CAP_15_OSCILACOES

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ONDAS – Cap 15: Oscilações - Prof. Wladimir 1
 
OSCILAÇÕES 
15.1. Introdução: 
As Oscilações estão presentes no nosso dia a dia como o 
vento que balança uma linha de transmissão elétrica, as 
vibrações da membrana de um alto-falante, ou de um 
instrumento de percussão. Um terremoto faz vibrar as 
edificações ocasionando danos. Neste estudo, nos 
preocuparemos com um movimento básico chamado 
movimento harmônico simples (MHS). 
 
15.2. Movimento Harmônico Simples: 
Freqüência ( f ): número de oscilações completadas em 
um certo tempo. Se este tempo for de 1 s: 
Unidade (SI): hertz (Hz) 
 1hertz = 1Hz = 1 oscilação por segundo = 1s-1 
Período (T): tempo necessário para uma oscilação 
completa (ciclo). 
f
T 1 
Movimento periódico ou harmônico: qualquer 
movimento que se repete a intervalos regulares. 
Para um mhs, o deslocamento x da partícula a partir da 
origem é dado como uma função do tempo por: 
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)cos()(   tmxtx 
 ,,mx são as constantes amplitude máxima, 
velocidade angular e constante de fase (ângulo de 
fase) respectivamente. 
 
A freqüência angular é calculada por: 
f
T

  
2 2 
 A velocidade de uma 
partícula em MHS é dada 
por: 
 ( )( ) cos( )m
dx t dv t x t
dt dt
    
ou 
( ) ( )mv t x sen t     
 A aceleração no MHS será 
 ( )( ) ( )m
dv t da t x sen t
dt dt
      
ou 
( ) cos( )ma t x t    
2
 
Usando as equações da posição ( )x t e ( )a t tem-se: 
( ) ( )a t x t  2 
15.3. A Lei de Força para o Movimento Harmônico 
Simples 
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Se combinarmos a segunda lei de Newton com a 
aceleração encontrada anteriormente, teremos: 
( )F ma m x   2 
Este resultado é familiar, a lei de Hooke, 
F kx  
para uma mola, a constante 
elástica será: 
k m 2 
 
A freqüência angular  do movimento harmônico 
simples do bloco está relacionada à constante elástica k 
e a massa m do bloco por: 
k
m
 
 
E o período, está relacionado com a velocidade angular 
mT
k



 
2 2
 
Exemplo 15.1 
Um bloco cuja massa m é igual a 680g está preso a uma mola 
cuja constante elástica é /k N m 65 . O bloco é puxado sobre 
uma superfície sem atrito por uma distância x cm11 a partir de 
sua posição de equilíbrio em x  0 e solto do repouso em t  0 . 
(a) determine a freqüência angular, a freqüência e o período do 
movimento resultante? (b) Qual é a amplitude da oscilação? (c) 
Qual a velocidade máxima? (d) Qual o módulo ma da aceleração 
máxima do bloco? ( , / ; , ; , ; ; , / ; / ; )rad s Hz s cm m s m s29 78 1 56 0 64 11 1 1 11 . 
 
 
 
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15.4. Energia no Movimento Harmônico Simples 
Num oscilador harmônico a 
energia mecânica ( )E K U  se 
conserva. 
( ) cos ( )mU t kx kx t   
2 2 21 1
2 2 e 
( ) ( )mK t mv kx sen t   
2 2 21 1
2 2 
considerando que 
cos sen  2 2 1, temos: 
cos ( ) ( )m mE K U kx t kx sen t        
2 2 2 21 1
2 2
 
mE kx
21
2 
 
Exercício: 
(a) Qual a energia mecânica E do 
oscilador linear do exercício anterior? (inicialmente, a posição do 
bloco é x=11cm e sua velocidade é v=0. a constante elástica 
k=65N/m. (0,393J) 
 
(b) Qual é a energia potencial U e a energia cinética K do 
oscilador quando o bloco estiver em x=1/2xm? (0,098J e 0,30J) 
 
15.5. Um Oscilador Harmônico Simples Angular 
Pêndulo de Torção – oscilador 
angular em que o elemento 
elástico está associado à torção 
no fio. 
A rotação do disco de um ângulo 
 em ambos os sentidos introduz 
um torque restaurador dado por: 
 
 k 
 
 
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Comparando  k com F kx  , podemos ver que esta 
é a forma angular da lei de Hooke. Substituindo a massa 
m pelo seu equivalente, o momento de inércia do disco, 
temos: 
k
IT 2 
 
que é a equação para o período de um oscilador 
harmônico simples angular, ou pêndulo de torção. 
 
 
 
 
Exercício: 
A figura (a) ao lado mostra uma 
haste fina cujo comprimento L é 
12,4 cm e cuja massa m é 135g, 
suspensa a partir do seu ponto 
médio por um fio longo. O 
momento de inércia da barra é 
dado por 2
12
1 mLI a  e o período aT do 
seu MHS angular é medido como 
sendo 2,53s. Um objeto (b) de 
forma irregular, o qual chamamos de X, é então pendurado no 
mesmo tipo de fio e o seu período bT é igual a 4,76s. Qual é o 
momento de inércia do objeto X em torno do seu eixo de 
suspensão? (6,12x10-4kg.m2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15.6. Pêndulos 
 Pêndulo Simples: 
Composto de uma partícula de 
massa m suspensa em uma das 
extremidades de um fio 
inextensível de massa desprezível 
e comprimento L. 
O torque )( Fr pode ser escrito 
como: 
)sen(  gFL 
Onde o sinal (-) indica que atua 
reduzindo . 
Sabemos que )(  I , o que 
permite escrever: 
 ImgL  )sen( 
Supondo o ângulo pequeno, de modo que  sen , 
simplificamos a equação para: 

I
mgL
 
Comparando 
I
mgL
 com )()( 2 txta  que tem sua 
equivalente  2 , de onde se deduz I
mgL
 . Usando 
a expressão T


2
 , teremos: 
mgL
IT 2 
O momento de inércia da massa do pêndulo, para 
pequenas amplitudes, é dada por )( 2mL , logo: 
g
LT 2 
 
 
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 Pêndulo Físico: 
A análise é a mesma do 
pêndulo simples trocando L 
por h. Assim: 
mgh
IT 2 
Qualquer pêndulo físico que 
oscila com um período T em 
torno de um dado ponto pivô 
O corresponde a um pêndulo 
simples de comprimento L0 e 
com o mesmo período T. O ponto ao longo do pêndulo 
físico a uma distância L0 do ponto O é chamado de 
centro de oscilação do pêndulo físico. 
 
 
 
Exercício: 
Na figura ao lado, uma régua de um 
metro oscila em torno de um ponto de 
pivô em sua extremidade, a uma 
distância h do centro de massa da 
régua. (a) Qual o período de oscilação 
do pêndulo? (b) Qual é à distância L0 
entre o ponto pivô da régua e seu centro 
de oscilação? Use 2
3
1 mLI  . (1,64s; 66,7cm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15.7. Movimentos Harmônicos 
Simples e Movimento Circular 
Uniforme 
O movimento harmônico simples é a 
simples projeção do movimento 
circular uniforme sobre um diâmetro 
do círculo no qual o movimento 
circular ocorre. 
Na figura (a), a projeção da 
partícula ,P sobre o eixo x é um 
ponto P , o qual consideramos como 
uma segunda partícula. A projeção 
do vetor posição da partícula 
,P sobre o eixo x fornece a 
localização )(tx de P . Assim 
encontramos 
)cos()(   txtx m , 
que nos leva a velocidade 
 
)()(   tsenxtv m 
e aceleração 
 
 )cos()(
2   txta m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15.8. Movimento Harmônico Simples Amortecido 
 
Quando o movimento de um 
oscilador é reduzido por uma 
força externa, dizemos que o 
oscilador e seu movimento são 
amortecidos. 
Suponha que o líquido exerça 
um força de amortecimento aF 
proporcional a velocidade v

da 
pá e do bloco. Então, para 
componentes ao longo do eixo 
x temos, 
bvFa  , 
onde b é uma constante de 
amortecimento que depende 
das características da pá e do líquido, com unidades 
skg / (SI). 
A força exercida pela mola sobre o bloco é kxFm  . 
Supondo a força da gravidade desprezível em relação a 
aF e mF , podemos escrever a segunda lei de Newton para 
as componentes ao longo do eixo x. 
makxbvF xres , 
Substituindo v por dtdx / e a por 22 / dtxd e rearranjando, 
obtemos a equação diferencial0
2
 kx
dt
dxb
dt
xdm , 
 
 
 
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A solução da equação anterior é 
)cos()( ,2/    textx mbtm 
A freqüência angular será 2
2
,
4m
b
m
k
 
Se 0b (sem amortecimento) m
k
, 
 
A energia mecânica para o oscilador não amortecido é 
constante e igual a 
2
2
1
mkxE  
Para o oscilador amortecido, a energia mecânica diminui 
com o tempo. Se o 
amortecimento é 
pequeno, podemos 
considerar a energia 
como: 
mbt
mekxtE
/2
2
1)(  
 
Exercício: 
Para o oscilador amortecido, considere gm 250 , mNk /85 e 
sgb /70 . (a) Qual é o período do movimento? (b) Quanto 
tempo leva para a amplitude das oscilações amortecidas cair até 
a metade do seu valor inicial? (c) Quanto tempo leva para que a 
energia mecânica se reduza à metade de seu valor inicial? (0,34s; 
5,0s; 2,5s) 
 
 
 
 
Lista de exercícios do Capítulo 15 – 7ª Edição 
 
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1. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para frente e 
para trás ao longo de uma distância de 2,0mm em movimento 
harmônico simples, com freqüência de 120Hz. Encontre (a) a 
amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) o módulo 
da aceleração máxima da lâmina. 
 
3. Uma partícula com massa de 1,00x10-20kg oscila com 
movimento harmônico simples com período de 1,00x10-5s e 
uma velocidade máxima de 1,00x103m/s. Calcule (a) a 
freqüência angular e (b) o deslocamento máximo da partícula. 
 
5. Um oscilador consiste em um bloco de massa 0,500kg 
conectado a uma mola. Quando posto em oscilação com 
amplitude de 35,0cm, o oscilador repete seu movimento a 
cada 0,500s. Encontre (a) o período, (b) a freqüência, (c) a 
freqüência angular, (d) a constante elástica, (e) a velocidade 
máxima e (f) a intensidade da força máxima que a mola 
exerce sobre o bloco. 
7. Um objeto executando movimento harmônico simples leva 
0,25s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o 
próximo ponto desse tipo. A distância entre esses pontos é 
36cm. Calcule (a) o período, (b) a freqüência (c) a amplitude 
do movimento. 
9. A função ( , ) cos[( / ) / ]x m rad s t rad  6 0 3 3 descreve o movimento 
harmônico simples de um corpo em ,t s 2 0 , qual são (a) o 
deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase 
do movimento? Quais são também (e) a freqüência e (f) o 
período do movimento? 
13. Um alto-falante produz um som musical por meio da 
oscilação de um diafragma cuja amplitude é limitada a 
, m1 00 . (a) Em que freqüência o módulo da aceleração a do 
diafragma é igual a g . (b) Para freqüências maiores, a é 
maior ou menor que g ? 
17. Um oscilador consiste em um bloco preso a uma mola 
(k=400N/m). Em determinado tempo t, a posição (medida a 
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partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a 
aceleração do bloco são ,x m 0 100 , , /v m s 13 6 e a 
aceleração /a m s  2123 . Calcule (a) a freqüência de 
oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do 
movimento. 
29. Encontre a energia mecânica de um sistema bloco-mola 
que possui uma constante elástica de 1,3N/cm e uma 
amplitude de 2,4cm. 
33. Um objeto de 5,00kg encontre-se sobre uma superfície 
horizontal sem atrito ligado a uma mola com k=1000N/m. O 
objeto é deslocado horizontalmente 50,0cm a partir de sua 
posição de equilíbrio e lhe é dada uma velocidade inicial de 
10,0 m/s direcionada de volta à posição de equilíbrio. Quais 
são (a) a freqüência do movimento, (b) a energia potencial 
inicial do sistema bloco-mola, (c) a energia cinética inicial e 
(d) a amplitude do movimento? 
35.Uma partícula de 10g executa um mhs com uma amplitude de 
2,0mm, uma aceleração máxima de módulo 8,0x103m/s2 e uma 
constante de fase desconhecida  .Quais são (a) o período do 
movimento, (b) a velocidade máxima da partícula e (c) a energia 
mecânica total do oscilador? Qual é a intensidade da força sobre 
a partícula quando ela está (d) em seu deslocamento máximo e 
(e) na metade do seu deslocamento máximo? 
39. O balancim de um relógio oscila com amplitude angular 
 rad e período 0,500s. Encontre (a) a velocidade angular 
máxima kdo balancim, (b) a velocidade angular no deslocamento 
de rad 2 e (c) o módulo da aceleração angular no 
deslocamento de rad 4 . 
41. No problema resolvido 15-5 vimos que um pêndulo físico 
possui um centro de oscilação a uma distância /L2 3do seu ponto 
de suspensão. Mostre que a distancie entre o ponto de 
suspensão e o centro de oscilação para um pêndulo de qualquer 
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formato é 
I
mh , onde I e h têm os significados atribuídos a eles 
na equação 15-29 e m é a massa do pêndulo. 
 
45. Um pêndulo físico consiste em uma régua de um metro 
cujo pivô passa por um pequeno furo feito na régua a uma 
distância d da marca de 50cm. O período de oscilação é 2,5s. 
Encontre d. 
 
51. Na figura ao lado, uma haste de comprimento ,L m1 85 
oscila como um pêndulo físico. (a) Que valor da distância x 
entre o centro de massa da haste e o seu ponto de pivô O 
fornece o menor período? Qual é este período mínimo? 
 
59. Na figura 15-15, o bloco possui massa de 1,50kg e a 
constante elástica da mola é 8,00N/m. A força de 
amortecimento é dada por /( / )b dx dt , onde /b g s 230 . O bloco 
é puxado 12,0cm para baixo e liberado. (a) Calcule o tempo 
necessário para a amplitude das oscilações resultantes 
decaírem a um terço de seu valor inicial. (b) Quantas 
oscilações são efetuadas pelo bloco neste tempo?