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Cálculo I 
2020.1 
 
 Funções 
Função corresponde a uma associação dos 
elementos de dois conjuntos, ou seja, a função 
indica como os elementos estão relacionados. 
Por exemplo, uma função de A em B significa 
associar cada elemento pertencente ao conjunto 
A a um único elemento que compõe o conjunto B, 
sendo assim, um valor de A não pode estar ligado 
a dois valores de B. 
 
 
 
 Notação para função: f: A → B (lê-se: f de A 
em B). 
Em uma função f: A → B o conjunto A é chamado 
de domínio (D) e o conjunto B recebe o nome de 
contradomínio (CD). 
Um elemento de B relacionado a um elemento de 
A recebe o nome de imagem pela função. 
Agrupando todas as imagens de B temos um 
conjunto imagem, que é um subconjunto do 
contradomínio. 
 
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que 
determina a relação entre os elementos f: A → 
B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e cada x do 
conjunto A é transformado em 2x no conjunto B. 
 
 
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as 
entradas, "multiplicar por 2" é a função e os 
valores de B {2, 4, 6, 8}, que se ligam aos 
elementos de A, são os valores de saída. 
Portanto, para essa função: 
 O domínio é {1, 2, 3, 4} 
 O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8} 
 
• 
Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao 
conjunto imagem. Portanto, todo elemento de B é 
imagem de pelo menos um elemento de A. 
 
Notação: f: A → B, ocorre a Im(f) = B 
 
Exemplo: 
 
 
Para a função acima: 
 O domínio é {-4, -2, 2, 3} 
 O contradomínio é {12, 4, 6} 
 O conjunto imagem é {12, 4, 6} 
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• 
Na função injetora todos os elementos de A 
possuem correspondentes distintos em B e 
nenhum dos elementos de A compartilham de 
uma mesma imagem em B. Entretanto, podem 
existir elementos em B que não estejam 
relacionados a nenhum elemento de A. 
 
Exemplo: 
 
 
Para a função acima: 
 O domínio é {0, 3, 5} 
 O contradomínio é {1, 2, 5, 8} 
 O conjunto imagem é {1, 5, 8} 
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• 
Na função biejtora os conjuntos apresentam o 
mesmo número de elementos relacionados. 
Essa função recebe esse nome por ser ao 
mesmo tempo injetora e sobrejetora. 
 
 Exemplo: 
 
 
Para a função acima: 
 O domínio é {-1, 1, 2, 4} 
 O contradomínio é {2, 3, 5, 7} 
 O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7} 
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• 
A função inversa é um tipo de função bijetora, 
por isso é sobrejetora e injetora ao mesmo 
tempo. 
 Através desse tipo de função é possível criar 
novas funções ao inverter os elementos. 
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• 
A função composta é um tipo de função 
matemática que combina duas ou mais 
variáveis. 
 Duas funções, f e g, podem ser 
representadas como função composta por: 
 fog (x) = f(g(x)) 
 gof (x) = g(f(x)) 
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• 
A função modular associa elementos em 
módulos e seus números são sempre 
positivos. 
 
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• 
A função afim, também chamada de função do 
1º grau, apresenta uma taxa de crescimento e 
um termo constante. 
f(x) = ax + b 
 a: coeficiente angular 
 b: coeficiente linear 
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• 
A função linear é um caso particular da função 
afim, sendo definida como f(x) = ax. 
 
Quando o valor do coeficiente (a) que 
acompanha o x da função for igual a 1, a função 
linear é uma função identidade. 
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• 
A função quadrática é também chamada de 
função do 2º grau. 
 
f(x) = ax2+ bx + c, sendo a ≠ 0 
 
 a, b e c: coeficientes da função polinomial 
de grau 2. 
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• 
A função logarítmica de base a é 
representada por f(x) = logax, sendo a real 
positivo e a ≠ 1. 
Ao invertermos a função logarítmica 
passamos a ter uma função exponencial. 
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• 
A função exponencial apresenta uma variável 
no expoente e a base é sempre maior que zero 
e diferente de um. 
f(x) = ax, sendo a > 0 e a ≠ 0 
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• 
A função polinomial é definida por expressões 
polinomiais. 
 
f(x) = an . xn + an – 1 . x
n – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . 
x + a0 
 
an, an-1, ... , a2, a1, a0: números complexos 
 n: número inteiro 
 x: variável complexa 
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As funções trigonométricas estão relacionadas 
com as voltas no ciclo trigonométrico, como: 
 Função Seno: f(x) = sen x 
 Função Cosseno:f(x) = cos x 
 Função Tangente: f(x) = tg x 
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• 
A maneira como um elemento y se relaciona 
com um elemento x é expressa por meio de 
um gráfico, que nos dá a ideia do 
comportamento da função. 
Cada ponto no gráfico é dado por um par 
ordenado de x e y, onde x é o valor de entrada 
e y é o resultado da relação definida pela 
função, ou seja, x → função → y. 
 
Para construir um gráfico, cada elemento x da 
função deve ser inserido no eixo horizontal 
(abcissas) e os elementos y são posicionados no 
eixo vertical (ordenadas). 
 
 Exemplos de gráficos de funções. 
 
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Polinômios 
Um polinômio é uma expressão algébrica formada por 
monômios e operadores aritméticos. O monômio é 
estruturado por números (coeficientes) e variáveis 
(parte literal) em um produto, e os operadores 
aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação 
e potenciação. 
 
 
• 2 . x . y 
Coeficiente: 2 
Parte literal: a . y 
Operadores aritméticos: Multiplicação 
 3 . x . y + (4 . x : 2 . x) 
Coeficiente: 3, 4 e 2 
Parte literal: x .y e x 
Operadores aritméticos: Adição, 
multiplicação e divisão. 
 
 {[(2 . x + 6 . x)2 – 5] + 3 . y – 1 . x} 
Coeficiente: 1, 2, 3, 5 e 6 
Parte literal: x e y 
Operadores aritméticos: Adição, subtração, 
multiplicação e potenciação. 
 
Os polinômios podem ser classificados de acordo com 
a sua quantidade de termos: 
 
• 
 Possui um único produto com coeficiente e parte 
literal. Exemplos: 
 2 . x . y 
 6 
 12 . x2 
 
• 
 É um polinômio que possui somente dois monômios. 
Exemplos: 
 4 . x . y + 5 . x 
 34 . z + 12 . x 
105 . z + 25 . z2 
 
• 
É um polinômio que possui somente três monômios. 
Exemplos: 
2 . x . y + 2x - y3 
 3 
 x. z4 + 25 – z . x 
 2 . w + 12 . x – 5 . w2 
 
• 
possui uma infinidade de monômios. A sua expressão 
geral é dada por: 
an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a 
 
 
Para encontrar o valor numérico de um polinômio, 
substituímos um valor numérico na variável x. 
Exemplo: 
Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para 
x = 3? 
 Substituindo o valor na variável x temos: 
2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44 
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 
5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b 
se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero 
quando x = b. 
 
Exemplo: 
P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, 
devemos colocar P(x) = 0, então: 
x2 - 1 = 0 
x2 = 1 
x = + 1 ou - 1 
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1. 
Exemplo: P(x)=3x+x2+2 (encontrar a raiz) 
Se X0 é a raiz, então f(x0)=ax+b p(x0)=3x0+x02+2=0 
 (Bhaskara) x0=
−3±√32−4∗2
2
 = 
−3≠1
2
 
Para uma função quadrática qualquer: p(x)=ax2+bx+c 
as raízes são soluções de Bhaskara: 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
b2-4ac > 0 temos duas raízes distintas 
b2-4ac = 0 existe apenas uma raiz: 
−𝑏
2.𝑎
 
b2-4ac < 0 a formula de bhaskara apresenta a raiz 
quadrada de um número negativo, logo não tem raiz. 
 
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de 
produto de números primos. Na fatoração de 
polinômios devemos escrever o mesmo através do 
produto entre outros polinômios. 
As fatorações mais conhecidas são: fator comum em 
evidência, agrupamento, diferença entre dois 
quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio 
soma e produto. 
 
 
• 
 Quando o polinômio possui somente uma variável 
(termo desconhecido), seu grau é dado pelo maior 
valor que o expoente da variável assume. 
 
Exemplos: 
2 . x2 + 3 . x 
Variável: x 
Maior expoente em relação à variável x: 2 
Grau: Polinômio de 2° grau 
 
3 . z + 4 + 5 . z3 
Variável: z 
Maior expoente em relação à variável z: 3 
Grau: Polinômio de 3° grau 
 
• 
Quando o polinômio possui mais do que uma variável, 
para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de 
cada monômio. A maior soma de expoentes 
determinará o grau. 
 
Exemplo: 
3 + 12 . x . y – 2 . x . y2 
Grau do monômio: x1 . Y1 → 1 + 1 = 2 
Grau do monômio: x . y2 → 1 + 2 = 3 
 
Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: 
para (x . y), o grau é 2; e para (x . y2), o grau é 3. Sendo 
assim, o polinômio (3 + 12 . x . y – 2 . x . y2) é de terceiro 
grau. 
 Função polinomial de grau 1: 
f(x) = x + 6 
 
Função polinomial de grau 2: 
 
 
g(x) = 2x2 + x – 2 
 
 Função polinomial de grau 3: 
h(x) = 5x3 + 10x2 - 6x + 15 
 
 Função polinomial de grau 4: 
p(x) = 20x4 - 15x3+ 5x2 + x – 10 
 
 Função polinomial de grau 5: 
q(x) = 25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x – 1 
 
 Polinômio nulo: possui todos os coeficientes iguais a 
zero. Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é 
definido. 
 
 
Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou 
incompleto. 
 
• 
O polinômio será completo quando a ordem dos seus 
expoentes for decrescente (do maior para o menor 
número) e não faltar nenhum expoente na sequência. 
3. x5 + 2 . x4 – x3 + 12 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0 
 
Observe que os expoentes em relação à variável x 
seguem uma sequência decrescente, que é dada por: 5, 
4, 3, 2, 1 e 0. 
 
• 
O polinômio será incompleto quando faltar algum 
número na sua sequência de expoentes. 
3. x5 + 5 . x1 – 2 . x0 
 
A forma completa desse polinômio seria: 3. x5 + 0 . x4 – 
0 . x3 + 0 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0. Faltaram os expoentes em 
relação à variável x: x4, x3 e x2. Por esse motivo, o 
polinômio é incompleto. 
 
 
 
 
 
 
 
 Adição 
(- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7) 
- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 - 7 
- 7x3 + 3x2 + 7x -3 
 Subtração 
(4x2 - 5x + 6) - (3x - 8) 
4x2 - 5x + 6 - 3x + 8 
4x2 - 8x + 14 
Multiplicação 
(3x2 - 5x + 8) . (- 2x + 1) 
- 6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8 
- 6x3 + 13x2 - 21x + 8 
Divisão 
Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. 
Primeiramente realizamos a divisão entre os 
coeficientes numéricos e depois a divisão de 
potências de mesma base. Para isso, conserva-se a 
base e subtraia os expoentes. 
A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente 
e resto. 
divisor . quociente + resto = dividendo 
 
Teorema do Resto 
O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos 
polinômios e possui o seguinte enunciado: 
O resto da divisão de um polinômio f(x) por x - a é igual 
a f(a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trigonometria 
 é a parte da matemática que estuda as 
relações existentes entre os lados e os ângulos dos 
triângulos. 
 
As funções trigonométricas são as funções 
relacionadas aos triângulos retângulos, que possuem 
um ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e tangente. 
As funções trigonométricas estão baseadas nas razões 
existentes entre dois lados do triângulo em função de 
um ângulo. As razões trigonométricas também são 
funções periódicas, pois seus valores se repetem em 
cada intervalo (período). 
Elas são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) 
e a hipotenusa: 
 
 
• ( ) 
 representado pela razão entre o cateto oposto e a 
hipotenusa do triângulo retângulo, descrito pela 
fórmula: 
 
Fórmula da função seno: f(x) = senx 
Domínio da função seno: D = R 
Imagem da função seno:Im = [ -1,1] 
Período da função seno: 2 p 
 
• 
 representado pela razão entre o cateto adjacente e a 
hipotenusa de um triângulo retângulo, descrito pela 
fórmula: 
 
Fórmula da função cosseno: f(x) = cosx 
Domínio da função cosseno: D = R 
Imagem da função cosseno: Im = [ -1,1] 
Período da função cosseno: 2 p 
 
• 
 representada pela razão entre o cateto oposto e o 
cateto adjacente de um triângulo retângulo, descrito 
pela fórmula: 
 
Fórmula da função tangente: f(x) = tgx 
Domínio da função tangente: D = R 
Imagem da função tangente: Im = [-8, 8] 
Período da função tangente: p 
 
Polígono que possui um ângulo chamado reto (90º) e 
dois ângulos menores chamados ângulos agudos. A 
soma de todos os ângulos internos deve ser 180°. 
 
• 
Criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras 
(570 a.C. - 495 a.C.), relaciona a medida dos lados do 
triângulo, por meio do enunciado: a soma dos 
quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado 
de sua hipotenusa, representado da seguinte forma: 
a² = b² + c² 
 
Exemplo: 
a² = b² + c² 
a² = 12² + 5² 
a² = 144 + 25 
a² = 169 
√a² = √169 
a= 13 
 
é um elemento circular que possui raio 1 e centro - 
colocado no ponto O = (0,0) de um plano cartesiano. 
Cada ponto do círculo está relacionado a um número 
real, geralmente expresso em função de p. 
 
O círculo trigonométrico também possui duas retas 
perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 
(zero) no ponto de interseção. Existem dois sentidos 
de marcação dos arcos no círculo: sentido negativo 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/teorema-de-pitagoras
(horário) e o sentido positivo (anti-horário), por 
onde ele geralmente tem início. 
 
As medidas dos ângulos no círculo podem ser 
identificadas em graus ou em radianos, pois são 
diretamente proporcionais. 
1° corresponde a 1/360 da circunferência, que é 
dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, 
sendo que cada uma delas apresenta um ângulo 
que corresponde a 1°. 
 1 radiano corresponde à medida de um arco da 
circunferência, cujo comprimento é igual ao raio 
da circunferência do arco que será medido. 
 
• 
 p rad = 180° 
 2p rad = 360° 
 p/2 rad = 90° 
 p/3 rad = 60° 
 p/4 rad = 45° 
 
Os eixos x e y dividem a circunferência em quatro e 
são chamados de quadrantes. Esses quadrantes 
também são dispostos no sentido anti-horário e 
são numerados de 1 a 4, e dispostos no círculo 
trigonométrico da seguinte forma: 
 1º Quadrante: 0 até p/2 ou 0º; 
 2º Quadrante: p/2 até p ou 90º; 
 3º Quadrante: p até 3p/2 ou 180º; 
 4º Quadrante: 3p/2 até 2pou 270º. 
 
 
 
é a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos 
postulados de Euclides de Alexandria. 
 
• 
Estabelece que num determinado triângulo, a razão 
entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, 
será sempre constante. 
 
 
• 
Estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de 
um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos 
outros dois lados, menos o dobro do produto desses 
dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles. 
 
 
• 
Estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos 
de um triângulo e os comprimentos de seus lados 
opostos. 
Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e 
ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, têm-se a 
expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em trigonometria são chamados de ângulos 
notáveis aqueles que aparecem com maior frequência 
nos cálculos, ganhando menção honrosa em relação a 
tantos outros. Deste modo, conhecer os valores em 
seno, cosseno e tangente é muito vantajoso. 
 
 
Em uma função f: A → B, com y = f(x), 
o domínio dessa função é o conjunto A. Em outras 
palavras, os elementos que pertencem ao domínio 
dessa função são os mesmos elementos que pertencem 
ao conjunto A. 
Os elementos que pertencem a esse conjunto são os 
possíveis valores da variável independente, 
geralmente representada pela letra x. Por exemplo, 
considere a seguinte função: 
f: N → Z 
y = 2x 
Sabemos que seu domínio é composto por todos 
os números naturais. Então, a variável x pode assumir 
qualquer valor dentro desse conjunto, mas não pode 
assumir qualquer valor que não pertença a ele. 
Note que essa função pega números naturais 
do domínio e multiplica por 2. Sendo assim, os 
resultados obtidos quando aplicamos a regra dessa 
função em qualquer número de seu domínio será um 
número par. 
O contradomínio é o conjunto B, que contém todos os 
resultados possíveis obtidos aplicando a regra da 
função a um elemento do domínio. O contradomínio é um 
conjunto que obrigatoriamente deve conter todos esses 
resultados. Então, ele geralmente é um conjunto que 
contém o domínio ou é igual a ele. 
Além disso, observe que o contradomínio contém 
todos os valores que a variável dependente pode 
assumir. Essa variável geralmente é representada pela 
letra y. 
No exemplo dado, abaixo, note que os elementos que 
pertencem ao contradomínio da função são todos 
os números inteiros, embora nem todos eles estejam 
relacionados a elementos do domínio. 
f: N → Z 
y = 2x 
A imagem de uma função é o conjunto dos elementos 
do contradomínio que estão relacionados a algum 
elemento do domínio. Na função acima, por exemplo, se 
x = 2, temos y = 4. O número 4 é chamado imagem de 2 
pela função y = 2x. O conjunto de todas as imagens é o 
que chamamos de conjunto imagem da função. 
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Mesmo que a≠b pode ocorrer que f(a)=f(b). Quando 
elementos distintos de A possuem imagens distintas, 
dizemos que a aplicação é injetora. A definição seguinte 
estabelece este fato. 
 
Uma aplicação f:A→B é injetiva, injetora ou unívoca, se: 
a≠b implica que f(a)≠f(b). Algumas vezes este tipo de 
aplicação é denominada 1-1 (lê-se: um-a-um). 
 
 
https://escolakids.uol.com.br/numeros-naturais.htm
https://escolakids.uol.com.br/numeros-naturais.htm
https://escolakids.uol.com.br/numeros-naturais.htm
Exemplo: A função f:R→R, definida por f(x)=x2 não é 
injetiva, pois f(−2)=f(2), mas a função f:[0,∞)→[0,∞) 
definida por f(x)=x2 é injetiva. 
 
 
Teorema: 
Seja f:A→B uma aplicação. f é injetora se, e somente 
se, f(a)=f(b) implica que a=b. 
 
 Demonstração: 
São equivalentes as proposições lógicas 
1. a≠b implica que f(a)≠f(b) 
2. f(a)=f(b) implica que a=b. 
 
pois a proposição lógica p→q equivale à proposição 
lógica q′→p′. 
 
 
 
Pode ocorrer que algum elemento de B não esteja na 
imagem de um elemento de A. Temos uma outra 
definição. 
Dizemos que a aplicação f:A→B é sobrejetiva, 
sobrejetora ou sobre, se todos os elementos de B são 
imagens de elementos de A, ou seja, para 
todo b∈B existe a∈A tal que f(a)=b, o que significa 
que f(A)=B. 
 
Exemplo: 
A função f:R→R, definida por f(x)=x2 não é sobrejetiva, 
pois não existe x∈R, tal que f(x)=−2, 
mas f:[0,∞)→[0,∞)f:[0,∞)→[0,∞) definida 
por f(x)=x2 é sobrejetiva. 
 
 Teorema: 
Seja f:A→B uma aplicação. f é sobrejetora se, e 
somente se, para todo b∈B, a equação f(x)=b tem 
pelo menos uma solução em A. 
A demonstração é imediata, pois com o teorema, 
temos duas maneiras para garantir que f é 
sobrejetiva. 
 
Uma aplicação f:A→B é bijetiva, bijetora ou uma 
correspondência biunívoca, se f é injetiva e sobrejetivaExemplo: A função f:R→R, definida por f(x)=x2 não é 
bijetiva, mas a função f:[0,∞)→[0,∞) definida por 
f(x)=x2 é bijetiva. 
 
Exemplo: A aplicação f:R−{2}→R−{3} definida por 
f(x)=(3x−1)/(x−2) é injetora pois, se f(a)=f(b) então 
(3a−1)/(a−2)=(3b−1)/(b−2) e daí segue que a=b. f 
também é sobre pois se f(x)=b, então (3x−1)/(x−2)=b, 
de onde segue que se b≠3 então x=(2b−1)/(b−3). 
Finalmente, segue que f é bijetora pois é injetora e 
sobrejetora 
 
Nota sobre a palavra sobre: Afirmar que f:A→B é uma 
aplicação injetiva sobre o conjunto B, é o mesmo que 
afirmar que f é bijetiva