APOSTILA - Desenho Geométrico 9ºANO

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1 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
2 
 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
 
Arco Capaz 
Dado um segmento AB e um ângulo , chamamos de arco capaz de  (ou arco capaz de enxergar ) ao lugar 
geométrico dos pontos sob os quais se vê o segmento AB segundo o ângulo . 
 
Exercícios: 
1) Construa um arco capaz de enxergar o segmento AB sob um ângulo de 60o, sendo dado m(AB) = 4 cm 
(40mm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construção Passo a Passo: 
1) Trace o segmento AB 
2) Ache a mediatriz de AB 
3) Construa um ângulo  em A, obtendo uma semirreta. 
4) Obtenha uma semirreta perpendicular à semirreta 
obtida em 3. 
5) O ponto de encontro entre a semirreta obtida em 4 e 
a mediatriz obtida em 2 é o centro do arco capaz 
desejado. 
3 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
2) Construa um arco capaz de enxergar o segmento AB sob um ângulo de 120o, sendo dado m(AB) = 3 cm (30mm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Construa um par de arcos capazes de enxergar o segmento AB sob um ângulo de 80o, sendo dado m(AB) = 5 cm 
(50mm). 
4 
 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
4) Construa um par de arcos capazes de enxergar o segmento AB sob um ângulo de 80o, sendo dado m(AB) = 7 cm 
(70mm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
 
Tangência 
Duas curvas são ditas tangentes se, tocando-se, geram um único ponto de encontro denominado ponto de 
tangência. 
São casos de tangência: 
1) Entre reta e circunferência 2) Entre duas circunferências, externamente 
 
3) Entre duas circunferências, internamente 4) Entre uma reta e várias circunferências 
 
5) Entre várias retas e várias circunferências 
 
6 
 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
Exercícios 
1) Construa uma reta t tangente à circunferência dada, conhecendo-se o ponto de tangência T. 
 
 
 
 
 
 + 
 + T 
 
 
 
2) Construa uma circunferência de raio r (m(r) = 2cm) que tangencia a reta r no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
Passo a Passo 
1) Construa a reta 
normal n (reta 
que passa pelo 
Centro O e pelo 
ponto T). 
2) Construa a reta t 
perpendicular à 
reta normal n. 
P 
Passo a Passo 
1) Construa uma 
reta t 
perpendicular à 
reta r no ponto 
P. 
2) Marque o centro 
O na reta t, 2 cm 
distante do 
ponto P. 
3) Trace a 
circunferência 
com raio 2 cm e 
centro em O. 
r 
7 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
3) Construa a circunferência de raio r = 1,5 cm, tangente à reta t e que passa pelo ponto P não pertencente à reta 
t. 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
4) Construa duas circunferências tangente à circunferência dada no ponto P, ambas de raio 12mm, uma 
internamente e outra externamente. 
 
 
 
 
 
 + 
 + T 
 
 
 
 
Passo a Passo 
1) Construa a reta normal n 
(reta que passa pelo 
Centro O e pelo ponto T). 
2) Marque na reta normal n 
os centros das 
circunferências desejadas, 
um internamente e outro 
externamente, ambos 
distando 12 mm do ponto 
P. 
3) Trace as circunferências. 
P 
Passo a Passo 
1) Construa uma reta 
paralela à reta t e que 
diste 1,5 cm desta. 
2) Construa uma 
circunferência de 
centro P e raio 1,5 cm. 
3) Trace as 
circunferências com 
centro nos pontos de 
encontro entre a 
circunferência obtida 
em 2 e a reta obtida 
em 1 e raio 1,5 cm. 
t 
8 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
5) Construa uma circunferência tangente às retas r e t paralelas dadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
6) Construa uma circunferência tangente a duas retas r e t concorrentes, sendo dado um ponto de tangência. 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
Passo a Passo 
1) Construa a bissetriz do 
ângulo formado pelas duas 
retas. 
2) Construa uma reta 
perpendicular à reta r em 
P. 
3) Construa a circunferência 
desejada com centro no 
ponto de encontro da 
bissetriz com a reta obtida 
em 2 e raio igual à 
distância entre o centro e 
P. 
P 
Passo a Passo 
4) Construa uma reta 
perpendicular à reta r 
no ponto P, obtendo o 
ponto P´. 
5) Obtenha o ponto 
médio do segmento 
PP´. 
6) Trace a circunferência 
com centro no ponto 
médio obtido em 2 e 
raio igual à distância 
entre o ponto médio e 
P. 
P 
r 
t 
r 
t 
9 
 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
7) Arredondamento de cantos de um retângulo, dado raio = 1,5 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo a Passo 
1) Marque a partir de cada vértice do retângulo 1,5 cm em cada um dos dois lados perpendiculares. 
2) A partir destes vértices, determine o vértice restante de cada quadrado em cada canto do retângulo. 
3) Trace as circunferências com centro nos vértices obtidos em 2 e raios 1,5 cm. 
10 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
Composição Livre: 
Use este espaço para compor livremente uma figura ou um desenho utilizando os conceitos estudados (Arco Capaz 
e Tangências). Você pode colorir à sua vontade como material que desejar. 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
Concordância: 
Dizemos que existe concordância entre um segmento de reta e um arco ou entre dois arcos se eles se unem 
formando uma linha contínua, sem ângulos ou quinas. 
Concordância é uma aplicação de tangência e pode ser construída a partir da construção de retas tangentes à 
circunferências e de circunferências tangentes, umas às outras. 
 
 
Exercícios 
1) Construa um arco de circunferência em concordância com o segmento de reta dado, no ponto P e raio de 3 
cm. 
 
 
 
 
 
 
 P 
 
Passo a Passo 
1) Construa uma reta 
perpendicular ao 
segmento dado em P 
2) Marque dois pontos 
distantes de P 3 cm. Um 
acima de P e outro 
abaixo. 
3) Utilize os dois pontos 
marcados em 2) como 
centros dos possíveis 
arcos. 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
2) Construa um arco concordante externamente ao arco dado em A e com raio r = 2 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo a Passo 
1) Construa um segmento 
de reta t contendo o 
centro do arco dado e o 
ponto A, 
2) No prolongamento 
deste segmento de reta, 
externamente ao arco 
dado e com distância de 2 
cm, marque o centro do 
novo arco 
3) Trace o arco com 
centro no ponto obtido 
em 2) 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
3) Construa um arco concordante internamente ao arco dado em A e com raio r = 1,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo a Passo 
1) Construa um segmento 
de reta t contendo o 
centro do arco dado e o 
ponto A, 
2) No prolongamento 
deste segmento de reta, 
internamente ao arco 
dado e com distância de 
1,5 cm, marque o centro 
do novo arco 
3) Trace o arco com 
centro no ponto obtido 
em 2) 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
4) Construção de concordância entre duas semirretas não colineares, paralelas e de sentidos opostos, por meio 
de dois arcos, sendo um de raio r = 2 cm5) Construção de concordância entre duas semirretas concorrentes. 
 
Passo a Passo 
1) Uma as duas semirretas através 
de um segmento perpendicular às 
duas. 
2) Marque neste segmento de reta 
o centro O, 2 cm distante de uma 
das semirretas. 
3) Trace o arco concordante à 
semirreta em questão. 
4) Obtenha o ponto médio do 
segmento restante e utilize-o como 
centro do outro arco concordante 
Passo a Passo 
1) Construa segmentos 
perpendiculares aos segmentos 
dados nos pontos de concordância. 
2) Utilize o ponto de encontro 
destes dois segmentos como centro 
do arco concordante. 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
6) Construção de concordância entre duas semirretas concorrentes, por meio de dois arcos 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
Passo a Passo 
1) Construa segmentos 
perpendiculares às semirretas 
dadas nas extremidades de 
interesse. 
2) Utilize o ponto de encontro 
destes dois segmentos como centro 
de um dos arcos concordantes. 
3) Marque o ponto de encontro 
entre o arco obtido em 2) e o 
segmento perpendicular à outra 
semirreta. 
4) Obtenha o ponto médio do 
segmento definido pelo ponto 
obtido em 3) e a extremidade da 
outra semirreta e utilize-o como 
centro do segundo arco 
concordante. 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
Composição Livre: 
Use este espaço para compor livremente uma figura ou um desenho utilizando o conceito de arcos concordantes. 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
Malhas, mosaicos e concordância 
Observe o mosaico abaixo. Ele é todo formado a partir de concordâncias entre arcos em uma malha triangular. Cada 
unidade da composição é idêntica à figura mostrada ao lado e a malha triangular em questão está reproduzida no 
restante da página. Você consegue reproduzir este mosaico? Boa sorte. 
 
 
1) Construa um arco concordante externamente ao arco dado em A e com raio r = 2 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo a Passo 
1) Construa um segmento de 
reta t contendo o centro do 
arco dado e o ponto A, 
2) No prolongamento deste 
segmento de reta, 
externamente ao arco dado e 
com distância de 2 cm, 
marque o centro do novo 
arco 
3) Trace o arco com centro no 
ponto obtido em 2) 
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
PROPORCIONALIDADE: 
Chamamos de razão, a toda comparação entre duas grandezas e a representamos através de qualquer uma das 
estratégias acima. Evidentemente, por se tratar de um texto com caráter mais matemático, vamos preferir a notação 
fracionária. 
Em toda razão o primeiro número é chamado de antecedente e o segundo, consequente. 
econsequent
eantecedent
 
Assim como com frações, podemos ter duas ou mais razões escritas com números diferentes mas representando o 
mesmo valor. Dizemos que são razões equivalentes. 
Exemplo: 
20
12
15
9
10
6
5
3
=== 
Chamamos de proporção a quaisquer duas razões equivalentes. 
Exemplo: 
10
6
5
3
= Lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10” 
 
Propriedade Fundamental das Proporções: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios, ou seja 
bcad
d
c
b
a
== 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS: 
Dizemos que quatro segmentos são proporcionais se suas medidas formam uma proporção, assim, se temos os 
segmentos AB, CD, EF e GH tais que 
)(
)(
)(
)(
GHm
EFm
BCm
ABm
= , dizemos que estes quatro segmentos são, nesta ordem, 
proporcionais. 
 
 
 
TEOREMA DE TALES: 
Um feixe de retas paralelas divide duas ou mais retas transversais em segmentos proporcionais. 
 
)''(
)''(
)(
)(
CBm
BAm
BCm
ABm
=
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Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
1) Divida o segmento AB dado em 3 segmentos proporcionais a 2, 1 e 4 centímetros, respectivamente. 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
2) Divida o segmento AB dado em 4 segmentos proporcionais a 1, 2, 3 e 2 centímetros, respectivamente. 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
3) Construa um triângulo equilátero, de modo que seu perímetro seja igual à medida do segmento AB dado. 
 
 
 
 
 
 A B 
20 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
Quarta proporcional: Quando conhecemos a medida de três segmentos e não conhecemos a medida de um quarto, 
este quarto segmento é chamado de quarta proporcional entre os segmentos se, junto com os três primeiros, forma 
uma proporção, ou seja, se três segmentos de medidas a, b e c conhecidas formam uma proporção com um quarto 
segmento de medida x desconhecida, o quarto segmento é a quarta proporcional entre eles. 
 
1) Construa a quarta proporcional a três segmentos de medidas 2cm, 3cm e 1,5 cm, nesta ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
Terceira Proporcional: Seja uma proporção na qual os dois segmentos do meio são iguais. Então o quarto segmento 
é dito terceira proporcional. 
 
2) Construa a terceira proporcional entre os segmentos de medidas 2cm e 3cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
c
b
a
=
x
b
b
a
=
21 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
SEMELHANÇA: Dizemos que são semelhantes duas figuras que têm ângulos homólogos congruentes e lados 
homólogos proporcionais. 
 
 
1) Dada a malha quadriculada a seguir, construa uma figura semelhante ao modelo, na razão de 1: 2. 
 
 
22 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
HOMOTETIA: tipo de transformação em figuras semelhantes ampliadas ou reduzidas, dispostas de modo semelhante 
em relação a um ponto chamado centro de homotetia. 
HOMOTETIA = SEMELHANÇA + PARALELISMO 
 
 
1) Construa um triângulo homotético ao triângulo dado, em relação ao centro O e com razão k = 2. 
 
 
P 
 
 
 
 
2) Construa um triângulo homotético ao triângulo dado, em relação ao centro O e com razão k = - 2. 
 
 
 
 P 
 
 
 
23 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
1) Para cada sistema a seguir, obtenha dois pares ordenados que satisfaçam cada uma das equações, 
represente as duas equações no mesmo plano cartesiano e determine geometricamente a solução do 
sistema, dado pela intersecção entre as duas retas. 
a) 



=+−
=+
132
732
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
b) 



=+
=−
03
2
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
EQUIVALÊNCIA ENTRE FIGURAS 
 
Duas figuras são chamadas equivalentes se possuem a mesma área. 
 
1) Dado o triângulo escaleno, construa um triângulo isósceles equivalente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dado o triângulo escaleno, construa um triângulo retângulo equivalente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
3) Construa um quadriláteroequivalente ao pentágono dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dado o pentágono abaixo, reduza os lados transformando-o em um quadrilátero equivalente, depois em um 
triângulo equivalente e por fim, em um triângulo retângulo equivalente. Obtenha as medidas aproximadas 
dos lados do triângulo final (com régua) e estime sua área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
5) Refaça o problema anterior com o hexágono dado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
AUMENTANDO O NÚMERO DE LADOS DE UM POLÍGONO: 
1) Transforme o triângulo abaixo em um quadrilátero equivalente 
 
 
 
2) Transforme o quadrilátero abaixo em um pentágono equivalente: 
 
 
 
3) Transforme o pentágono abaixo em um hexágono equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
POLÍGONOS INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
1) Construa uma circunferência de 4 cm de raio. Inscreva um triângulo equilátero na circunferência. Em 
seguida, inscreva um hexágono regular na mesma circunferência. 
 
 
2) Construa uma circunferência de 4 cm de raio. Inscreva um quadrado na circunferência. Em seguida, inscreva 
um octógono regular na mesma circunferência. 
 
 
 
 
30 
 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
3) Construa uma circunferência de 4 cm de raio. Utilizando o processo de Rinaldini, construa um pentágono 
regular inscrito na circunferência. 
 
 
 
 
 
4) Construa uma circunferência de 4 cm de raio. Utilizando o processo de Rinaldini, construa um decágono 
regular inscrito na circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
5) Construa uma circunferência de 5,5 cm de raio. Utilizando o processo de Rinaldini, construa um pentagrama 
regular inscrito na circunferência. 
 
6) Construa uma circunferência de 5,0 cm de raio. Utilizando o processo de Rinaldini, construa um decagrama 
regular inscrito na circunferência. Pinte-o como quiser. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
Arcos 
 
Construção de Arcos: 
1) Arco pleno ou Romano: 
Tem a forma de uma semicircunferência, sendo, portanto, 
o de mais fácil construção . 
Exercício: Construa um arco romano dado o seu vão (3,5 cm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
2) Arco Ogival: 
A flecha é maior do que a metade do vão. 
Exercício: Construa um arco ogival, dado seu vão (3,0 cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Construa um arco ogival, dados seu vão (4,0 cm) e sua flecha (3,0 cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
3) Arco abatido: A flecha é menor do que a metade do vão. Formado por três arcos de circunferência. 
Exercício: Construa um arco abatido, dados seu vão (5,5 cm) e sua flecha (2,0 cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Arco tudor ou Arco Gótico Inglês: Formado por quatro arcos de circunferência 
Exercício: Construa um arco tudor, dado seu vão (5 cm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Aluno(a): 
 
Nº: 
 
DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Ensino: EFII Ano/Série: 9º ANO Data: Docente: 
 
Exercícios: 
1) Nos pares de retas paralelas abaixo construa um arco pleno, um arco ogival, um arco abatido e um arco 
tudor (escolha a medida da flecha, quando possível):