Matemática para Técnico do IBGE

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MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
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Aula 8 – Raciocínio Lógico 
1. Ângulos ........................................................................................................................................................ 2 
I. Ângulo reto, agudo, obtuso ........................................................................................................................ 2 
II. Bissetriz de um ângulo ............................................................................................................................... 3 
III. Ângulos complementares, suplementares e replementares .................................................................... 3 
IV. Ângulos opostos pelo vértice ..................................................................................................................... 4 
2. Paralelismo .................................................................................................................................................. 6 
I. Lei Angular de Tales .................................................................................................................................... 8 
3. Polígonos ................................................................................................................................................... 10 
I. Polígono Regular ....................................................................................................................................... 12 
II. Número de diagonais de um polígono de n lados ................................................................................... 13 
III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ............................................................................. 16 
4. Classificação dos Triângulos ...................................................................................................................... 24 
I. Síntese de Clairaut .................................................................................................................................... 25 
5. Teorema de Tales ...................................................................................................................................... 29 
6. Teorema de Pitágoras e suas aplicações ................................................................................................... 32 
I. Diagonal do quadrado ............................................................................................................................... 33 
II. Altura do triângulo equilátero ................................................................................................................. 33 
7. Semelhança de Triângulos ........................................................................................................................ 42 
8. Quadriláteros ............................................................................................................................................ 47 
I. Trapézios ................................................................................................................................................... 48 
II. Paralelogramo .......................................................................................................................................... 49 
III. Losango .................................................................................................................................................... 50 
IV. Retângulo ................................................................................................................................................. 50 
V. Quadrado ................................................................................................................................................. 51 
9. Circunferência e Círculo ............................................................................................................................ 56 
I. Corda, diâmetro e tangentes .................................................................................................................... 70 
II. Relações entre cordas e secantes ............................................................................................................ 78 
10. Triângulos, circunferências e áreas .......................................................................................................... 80 
11. Questões FGV ........................................................................................................................................... 84 
12. Relação das questões comentadas ........................................................................................................... 88 
13. Gabaritos ................................................................................................................................................ 102 
 
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1. Ângulos 
 
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os lados do 
ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo. 
 
 
 
 
O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semi-retas AO e OB. 
I. Ângulo reto, agudo, obtuso 
 
Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas com graus. 
Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso e sua 
medida é, por definição, 180º (180 graus). 
 
 
 
 
 
 
Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida exatamente o ângulo 
ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de ângulos retos. 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto. 
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso. 
 
 
A 
B 
O 
O 
180º 
Quando este símbolo aparecer em 
alguma figura, estará indicado 
que se trata de um ângulo reto. 
Ângulo agudo 
Ângulo obtuso 
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Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes iguais. 
O ângulo reto tem 90 graus (90º). 
Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de 60 minutos 
(60’). 
1° = 60′ 
Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60 segundos (60’’). 
1′ = 60′′ 
II. Bissetriz de um ângulo 
 
Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em dois 
ângulos congruentes. 
 
 
 
 
III. Ângulos complementares, suplementares e replementares 
 
Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º. Um deles é o 
complemento do outro. 
Se um dos ângulos mede 𝑥, diremos que a medida do outro é 𝑐𝑜𝑚𝑝(𝑥) = 90° − 𝑥. 
Por exemplo, o complemento de 30º é 𝑐𝑜𝑚𝑝(30°) = 90° − 30° = 60°. 
Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o 
suplemento do outro. 
Se um dos ângulos mede 𝑥, diremos que a medida do outro é 𝑠𝑢𝑝(𝑥) = 180° − 𝑥. 
Por exemplo, o suplemento de 30º é 𝑠𝑢𝑝(30°) = 180° − 30° = 150°. 
Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360º. Um deles é o 
replemento do outro. 
Se um dos ângulos mede 𝑥, diremos que a medida do outro é 𝑟𝑒𝑝(𝑥) = 360° − 𝑥. 
Por exemplo, o replemento de 30º é 𝑟𝑒𝑝(30°) = 360° − 30° = 330°. 
O 
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IV. Ângulos opostos pelo vértice 
 
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas opostas dos 
ladosdo outro. 
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida). 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são 
suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a 
alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos: 
a) 25º 
b) 36º 
c) 43º 
d) 65º 
e) 137º 
Resolução 
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em tempo, dois 
ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e dois ângulos são 
replementares se a soma de suas medidas é 360º. 
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup⁡(𝑥), o seu complemento é 
denotado por 𝑐𝑜𝑚𝑝(𝑥) e o seu replemento é denotado por 𝑟𝑒𝑝(𝑥). 
Assim, tem-se as seguintes relações: 
sup(𝑥) = 180𝑜 − 𝑥 
comp(𝑥) = 90𝑜 − 𝑥 
𝛼 𝛼 
Ângulos opostos pelo vértice 
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rep(𝑥) = 360𝑜 − 𝑥 
Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o maior meça x 
graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus. 
A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor. 
𝑥 = 4 ∙ (180 − 𝑥) − 35 
𝑥 = 720 − 4𝑥 − 35 
5𝑥 = 685 
𝑥 = 137𝑜 
Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. Como os 
ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180𝑜 − 137𝑜 = 43𝑜. 
Letra C 
 
 
02. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas 
aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo 
X? 
 
 
(A) 100º 45’ 
(B) 106º 37’ 
(C) 98º 99’ 
(D) 360º 
(E) 111º 11’ 
 
Resolução 
 
Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de suas 
medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup⁡(𝑥) e 
 
sup(𝑥) = 180𝑜 − 𝑥 
 
sup(72𝑜83′) = 180𝑜 − 72𝑜83′ 
 
Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e 
72º83’=73º23’ 
 
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sup(72𝑜83′) = 179𝑜60′ − 73𝑜23′ 
 
sup(72𝑜83′) = 106𝑜37′ 
Letra B 
 
EP 1. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58º? 
Resolução 
Vamos considerar que o ângulo mede 𝑥 graus. Desta forma, seu complemento é igual a 90° − 𝑥. 
Podemos reescrever o enunciado assim: 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠⁡𝑜⁡𝑠𝑒𝑢⁡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜⁡é⁡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙⁡𝑎⁡58° 
𝑥 − (90° − 𝑥) = 58° 
𝑥 − 90° + 𝑥 = 58° 
2𝑥 = 148° 
𝑥 = 74° 
O ângulo procurado é 74º. 
EP 2. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro. 
Resolução 
Se um dos ângulos mede 𝑥 graus, então o outro medirá 180° − 𝑥. 
𝑥 = 3 ∙ (180° − 𝑥) 
𝑥 = 540° − 3𝑥 
4𝑥 = 540° 
𝑥 = 135° 
O outro ângulo é 180° − 135° = 45°. 
Resposta: Os ângulos são 135º e 45º. 
2. Paralelismo 
 
Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares (pertencem ao mesmo 
plano) e não possuem pontos comuns. 
Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas. 
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As retas r e s são paralelas e indicamos assim: 𝑟 ∥ 𝑠. 
Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente com r e s. 
Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados. 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar dois grupos de ângulos: 
Grupo I →⁡ 1̂, 3̂, 5̂, 7̂. 
Grupo II → 2̂, 4̂, 6̂, 8̂. 
Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si. 
Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si. 
Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, certamente eles 
serão suplementares (a soma é igual a 180º). 
Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes. 
Resumindo: 
Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos determinados, 4 são 
agudos e 4 são obtusos. 
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a mesma medida). 
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a mesma medida). 
Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a soma é igual 
a 180º). 
03. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. 
r 
s 
8 7 
6 5 
4 3 
2 1 
r 
s 
t 
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Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: 
a) 100°. 
b) 55°30’. 
c) 60°. 
d) 44°30”. 
e) 80°. 
Resolução 
Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados. 
O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a 𝛼 e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha 
é igual a⁡𝜃. Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, 
os ângulos agudos são congruentes. 
 
Assim, 𝛽 = 𝛼 + 𝜃 
𝛽 = 44𝑜30′ + 55𝑜30′ = 99𝑜60′ = 100𝑜 
Letra A 
 
I. Lei Angular de Tales 
 
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. 
 
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04. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O 
ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: 
 
a) 40° 
b) 70° 
c) 75° 
d) 80° 
e) 90° 
Resolução 
Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x. 
Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre 
180º. 
Assim, 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 180𝑜 
9𝑥 = 180𝑜 
𝑥 = 20𝑜 
O maior ângulo é 4𝑥 = 4 ∙ 20𝑜 = 80𝑜 
Letra D 
05. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de 
vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B 
e C mede: 
 
a) 45º 
b) 60º 
c) 90º 
d) 120º 
e) 150º 
 
Resolução 
 
A Lei Angular de Tales garante que 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°. Como 𝐴 = 60°, então: 
 
60° + 𝐵 + 𝐶 = 180° 
 
𝐵 + 𝐶 = 120° 
 
Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma semi-reta 
interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A bissetriz do ângulo B o divide 
em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de medida C/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
C/2 B/2 
60º 
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Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales: 
𝑋 +
𝐵
2
+
𝐶
2
= 180° 
𝑋 +
𝐵 + 𝐶
2
= 180° 
Como 𝐵 + 𝐶 = 120°: 
𝑋 +
120°
2
= 180° 
𝑋 + 60° = 180° 
𝑋 = 120° 
Letra D 
3. Polígonos 
 
De acordo com o número 𝑛 de lados, os polígonos recebem nomes especiais. 
Número de Lados Nome do polígono 
3 Triângulo ou Trilátero 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o perímetro de 
um polígono por 2𝑝 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por 𝑝. 
06. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de um terreno 
retangular de medida 94 m e 36 m. 
(A) 320 m 
(B) 280 m 
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(C) 260 m 
(D) 270 m 
(E) 300 m 
Resolução 
 
Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os lados de um 
polígono)por 2p. 
 
Assim, 2𝑝 = 94 + 94 + 36 + 36 = 260𝑚. 
 
Letra C 
 
07. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao 
redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse 
terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem 
(A) 12 m por 36 m. 
(B) 25 m por 50 m. 
(C) 1 km por 12 km. 
(D) 15 m por 32 m. 
(E) 18 m por 36 m. 
Resolução 
Denotando a largura por x, o comprimento será 3x. 
 
O perímetro é igual a 96m. 
Assim, 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 = 96 
8𝑥 = 96 
𝑥 = 12𝑚 
Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m. 
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Letra A 
 
I. Polígono Regular 
 
Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito equilátero. 
Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito equiângulo. 
 
 
 
 
 
 
Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
É muito importante observar o seguinte fato: 
O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é equilátero é o 
triângulo. 
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que cada ângulo 
interno de um triângulo equilátero mede: 
180°
3
= 60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono equilátero Polígono equiângulo 
60º 
60º 
60º 
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II. Número de diagonais de um polígono de n lados 
 
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do 
polígono. 
 
 
 
 
 
 
O pentágono e suas 5 diagonais. 
Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas maneiras: 
i) Argumento combinatório 
Um polígono de 𝑛 lados possui 𝑛 vértices. Para determinar uma diagonal devemos escolher dois 
dos 𝑛 vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal BA. Portanto, não é 
relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais seria igual a 𝐶𝑛
2. 
Destas 𝐶𝑛
2 há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do polígono. Devemos 
das 𝐶𝑛
2 “pseudo-diagonais” retirar os 𝑛 lados. 
Portanto, o número de diagonais é igual a: 
𝐷 = 𝐶𝑛
2 − 𝑛 
𝐷 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 1)
2 ∙ 1
− 𝑛 
𝐷 =
𝑛2 − 𝑛
2
− 𝑛 =
𝑛2 − 𝑛 − 2𝑛
2
=
𝑛2 − 3𝑛
2
 
𝐷 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
 
ii) Argumento geométrico 
Considere um polígono com 𝑛 lados. De cada vértice partem 𝑛 − 3 diagonais. Subtraímos o 
número 3, porque não podemos “mandar” uma diagonal para o próprio vértice e nem para os 
vértices que estão “ao lado”. 
Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados). 
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Observe que cada vértice “manda” 4 diagonais (7 – 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pois bem, então de cada vértice partem 𝑛 − 3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi 
perguntado em prova!! 
Como são 𝑛 vértices, “então”o total de diagonais seria igual a 𝑛 ∙ (𝑛 − 3). 
Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 vértices. 
Portanto, o número de diagonais é igual a: 
𝐷 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
 
08. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que 
corresponde ao número de diagonais de um icoságono. 
a) 340 
b) 190. 
c) 170. 
d) 380. 
e) 95. 
Resolução 
Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados. 
 
Número de 
Lados 
Nome do polígono 
3 Triângulo ou Trilátero 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
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11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um polígono com n 
lados é igual a 
𝐷 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
 
Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a 
𝐷 =
20 ∙ (20 − 3)
2
= 170⁡𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. 
Letra C 
09. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a 
partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é 
igual a: 
 
a) 11 
b) 12 
c) 10 
d) 15 
e) 18 
 
Resolução 
 
Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono convexo. 
 
𝐷 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
 
 
De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o 
próprio vértice nem para os vértices adjacentes. 
 
Um hexágono possui 
 
𝐷 =
6 ∙ (6 − 3)
2
= 9⁡𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. 
 
Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa forma, 
 
𝑛 − 3 = 9 
 
𝑛 = 12 
 
Letra B 
 
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10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um 
joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de 
lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia 
(A) triangular. 
(B) quadrangular. 
(C) pentagonal. 
(D) hexagonal. 
(E) decagonal. 
 
Resolução 
 
O número de diagonais é igual ao número de lados. 
 
𝐷 = 𝑛 
 
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
= 𝑛 
 
𝑛 ∙ (𝑛 − 3) = 2𝑛 
 
Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”. 
 
𝑛 − 3 = 2 
 
𝑛 = 5 
 
Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra C 
 
III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com 𝑛 lados é 
𝑆𝑖 = 180° ∙ (𝑛 − 2) 
Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode facilmente entender 
a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo permite 
calcular a soma dos ângulos de qualquer outro polígono convexo. 
Como exemplo, considere o polígono de cinco lados disposto abaixo (pentágono). 
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Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas diagonais 
podemos traçar? 
Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono. 
Embora eu tenha dito “qualquer”, este “qualquer” tem exceção. Cada lado do polígono liga dois 
vértices. Só que os lados não são diagonais. 
Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes de um 
polígono. 
Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em vermelho 
na figura abaixo). 
 
Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este vértice aos 
demais. 
Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamos lados. Não 
podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio. 
Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal quando 
ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2 diagonais a partir dele. 
Abaixo detalhamos as duas diagonais: 
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Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos traçar 
diagonais (onde n é o número de vértices do polígono). 
Por que precisamos subtrair 3? 
Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o próprio vértice 
em análise.→ 
Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n lados: 
 
Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3 triângulos. 
Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos nós formamos um 
pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono fica: 
 
E nós podemos fazer isto para qualquer figura. 
Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós conseguimos traçar 
 diagonais. Com isso, dividimos a figura em triângulos. Logo, a soma dos ângulos 
internos de um polígono de n lados é dada por: 
 
→ 
Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados 
 
 
Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. 
Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de 𝑛⁡lados é igual a: 
𝐴𝑖 =
180° ∙ (𝑛 − 2)
𝑛
 
Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar. 
𝑛 = 3 → 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 
𝑆3 = 180° ∙ (3 − 2) = 180° ∙ 1 = 180° 
Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales 
3n
3n
º540º1803 
3n 2n
º180)2( n
º180)2( n
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𝑛 = 4 → 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 
𝑆4 = 180° ∙ (4 − 2) = 180° ∙ 2 = 360° 
𝑛 = 5 → 𝑝𝑒𝑛𝑡á𝑔𝑜𝑛𝑜 
𝑆5 = 180° ∙ (5 − 2) = 180° ∙ 3 = 540° 
11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, 
com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).180
0. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e 
P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os 
ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o 
total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a: 
a) 5 e 5 
b) 5 e 44 
c) 11 e 44 
d) 5 e 11 
e) 11 e 5 
 
Resolução 
 
O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um 
polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o “n” por “x 
– 3” obtendo (𝑥 − 3 − 2) ∙ 180𝑜. O segundo polígono tem “x” lados, e, portanto, devemos substituir 
o “n” por “x” obtendo (𝑥 − 2) ∙ 180𝑜. Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus 
ângulos internos será (𝑥 + 3 − 2) ∙ 180𝑜. Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, 
temos a seguinte equação: 
 
(𝑥 − 3 − 2) ∙ 180𝑜 + (𝑥 − 2) ∙ 180𝑜 + (𝑥 + 3 − 2) ∙ 180𝑜 = 3.240𝑜 
 
(𝑥 − 5) ∙ 180𝑜 + (𝑥 − 2) ∙ 180𝑜 + (𝑥 + 1) ∙ 180𝑜 = 3.240𝑜 
 
180𝑜 ∙ 𝑥 − 900𝑜 + 180𝑜 ∙ 𝑥 − 360𝑜 + 180𝑜 ∙ 𝑥 + 180𝑜 = 3.240𝑜 
 
540𝑜 ∙ 𝑥 − 1.080𝑜 = 3.240𝑜 
 
540𝑜 ∙ 𝑥 − 1.080𝑜 = 3.240𝑜 
 
540𝑜 ∙ 𝑥 = 4.320𝑜 
 
𝑥 = 8 
 
Portanto, o número de lados de P2 é 8. 
 
O primeiro polígono P1 possui 8 – 3 = 5 lados. 
 
O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado 
por 
 
𝐷 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
 
 
Assim, o número de diagonais de P3 é 
 
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𝐷 =
11 ∙ (11 − 3)
2
= 44 
 
A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF. 
 
 
12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, 
(n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do 
polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, 
respectivamente, iguais a: 
a) 9 e 8 
b) 8 e 9 
c) 9 e 10 
d) 10 e 11 
e) 10 e 12 
 
Resolução 
 
Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida falava-se 
em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa disso. Vamos 
considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono B (esta era a intenção da 
ESAF). 
 
Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma 
medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de 𝑛⁡lados é igual a: 
𝐴𝑖 =
180° ∙ (𝑛 − 2)
𝑛
 
O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º 
(cinco graus). 
𝐴𝑖𝐴 = 𝐴𝑖𝐵 + 5° 
180° ∙ (𝑛𝐴 − 2)
𝑛𝐴
=
180° ∙ (𝑛𝐵 − 2)
𝑛𝐵
+ 5° 
180° ∙ (𝑛 + 1 − 2)
𝑛 + 1
=
180° ∙ (𝑛 − 2)
𝑛
+ 5° 
180° ∙ (𝑛 − 1)
𝑛 + 1
=
180° ∙ (𝑛 − 2)
𝑛
+ 5° 
180° ∙ (𝑛 − 1)
𝑛 + 1
=
180° ∙ (𝑛 − 2) + 5° ∙ 𝑛
𝑛
 
180° ∙ 𝑛 − 180°
𝑛 + 1
=
180° ∙ 𝑛 − 360° + 5° ∙ 𝑛
𝑛
 
180° ∙ 𝑛 − 180°
𝑛 + 1
=
185° ∙ 𝑛 − 360°
𝑛
 
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
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(185° ∙ 𝑛 − 360°) ∙ (𝑛 + 1) = (180° ∙ 𝑛 − 180°) ∙ 𝑛 
185° ∙ 𝑛2 + 185° ∙ 𝑛 − 360° ∙ 𝑛 − 360° = 180° ∙ 𝑛2 − 180° ∙ 𝑛 
Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau. 
5𝑛2 + 5𝑛 − 360 = 0 
Vamos dividir os dois membros da equação por 5. 
𝑛2 + 𝑛 − 72 = 0 
𝑛 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑛 =
−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−72)
2 ∙ 1
 
𝑛 =
−1 ± √289
2
=
−1 ± 17
2
 
Como 𝑛 é positivo, só devemos usar o +. 
𝑛 =
−1 + 17
2
=
16
2
= 8 
Como o polígono X tem 𝑛 + 1 lados, então ele possui 9 lados. 
O polígono Y tem 𝑛 lados, então ele possui 8 lados. 
Poderíamos ter resolvido a equação do segundo grau da seguinte maneira: 
 
 
Um produto entre dois naturais seguidos que dá 72, só poderia ser 8 e 9. 
Letra A 
Questão anulada 
Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a alternativa 
certa. Sabemos que X tem lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, X tem 1 lado a mais 
que Y. 
A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados que X, o que 
é falso. 
 
13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares 
colados. 
722  nn
72)1(  nn
1n
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O valor do ângulo ABC é: 
A) 18o 
B) 20o 
C) 22o 
D) 24o 
E) 26o 
Resolução 
Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com 𝑛 lados utilizamos a fórmula: 
𝑆𝑛 = 180° ∙ (𝑛 − 2) 
Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a: 
𝑆5 = 180° ∙ (5 − 2) = 180° ∙ 3 
𝑆5 = 540° 
Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são eqüiângulos (têm 
todos os ângulos com as mesmas medidas). 
Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540° por 5. 
𝐴 =
540°
5
= 108° 
 
Vamos calcular a medida do ângulo 𝑥: 
𝑥 + 108° + 108° = 360° 
𝑥 + 216° = 360° 
𝑥 = 144° 
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A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 
Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes. 
Vamos chamar os ângulos B e C de 𝑦. 
𝑦 + 𝑦 + 𝑥 = 180° 
2𝑦 + 144° = 180° 
2𝑦 = 36° 
𝑦 = 18° 
Letra A 
 
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4. Classificação dos Triângulos 
 
Os triângulos podem ser classificados: 
i) Quanto aos lados 
Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem os três lados 
congruentes. 
Tem dois lados congruentes. Tem os três lados não- 
congruentes. 
 
Quanto aos ângulos: 
Triângulo Acutângulo Triângulo Retângulo Triângulo ObtusânguloTem três ângulos agudos. Tem um ângulo reto. 
Lados menores: catetos 
Lado maior (oposto ao 
ângulo reto): hipotenusa 
Tem um ângulo obtuso. 
 
Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. 
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo 
oposto é o ângulo do vértice. 
 
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Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é conhecido como 
Pons Asinorum). 
 
 
 
 
 
 
 
 
O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e seus ângulos 
medem 60º. 
Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos ângulos? 
Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo será 
equilátero. 
Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que foi visto no 
início desta página). 
Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno. 
E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados? 
Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut. 
I. Síntese de Clairaut 
 
Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo 
B e o lado c é oposto ao ângulo C. 
 
 
 
 
 
Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo. 
O triângulo é acutângulo se e somente se 𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2. 
BASE 
Ângulos Congruentes 
Ângulo do vértice 
C B 
A 
a 
b c 
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O triângulo é obtusângulo se e somente se 𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐2. 
O triângulo é retângulo se e somente se 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 (esta parte da Síntese de Clairaut é 
conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS). 
14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode 
ser usado apenas uma vez. 
Coluna 1 
1. Triângulo retângulo 
2. Triângulo acutângulo 
3. Triângulo obtusângulo 
Coluna 2 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo. 
a) 1, 2, 3 
b) 3, 2, 1 
c) 2, 3, 1 
d) 3, 1, 2 
e) 2, 1, 3 
Resolução 
Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos ângulos. 
Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut. 
Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado. 
O triângulo é acutângulo se e somente se 𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2. 
O triângulo é retângulo se e somente se 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 (Teorema de Pitágoras). 
O triângulo é obtusângulo se e somente se 𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐2. 
Coluna 1 
1. Triângulo retângulo 
2. Triângulo acutângulo 
3. Triângulo obtusângulo 
Coluna 2 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 
132⁡⁡?⁡⁡⁡62 + 122 
169⁡⁡⁡? ⁡⁡⁡36 + 144 
169 < 180 
O triângulo é acutângulo (2). 
 
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( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 
 
132⁡⁡?⁡⁡⁡52 + 122 
169⁡⁡⁡? ⁡⁡⁡25 + 144 
169 = 169 
O triângulo é retângulo (1). 
 
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 
 
122⁡⁡?⁡⁡⁡62 + 102 
144⁡⁡⁡? ⁡⁡⁡36 + 100 
144 > 136 
O triângulo é obtusângulo (3). 
 
Letra E 
 
15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui 
(A) os três lados com medidas diferentes. 
(B) dois lados com medidas iguais. 
(C) os três lados com medidas iguais. 
(D) um ângulo reto. 
(E) dois ângulos obtusos. 
Resolução 
Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com medidas 
iguais. O gabarito oficial é a letra C. 
Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois lados com 
medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é isósceles. A banca também 
deveria aceitar a letra B. 
Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca 
organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o candidato 
marque a alternativa C. 
16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com 
a mesma medida, é chamado de triângulo 
(A) isósceles 
(B) retângulo 
(C) equilátero 
(D) normal 
(E) escaleno 
Resolução 
Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero. 
Letra C 
 
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17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, 
respectivamente, 𝑎 + 𝑥 e 𝑎 + 𝑦, onde 𝑎, 𝑥⁡𝑒⁡𝑦, são números reais. Sabendo que o ângulo oposto 
ao cateto que mede 𝑎 + 𝑥 é igual a 45º, segue-se que: 
 
a) 𝑦 = −2𝑥 
b) 𝑦 = (3
1
2) 2𝑥 
c) 𝑦 = 3
1
2𝑥 
d) 𝑦 = 𝑥 
e) 𝑦 = 2𝑥 
 
Resolução 
O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a medida do 
terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales, 
𝑥 + 45° + 90° = 180° 
𝑥 = 45° 
Portanto, os ângulos do triângulo são 45º, 45º e 90º. 
Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também possui dois 
lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, podemos 
concluir que os catetos são iguais. 
𝑎 + 𝑥 = 𝑎 + 𝑦 
𝑥 = 𝑦 
Letra D 
 
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5. Teorema de Tales 
 
Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas coisas... 
Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre si. Uma 
reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe de retas 
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os 
respectivos segmentos correspondentes da outra. 
Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que: 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então 
o valor de X será de: 
 
(A) 6 
d 
c 
b 
a 
Feixe de retas 
paralelas 
Transversais 
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(B) 5 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 2 
 
Resolução 
 
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, 
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os 
respectivos segmentos correspondentes da outra. 
Assim, 
 
4
8
=
2𝑥 + 2
5𝑥 − 1
 
 
4 ∙ (5𝑥 − 1) = 8 ∙ (2𝑥 + 2) 
 
20𝑥 − 4 = 16𝑥 + 16 
 
4𝑥 = 20 
 
𝑥 = 5 
Letra B 
 
19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande 
matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales 
poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são 
paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21. 
 
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y. 
a) 36. 
b) 42. 
c) 49. 
d) 96. 
e) 98. 
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Resolução 
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, 
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os 
respectivos segmentos correspondentes da outra.Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao segmento de 
comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30 (10+20) na reta da esquerda 
corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este valor encontra-se no enunciado). Assim, 
10
30
=
𝑦
21
 
Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21). 
30 ∙ 𝑦 = 10 ∙ 21 
30 ∙ 𝑦 = 210 
𝑦 = 7 
Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14. 
 
2𝑥 + 2 = 14 
2𝑥 = 12 
𝑥 = 6 
 
O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42. 
 
Letra B 
 
20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, 
segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas 
paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o 
segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. 
Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: 
a) 6, 30 e 54 
b) 6, 34 e 50 
c) 10, 30 e 50 
d) 14, 26 e 50 
e) 14, 20 e 56 
 
 
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Resolução 
 
Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, 
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os 
respectivos segmentos correspondentes da outra. 
Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta paralela do 
feixe mede 2 + 10 + 18 = 30. O seu segmento correspondente na reta B mede 90 cm (exatamente 
o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 2, 10 e 18 serão exatamente o triplo. 
 
Podemos afirmar que: 
𝑎 = 3 ∙ 2 = 6 
𝑏 = 3 ∙ 10 = 30 
𝑐 = 3 ∙ 18 = 54 
Letra A 
6. Teorema de Pitágoras e suas aplicações 
 
Vamos considerar um triângulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é chamado de 
hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são chamados de catetos. 
c a 
b 
90 
c 
b 
a 
30 
18 
10 
2 
A B 
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Vimos anteriormente que o Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo se e 
somente se 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. 
Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver alguns 
problemas envolvendo diretamente este assunto. 
I. Diagonal do quadrado 
 
Vamos considerar um quadrado de lado ℓ. 
Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados congruentes 
e todos os ângulos congruentes (retos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
𝑑2 = ℓ2 + ℓ2 
𝑑2 = 2ℓ2 
𝑑 = ℓ√2 
Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado 5⁡𝑐𝑚 mede 5√2⁡𝑐𝑚. 
 
II. Altura do triângulo equilátero 
 
Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um vértice e atinge 
o lado oposto formando um ângulo reto. 
Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em dois 
segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o lado do triângulo equilátero é 
igual a ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois segmentos de comprimento ℓ/2. 
 
 
 
 
ℓ 
ℓ 
ℓ 𝑑 
ℓ 
ℓ/2 
ℓ ℎ 
ℓ 
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Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que: 
ℓ2 = ℎ2 + (
ℓ
2
)
2
 
ℓ2 = ℎ2 +
ℓ2
4
 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador. 
4ℓ2 = 4ℎ2 + ℓ2 
3ℓ2 = 4ℎ2 
ℎ2 =
3ℓ2
4
 
ℎ =
ℓ√3
2
 
Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com 4⁡𝑐𝑚 de lado é igual a: 
ℎ =
4√3
2
= 2√3⁡𝑐𝑚 
21. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo 
medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a: 
a) 36 cm 
b) 38 cm 
c) 40 cm 
d) 42 cm 
e) 44 cm 
Resolução 
“O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de mentes 
humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é forçada a 
aprender.” 
Simon Singh 
O Último Teorema de Fermat – Editora Record 
O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar esta frase. 
 
 
 
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Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo: 
 
 
 
A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior 
lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de medida a. Os outros lados, 
adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos. O teorema de Pitágoras afirma que: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa com o 
auxílio do teorema de Pitágoras. 
𝑎2 = 92 + 122 
𝑎2 = 81 + 144 
𝑎2 = 225 
𝑎 = 15 
O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum em 
geometria plana indicar o perímetro por 2𝑝 (desta forma o semiperímetro é indicado por 
𝑝). 
2𝑝 = 9 + 12 + 15 = 36⁡𝑐𝑚 
Letra A 
22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com 
a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na 
primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km 
do cruzamento? 
a) 5 km 
b) 4 km 
c) km 
d) 3 km 
e) km 
 
Resolução. 
24
25
a 
b 
c 
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A figura abaixo representa a situação dada: 
 
Vamos chamar a distância entre os dois carros de x. 
 
O triângulo de lados 3, 4, e x é retângulo. A hipotenusa, que é o maior lado, vale x. Aplicando o 
teorema de Pitágoras, temos: 
 
 
 
Letra A 
 
23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante 
um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou 
no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo 
quebrou-se o poste. 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
Resolução 
222 43 x
251692 x
5x
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O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x metros, então o 
segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do 
poste). 
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. 
𝑥2 + 122 = (18 − 𝑥)2 
𝑥2 + 122 = (18 − 𝑥)2 
𝑥2 + 144 = 324 − 36𝑥 + 𝑥2 
36𝑥 = 324 − 144 
36𝑥 = 180 
𝑥 = 5 
Letra B 
24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura 
relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a 
base medem, respectivamente 
a) 8 m e 10 m. 
b) 12 m e 10 m. 
c) 6 m e 8 m. 
d) 14 m e 12 m. 
e) 16 m e 14 m. 
Resolução 
 
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Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de 
base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-losde x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a 
altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y. 
O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim, 
𝑦 + 𝑦 + 2𝑥 = 36 
2𝑦 + 2𝑥 = 36 
Dividindo ambos os membros por 2, temos 
𝑦 + 𝑥 = 18 
𝑦 = 18 − 𝑥⁡(𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜⁡𝐼) 
Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o 
Teorema de Pitágoras. 
𝑥2 + (2𝑥 + 2)2 = 𝑦2⁡(𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜⁡𝐼𝐼) 
Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações. 
Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa solução. 
Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las. 
Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas. 
Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já podemos descartar 
algumas alternativas: 
a) 8 m e 10 m. 
b) 12 m e 10 m. 
c) 6 m e 8 m. 
d) 14 m e 12 m. 
e) 16 m e 14 m. 
Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m. 
 
Da equação I, temos: 
 
Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida. 
 
 
 
 
5x
xy 18 13 y
222 )22( xxy 
222 5)252(13 
25144169 
169169 
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As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta. 
 
Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal. 
 
𝑦 = 18 − 𝑥⁡(𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜⁡𝐼) 
𝑥2 + (2𝑥 + 2)2 = 𝑦2⁡(𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜⁡𝐼𝐼) 
 
Como 𝑦 = 18 − 𝑥, 
𝑥2 + (2𝑥 + 2)2 = (18 − 𝑥)2 
𝑥2 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 324 − 36𝑥 + 𝑥2 
4𝑥2 + 44𝑥 − 320 = 0 
Dividindo ambos os membros por 4, obtemos: 
𝑥2 + 11𝑥 − 80 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−11 ±√112 − 4 ∙ 1 ∙ (−80)
2 ∙ 1
 
𝑥 =
−11 ± √441
2
 
𝑥 =
−11 ± 21
2
 
Como x > 0, então 
 
𝑥 =
−11 + 21
2
= 5 
 
A base é 2x, logo a base é 
 
𝑏 = 2𝑥 = 2 ∙ 5 = 10 
 
Como a altura é 2x+2, então 
ℎ = 2 ∙ 5 + 2 = 12 
 
Letra B 
 
 
 
25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são 
retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m. 
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Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é: 
a) 15m 
b) 16m 
c) 17m 
d) 19m 
e) 21m 
Resolução 
Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é traçar um 
segmento que ligue estes dois pontos. 
 
 
Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD. 
Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 = 11. 
Está formado o triângulo retângulo ADE. 
O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD. 
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos. 
(𝐴𝐷)2 = 112 + 132 
(𝐴𝐷)2 = 290 
O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 172 = 289, portanto: 
𝐴𝐷 ≅ 17 
4 
9 4 
E 
11 
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Letra C 
26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o 
fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o 
leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, 
aproximadamente: 
a) 7 km 
b) 8 km 
c) 9 km 
d) 10 km 
e) 11 km 
Resolução 
O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final 
do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo. 
 
Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho. 
𝑥2 = 82 + 42 
𝑥2 = 80 
2⁡𝑘𝑚 
11⁡𝑘𝑚 
3⁡𝑘𝑚 
6⁡𝑘𝑚 
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Como 92 = 81, então: 
𝑥 ≅ 9 
Letra C 
7. Semelhança de Triângulos 
 
Observem os dois triângulos da figura abaixo: 
 
Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um zoom. Com 
isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os triângulos são 
semelhantes. Um é o outro “aumentado”. 
Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né? 
Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são semelhantes se e 
somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos 
(correspondentes) proporcionais. 
 
Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é: 
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
= 𝑘 
A constante de proporcionalidade 𝑘 é a chamada razão de semelhança. 
a a’ 
b' c' 
b c 
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Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para chegar no 
maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”. 
Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do triângulo 
pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande. 
 
Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é 𝑘, pode-se afirmar que a razão 
entre as áreas dos triângulos é 𝑘2. 
Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será multiplicada 
por 16 = 4². 
27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um 
terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao 
prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A 
altura do prédio, em metros, é: 
(A) 75 
(B) 45 
(C) 30 
(D) 29 
(E) 25 
Resolução 
 
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: 
𝑥
15
=
5
3
 
3𝑥 = 75 
𝑥 = 25𝑚 
Letra E 
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28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. 
Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra 
da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de 
(A) 6,2 metros. 
(B) 6,6 metros. 
(C) 6,8 metros. 
(D) 7,0 metros. 
(E) 7,2 metros. 
Resolução 
 
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: 
𝑥
5,4
=
80
60
 
60𝑥 = 432 
𝑥 = 7,2𝑚 
Letra E 
29. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma 
forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância 
de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de: 
a) 1,5m 
b) 1,6m 
c) 1,75m 
d) 1,92m 
e) 2,00m 
Resolução 
 
 
 
 
8 
1,6 
6 x 
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Usemos a semelhança dos triângulos: 
𝐵𝑎𝑠𝑒⁡𝑑𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝐵𝑎𝑠𝑒⁡𝑑𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
=
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎⁡𝑑𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎⁡𝑑𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
 
𝑥 + 6
𝑥
=
8
1,6
 
𝑥 + 6
𝑥
= 5 
5𝑥 = 𝑥 + 6 
4𝑥 = 6 
𝑥 = 1,5⁡𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Letra A 
30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8. 
Sabe-se que a área do triânguloT1 é igual a 128 m
2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a 
a) 4 m2. 
b) 16 m2. 
c) 32 m2. 
d) 64 m2. 
e) 2 m2. 
Resolução 
Relembremos uma propriedade importantíssima: 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de 
semelhança. 
Assim, 
128
𝐴𝑇2
= 82 
128
𝐴𝑇2
= 64 
64 ∙ 𝐴𝑇2 = 128 
𝐴𝑇2 = 2 
Letra E 
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31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e 
AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O 
segmento AN mede: 
 
a) 7/4 
b) 2 
c) 9/4 
d) 5/2 
e) 11/4 
Resolução 
Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC. 
(𝐵𝐶)2 = (𝐴𝐵)2 + (𝐴𝐶)2 
(𝐵𝐶)2 = 82 + 62 
(𝐵𝐶)2 = 100 
𝐵𝐶 = 10 
Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm 
um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de 𝛽. O outro ângulo agudo do triângulo ABC 
e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de 𝛼. 
 
 
𝛼 
𝛼 
𝛽 
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Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então 𝐶𝑀 = 𝑀𝐵 = 5. 
Os triângulos ABC e MNB são semelhantes. 
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎⁡𝑑𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝑀𝑁𝐵
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎⁡𝑑𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝐴𝐵𝐶
=
𝐿𝑎𝑑𝑜⁡𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜⁡𝑎⁡𝛼⁡𝑛𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝑀𝑁𝐵
𝐿𝑎𝑑𝑜⁡𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜⁡𝑎⁡𝛼⁡𝑛𝑜⁡𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝐴𝐵𝐶
 
𝐵𝑁
𝐵𝐶
=
𝑀𝐵
𝐴𝐵
 
𝐵𝑁
10
=
5
8
 
8 ∙ 𝐵𝑁 = 5 ∙ 10 
𝐵𝑁 =
50
8
= 6,25 
 
𝐴𝑁 + 𝐵𝑁 = 𝐴𝐵 
𝐴𝑁 + 6,25 = 8 
𝐴𝑁 = 1,75 =
175
100
=
7
4
 
Letra A 
8. Quadriláteros 
 
De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a 
soma dos ângulos internos é igual a 360º. 
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os 
quadrados. 
 
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I. Trapézios 
 
Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados paralelos do 
trapézio são as bases. 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os dois lados que não são bases, temos: 
- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes. 
- trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos. 
 
 
 
 
 
 
Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º). 
 
 
 
 
 
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑 = 180° 
Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. 
Base Menor (b) 
Base Maior (B) 
c b 
d a 
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O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de 
base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases. 
 
 
 
 
 
 
𝐵𝑀 =
𝐵 + 𝑏
2
 
A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma: 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2
 
Onde ℎ é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases. 
II. Paralelogramo 
 
Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos. 
 
 
 
 
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes são 
suplementares (a soma é 180º). 
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. 
As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. 
A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases. 
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 
a a 
b b 
Base Menor (b) 
Base Maior (B) 
BM 
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III. Losango 
 
Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes (quadrilátero 
equilátero). 
Todo losango é um paralelogramo. 
As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos 
paralelogramos. 
A área do losango é o semi-produto das diagonais. 
𝐴 =
𝐷 × 𝑑
2
 
IV. Retângulo 
 
Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos. 
O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida). 
 
Todos os retângulos são paralelogramos. 
As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de 
Pitágoras. 
 
 
 
 
d 
b 
a 
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𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 
A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura). 
𝐴 = 𝑎 × 𝑏 
V. Quadrado 
 
Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo (quadrilátero regular). 
Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes. 
Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo e losango. 
Já vimos que um quadrado de lado ℓ tem diagonal com medida ℓ√2. 
A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado. 
𝐴 = ℓ2 
32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro 
recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 
36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de: 
 
(A) 2m e 18m 
(B) 20m e 6m 
(C) 4m e 9m 
(D) 3m e 12m 
(E) 10m e 16m 
Resolução 
 
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que 
𝑥 ∙ 𝑦 = 36⁡⁡⁡⁡⁡(𝐼) 
Como o perímetro é igual a 26m, então 
2𝑥 + 2𝑦 = 26 
Dividindo ambos os membros por 2, temos 
𝑥 + 𝑦 = 13 
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Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as 
alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as 
condições do problema. 
𝑥 + 𝑦 = 13 
𝑦 = 13 − 𝑥 
Substituindo essa expressão na equação (I): 
𝑥 ∙ 𝑦 = 36⁡⁡⁡⁡⁡(𝐼) 
𝑥 ∙ (13 − 𝑥) = 36 
13 ∙ 𝑥 − 𝑥2 = 36 
𝑥2 − 13𝑥 + 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(−13) ± √(−13)2 − 4 ∙ 1 ∙ 36
2 ∙ 1
 
𝑥 =
13 ± √169 − 144
2
 
𝑥 =
13 ± 5
2
 
Assim, 𝑥 = 9 ⇒ 𝑦 = 13 − 9 = 4 
Ou 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 13 − 4 = 9. 
Logo, as dimensões são 4m e 9m. 
Letra C 
33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois 
quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos 
lados x e y desses quadrados são, respectivamente: 
 
Obs.:Figuras fora de escala. 
(A) 3m e 4m 
(B) 3,5m e 3,5m 
(C) 5m e 2m 
(D) 7m e 7m 
(E) 20m e 8m 
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Resolução 
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. 
Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ
2
. 
A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado 
é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que 
4𝑥 + 4𝑦 = 28 
Dividindo ambos os membros por 4, temos 
𝑥 + 𝑦 = 7 
Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A. 
Isolando o y: 
𝑦 = 7 − 𝑥 
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmosos valores das incógnitas: 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 
𝑥2 + (7 − 𝑥)2 = 25 
𝑥2 + 49 − 14𝑥 + 𝑥2 = 25 
2𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0 
Dividindo ambos os membros por 2, 
𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(−7) ± √(−7)2 − 4 ∙ 1 ∙ 12
2 ∙ 1
 
𝑥 =
7 ± 1
2
 
Assim, 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 3 
Ou 𝑥 = 3 ⇒ 𝑦 = 4 
Assim, as dimensões são 3m e 4m. 
Letra A 
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34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e 
seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo: 
 
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo 
ABCD é: 
a) 15. 
b) 24. 
c) 30. 
d) 32. 
e) 40. 
 
Resolução 
 
A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O 
comprimento da base AD já foi fornecido: 8. 
Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as 
bases: o segmento BE. 
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula 
passada) no triângulo ABE. 
 
Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é 
retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa. 
 
Assim, 
𝑥2 + 32 = 52 
𝑥2 + 9 = 25 
𝑥2 = 16 
𝑥 = 4 
Assim, a área do paralelogramo é dada por 
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Á𝑟𝑒𝑎 = (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜⁡𝑑𝑎⁡𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜⁡𝑑𝑎⁡𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = 8 ∙ 4 = 32 
Letra D 
35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 
44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: 
(A) 600. 
(B) 550. 
(C) 500. 
(D) 450. 
(E) 400 
Resolução 
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. 
 
Lembremos a fórmula da área de um trapézio: 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2
 
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos 
projetar a base menor sobre a base maior. 
 
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é 
igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 – 
x – 16 = 28 – x. 
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda: 
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𝑥2 + ℎ2 = 172 
𝑥2 + ℎ2 = 289⁡⁡⁡⁡⁡⁡(𝐼) 
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita: 
(28 − 𝑥)2 + ℎ2 = 252 
784 − 56𝑥 + 𝑥2 + ℎ2 = 625 
Sabemos por (I) que 𝑥2 + ℎ2 = 289. 
Assim, 
784 − 56𝑥 + 289 = 625 
1.073 − 56𝑥 = 625 
56𝑥 = 448 
𝑥 = 8 
Voltemos para (I). 
𝑥2 + ℎ2 = 289⁡⁡⁡⁡⁡⁡(𝐼) 
 
82 + ℎ2 = 289 
 
ℎ2 = 289 − 64 
 
ℎ2 = 225 
 
ℎ = 15⁡𝑚 
 
A fórmula da área de um trapézio: 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2
 
 
𝐴 =
(44 + 16) ∙ 15
2
=
60 ∙ 15
2
= 450⁡𝑚2 
Letra D 
9. Circunferência e Círculo 
 
Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado 
(centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro do raio é denominado 
diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem as duas extremidades no círculo 
e que passa pelo seu centro. 
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Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é uma região 
do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo. 
Como a circunferência é uma linha, podemos calcular o seu comprimento. 
Como o círculo é uma região, podemos calcular a sua área. 
Existe um número muito famoso em matemática chamado 𝜋 (pi). Este é um número 
irracional e suas primeiras casas decimais são: 
𝜋 = 3,1415926535… 
Pois bem, o comprimento da circunferência é dado por: 
𝐶 = 2𝜋𝑟 
A área do círculo é dada por: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 
36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências 
com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas. 
 
As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O raio da 
circunferência de centro A é: 
a) 24 
b) 23 
c) 22 
d) 21 
e) 20 
r 
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Resolução 
Havendo circunferências tangentes, é importantíssimo ligar os centros. 
 
AB = 34, BC = 18 e CA = 30 
Temos o seguinte sistema: 
𝑎 + 𝑏 = 34 
𝑏 + 𝑐 = 18 
𝑎 + 𝑐 = 30 
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema 
com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três 
incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita 
escolhida por você. 
iii) Some as três equações. 
Nosso objetivo é calcular o raio da circunferência de centro A. Logo, queremos calcular o 
valor de 𝑎. 
O termo 𝑎 não aparece na segunda equação. Portanto, multiplicaremos os dois membros 
da segunda equação por -1. Em seguida somaremos as três equações. Desta forma, 
𝑏⁡𝑒⁡𝑐⁡serão cancelados. 
𝑎 + 𝑏 = 34 
−𝑏 − 𝑐 = −18 
𝑎 + 𝑐 = 30 
𝑎 + 𝑎 = 34 − 18 + 30 
2𝑎 = 46 
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𝑎 = 23 
Letra B 
37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O 
perímetro do quadrado é igual a: 
a) 32 
b) 28 
c) 24 
d) 20 
e) 16 
Resolução 
A área de um círculo de raio r é igual a 𝐴 = 𝜋𝑟2. 
Como a área é igual a 16𝜋, então 
𝜋𝑟2 = 16𝜋 
𝑟2 = 16 
𝑟 = 4 
O círculo está inscrito em um quadrado. 
 
Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro). 
Assim, ℓ = 2 ∙ 4 = 8. 
O perímetro do quadrado é igual a 
2𝑝 = ℓ+ ℓ+ ℓ+ ℓ = 4 ∙ ℓ = 4 ∙ 8 = 32 
Letra A 
38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m 
“cortado” por um arco de circunferência. 
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Considerando 𝜋=3,14, a área da região pintada de preto é 
de 
(A) 7,74m² 
(B) 7,98m² 
(C) 8,42m² 
(D) 8,86m² 
(E) 9,12m² 
 
Resolução 
 
A área de um quadrado de lado 𝓵 é igual a 𝓵𝟐. A área de uma circunferência de raio 𝒓 é igual 
a 𝝅𝒓𝟐. 
 
Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de 
preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é 
igual à área do círculo dividida por 4. 
 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜/4 = ℓ
2 −
𝜋𝑟2
4
= 62 −
3,14 ∙ 62
4
= 7,74 
 
Letra A 
 
39. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8 cm de 
lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio. 
 
 
A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente: 
a) 11% 
b) 14% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 24% 
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Resolução 
Vamos lembrar as fórmulas das áreas do quadrado e do círculo. 
A área de um quadrado de lado 𝑙 é igual a 𝑙2. 
Portanto, a área do quadrado é igual a 82 = 64⁡𝑐𝑚2. 
A área de um círculo de raio 𝑟 é igual a⁡𝜋𝑟2. (𝜋 = 3,1415926535… ) 
Portanto, a área do círculo é igual a 𝜋 ∙ 22 = 4𝜋 ≅ 4 ∙ 3,14 = 12,56𝑐𝑚2 
Para calcular a porcentagem dasuperfície do ladrilho que está pintada de cinza devemos 
dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por 100%. 
12,56
64
∙ 100% =
1256
64
% = 19,625% 
Letra D 
40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um 
quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a 
circunferência toca o quadrado. 
 
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir: 
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da 
área total do quadrado. 
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado. 
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito 
por sobre os lados do quadrado. Assinale: 
(A) se somente a afirmativa I estiver correta. 
(B) se somente a afirmativa II estiver correta. 
(C) se somente a afirmativa III estiver correta. 
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
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(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
Resolução 
Se o raio da circunferência for igual a 𝑟, então o lado do quadrado é igual a 2𝑟. 
Comprimento da circunferência: 𝐶 = 2𝜋r 
Área do círculo: 𝐴𝑐 = 𝜋𝑟
2 
Área do quadrado: 𝐴𝑞 = ℓ
2 = (2𝑟)2 = 4𝑟2 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da 
área total do quadrado. 
 
Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos calcular a 
diferença entre a área do quadrado e a área do círculo. 
𝐴𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 = 𝐴𝑞 − 𝐴𝑐 
𝐴𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 = 4𝑟
2 − 𝜋𝑟2 
Usando uma boa aproximação para o número 𝜋 = 3,14: 
𝐴𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 ≅ 4𝑟
2 − 3,14𝑟2 = 0,86𝑟2 
Como á área do quadrado é 4𝑟2, então a metade da área do quadrado é 2𝑟2. 
Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade 
da área total do quadrado. 
0,86𝑟2 < 2𝑟2 
O item é verdadeiro. 
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado. 
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O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a 𝑟. A distância AO pode 
ser calculada pelo Teorema de Pitágoras: 
(𝐴𝑂̅̅ ̅̅ )2 = 𝑟2 + 𝑟2 
(𝐴𝑂̅̅ ̅̅ )2 = 2𝑟2 
𝐴𝑂̅̅ ̅̅ = 𝑟√2 
Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado do 
quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao raio da 
circunferência e 𝑟√2 > 𝑟. 
O item é falso. 
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito 
por sobre os lados do quadrado. 
 
𝑟 
𝑟 
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O percurso PRQ feito por cima da circunferência equivale a 1/2 do comprimento da 
circunferência. 
1
2
∙ 2𝜋𝑟 =
2𝜋𝑟
2
≅ 3,14 ∙ 𝑟 
O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado: 
 
Este comprimento é igual a 𝑟 + 𝑟 + 𝑟 + 𝑟 = 4𝑟. 
Como 3,14𝑟 < 4𝑟, o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto 
do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro. 
Letra D 
41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB 
e AC. 
 
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: 
A) 0,5 
B) 0,6 
C) 0,8 
D) 1 
E) 1,2 
Resolução 
Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência. 
𝑟 
𝑟 𝑟 
𝑟 
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Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência é a 
metade da área de uma circunferência. 
𝑅 =
𝜋𝑟1
2
2
=
𝜋 ∙ 12
2
 
𝑅 =
𝜋
2
 
Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a: 
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 2 + 1 = 3 
Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual a 3/2. 
A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região R. 
𝑆 =
𝜋𝑟2
2
2
− 𝑅 
𝑆 =
𝜋 ∙ (
3
2)
2
2
−
𝜋
2
=
𝜋 ∙
9
4
2
−
𝜋
2
 
𝑆 =
9𝜋
8
−
𝜋
2
=
9𝜋 − 4𝜋
8
 
𝑆 =
5𝜋
8
 
A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: 
𝑅
𝑆
=
𝜋
2
5𝜋
8
=
𝜋
2
∙
8
5𝜋
=
8
10
= 0,8 
Letra C 
42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está 
encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De 
quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na 
superfície? 
a) 5 
b) 7,5 
c) 5 + 
d) 
e) 10. 
 
Resolução. 
2/25
25
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Uma esfera é uma figura com formato de uma bola de futebol. Um cone é uma figura com formato 
daqueles “chapéus de palhaço” que vemos em festa de aniversário de criança. 
Segue o desenho de um cone: 
 
A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo. 
A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma superfície 
horizontal. 
 
A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem 5). 
 
Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca o 
solo). 
Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles estão ao 
longo de uma mesma horizontal. 
Com isso, o segmento PQ tem medida igual à d. 
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Seja R o ponto em que a circunferência toca o cone: 
 
O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência é de 90º. 
Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º: 
 
Agora vamos observar o triângulo PST na figura abaixo: 
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O segmento PS é altura. Portanto, é perpendicular ao solo. Logo, o triângulo é retângulo. O 
ângulo PST, também destacado em vermelho, é de 90º. 
 
O segmento ST corresponde ao raio da base do cone. Logo, seu comprimento é 5. Com isso, o 
triângulo PST é isóceles, pois possui dois lados iguais entre si, com ambos valendo 5 cm. 
Como o triângulo PST é isóceles, então os outros dois ângulos deste triângulo devem ser iguais 
entre si. Lembrando que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, temos que cada um dos 
ângulos restantes, destacados em azul, valem 45º. 
 
O ângulo entre os segmentos PS e PQ é de 90º (pois é um ângulo entre uma vertical e uma 
horizontal). 
Como o ângulo SPR é de 45º (ver figura acima), o ângulo restante, RPQ, também é de 45º, para 
que a soma entre ambos seja de 90º. 
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Agora vamos analisar o triângulo PRQ. Ele também é retângulo. Já sabemos dois de seus 
ângulos. Um vale 45º e outro vale 90º (ver figura acima). 
Logo, o ângulo restante deve ser de 45º, para que a soma dê 180º. 
 
Disto resulta que o triângulo PQR tem dois ângulos de 45º. Logo, é um triângulo isósceles. 
Apresenta dois lados iguais. Portanto, os segmentos RQ e RP têm a mesma medida. 
Como RQ é raio da circunferência, vale 5 cm. 
 
O triângulo PQR é retângulo. Portanto, obedece ao teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Letra D 
222 55 d
2252 d
25d
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