Lista 4 2011.1

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4a Lista de Exercícios - Cálculo I
1: Um ponto P move-se sobre a parábola y = 4x2 − 6x+ 1 de modo que sua abscissa varia a
uma velocidade constante de 6m/s. Qual a taxa de variação da ordenada y no instante em
que x = 8m?
2: Um ponto Q move-se sobre a curva y = x
x2 + 1
de modo que sua abscissa varia segundo a
equação x = t2 + t onde o tempo t é dado em segundos e a posição é medida em metros.
Qual a taxa de variação da ordenada y no instante em que t = 10s?
3: Enche-se um reservatório, cuja a forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de
1m3/s. A altura do cone é de 15m e o raio da base é de 10m. Com que velocidade sobe o
nível h da água no instante em que h = 2m.
4: Um balão mantém a forma de uma esfera quando é inflado. Encontre a taxa de variação da
área da superfície em relação ao raio no instante em que o raio é igual à 2m.
5: Uma pipa está voando a uma altura de 50m. O menino está empinando de modo que a pipa
move-se horizontalmente à taxa de 3m/s. Se a linha está esticada, a que taxa deve o garoto
“dar linha” quando o comprimento da linha solta é de 60m?
6: Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à taxa de 10dm3/s. Se a altura do monte
é sempre igual ao raio da base, a que taxa cresce a altura do monte quando esta é igual a
10dm?
7: Uma lâmpada colocada em um poste está a 6m de altura. Um homem de 1, 5m de altura
caminha em direção à lâmpada à velocidade de 4m/s. Com que velocidade diminui a sua
sombra?
8: Um reservatório tem 12m de comprimento e seus extremos são da forma de um triângulo
isósceles invertido, cuja altura é 5m e base é 7m. Enche-se o reservatório a uma taxa de
4m3/s. Com que velocidade aumenta o nível da água quando o nível da água é de 1m?
9: Um ônibus aproxima-se de um cruzamento viajando a uma velocidade de 35m/s. Quando
o ônibus está a 400m do cruzamento, um carro que trafega à velocidade de 40m/s atravessa
o cruzamento. O ônibus e o carro estão em rodovias perpendiculares. Com que velocidade
separam-se o ônibus e o carro 4s depois que o carro passou pelo cruzamento?
10: Um homem está puxando um barco para o cais à taxa de 5m/min, por meio de uma corda
presa ao barco ao nível da água. Se as mãos do homem estão a 3m sobre o nível da água,
com que velocidade o barco aproxima-se do cais quando a extensão da corda livre é de 5m?
11: Um tanque horizontal tem 20m de comprimento e suas extremidades têm a forma de um
trapézio isósceles com 4m de altura, base menor 6m e base maior 8m. O tanque está sendo
esvaziado a uma taxa de 2m3/s. Com que velocidade diminui o nível da água quando a
água estiver a 2m do fundo?
12: Um reservatório tem a forma de um cone circular reto invertido cujo raio da base mede 8m
e cuja altura mede 32m. Este reservatório, inicialmente cheio, perde água a uma taxa de
2m3/s. A que taxa varia o raio da superfície da água quando o volume de água é igual a
18pim3.
13: Um barco navega paralelamente à costa, suposta retilínea, com uma velocidade de 12 milhas
por hora e a uma distância de 4 milhas da costa. Qual a sua velocidade de aproximação a
um farol na costa no instante em que ele está a uma distância de 5 milhas do farol?