controle7

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Caṕıtulo 7
Projeto e implementação de Controles
Digitais de Processos
O procedimento para projeto de controle digitais seguem os seguintes
passos:
1. Encontre a função de transferência do processo a ser controlado;
2. Transforme a função do plano-s para o plano-z
3. Projete um controlador conveniente no plano-z
4. Implemente o algoritmo de controle em um computador digital.
7.1 Controladores Digitais
Seja o sistema de controle discretizado apresentado na figura que segue
e sua função de transferência dada por
T (z) =
Y (z)
R(z)
=
D(z)HG(z)
1 + D(z)HG(z)
1
Controle de Processo 2 Arlei Fonseca Barcelos
O controlador D(z), que é o computador digital, pode ser escrito da seguinte
forma
D(z) =
1
HG(z)
T (z)
1− T (z)
O controlador D(z) deve ser escolhido de forma ao sistema de malha
fechada seja estável e realizável (ordem do denominador seja maior ou
igual ao numerador ).
7.1.1 Controlador Dead-Beat
O controlador dead-beat é dado por
T (z) = z−k ; k ≥ 1
O que significa que a sáıda Y (z) é igual a R(z) após k peŕıodos de amostragem.
Assim, o controlador fica
D(z) =
1
HG(z)
T (z)
1− T (z)
=
1
HG(z)
z−k
1− z−k
Seja a planta de um sistema dados por
G(s) =
e−2s
1 + 10s
Projete um controlador dead-beat para o sistema, sendo T=1s.
A função de transferência do sistema com o ZOH é dada por
HG(z) = Z{1− e
−sT
s
G(s)} = (1− z−1)Z{ e
−2s
s(1 + 10s)
} = 0.095z
−3
1− 0.904z−1
Com o dead-beat o controlador fica
D(z) =
1
HG(z)
z−k
1− z−k
=
1− 0.904z−1
0.095z−3
z−k
1− z−k
Para que o controlador seja realizável k ≥ 3,logo
D(z) =
1− 0.904z−1
0.095z−3
z−3
1− z−3
=
z3 − 0.904z2
0.095(z3 − 1)
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Assim o diagrama de blocos do sistema em malha fechada completo é ap-
resentado na figura que segue
e a resposta do sistema é mostrado no gráfico que segue
7.1.2 Controlador Dahlin
É uma modificação do controlador dead-beat produzindo um resposta ex-
ponencial com isto suavizando a resposta do controlador dead-beat.
A resposta objetivada do sistema no plano-s´é dada por
Y (s) =
1
s
e−as
1 + sq
onde a e q são escolhidos de acordo com a resposta desejada, conforme
apresentado na figura que segue
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Se a=kT, então a transformada-z da sáıda é
Y (z) =
z−k−1(1− e−T/q)
(1− z−1)(1− e−T/qz−1)
E a função de transferência fica
T (z) =
Y (z)
R(s)
=
z−k−1(1− e−T/q)
(1− z−1)(1− e−T/qz−1)
1− z−1
1
Assim a função do controlador fica
D(z) =
1
HG(z)
T (z)
1− T (z)
=
1
HG(z)
z−k−1(1− e−T/q)
(1− e−T/qz−1)− z−k−1(1− e−T/q)
Exemplo 1 Seja a planta a ser controlada
G(s) =
e−2s
1 + 10s
Projete um controlador Dahlin para o sistema. Suponha T=1s.
A planta com o ZOH fica
HG(z) = Z{1− e
−sT
s
G(s)} = (1− z−1)Z{ e
−2s
s(1 + 10s)
} =
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= (1− z−1)z−2Z{ 1/10
s(s + 1/10)
}
Calculando a transformada-Z
HG(z) =
0.095z−3
1− 0.904z−1
atribuindo q=10,
D(z) =
1
HG(z)
T (z)
1− T (z)
=
1− 0.904z−1
0.095z−3
z−k−1(1− e−T/q)
(1− e−T/qz−1)− z−k−1(1− e−T/q)
Logo,
D(z) =
1− 0.904z−1
0.095z−3
z−k−10.095
(1− 0.904z−1)− z−k−10.095
para que o sistema seja realizável, é escolhido k=2
D(z) =
0.095z3 − 0.0858z2
0.095z3 − 0.0858z2 − 0.0090
a resposta é mostrado no gráfico que segue
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7.1.3 Controlador PID
O controlador PID(Proporcional-Integral-Derivativo) é um controlador com
3 termos. É muito utilizado em processos industriais. Em um contro-
lador PID a variável de controle é gerada dos termos: proporcional do
erro+integral do erro+derivada do erro.
• Ganho Proporcional: o erro é multiplicado pelo ganho Kp. Um alto
ganho pode causar instabilidade e um ganho baixo pode causar com
que o processo não corrija o erro.
• Ganho integral: a integral do erro é multiplicada pelo ganho Ki. O
ganho pode eliminar o erro existente para zero em tempo necessário.
Porém, um ganho alto pode causar oscilações e um ganho baixo pode
resultar em uma resposta do processo lenta.
• Ganho derivativo: a derivada do erro é multiplicada pelo ganho Kd.
Novamente, se o ganho é muito alto o sistema pode oscilar e se o ganho
for muito baixo a resposta pode ser lenta.
O diagrama de blocos que segue apresenta um controlador PID clássico em
tempo cont́ınuo.
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A relação entrada-sáıda do controlador PID pode ser expressada como
u(t) = Kp[e(t) +
1
Ti
∫ t
∞
e(t)dt + Td
de(t)
dt
]
• onde a variável de controle u(t), sáıda do controlador.
• e(t) = r(t)− y(t) onde r(t) é a referência desejada e y(t) é a sáıda da
planta.
• Ti e Td são conhecidos com tempos intergral e derivativo, respectica-
mente.
A equação PID pode ser encontrada, escrita da seguinte forma
u(t) = Kpe(t) + Ki
∫ t
0
e(t)dt + Kd
de(t)
dt
+ u0
onde
Ki =
Kp
Ti
e
Kd = KpTd
A transformada de Laplace PID pode ser escrita como
U(s)
E(s)
= Kp +
Kp
Tis
+ KpTds
A implementação do PID em computadores de processos pode ser realizada
convertendo as equações cont́ınuas em representações discretas, ou seja,
• Termo derivativo
de(t)
dt
≈ e(kT )− e(kT − T )
T
• Termo integral ∫ t
0
e(t)dt ≈
n∑
k=1
Te(kT )
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Logo, a equação digital PID fica
u(kT ) = Kp[e(kT ) + Td
e(kT )− e(kT − T )
T
+
T
Ti
n∑
k=1
e(kT )] + u0
Esta equação PID é conhecida com PID-posicional.
O PID digital, também, pode ser encontrado através da transformada-Z
pelo equivalente cont́ınuo
U(s)
E(s)
= Kp +
Kp
Tis
+ KpTds
,isto é,
U(z)
E(z)
= Kp[1 +
T
Ti(1− z−1)
+ Td
(1− z−1)
T
]
e sua equação a diferenças
u(kT ) = u(kT − T ) + Kp[e(kT )− e(kT − T )] +
KpT
Ti
e(kT )+
+
KpTd
T
[e(kT )− 2e(kT − T )− e(kT − 2T )]
conhecido como PID-velocidade este PID é mais suave do que o PID-
posicional, porém mais lento.
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