EAE325Lista1

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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
Lista de Exerc´ıcios 1 - Data de Entrega: 21/08
Voceˆ deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questa˜o sem provar.
Questa˜o 1
Seja X a sentenc¸a de prisa˜o em anos, para pessoas condenadas em Illinois.
Suponha que a f.d.p. (func¸a˜o densidade de probabilidade) de X e´ dada por
f(x) =
µ
1
9
¶
x2, 0 < x < 3
(a) Ache a sentence de prisa˜o esperada.
(b) Qual e´ a variaˆncia da varia´vel aleato´ria X com sua func¸a˜o de densidade?
Questa˜o 2
Considere 2 eventos A e B. Se P (A) = (1/5) e P (Bc) = 1/6. A e B podem
ser eventos disjuntos?
Questa˜o 3
Seja a varia´vel aleato´ria X distribu´ıda com E[X] = 2 e var(X) = 4. Seja Y
distribu´ıda com E[Y ] = 1 e var(Y ) = 2.
(a) Ache E[3X + 2Y ].
(b) V ar[X − Y ] assumindo que X e Y sa˜o independentes.
(c) V ar[3X + 2Y ] assumindo X e Y sa˜o independentes.
(d) Se a covariaˆncia entre X e Y e´ 3, qual e´ a resposta para os itens (a), (b),
e (c) agora?
Questa˜o 4
Considere a seguinte func¸a˜o de densidade conjunta de duas varia´veis aleato´rias
cont´ınuas X e Y dada por
fXY (x, y) =
½
kxy, 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2
0 caso contra´rio
1
(a) Encontre k que fac¸a com que fX,Y (x, y) seja uma func¸a˜o de densidade
conjunta va´lida?
(b) Encontre as densidades marginais de X e Y (isto e´, ache fX(x) fy(y)).
(c) Ache a densidade condicional de Y , condicionada em X = x.
(d) Determine se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes.
(e) Determine se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias na˜o correlacionadas.
(f) Como fica sua resposta no item (d) em relac¸a˜o a sua resposta no item
(e)?
Questa˜o 5
Considere as seguintes distribuic¸o˜es de probabilidade:
Y = y\X = x 5 10
1 112
1
12
2 16
1
4
3 112
1
3
(a) Ache a distribuic¸a˜o marginal de X.
(b) Ache a distribuic¸a˜o marginal de Y .
(c) Ache as medias e variaˆncias de X e Y , respectivamente.
(d) X e Y sa˜o independentes?
(e) X e Y sa˜o na˜o correlacionados?
Questa˜o 6
Existe um antigo jogo de T.V. chamado “Monty Hall Show” ou “Porta dos
Desesperados”. No “show” uma crianc¸a tem de escolher uma de treˆs portas.
Atra´s de uma das portas ha´ um presente (p.ex., uma bicicleta) e atra´s das outras
duas portas ha´ um monstro. Depois de escolher uma porta, Serginho Malandro
abre uma das portas que a crianc¸a na˜o escolheu. Ele sempre escolhe uma porta
onde ha´ um monstro. Por exemplo, se o presente esta´ atra´s da porta dois e a
crianc¸a escolheu a porta um, Serginho Malandro abre a porta treˆs. Em seguida,
Serginho Malandro pergunta a` crianc¸a se ela quer permanecer com sua escolha
original ou quer mudar de porta. O que ela deve fazer? Em particular, deve
ela mudar, deve ela permanecer, ou ser indiferente? Baseie sua resposta na
probabilidade de ganhar se ela permanece e se ela mudar.
Questa˜o 7
Probabilidades
(a) Um dado justo de seis faces e´ jogado uma vez. Qual e´ a probabilidade
de cada face aparecer?
(b) Se 2 dados justos sa˜o jogados, qual e´ o menor nu´mero de jogadas para a
qual a probabilidade de conseguir dois seis exceda 0,5?
2
(c) Numa classe de 40 estudantes, qual a probabilidade de que 2 pessoas
tenham a mesma data de aniversa´rio?
(d) Dois dados sa˜o jogados e 3 eventos sa˜o definidos assim:
A significa “face ı´mpar no primeiro dado”;
B significa “face ı´mpar no segundo dado”;
C signifca “soma ı´mpar” (uma face e´ par e a outra ı´mpar).
Se cada um dos 36 pontos amostrais tem probabilidade de 1/36, enta˜o:
i) Mostre que os eventos sa˜o independentes dois a dois
ii) Mostre que os eventos na˜o sa˜o mutualmente independentes
Questa˜o 8
Considere as seguintes estat´ısticas no desempenho de lance livre de Kobe
Bryant durante a temporada de 2001-02 e 2002-03. Algumas vezes um jogador
e´ dito ter “hot hands” se ele tem mais probabilidade de fazer o segundo lance,
dado que ele fez o primeiro do que quando ele perdeu o primeiro. A evideˆncia
emp´ırica suporta que Kobe tem “hot hands”?
2o Lance
Acertos Erros Total
Acertos 251 34 285
1o Lance Erros 48 5 53
Total 299 39
3