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Matemática do Zero 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA E 
 DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
• A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas 
grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para não vacilar, 
temos que montar um esquema com base na análise das colunas 
completas em relação à coluna do “x”. 
• Usaremos um método simples e direto que ao contrário dos métodos 
tradicionais não analisa se as grandezas são diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
• E a Regra é clara: 
O sinal indica quem fica no NUMERADOR da fração, ou seja, se 
aparecer o sinal de + fica o MAIOR valor da coluna, se aparecer o sinal 
de – fica o MENOR valor da coluna. 
 
Regra de Três Composta 
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. Em 5 horas, 
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³? 
 
Exemplo: 
Solução: organizando os dados em colunas : 
 
• Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 
dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 
 
Exemplo: 
Solução: organizando os dados em colunas : 
 
Num acampamento, 10 escoteiros consumiram 4 litros de água em 6 
dias. Se fossem 7 escoteiros, em quantos dias consumiriam 3 litros de 
água? 
a) 6,52 
b) 6,50 
c) 6,45 
d) 6,42 
e) 6,40 
 
COMO AS BANCAS 
COBRAM ISSO? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESAF 
Um tratorista trabalhando 8 horas por dia gradeia 100 hectares em 10 dias. 
Nas mesmas condições quantos hectares ele gradeará em 6 dias trabalhando 
10 horas por dia? 
 
 a) 60 
 b) 75 
 c) 80 
 d) 90 
 e) 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CESGRANRIO 
Uma máquina produz 1.200 peças em 4 horas. Quantas máquinas iguais a 
essa devem funcionar juntas, durante 3 horas, para que sejam produzidas 
8.100 peças no total? 
 a) 5 
 b) 6 
 c) 7 
 d) 8 
 e) 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESAF 
Em 18 horas, 2 servidores analisam 15 processos. Trabalhando no mesmo 
ritmo, o número de servidores necessários para analisar 10 processos em 6 
horas é igual a 
 a) 4. 
 b) 6. 
 c) 5. 
 d) 3. 
 e) 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CESGRANRIO 
Dois televisores idênticos de 29 polegadas, ligados 5 horas por dia, 
consomem, em 30 dias, a mesma quantidade de energia elétrica consumida 
por um único desses televisores ligado 4 horas diárias durante x dias. O valor 
de x é 
 a) 48 
 b) 60 
 c) 75 
 d) 80 
 e) 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CESPE 
A respeito de proporções e regra de três, julgue o próximo item. 
Se 8 alfaiates que trabalham em um mesmo ritmo confeccionarem 36 blusas 
em 9 horas de trabalho, então 10 alfaiates, com a mesma produtividade dos 
outros 8, confeccionarão, em 8 horas de trabalho, mais de 45 blusas. 
 Certo 
 Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FCC 
Em um dia de trabalho, 35 funcionários de um escritório consomem 42 
copos de café. Admitindo-se uma redução para a metade do consumo de 
café diário por pessoa, em um dia de trabalho 210 funcionários consumiriam 
um total de copos de café igual a 
 a) 175. 
 b) 126. 
 c) 145. 
 d) 350. 
 e) 252. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FCC 
O trabalho de varrição de 6.000 m² de calçadas é feita em um dia de 
trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um 
dia, trabalhando por dia, o tempo de 
 a) 8 horas e 15 minutos. 
 b) 9 horas. 
 c) 7 horas e 45 minutos. 
 d) 7 horas e 30 minutos. 
 e) 5 horas e 30 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CESPE 
Determinada construtora emprega 200 empregados na construção de 
cisternas em cidades assoladas por seca prolongada. Esses empregados, 
trabalhando 8 horas por dia, durante 3 dias, constroem 60 cisternas. 
Com base nessas informações e considerando que todos os empregados 
sejam igualmente eficientes, julgue o item que segue. 
Se todos os empregados trabalharem 12 horas por dia durante2 dias, então 
eles construirão, nesse período, mais de55 cisternas. 
 
 Certo 
 Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESAF 
Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas 
por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, 
trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os 
primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? 
 a) 24 
 b) 16 
 c) 30 
 d) 15 
 e) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FCC 
Em uma campanha publicitária, foram encomendados, em uma gráfica, 
quarenta e oito mil folhetos. O serviço foi realizado em seis dias, utilizando 
duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. Dado o sucesso da 
campanha, uma nova encomenda foi feita, sendo desta vez de setenta e dois 
mil folhetos. Com uma das máquinas quebradas, a gráfica prontificou-se a 
trabalhar doze horas por dia, entregando a encomenda em: 
7 dias 
8 dias 
10 dias 
12 dias 
15 dias 
• Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL como uma forma de 
divisão na qual se determinam valores que, divididos por quocientes 
previamente determinados, mantêm-se uma razão constante (que não 
tem variação). 
• Iremos estudar os principais casos de Divisão Proporcional que caem em 
prova. 
Divisão Proporcional 
Caso 1: Dividir em partes diretamente proporcionais à valores inteiros. 
Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2,3 e 4. 
 
Divisão Proporcional 
Caso 2: Dividir em partes diretamente proporcionais com algum valor 
fracionário. 
Dividir o número 405 em partes diretamente proporcionais a 2/3 , 3/4 e 
5/6. 
 
Divisão Proporcional 
Caso 3: Dividir em partes inversamente proporcionais. 
Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 2 e 5. 
 
 
Divisão Proporcional 
Caso 4: Dividir em partes simultaneamente proporcionais. 
Dividir o número 148 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 8 e 
inversamente proporcionais a 1/4 , 2/3 e 0,4. 
 
 
 
 
Divisão Proporcional 
Uma herança foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente 
proporcionais às suas idades, que são 32, 38 e 45.Se o mais novo 
recebeu R$ 9.600, quanto recebeu o mais velho? 
 
 
Uma empresa dividiu os lucros entre seus sócios, proporcionais a 7 e 11. 
Se o 2º sócio recebeu R$ 20 000 a mais que o 1º sócio, quanto recebeu 
cada um? 
 
 
• Caso Particular 
• João, sozinho, faz um serviço em 10 dias. Paulo, sozinho, faz o mesmo serviço 
em 15 dias. Em quanto tempo fariam juntos esse serviço? 
Primeiramente, temos que padronizar o trabalho de cada um. Neste caso já 
esta padronizado, pois ele fala no trabalho completo, o que poderia ser dito a 
metade do trabalho feito em um certo tempo. 
Se João faz o trabalho em10 dias, isso significa que ele faz 1/10 do trabalho por 
dia. 
Na mesma lógica, Paulo faz 1/15 do trabalho por dia. 
Juntos o rendimento diário é de 1/10 +1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 
Se em um dia eles fazem 6 do trabalho em 6 dias os dois juntos completam o 
trabalho. 
 
Divisão Proporcional 
• Caso Particular 
Sempre que as capacidades forem diferentes, mas o serviço a ser feito for o 
mesmo,seguimos a seguinte regra: 
• 1 + 1 = 1 
 t1 t2 tT (tempo total) 
 
 
Divisão Proporcional 
Uma torneira enche um tanque em 3h, sozinho. Outra torneira enche o mesmo 
tanque em 4h, sozinho. Um ralo esvazia todo o tanque sozinho em 2h. Estando 
o tanque vazio, as 2 torneiras abertas e o ralo aberto, em quanto tempo o 
tanque encherá? 
 
 
 
COMO AS BANCAS 
COBRAM ISSO? 
 
 
O lucro da empresa de Ana, Beto e Carina é dividido em partes 
diretamente proporcionais aos capitais que eles empregaram. Sabendo-
se que o lucro de um determinado mês foi de 60 mil reais e que os 
capitais empregados por Ana, Beto e Carina foram, respectivamente, 40 
mil reais, 50 mil reais e 30 mil reais, calcule a parte do lucro que coube a 
Beto. 
 
 a) 20 mil reais 
 b) 15 mil reais 
 c) 23 mil reais 
 d) 25 mil reais 
 e) 18 mil reais 
 
ESAF 
 
 
 
 
 
 
 
 
CESGRANRIO 
Ao receber seudécimo terceiro salário, Mário o dividiu em duas partes, 
diretamente proporcionais a 4 e a 7. Ele depositou a menor parte na 
poupança e gastou o restante em compras de Natal. Se Mário depositou R$ 
560,00 na poupança, quanto ele recebeu de décimo terceiro salário, em 
reais? 
 a) 800,00 
 b) 960,00 
 c) 1.200,00 
 d) 1.400,00 
 e) 1.540,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
CESGRANRIO 
Mariana e Laura compraram um saco com 120 balas que custava R$ 7,50. 
Laura contribuiu com R$ 4,50, e Mariana, com o restante. Se as balas forem 
divididas em partes diretamente proporcionais ao valor pago por cada 
menina, com quantas balas Mariana ficará? 
 a) 36 
 b) 48 
 c) 54 
 d) 72 
 e) 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESAF 
Ao se dividir o número 400 em valores diretamente proporcionais a 1, 2/3 
e 5/3, obtém-se, respectivamente: 
 a) 120, 80 e 200 
 b) 360, 240 e 600 
 c) 60, 40 e 100 
 d) 40, 80/3 e 200/3 
 e) 100, 40 e 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
CESGRANRIO 
A final da Copa do mundo de 2014 foi disputada entre Alemanha e Argentina no 
Maracanã, que tem capacidade para 80 mil espectadores. 
Supondo-se que o estádio estivesse lotado, que exatamente 26 mil espectadores não 
fossem argentinos nem alemães, e que, para cada 5 alemães houvesse 7 argentinos, 
qual o total de argentinos presentes no estádio? 
 a) 22.500 
 b) 24.000 
 c) 26.000 
 d) 30.000 
 e) 31.500 
 
Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir 
esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas 
respectivas idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a 
idade do segundo, em anos, é 
 a) 35 
 b) 33 
 c) 32 
 d) 31 
 e) 30 
 
 
 
FCC 
 
Uma escola terá 120 alunos, que deverão ser divididos em 3 (três) turmas, segundo o 
tamanho em m² de cada sala. A sala A tem 40m², a sala B tem 80m² e a sala C tem 
120m². Indique abaixo a opção correta. 
 a) A = 15, B = 45 e C = 60. 
 b) A = 15, B = 40 e C = 65. 
 c) A = 20, B = 45 e C = 55. 
 d) A = 15, B = 50 e C = 55. 
 e) A = 20, B = 40 e C = 60. 
 
 
 
 
 
ESAF 
 
Três auxiliares receberam a tarefa de organizar 675 pastas em armários. 
Decidiram dividir o total de pastas entre eles, em partes diretamente 
proporcionais ao número de horas diárias que dedicariam a esse 
trabalho. Se o primeiro dedicou 2 horas diárias, o segundo, 3 horas e o 
terceiro, 4 horas, o número de pastas que o primeiro recebeu foi: 
 a) 150 
 b) 200 
 c) 225 
 d) 280 
 e) 300 
 
 
 
 
 
FCC 
 
Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de 
abertura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com 
R$ 12.000,00; e Denise, com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão 
distribuídos de forma diretamente proporcional à participação financeira de cada um 
dos sócios no ato de abertura da loja. A partir dessas informações, julgue o item a 
seguir. 
Se o lucro obtido ao final de determinado mês for igual a R$ 7.000,00, então a parcela 
de Cláudia no lucro será superior a R$ 1.700,00 nesse mês. 
 Certo 
 Errado 
 
 
 
 
 
 
CESPE 
 
Paula e Renata gastaram, juntas, R$ 48,00 na compra de bilhetes de uma 
loteria, sendo que Paula contribuiu com R$ 12,00 dessa quantia. As duas 
foram sorteadas, ganhando um prêmio de R$ 120.000,00. Na partição 
desse prêmio entre elas, que foi feita proporcionalmente ao dinheiro que 
cada uma deu na compra dos bilhetes, Renata ficou com 
 a) R$ 90.000,00. 
 b) R$ 75.000,00. 
 c) R$ 86.000,00. 
 d) R$ 84.000,00. 
 e) R$ 92.000,00. 
 
 
 
 
FCC 
 
Para proceder à fusão de suas empresas, os proprietários A, B e C 
decidem que as partes de cada um, na nova sociedade, devem ser 
proporcionais ao faturamentos de suas empresas no ano de 2014, que 
foram, respectivamente, de R$ 120.000,00; R$ 135.000,00 e R$ 
195.000,00. Então, se a empresa resultante da fusão lucrar R$ 240.000,00 
em 2016, a parte desse lucro devida ao sócio A foi de 
 a) R$.110.000,00. 
 b) R$ 72.000,00. 
 c) R$ 64.000,00. 
 d) R$ 60.000,00. 
 e) R$ 80.000,00. 
 
 
 
FCC 
 
 Considerando que as idades de 3 pessoas sejam númerosdiretamente 
proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo quea soma das idades 
dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue o itemsubsequente. 
A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62. 
 
 Certo 
 Errado 
CESPE 
 
 No Brasil, os clientes de telefonia móvel podem optar pelos sistemas 
pré-pago ou pós-pago. Em certa empresa de telefonia móvel, 17 em cada 20 
clientes utilizam o sistema pré-pago. Sendo assim, o número de clientes que 
utilizam o sistema pré-pago supera o número de clientes do pós-pago em 
24,36 milhões. Quantos milhões de clientes são atendidos por essa empresa? 
 
 a) 29,58 
 b) 30,25 
 c) 31,20 
 d) 32,18 
 e) 34,80 
CESGRANRIO 
 
Márcia e Lúcio trabalham como digitadores em uma empresa de 
telemarketing. Márcia, mais experiente, consegue digitar o cadastro de 
um cliente em 3 minutos, enquanto Lúcio leva 5 minutos para realizar a 
mesma tarefa. Trabalhando juntos, o tempo mínimo que os dois gastarão 
para digitar o cadastro de um grupo de 120 clientes é igual a 
 a) 5 horas. 
 b) 1 hora e 4 minutos. 
 c) 4 horas e 15 minutos. 
 d) 6 horas. 
 e) 3 horas e 45 minutos. 
 
 
 
 
 
FCC 
 
Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a 
segunda, em 8 horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 
torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, em quanto tempo o 
tanque ficará cheio? 
 
 a) 10 horas e 40 minutos 
 b) 13 horas e 20 minutos 
 c) 14 horas e 30 minutos 
 d) 11 horas e 50 minutos 
 e) 12 horas e 10 minutos 
 
 
 
 
ESAF 
	Matemática do Zero�
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