(a, b) = 1, então a equação diofantina ax + by = c tem conjunto solução não vazio dado por: S = {(x0 + bt, y0 – at) | t ∈ Z} Onde (x0, y0)é uma das soluções particulares. Exemplo 1) Encontrar todas as soluções inteiras da equação 15x – 51y = 42. Observe que: a = 15 b = ‑51 d = mdc(15, ‑51) = 3 Como uma das soluções é dada por: S x r c d y s c d d ra sb= − − = +0 0, onde É necessário obter r e s tais que: 3 = 15r – 51s (1) Para isso é necessário escrever 51 e 15 de outras formas: 51 = 3.15 + 6 => 51 – 3.15 = 6 (2) 116 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 15 = 2.6 + 3 => 15 – 2.6 = 3 (3) Assim, substituindo (2) em (3): 3 = 15 – 2.(51 – 3.15) 3 = 15 – 2.51 + 6.15 3 = 7.15 – 2.51 (4) Comparando (1) e (4), obtêm‑se r = 7 e s = 2. Então: (x0, y0) = (98, 28) x r c d0 = x0 7 42 3 98= = y s c d0 = y0 2 42 3 28= = Como: S x b d t y a d t t Z d mdc a b= + − ∈ =0 0, | ( , ) onde S t t t Z= + − − ∈ 98 51 3 28 15 3 , | S = {(98 – 17t, 28 – 5t) | t ∈ Z 117 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números 8.3 Equações diofantinas lineares (a três incógnitas) Dada a equação diofantina ax + by + cz = f em que a ≠ 0 ou b ≠ 0 ou c ≠ 0 , d = mdc(a, b, c) e d|c . Então essa equação admite infinitas soluções. Se mdc(a, b) = d1, então existem k1 e k2 ∈ Z para os quais ak1 + bk2 = d1. Como d = mdc (d1, c), então existem k, z0 ∈ Z de maneira que d = d1k + c.z0. Assim: d = (ak1 + bk2)k + c. z0 d = a(k1.k) + b(k2.k) + c. z0 Fazendo x0 = (k1.k) e y0 = (k2.k): d = a. x0 + b. y0 + c. z0 Assim, se a equação dada admite solução, como f = d.q para algum q ∈ Z, então: a(x0q) + b(y0q) + c(z0q) = dq = f Portanto, uma das soluções particulares da equação é dada por: (x0q, y0q, z0q) Seja (x0, y0) uma particular solução da equação diofantina ax + by = c em que a ≠ 0 ou b ≠ 0, d = mdc(a, b) e d|c . Então essa equação admite infinitas soluções e o conjunto de soluções é: Exemplo Encontrar uma solução particular da equação (DOMINGUES, 1998, p. 122): 100x + 72y + 90z = 6 Observe que: a = 100 b = 72 c = 90 118 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 f = 6 d = mdc(100, 72, 90) = 2 d | f, uma vez que 2 | 6 Uma equação equivalente à dada é a obtida quando se dividem por ambos os membros da igualdade: 50x + 36y + 45z = 3 (1) O passo seguinte é escrever 50 e 36 de outras formas: 50 = 1.36 +14 → 50 – 1.36 = 14 (2) 36 = 2.14 + 8 → 36 – 2.14 = 8 (3) 14 = 1.8 + 6 → 14 – 1.8 = 6 (4) 8 = 1.6 + 2 → 8 – 1.6 = 2 (5) 6 = 2.3 (6) Assim, substituindo (4) em (5): 2 = 8 – 1.(14‑1.8) 2 = 8 – 1.14 +1.8 Substituindo (3): 2 = 8 – 1.14 +1.(36 – 2.14) 2 = 8 – 1.14 +1.36 – 2.14 2 = 8 – 3.14 +1.36 Substituindo (3) e (2): 2 = (36 – 2.14) – 3.(50 – 1.36) +1.36 2 = 36 – 2.14 – 3.50 + 3.36 +1.36 2 = – 2.14 – 3.50 + 5.36 119 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números 2 = – 2. (50‑1.36) – 3.50 + 5.36 2 = – 2.50 + 2.36 – 3.50 + 5.36 2 = – 5. 50 + 7.36 (7) Falta escrever 45 de outra forma: 45 = 2.22 +1 => 1 = 45 – 2.22 1 =45 + 2.(‑22) Substituindo (7): 1 = 45 + (‑5.50 + 7.36).(‑22) 1 = 45 + (‑5)(‑22).50 + 7(‑22).36 1 = 45 + 110.50 ‑154.36 1 = 110.50 ‑154.36 + 1.45 Multiplicando a expressão por 3: 3 = 330.50 ‑462.36 + 3.45 (8) Comparando (1) e (8): x = 330 y = ‑462 z = 3 Ou seja, a terna (330, ‑462, 3) é uma solução da equação dada. Resumo Na unidade anterior, além do panorama histórico que foi palco do desenvolvimento dos números, foram apresentadas algumas noções gerais, mas fundamentais, para a fundamentação teórica do licenciando sobre conjuntos, relações entre conjuntos, particularmente as relações de equivalência e de ordem. 120 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Nessa segunda unidade, foram introduzidos os conceitos de indução matemática, de bases, critérios de divisibilidade, múltiplos e divisores, números primos e congruências. Todos esses assuntos estão intimamente ligados à formação fundamental das crianças e adolescentes, que constituem o público preferencial dos futuros professores de matemática. O conteúdo de indução matemática foi desenvolvido focado em progressões geométricas – conteúdo do Ensino Médio, portanto sem o rigor próprio que seria devido a um bacharelado em Matemática, mas não a uma licenciatura. Basicamente, a intenção era introduzir o caráter axiomático da matemática a partir do princípio postulado por Peano para os números naturais. O conteúdo de bases de numeração e representação explorou o sistema de numeração posicional e assim mostrou que há diversas maneiras para se representar um número inteiro. Da mesma forma, o estudo dos números primos tem grande importância no estudo das propriedades multiplicativas de números inteiros, uma vez que qualquer número inteiro pode ser escrito como um produto de números primos. O estudo de congruência permite encontrar o resto de uma divisão, uma vez que cada inteiro é congruente ao resto de sua divisão pelo número que define a congruência. Exercícios Questão 01. (ENADE‑MATEMÁTICA/2008) Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumeração de todos os números racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i > 1, Ii denote o intervalo aberto η η− + − − 1 2 1 22 2i i . , cujo comprimento é Ii. Qual é a soma da série =∞∑ 1I ii ? A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D) 3/4 E) 5/4 Resposta correta: alternativa B. 121 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números Análise das alternativas: Seguindo a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita convergente, fazemos o que segue. I r r1 1 3 1 3 1 2 1 2 = − +{ , } I r r2 1 4 1 4 1 2 1 2 = − +{ , } L1, L2, L3, ... definem comprimentos de cada intervalo I1, I2, I3, ... Logo, L r r1 1 3 1 3 3 1 2 1 2 2 2 = + − + = L r r2 1 4 1 4 4 1 2 1 2 2 2 = + − + = , e assim sucessivamente. Então, temos Li i= ∞ ∑ = + + + = − = = = 1 3 4 5 32 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 8 1 2 4 8 1 2 ... . Logo, a soma da série Li i= ∞ ∑ 1 resulta em 1 2 . Sendo assim, (A) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. (B) Alternativa correta. Justificativa: de acordo com os cálculos. (C) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. (D) Alternativa incorreta. 122 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Unidade II Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Justificativa: de acordo com os cálculos. (E) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. Questão 02. (ENADE‑MATEMÁTICA/2005) O mandato do reitor de uma universidade começará no dia 15 de novembro de 2005 e terá duração de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Nessa situação, conclui‑se que o último dia do mandato desse reitor será no(a): A) Sexta‑feira. B) Sábado. C) Domingo. D) Segunda‑feira. E) Terça‑feira. Resolução desta questão na Plataforma. 123 Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 14 /1 2/ 20 11 Teoria dos números FIGURAS E ILUSTRAÇÕES Figura 1 VZS0VV.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. Acesso em: 12 dez. 2011. Figura 2 Arquivo UNIP Interativa. Figura 3 BRITISHMUSEUMVISIT171052.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://www.pics4learning.com/>. Acesso em: 12 dez. 2011. Figura 4 CEYFSS.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. Acesso em: 12 dez. 2011. Figura 5 BM_CUNEIFORM.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. Acesso em: 12 dez. 2011. Figura 6 Arquivo UNIP Interativa. Figura 7 HIERO36141.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://www.pics4learning.com/>. Acesso em: 12 dez. 2011. Figura 8 PAPYRUS_ANI_CURS_HIERO.JPG.HTML?G2_IMAGEVIEWSINDEX=1.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.burningwell.org>. Acesso em: 12 dez. 2011. Figura 9 HIEROGLYPHICS.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://www.pics4learning.com/>. Acesso em: 12 dez. 2011. 124 Figura 11 Arquivo UNIP Interativa. Figura 12 Arquivo UNIP Interativa. Figura 13 Arquivo UNIP Interativa. Figura 14 Arquivo UNIP Interativa. Figura 15 Arquivo UNIP Interativa. Figura 16 Arquivo UNIP Interativa. Figura 20 Arquivo UNIP Interativa. Figura 21 3ZXJ66.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <www.morguefile.com/archive/display/144027>. Acesso em: 12 dez. 2011. Figura 22 4A26503V.JPG. Formato: JPEG. Disponível em: <http://lcweb2.loc.gov/service/pnp/det/4a20000/4a260 00/4a26500/4a26503v.jpg>. Acesso em: 7 nov. 2011. Figura 23 Arquivo UNIP Interativa. Figura 24 Arquivo UNIP Interativa. 125 Figura 25 Arquivo UNIP Interativa. Figura 26 Arquivo UNIP Interativa. Figura 32 Arquivo UNIP Interativa. Figura 33 Arquivo UNIP Interativa. Figura 34 Arquivo UNIP Interativa. Figura 35 Arquivo UNIP Interativa. Figura 36 Arquivo UNIP Interativa. Figura 37 Arquivo UNIP Interativa. REFERÊNCIAS Textuais ALENCAR FILHO, E. Teoria elementar dos conjuntos. São Paulo: Nobel, 1968. ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Blucher, 2009. BADILLO, R.G. Un concepto epistemológico de modelo para la didáctica de las ciências experimentales. In: MAGAGNATO, P. Fundamentos teóricos da atividade de estudo como modelo didático para o ensino das disciplinas científicas. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2011. 126 BERNARDES, M. Educação, relações capitalistas, estratégias e táticas: um ensaio a partir de algumas escolas de ensino superior de Maringá (PR). Tese (Doutorado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2009. BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 2003 BRITO, M. Psicologia da educação matemática: teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001. CONWAY, J. & GUY, R. O livro dos números. Lisboa: Gradiva, 1999. DAVÝDOV, V. V. & MÁRKOVA, A. La concepcion de la actividad de estudio de los escolares. In: MAGAGNATO, P. Fundamentos teóricos da atividade de estudo como modelo didático para o ensino das disciplinas científicas. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2011. DAVÝDOV. V. V. La enseñanza escolar y el desarrollo psíquico. Moscou: Editorial Progresso, 1988. In: MAGAGNATO, P. Fundamentos teóricos da atividade de estudo como modelo didático para o ensino das disciplinas científicas. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2011. DAVÝDOV, V. V. Tipos de generalización en la enseñanza. Havana: Editorial Pueblo y Educación, 1982. In: MAGAGNATO, P. Fundamentos teóricos da atividade de estudo como modelo didático para o ensino das disciplinas científicas. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2011.DOMINGUES, H. Fundamentos da matemática. São Paulo: Atual, 1998. __________ & IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual, 1982. EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Unicamp, 2004. EVES, J. H. Panorama cultural I. In: EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Unicamp, 2004. FOMIN, S. Sistemas de numeração. São Paulo: Atual, 1997. FOUCAULT, M. A ordem do discurso. São Paulo: Loyola, 2000. GIMENEZ, K. & NUNES, R. Sumérios, os inventores da história. Guia do Estudante. São Paulo: Abril. Disponível em: <http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/historia/ sumerios‑inventores‑historia‑433550.shtml>. Acesso em: 20 nov. 2011. GRANGEIRO, A. et al. Resumo do livro Os Números – A história de uma grande Invenção. Projeto PIBID: Universidade Estadual do Ceará – UECE Faculdade de Educação, Ciências e Letras do Sertão Central. 127 Licenciatura plena em Matemática. Barreiro. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ ABAAAexUsAG/resumo>. Acesso em: 08 dez. 2011. IEZZI, G.; MURAKANI, C. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 2004. IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1996. LE GOFF, J. Por amor às cidades: conversações com Jean Lebrun. São Paulo: Fundação Editora da UNESP, 1998. LOSS, H.; FALCÃO, J. & ACIOLY‑RÉGNIER, N. A ansiedade na aprendizagem da matemática e a passagem da aritmética para a álgebra. In: BRITO, M. Psicologia da educação matemática: teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001. LUCHETA, V. História dos números figurados. Imática – A matemática interativa na internet. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nfigurados.html>. Acesso em: 21 nov. 2011. MAGAGNATO, P. Fundamentos teóricos da atividade de estudo como modelo didático para o ensino das disciplinas científicas. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2011. MATEUS, A.; SILVA, P.; REBOLA, C. Seminário temático: 6 formas de pensar os algarismos. Licenciatura em Ensino de Matemática. Faculdade de Ciências. Universidade de Lisboa. 2003/2004. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/algarismos/introducao.htm>. Acesso em: 21 nov. 2011. MILIES, F. & COELHO, S. Números: uma introdução à Matemática. São Paulo: Edusp, 2001. NASCIMENTO, M; FEITOSA, H. Elementos da teoria dos números. São Paulo: Cultura Acadêmica – Universidade Estadual Paulista, Pró‑Reitoria de Graduação, 2009. NOVA ESCOLA. Use peças no lugar de número. Edição Outubro de 1997. Disponível em: <http://www. pead.faced.ufrgs.br/sites/publico/eixo7/didatica/unidade2/materiais_didaticos/montessori_link2.pdf>. Acesso em: 24 nov. 2011. RUGGIERO, M. & LOPES, V. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. SENNA, M. & BEDIN, V. Formação do conceito de número em crianças da educação. Disponível em: <http://www.anped.org.br/reunioes/30ra/trabalhos/GT07‑3370‑‑Int.pdf>. Acesso em: 08 dez. 2011. 128 SCARPIM, S. Modelagem inicial para o ensino de geometria euclidiana plana segundo a teoria da atividade de estudo. Bauru, 2010. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. SFORNI, M.. Aprendizagem conceitual e organização do ensino: contribuições da teoria da atividade. Araraquara: JM Editora, 2004. SILVA, S. M. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1986. USP. História da matemática. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page01. htm>. Acesso em: 08 dez. 2011. VIANNA, C & CURY, H. Ângulos: uma “História” escolar. Revista História & Educação Matemática, v.1, n.1. Disponível em: <http://www.ghoem.com/textos/e/2001_SBHMat_angulos.pdf>. Acesso em: 23 nov. 2011. VIGOTSKI, L. S. Obras escogidas. Moscou: Editorial Pedagógica, 1983. In: SCARPIM, S. Modelagem inicial para o ensino de geometria euclidiana plana segundo a teoria da atividade de estudo. Bauru, 2010. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência). Universidade Estadual Paulista. Exercícios Unidade I – Questão 1 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2005: Matemática. Questão 37. Disponível em: < http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 07 dez. 2011. Unidade I – Questão 2 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 20. Disponível em: < http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 07 dez. 2011. Unidade II – Questão 1 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 24. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 07 dez. 2011. Unidade II – Questão 2 – INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2005: Matemática. Questão 19. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 07 dez. 2011 129 Sites <http://www.cle.unicamp.br/principal/grupoglta/index.php?pag=publicacoes.php> <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_grega.htm>. <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_romana.htm>. 130 131 132 Informações: www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000
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