SISTEMA DE COTROLE E SERVOMECANISMOS

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AAuullaa 0055 –– PPrroojjeettoo ddee SSiisstteemmaass ddee CCoonnttrroollee ppoorr mmeeiioo ddoo MMééttooddoo ddoo LLuuggaarr ddaass RRaaíízzeess 
SSCCSS –– SSiisstteemmaass ddee CCoonnttrroollee // SSeerrvvoommeeccaanniissmmooss 11 
 
SCS – Sistemas de Controle / Servomecanismos 
 
Aula 05 – Projeto de Sistemas de Controle por meio do Método do Lugar das Raízes 
 
Definição: O projeto de controladores realizado a partir do diagrama do lugar das raízes permite o controle 
da localização de ao menos alguns dos pólos de malha fechada de um sistema, o que proporciona, até certo 
ponto, o controle da resposta transitória deste sistema. Logicamente, este projeto também influencia a 
resposta em estado estacionário. 
A idéia do projeto de controladores utilizando o método do lugar das raízes é adicionar pólos e zeros com o 
objetivo de alterar o desenho do lugar das raízes de uma planta. Como já mencionado a inclusão de pólos e 
zeros alteram a resposta de um sistema, a inclusão de um pólo tem o efeito de deslocar o diagrama de 
lugar das raízes para a direita, tendendo diminuir a estabilidade relativa do sistema e fazendo com que a 
resposta do sistema seja mais lenta. Por sua vez a adição de um zero tem o efeito de deslocar para a 
esquerda o diagrama de lugar das raízes de um sistema, deixando o sistema mais estável e rápido. 
Em nosso curso iremos aplicar as técnicas de projetos de controladores por meio do método do lugar das 
raízes para projetar controladores de primeira ordem, como poderá ser observado a seguir. 
 
1- Controladores gerais de primeira ordem 
O pólo 0p e o zero 0z da função de transferência de um controlador de primeira ordem – apresentada na 
próxima seção – estão localizados, usualmente, no semi-plano esquerdo do plano complexo. Assim, 0z e 
0p são números reais negativos. Desta maneira, existem duas possibilidades: 
 
i) 0 0z p ii) 0 0z p 
 
No primeiro caso, o zero está mais próximo da origem que o pólo, o que resulta em uma contribuição 
positiva para o critério dos ângulos do lugar das raízes. Esta contribuição é mostrada na figura abaixo, na 
qual o ângulo 1 é sempre maior que 2 , para valores de s localizados no semi-plano superior do plano 
complexo. O controlador de primeira ordem que se encaixa no caso exposto é chamado controlador de 
avanço de fase. 
 
Fase do controlador de primeira ordem 
 
O controlador de primeira ordem caracterizado pelo segundo caso, no qual o pólo está mais próximo da 
origem que o zero, é chamado de controlador de atraso de fase. Neste controlador, a contribuição para o 
critério dos ângulos do lugar das raízes é sempre negativa. Os termos avanço e atraso de fase terão um 
significado mais claro quando o projeto de controladores for realizado pelos métodos da resposta em 
freqüência, assunto que será abordado posteriormente. Os procedimentos de projeto são diferentes para 
cada tipo de controlador, assim como sua influência no sistema em malha fechada. 
 
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2- Projeto em avanço de fase 
A função de transferência de um controlador de avanço de fase de primeira ordem é dada por 
 
 
 
 
0
0
c
c
K s z
G s
s p



 (1) 
 
na qual 0 0z p . Os parâmetros cK , 0z e 0p devem ser determinados de forma a satisfazer os critérios 
de desempenho desejados. 
 
Para o projeto analítico de controladores de avanço de fase é conveniente expressar a função de 
transferência do controlador sob a forma 
 
  1 0
1 1
c
a s a
G s
b s



 (2) 
 
O objetivo do projeto é determinar 0a , 1a e 1b tais que, a partir do pólo de malha fechada desejado 1s , 
seja satisfeita a equação 
 
     
1
 1c p s s
K G s G s H s

  (3) 
 
Assim, o projeto visa a obtenção de um controlador que posicione uma das raízes da equação característica 
do sistema em 1s s . Em geral, 1s é um número complexo. 
 
Na equação 3 têm-se quatro incógnitas – K, 0a , 1a e 1b – e somente duas relações que devem ser 
satisfeitas (magnitude e fase). Em outras palavras, existem dois graus de liberdade no projeto. Como 
 
  1 0
1 1
c
K a s K a
K G s
b s



 (4) 
 
nota-se que existem, de fato, apenas três incógnitas independentes. Assim, faz-se 1K  e o processo de 
cálculo fica simplificado. 
 
Das equações anteriores, para 1K  , tem-se 
 
         
1
1 1 0
1 1
1 1
 1
1
c p ps s
a s a
G s G s H s G s H s
b s
 
   
 
 (5) 
 
Como, em geral, o pólo 1s desejado é complexo, as relações de magnitude e fase determinam que 
 
   1 1 0 1 1
1 1
 1
1
p
a s a
G s H s
b s

 

 (6) 
 
 
   1 1 0 1 1
1 1
 180
1
p
a s a
arg arg G s H s
b s
 
      
 (7) 
 
 
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Deve-se notar que existem apenas duas equações para a determinação de três parâmetros. Neste caso, 
especifica-se um valor adequado para um dos parâmetros e combinam-se as equações 6 e 7 de forma a 
calcular os parâmetros restantes. Em geral, a localização do pólo dominante 1s desejado é obtida a partir 
das especificações de resposta transitória desejadas para o sistema em malha fechada. 
 
Além disso, o valor do ganho DC do controlador, 0a , deve ser determinado para atender às especificações 
da resposta em estado estacionário. Para esta situação, as incógnitas das equações 6 e 7 são os parâmetros 
1a e 1b . 
 
O procedimento de cálculo é descrito a seguir. Primeiramente, é conveniente expressar o pólo dominante 
desejado como 
 
1 1 
js s e  (8) 
 
e também 
 
       1 1 1 1 
j
p pG s H s G s H s e
 (9) 
 
A solução analítica das equações 6 e 7 para os parâmetros 1a e 1b leva a 
 
     
   
0 1 1
1
1 1 1
 
 
p
p
sen a G s H s sen
a
s G s H s sen
  

 


 
 
     0 1 1
1
1
 
 
psen a G s H s sen
b
s sen
  

 

 
 
(10) 
 
Apesar de este procedimento posicionar um pólo de malha fechada em 1s s , a localização dos demais 
pólos de malha fechada são desconhecidas e podem não ser satisfatórias. De fato, pode haver pólos no 
semi-plano direito, o que resultará em um sistema instável. 
 
Para o caso em que 180  , 1s localiza-se sobre o eixo real negativo, e as relações da equação 10 se 
reduzem a única equação 
 
       
1 1
1 1 0
1 1 1 1
 1
 0
 p p
b s
a s cos cos a
G s H s G s H s
     (11) 
 
Para a aplicação da equação 11, basta atribuir valor a um dos parâmetros e obter o segundo. 
 
 
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Exemplo 1: Projeto em avanço de fase. Seja o sistema de controle do ângulo de inclinação de um satélite 
rígido, mostrado na figura abaixo. 
 
Exemplo de projeto 
 
Para este sistema, tem-se 
   
2
1
pG s H s
s
 
 
O critério de desempenho exige que o pólo de malha fechada seja 
 
135
1 1 2 2 2 2
j js s e j e     
 
o que resulta na relação de amortecimento 0 707,  e na constante de tempo 0 5,  s. 
 
Assim,        
1
270
1 1 1 1 2
2 2
1 1
 
8
j
p p
s j
G s H s G s H s e e
s
 
 
   . 
 
Desta feita, concluí-se que 135  e 270   . Para esta aplicação, escolhe-se um ganho DC igual a 
38 de forma que critérios de desempenho desejados para a resposta em estado estacionário sejam 
verificados.A aplicação das relações da equação 10 leva aos parâmetros 
 
   
   
   
1
1 2 1 1 3135 8 3 1 8 45 8
32 42 2 1 8 270
sen sen
a
sen

  

 
 
     
 
   
1
1 2 1 1 3135 8 3 1 8 135 1
62 22 2 270
sen sen
b
sen
  
  
 
 
 
Logo, o controlador proposto é definido por 
 
 
 
 
8 3 8 3
1 6 1
c
s
K G s
s



 
 
No Exemplo 1 o valor de 0a , que representa o ganho DC do controlador, foi escolhido de maneira que 
especificações de desempenho no estado estacionário, tais como erro em estado estacionário, rejeição à 
distúrbios e especificações de sensibilidade, fossem satisfeitas. As equações que descrevem o erro de 
estado estacionário são de grande valia nesta análise. 
Satélite 
Torque Ângulo de 
inclinação 
Modulador Satélite 
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Deve-se manter em mente que, via de regra, modelos matemáticos são representações aproximadas da 
realidade. Logo, não se pode esperar que o sistema físico responda da mesma maneira que seu modelo. 
Assim, diversos projetos devem ser testados via simulação, sendo escolhido aquele que melhor se adapta 
ao problema em estudo. O exemplo a seguir ilustra este conceito. 
 
Exemplo 2: Escolha do ganho DC. Neste exemplo, verifica-se o efeito da escolha de diferentes ganhos DC (
0a ) para o controlador de avanço de fase do Exemplo 1. As funções de transferência dos controladores 
examinados são mostradas na Tabela 8.1. 
 
Deve-se lembrar que o sistema em malha fechada é de terceira ordem, com dois dos pólos localizados em 
2 2s j   . A localização do terceiro pólo (real), determinada computacionalmente, também é mostrada 
na Tabela a seguir. 
 
Os ganhos examinados variam na faixa de 0,1 a 6,0, uma vez que ganhos superiores a 7,0 tornam o sistema 
instável (verifique!). 
Resultados do exemplo 2 
Ganho 0a  cG s 
Localização do 
terceiro pólo 
Ultrapassagem 
percentual 
0,1 
8 203 0 4051
4 051
, s ,
s ,


 0 0506, 7% 
1,0 
10 29 4 571
4 571
, s ,
s ,


 0 571, 23% 
2,667 
16 0 16 0
6
, s ,
s


 2 0, 33% 
6,0 
56 0 96 0
16 0
, s ,
s ,


 12 0, 30% 
 
Note que, à medida que o ganho DC do compensador aumenta, a constante de tempo do terceiro pólo de 
malha fechada diminui de aproximadamente 20 s para 0,083 s. As respostas ao degrau para os sistemas 
examinados são vistas na Figura abaixo. 
 
Respostas ao degrau dos sistemas do Exemplo 2 
Saída 
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A análise da figura acima mostra que a ultrapassagem percentual das respostas ao degrau aumenta com o 
ganho DC do controlador. A mesma figura indica que se deve adotar uma solução de compromisso entre o 
tempo de assentamento e a ultrapassagem percentual, uma vez que os sistemas examinados que possuem 
pequena ultrapassagem são lentos. Em contrapartida, o aumento da velocidade da resposta causa aumento 
da ultrapassem percentual. O controlador escolhido deve ser testado, via simulação, em um sistema mais 
requintado no qual a planta possui um modelo mais elaborado e são contemplados todos os sensores e 
atuadores, incluindo suas não-linearidades intrínsecas. 
 
3- Projeto em atraso de fase 
O controlador de atraso de fase tem função de transferência dada por 
 
 
 0
0
c
c
K s z
G s
s p



 (12) 
 
Nas seções anteriores, mostrou-se que o efeito da compensação em avanço de fase é deslocar o diagrama 
do lugar das raízes para a esquerda. Em contrapartida, no controlador de atraso de fase tem-se 
0 0 z p , o que acarreta sempre em uma contribuição negativa para o critério dos ângulos do lugar das 
raízes. Assim, o controlador de atraso de fase tende a deslocar o lugar das raízes para a direita do plano 
complexo. Portanto, a contribuição do controlador de atraso de fase para o critério dos ângulos deve ser 
pequena, de modo a evitar instabilidades. Este aspecto é garantido ao posicionar próximos o pólo e o zero 
do controlador. 
 
 
Ângulos para compensação em atraso de fase 
 
Como o deslocamento do lugar das raízes para a direita deve ser pequeno, as características da resposta 
transitória dos pólos dominantes não são alteradas de forma apreciável pela inserção do controlador de 
atraso de fase. Portanto, o uso deste tipo de controlador é recomendável para obter um aprimoramento do 
comportamento do sistema em estado estacionário. 
 
Para o encaminhamento do projeto, é conveniente assumir que o ganho DC do controlador de atraso de 
fase seja unitário, ou seja, 
 
  0
0
0
 1cc s
K z
G s
p
  (13) 
 
Portanto, 
 
0
0
1c
p
K
z
  (14) 
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O projeto segue com a hipótese de que o sistema sem compensação a ser controlado possui um pólo em 
1s quando o ganho do sistema é 0K , e que este pólo fornece uma resposta transitória satisfatória. 
 
Uma vez que a equação característica do sistema é 
 
   1 0pK G s H s  
 
obtém-se, para o ganho 0K , 
 
   
0
1 1
1
p
K
G s H s
  (15) 
 
Como mencionado anteriormente, escolhem-se valores do zero 0z e do pólo 0p aproximadamente iguais 
e, por razões que ficarão evidentes posteriormente, com magnitude pequena quando comparada a 1 s . 
Assim, 
 
 
 1 0
1
1 0
c
c c
K s z
G s K
s p

 

 (16) 
 
Logo, o ganho necessário para a localização de um pólo em 1s é dado por 
 
         
0
1 1 1 1 1
1 1
c p c p c
K
K
G s G s H s K G s H s K
     (17) 
 
Uma vez que, a partir da equação 14, 1cK  , deve-se ter 0K K . Como o controlador de atraso de fase 
possui ganho unitário, o ganho DC do sistema foi aumentado sem alterar de forma significativa sua 
resposta transitória. Assim, o resultado da compensação em atraso de fase é aprimorar a resposta em 
estado estacionário. 
 
Deve-se notar que, ao escolher os parâmetros 0z e 0p com magnitude pequena, quando comparada a 
1 s , a equação 16 continua satisfeita. Isto torna cK – na equação 14 – muito menor que a unidade, o 
que implica em uma melhora significativa da resposta em estado estacionário. 
 
Caso as magnitudes de 0z e 0p sejam elevadas quando comparadas a 1 s , deve-se ter 0 0z p para que 
a equação 16 seja satisfeita e, conseqüentemente, cK seria muito próximo da unidade. Neste caso, a 
equação 17 não indica melhora apreciável no comportamento estacionário. 
 
 Os passos para o projeto de um controlador de atraso de fase podem ser resumidos como se segue: 
 
1. Escolhe-se 0K (na equação 15) do sistema sem compensação que posiciona o pólo desejado em 
1s ; 
 
2. Calcula-se o valor de K que garante a resposta em estado estacionário desejada, assumindo 
ganho DC unitário para o controlador. A seguir, determina-se o ganho 0cK K K a partir da 
equação 17; 
 
 
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3. Escolhe-se a magnitude do zero do controlador, 0 z , pequena quando comparada a 1 s ; 
 
4. Resolve-se a equação 13 para o pólo do controlador, 0 0cp K z . 
 
A função de transferência do controlador é dada pela equação 12 e o ganho K do sistema é alterado para o 
valor calculado no passo 2. 
 
Exemplo3: Projeto em atraso de fase. O intuito deste exemplo é projetar o sistema de controle de 
rastreamento por radar mostrado na figura do Exemplo 1. A função de malha aberta sem compensação é 
dada por 
 
   
 2
p
K
K G s H s
s s


 
 
e o lugar das raízes do sistema é mostrado na figura abaixo. 
 
 
Figura 8.7: Lugar das raízes do sistema do Exemplo 8.3 
 
Suponha que as especificações de desempenho do sistema são satisfeitas com uma constante de tempo de 
1 s e relação de amortecimento 0 707,  . Desta forma, é necessário um pólo localizado em 1s j   . 
Esta localização já pertence ao lugar das raízes, sem compensação, quando 2K  (verifique!). 
 
Assim, com relação ao passo 1 do procedimento de projeto, 1 1s j   e 0 2K  . O sistema de 
rastreamento é concebido de forma a seguir aeronaves que desenvolvem velocidade (aproximadamente) 
constante, o que se traduz em uma entrada tipo rampa. Em outras palavras, é necessário que a antena do 
radar se movimente a uma velocidade angular constante, e continue apontando diretamente para a 
aeronave rastreada. 
 
Adicionalmente, suponha que é aceitável um erro em estado estacionário de 0 2, para entrada tipo rampa 
unitária. Assim, o erro em estado estacionário para o sistema em malha fechada é determinado por 
 
     
0
1 1
ss
v c p
s
e
K lim s K G s G s H s

  
 
Como o ganho DC do controlador é unitário, tem-se 
     
0 0 2 2
c p
s s
K K
lim s K G s G s H s lim
s 
 

 
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e, conseqüentemente, 2sse K . Logo, um ganho 10K  é necessário para satisfazer às especificações 
de desempenho no estado estacionário (passo 2 do projeto). 
 
A partir das equações 14 e 17, obtém-se 
 
0
0
2
10
o
c
p K
K
z K
   
 
No passo 3 do projeto, escolhe-se 0 0 1z ,  , que possui magnitude pequena, comparada a 1 2s  . 
Portanto, 0 0 0 02cp K z ,   no passo 4. 
 
Finalmente, a função de transferência do controlador de atraso de fase é dada por 
 
 
 0 2 0 1
0 02
c
, s ,
G s
s ,



 
 
e um ganho 10K  é necessário para o sistema. 
 
No Exemplo 3, o sistema em malha fechada apresenta dois pólos em 1s j   . Entretanto, a inserção do 
controlador aumenta a ordem do sistema para três. A localização do terceiro pólo pode ser obtida a partir 
do diagrama do lugar das raízes do sistema compensado, tarefa deixada a cargo do leitor.