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Notas de Aula de Cálculo
Cálculo Vetorial
Bárbara Rodriguez Cristiana Poffal
22 de setembro de 2019
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Resumo baseado no livro Matemática Avançada para Engenharia: álgebra linear e
cálculo vetorial - v. 2 de Dennis Zill e Michael Cullen
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
1 Notas de aula de Cálculo - FURG
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Sumário
1 Cálculo Vetorial 4
1.1 Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Limite de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Continuidade de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Derivada de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Integral de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Comprimento de uma Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Velocidade, Direção e Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Modelando o Movimento de Projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Vetor Tangente Unitário T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.11 Vetor Normal Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.12 Círculo de Curvatura e Raio de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.13 Vetor Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.14 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.15 Derivada Direcional e Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.15.1 Propriedades da Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . 16
1.16 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.17 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.18 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.19 Funções Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.20 Campo Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.21 Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.21.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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SUMÁRIO
1.21.2 Integrais de Linha no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.21.3 Integral de Linha: Curva definida por uma função explícita . . 23
1.21.4 Forma Compacta para Escrever a Integral de Linha . . . . . . 24
1.21.5 Aplicação da Integral de Linha: Trabalho . . . . . . . . . . . . 24
1.21.6 Circulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.21.7 Integrais de Linha: Independência do Caminho . . . . . . . . 25
1.22 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.23 Integrais de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.23.1 Superfícies Orientáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.23.2 Integral de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.23.3 Aplicações de Integrais de Superfície . . . . . . . . . . . . . . 30
1.23.4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . 30
1.24 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.25 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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Capítulo 1
Cálculo Vetorial
Neste capítulo estudam-se as funções vetoriais, o cálculo de limites,
derivadas e integrais e suas aplicações.
1.1 Funções Vetoriais
Quando um corpo se movimenta no espaço, as equações x = f(t), y =
g(t), z = h(t) fornecem as coordenadas do corpo na forma de funções do tempo que
podem ser usadas como equações paramétricas na modelagem do movimento e da
trajetória do corpo. Por meio da notação vetorial, pode-se escrever:
−→r (t) = (f(t), g(t), h(t)).
Definição 1.1.1. (Trajetória de uma partícula) Quando uma partícula se move
pelo plano durante um o intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula como
funções em I são: x = f(t), y = g(t), z = h(t), t ∈ I. Os pontos (x, y, z) =
(f(t), g(t), h(t)),t ∈ I, formam um curva no espaço que é a trajetória da partícula.
As equações e o intervalo I parametrizam a curva. A curva no espaço
também pode ser representada na forma vetorial. O vetor −→r (t) =
−→
OP = f(t)
−→
i +
g(t)
−→
j + h(t)
−→
k a partir da origem até a posição da partícula P (f(t), g(t), h(t))
no instante t é o vetor posição da partícula. As funções f(t), g(t) e h(t) são as
componentes do vetor posição.
A trajetória da partícula é a curva traçada por −→r durante o intervalo
de tempo I. A equação −→r (t) =
−→
OP = f(t)
−→
i + g(t)
−→
j + h(t)
−→
k define −→r como uma
função vetorial da variável t no intervalo I.
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1.2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
Exemplo 1.1.1. Represente as funções vetoriais:
a)−→r1 (t) = cos(t)
−→
i + sen(t)
−→
j , t ∈ [0, π]
b) −→r2 (t) = sec(t)
−→
i + tg(t)
−→
j t ∈ [−π/2, π/2]
c) −→r3 (t) = (cos(t), sen(t), t)
d) −→r4 (t) = (cos(t), sen(t), 4)
Figura 1.1: Ilustração Exemplo 1.1.1d)
Exemplo 1.1.2. Obtenha a função vetorial que descreve a curva C de intersecção
entre as superfícies indicadas z = x2 + y2, y = x, x = t.
Observação 1.1.1. Seja D uma região no espaço e seja
−→
f uma função vetorial
definida em D. Então em cada ponto P ∈ D,
−→
f associa um único vetor
−→
f (P ). A
região D, juntamente com os vetores
−→
f (P ) constitui um campo vetorial. Diz-se que
−→
f (P ) define um campo vetorial sobre D.
1.2 Limite de uma Função Vetorial
Se lim
t→a
f(t), lim
t→a
g(t) e lim
t→a
h(t) existem, então
lim
t→a
−→r (t) =
(
lim
t→a
f(t), lim
t→a
g(t), lim
t→a
h(t)
)
.
Exemplo 1.2.1. Considere −→r (t) =
(
sen(3t)
t
, (t− 4)3, 2t ln(t)
)
. Calcule lim
t→0+
−→r (t).
5 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
1.3 Continuidade de uma Função Vetorial
Uma função vetorial é contínua em t = a se
a) lim
t→a
−→r (t) existe.
b) lim
t→a
−→r (t) = −→r (a).
1.4 Derivada de uma Função Vetorial
A função vetorial −→r (t) = (f(t), g(t), h(t)) é derivável em t, se f , g e h
são deriváveis. A derivada de −→r (t) é
−→
r′ (t) =
d
dt
−→r (t) = (f ′(t), g′(t), h′(t)).
Observação 1.4.1. Quando as funções componentes de −→r têm as primeiras deri-
vadas contínuas e −→r 6= −→0 , ∀t ∈ (a, b), então −→r é dita uma função suave e a curva
C traçada por −→r é chamada de curva suave.
Observação 1.4.2. Quando
−→
r′ (t) 6= −→0 em um ponto P , então ele é um vetor
tangente à curva em P .
Exemplo 1.4.1. Determine
−−→
r′(t) e
−−→
r′′(t) para a função vetorial
−→r (t) = (t cos(t),−sen(t), t+ cos(t)).
Exemplo 1.4.2. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
−→r (t) = (t3 − t, 6t
t+ 1
, (2t+ 1)2) em t = 1.
1.4.1 Regras de Derivação
Considere −→r1 e −→r2 funções vetoriais diferenciáveis e u(t) uma função
escalar diferenciável. Valem as seguintes regras de derivação.
1) Regra da Soma:
d
dt
[−→r1 (t) +−→r2 (t)] =
−→
r′1 (t) +
−→
r′2 (t)
2) Regra do Produto por uma Função Escalar:
d
dt
[u(t)−→r1 (t)] = u(t) ·
−→
r′1 (t) + u
′(t) · −→r1 (t)
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1.5. INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
3) Regra do Produto de Funções Vetoriais:
d
dt
[−→r1 (t) · −→r2 (t)] = −→r1 (t) ·
−→
r′2 (t) +
−→
r′1 (t) · −→r2 (t)
4) Regra do Produto Vetorial de Funções Vetoriais:
d
dt
[−→r1 (t)×−→r2 (t)] = −→r1 (t)×
−→
r′2 (t) +
−→
r′1 (t)×−→r2 (t).
Exemplo 1.4.3. Mostre que −→r (t) = (sen(t), cos(t),
√
3) tem comprimento cons-
tante e é ortogonal à sua derivada.
1.5 Integral de uma Função Vetorial
A integral indefinida de −→r em relação a t é o conjunto de todas as
primitivas de −→r , denotada por
∫ −→r (t)dt. Se −→R for uma primitiva qualquer de
−→r (t), então ∫
−→r (t)dt =
−→
R +
−→
C .
Exemplo 1.5.1. Calcule a integral de:
a) −→r (t) = (cos(t), 1,−2t)
b) −→r (t) = (cos(t),−1, 3t) para t ∈ [0, π
2
].
1.6 Comprimento de uma Curva
Se −→r (t) = (f(t), g(t), h(t)) for uma função suave, então o comprimento
da curva suave traçada por −→r é dada por:
s =
∫ b
a
√
[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 + [h′(t)]2dt
ou
s =
∫ b
a
‖−→r (t)‖dt.
Exemplo 1.6.1. Considere a hélice −→r (t) = (2 cos(t), 2sen(t), t), t > 0.
a) Calcule
−→
r′ (t).
b) Determine o comprimento s da curva de −→r (0) até um ponto arbitrário −→r (t).
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1.7. VELOCIDADE, DIREÇÃO E MÓDULO
c) Escreva a equação vetorial da hélice em função de s (o comprimento da curva).
d) Calcule ‖
−→
r′ (s)‖.
Figura 1.2: Ilustração da Hélice
Exemplo 1.6.2. Um planador está voando para cima ao longo da hélice −→r (t) =
(cos(t), sen(t), t). Qual é a distância percorrida pelo planador ao longo sua trajetória
de t = 0 até t = 2π?
Observação 1.6.1. Se uma curva −→r (t) for dada em termos de algum parâmetro t e
se s(t) for uma função do comprimento de arco, então talvez seja possível determinar
t como função de s: t = t(s). Então a curva pode ser parametrizada em termos de
s: −→r = −→r (t(s)).
Exercício 1.6.1. Exercícios sugeridos da seção 3.1: 15 a 20, 25, 26, 33 a 36, 41 e
46.
1.7 Velocidade, Direção e Módulo
Se −→r (t) éo vetor posição de uma partícula que se move ao longo de
uma curva suave no plano, então
−→v (t) =
−→
r′ (t)
é o vetor velocidade da partícula, tangente à curva. Em qualquer instante t, a
direção de −→v é a direção do movimento.
O módulo da velocidade −→v é denotado por ‖−→v ‖.
A aceleração é a derivada da velocidade
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1.8. MODELANDO O MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
−→a (t) =
−→
v′ (t) =
−→
r′′(t).
O vetor
−→v
‖−→v ‖
é a direção do movimento no instante t.
Exemplo 1.7.1. Uma pessoa em uma asa delta está espiralando para cima de-
vido ao ar ascendente muito veloz e uma trajetória com vetor posição −→r (t) =
(3 cos(t), 3sen(t), t2), para 0 ≤ t ≤ 4π. Determine:
a) os vetores velocidade e aceleração;
b) o módulo da velocidade da asa delta em qualquer instante;
c) os instantes, se houver, em que a aceleração é ortogonal à velocidade.
Figura 1.3: Ilustração da Asa Delta
Exercício 1.7.1. O vetor aceleração −→a (t) = (−3 cos(t),−3sen(t), 2). Em t = 0,
o objeto partiu do ponto (3, 0, 0) com velocidade −→v (0) = (0, 3, 0). Determine a
posição do objeto em função do tempo t.
1.8 Modelando o Movimento de Projéteis
Para modelar o movimento do projétil, assume-se que o projétil se com-
porta como uma partícula que se move em um plano coordenado vertical e que a
única força que atua sobre o projétil durante sua trajetória no ar seja a força cons-
tante da gravidade, sempre apontando diretamente para baixo. Assumimos que o
projétil é lançado a partir da origem em t = 0 no primeiro quadrante com velocidade
inicial −→v0 . Se −→v0 fizer um ângulo α com a horizontal, então:
−→v0 = (‖−→v0‖ cos(α))
−→
i + (‖−→v0‖sen(α))
−→
j .
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1.8. MODELANDO O MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
A equação vetorial para o movimento ideal do projétil é
−→r (t) = (v0 cos(α))t
−→
i + (−gt
2
2
+ v0tsen(α))
−→
j .
Prova:
Assume-se que o projétil é lançado a partir da origem em t = 0 no
primeiro quadrante com velocidade inicial −→v0 .
Se −→v0 fizer um ângulo α com a horizontal, então:
−→v0 = (‖−→v0‖ cos(α))
−→
i + (‖−→v0‖sen(α))
−→
j .
Considerando v0 = ‖−→v0‖, tem-se −→v0 = (v0 cos(α), v0sen(α)). Vetorial-
mente, escreve-se a posição inicial como −→r = (0, 0) = −→0 .
A segunda lei de Newton para o movimento afirma que a força que atua
sobre um projétil é:
−→
F = m−→a , onde −→a = d
2−→r
dt2
, se −→r for o vetor posição do projétil
e t for o tempo.
Se a força que atua sobre o projétil for somente gravitacional −m−→g ,
então:
m
d2−→r
dt2
= −mg−→j .
Cancelando m:
d2−→r
dt2
= −g−→j ,
sujeita às condições iniciais −→r = −→r0 e −→v = −→v0 em t = 0.
Integrando
d2−→r
dt2
= −g−→j em t, obtém-se: d
−→r
dt
= −gt−→j +
−→
C1.
Como −→v = −→v0 em t = 0, chega-se a
−→
C1 =
−→v0 .
Integrando
d−→r
dt
= −gt−→j + −→v0 para obter −→r , tem-se: −→r = −
gt2
2
−→
j +
−→v0 t+
−→
C2.
Usando o fato que −→r = −→r0 , percebe-se que
−→
C2 =
−→
0 .
Dessa forma, deduz-se a equação vetorial para o movimento ideal do
projétil:
−→r = −→v0 t
−→
i +
[
−gt
2
2
+ v0sen(α)t
]
−→
j .
Exemplo 1.8.1. Um projétil é disparado da origem sobre uma superfície horizontal
com módulo da velocidade inicial de 500m/s e com ângulo de lançamento de 60◦.
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1.9. VETOR TANGENTE UNITÁRIO T
a) Escreva a equação que representa a trajetória do projétil.
b) Calcule a posição do projétil após 10s.
Exercício 1.8.1. Considerando a dedução da equação vetorial para o movimento
ideal do projétil, obtenha:
a) a altura máxima alcançada pelo projétil;
b) o tempo até atingir o chão;
c) o alcance do projétil.
Exercício 1.8.2. Exercícios sugeridos da seção 3.2: 1 a 9.
1.9 Vetor Tangente Unitário T
O vetor velocidade −→v = d
−→r
dt
é tangente à curva e o vetor
−→
T =
−→v
‖−→v ‖
é
o vetor tangente unitário à curva suave.
Exemplo 1.9.1. Determine o vetor tangente unitário
−→
T da curva−→r (t) = (3 cos(t), 3sen(t), t2).
1.10 Curvatura
Corresponde à taxa com a qual o vetor unitário
−→
T muda de direção em
relação ao comprimento de arco com um indicador da curvatura de uma curva suave
C.
Definição 1.10.1. Se
−→
T é o vetor unitário de uma curva suave, a função curvatura
da curva é
κ = |d
−→
T
ds
|
ou
κ =
1
‖−→v ‖
‖d
−→
T
dt
‖,
onde
−→
T é o vetor tangente unitário.
Exemplo 1.10.1. Determine a curvatura de um círculo de raio a.
11 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.11. VETOR NORMAL PRINCIPAL
Observação 1.10.1. A curvatura de C em um dado ponto é a medida de quão
rapidamente a curva muda de direção no ponto. Por exemplo, círculos de pequeno
raio têm grande curvatura, enquanto grandes círculos possuem pequena curvatura.
1.11 Vetor Normal Principal
Definição 1.11.1. Se −→r (t) é uma curva suave, então a normal unitária principal é
−→
N =
d
−→
T
dt
‖d
−→
T
dt
‖
,
onde
−→
T é o vetor tangente unitário.
Observação 1.11.1. O vetor normal principal aponta para o lado côncavo da curva.
Exemplo 1.11.1. Determine os vetores tangente unitário e o normal principalpara
−→r (t) = (cos(2t), sen(2t)).
1.12 Círculo de Curvatura e Raio de Curvatura
Definição 1.12.1. O raio de curvatura em um ponto P em uma curva C é o raio
do círculo que se ajusta à curva melhor que qualquer outro círculo. O círculo em P
é chamado de círculo de curvatura e o seu centro é o centro de curvatura. O raio de
curvatura é ρ =
1
κ
.
Observação 1.12.1. O círculo de curvatura tem a mesma reta tangente em P que
a curva C e o seu centro se localiza no lado côncavo da curva.
Exemplo 1.12.1. Determine e trace o gráfico do círculo osculador da parábola
y = x2 na origem.
1.13 Vetor Binormal
Definição 1.13.1. O vetor
−→
B =
−→
T ×
−→
N é chamado de binormal.
Exemplo 1.13.1. Determine
−→
B para −→r (t) = (3sen(t), 3 cos(t), 4t).
12 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.13. VETOR BINORMAL
Observação 1.13.1. Componentes tangencial e normal da aceleração
Suponha que uma partícula se mova em duas ou três dimensões em uma curva suave
C descrita pela função vetorial −→r .
A velocidade da partícula em C é −→v (t) =
−→
r′ (t). Considera-se v = ‖−→v ‖.
Sabe-se que o vetor tangente unitário é
−→
T =
−→v
v
, (1)
a curvatura é dada por κ =
‖d
−→
T
dt
‖
v
(2)
e o vetor normal unitário é
−→
N =
d
−→
T
dt
‖d
−→
T
dt
‖
(3).
Reescrevendo (1) como −→v = v
−→
T (4),
tem-se uma expressão para a velocidade em termos de
−→
T .
Derivando (4), obtém-se a aceleração:
−→a = v′
−→
T + v
d
−→
T
dt
. (5)
De (3), segue que
d
−→
T
dt
= ‖d
−→
T
dt
‖
−→
N (6)
e de (2), escreve-se que ‖d
−→
T
dt
‖ = κv. (7)
Assim, de (5) chega-se a:
−→a = v′
−→
T + κv2
−→
N . (8)
Portanto, o vetor aceleração da partícula em movimento é a soma de dois vetores
ortogonais. A função escalar aN = κv2 é chamada de componente normal da acele-
ração e aT = v′ é a componente tangencial da aceleração.
Significado: Para um passageiro em um carro uma virada brusca em uma rua
13 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.14. DERIVADAS PARCIAIS
pode ser vista como um grande valor de curvatura de modo que a componente da
aceleração perpendicular ao movimento é grande e o passageiro é jogado contra a
porta do carro. A alta velocidade em uma curva tem o mesmo efeito: quando se
dobra a velocidade, a componente normal da aceleração aumenta um fator 4.
Exercício 1.13.1. Escreva aN e aT em função de −→r ,
−→
r′ e
−→
r′′ .
Exercício 1.13.2. Exercícios sugeridos da seção 3.3: 7 a 16.
1.14 Derivadas Parciais
Revisar o material de Cálculo diferencial e Integral I e resolver os exer-
cícios sugeridos a seguir.
Exercício 1.14.1. Exercícios sugeridos da seção 3.4: 13 a 37, 39 a 52 .
1.15 Derivada Direcional e Vetor Gradiente
Definição 1.15.1. O vetor gradiente de f(x, y) no ponto P0 = (x0, y0) é o vetor
−→
∇f = ∂f
∂x
−→
i +
∂f
∂y
−→
j
obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P0.
Observação 1.15.1. O vetor gradiente de f(x, y, z) no ponto P0 = (x0, y0, z0) é o
vetor
−→
∇f = ∂f
∂x
−→
i +
∂f
∂y
−→
j +
∂f
∂z
−→
k .
Observação 1.15.2. Gradiente e Reta Tangente a curvas de nível
Se uma função f(x, y) tiver um valor constante c ao longo de uma curva lisa
−→r = (g(t), h(t)) (fazendo da curva uma curva de nível de f), então f(g(t), h(t)) = c.
Derivando ambos os lados da equação em relação a t, obtém-se:
d
dt
f(g(t), h(t)) =
d
dt
c.
Usando a regra da Cadeia:
14 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.15. DERIVADA DIRECIONAL E VETOR GRADIENTE
df
dx
dg
dt
+
df
dy
dh
dt
= 0.
Em forma vetorial, pode-se escrever:
(
df
dx
,
df
dy
)
·
(
dg
dt
,
dh
dt
)
= 0
o que leva a
∇f · d
−→r
dt
= 0.
Portanto, ∇f é ortogonal ao vetor tangente, portanto é normal à curva.
Teorema 1.15.1. A derivada direcional D−→u f de f na direção do vetor unitário −→u
é calculada por
D−→u f =
−→
∇f · −→u .
Exemplo 1.15.1. Determine o gradiente de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto A =
(2, 0).
Exemplo 1.15.2. Determine a derivada direcional de f(x, y) = xey + cos(xy) no
ponto A = (2, 0) na direção do do vetor −→u = (3,−4).
Figura 1.4: Ilustração Exemplo de Gradiente e Derivada Direcional
15 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.16. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL
1.15.1 Propriedades da Derivada Direcional
A derivada direcional de f na direção do vetor unitário −→u pode ser
calculada como
D−→u f =
−→
∇f · −→u = ‖
−→
∇f‖ cos(θ).
1) f aumenta mais rapidamente quando cos θ = 1 ou quando −→u está direção do
gradiente de f e tem o mesmo sentido de
−→
∇f . Neste caso, D−→u f = ‖
−→
∇f‖.
2) f decresce mais rapidamente no sentido oposto do
−→
∇f . Neste caso, D−→u f =
−‖
−→
∇f‖.
3) Qualquer direção −→u ortogonal ao gradiente
−→
∇f 6= −→0 é uma direção de variação
zero em f porque que θ é, então igual a
π
2
e D−→u f = 0.
Exemplo 1.15.3. Determine as direções nas quais f(x, y) =
x2
2
+
y2
2
a) cresce mais rapidamente no ponto A = (1, 1);
b) decresce mais rapidamente em (1, 1);
c) possui variação zero de f em (1, 1).
Observação 1.15.3. Se S é a superfície de nível de equação f(x, y, z) = k que
contém P0, então
−→
∇f(P0) é normal a Sem P0, ou seja,
−→
∇f(P0) é perpendicular a
qualquer vetor tangente a S no ponto P0.
Exemplo 1.15.4. Determine a taxa de variação de f(x, y, z) = xyz + e2x+y em
P0 = (−1, 2, 1) na direção do vetor −→u = (1, 1,
√
2).
Exercício 1.15.1. Exercícios sugeridos da seção 3.5: 1 a 10, 23 a 33, 41, 43.
1.16 Plano Tangente e Reta Normal
Definição 1.16.1. O plano tangente no ponto P0 = (x0, y0, z0) na superfície de
nível f(x, y, z) = c de uma função diferenciável f é o plano que passa por P0 e é
normal a
−→
∇f(P0).
Definição 1.16.2. A reta normal à superfície em P0 é a reta que passa por P0 e é
paralela a
−→
∇f(P0).
16 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.17. ROTACIONAL
Exemplo 1.16.1. Determine o plano tangente e a reta normal à superfície f(x, y, z) =
x2 + y2 + z − 9 = 0 no ponto P0 = (1, 2, 4).
Figura 1.5: Ilustração Exemplo Plano Tangente e Reta Normal
Exercício 1.16.1. Exercícios sugeridos da seção 3.6: 13 a 24.
1.17 Rotacional
Definição 1.17.1. O rotacional de um campo vetorial
−→
F = (P,Q,R) é o campo
vetorial
∇×
−→
F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Observação 1.17.1. Giro em torno de um eixo: a componente
−→
k do rota-
cional
O rotacional fornece a ideia de como o fluido está circulando ao redor dos eixos
localizados em diferentes pontos perpendiculares à região. Os físicos chamam de
densidade de circulação de um campo vetorial
−→
F em um ponto.
Considera-se o campo vetorial
−→
F = (P (x, y), Q(x, y)) e o retângulo A.
A circulação de
−→
F no sentido anti-horário em torno da fronteira de A é a soma das
taxas de escoamento ao longo dos lados.
Para a aresta inferior, a taxa de escoamento é aproximadamente:
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1.17. ROTACIONAL
Figura 1.6: Ilustração do Retângulo para Definir a Densidade de Circulação
−→
F · −→i ∆x = P (x, y)∆x.
Esta é a componente escalar da velocidade
−→
F (x, y) na direção do vetor tangente
−→
i vezes o comprimento do segmento. As taxas de escoamento ao longo dos outros
lados no sentido anti-horário são expressas de maneira análoga:
Topo:
−→
F (x, y + ∆y) · (−−→i )∆x = −P (x, y + ∆y)∆x
Fundo:
−→
F (x, y) · −→i ∆x = P (x, y)∆x
Direita:
−→
F (x+ ∆x, y) · (−→j )∆y = Q(x+ ∆x, y)∆y
Esquerda:
−→
F (x, y) · (−−→j )∆y = −Q(x, y)∆y.
Somando os pares opostos:
Topo e fundo: −(P (x, y + ∆y)− P (x, y))∆x ≈ −
(
∂P
∂y
∆y
)
∆x
Direita e esquerda: Q(x+ ∆x, y)∆y −Q(x, y)∆y ≈
(
∂Q
∂x
∆x
)
∆y.
Somando ambos os membros destas últimas equações e dividindo por ∆x∆y, tem-se
uma estimativa da densidade de circulação para o retângulo:
Fluxo
Area
≈ ∂Q
∂x
− ∂P
∂y
.
Faz-se ∆x e ∆y tenderem a zero para definir a densidade de circulação de
−→
F no
ponto (x, y).
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1.18. DIVERGENTE
A orientação positiva da densidade de circulação para o plano é o sentido anti-horário
de rotação ao redor do eixo vertical.
Observação 1.17.2. Fluido irrotacional
Um fluido é dito irrotacional se ∇ ×
−→
F =
−→
0 , o que significa que ele está livre de
turbilhões ou redemoinhos que causariam rotação.
1.18 Divergente
Definição 1.18.1. O divergente de um campo vetorial
−→
F = (P,Q,R) é a função
escalar div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Notação: ∇ ·
−→
F
Observação 1.18.1. Divergência de um Campo Vetorial
A divergência de um campo vetorial também é chamada de densidade de fluxo de
um campo vetorial.
Suponha que
−→
F = (P (x, y), Q(x, y)) seja o campo de velocidade de um escoamento
de um fluido no plano e que as derivadas parciais de primeira ordem de P e Q sejam
contínuas em cada ponto de uma região R. Seja (x, y) um ponto em R e A um
retângulo pequeno com um vértice em (x, y) que, juntamente com seu interior, está
inteiramente contido em R. Os lados do retângulo, paralelos aos eixos coordenados,
têm comprimentos ∆x e ∆y.
Figura 1.7: Ilustração do Retângulo para definir a Divergência
A taxa a qual o fluido deixa o retângulo através da aresta inferior é aproximadamente
−→
F (x, y) · (−−→j )∆x = −Q(x, y)∆x.
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1.18. DIVERGENTE
Esta é a componente escalar da velocidade em (x, y) na direção do vetor normal ex-
terior vezes o comprimento do segmento. Analogamente, as taxas às quais o fluido
atravessa os outros três lados nas direções de suas normais exteriores são:
Topo:
−→
F (x, y + ∆y) · (−→j )∆x = Q(x, y + ∆y)∆x
Fundo:
−→
F (x, y) · (−−→j )∆x = −Q(x, y)∆x
Direita:
−→
F (x+ ∆x, y) · (−→i )∆y = P (x+ ∆x, y)∆y
Esquerda:
−→
F (x, y) · (−−→i )∆y = −P (x, y)∆y.
Combinando pares opostos, tem-se:
Topo e fundo: Q(x, y + ∆y)∆x − Q(x, y)∆x = [Q(x, y + ∆y) − Q(x, y)]∆x ≈(
∂Q
∂y
∆y
)
∆x
Direita e esquerda: P (x+ ∆x, y)∆y − P (x, y)∆y ≈
(
∂P
∂x
∆x
)
∆y.
Somando ambos os lados dessas duas equações, obtém-se:
Fluxo através de uma fronteira retangular ≈
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
)
∆x∆y.
Dividindo por ∆x∆y para estimar o fluxo total por unidade de área ou a densidade
de fluxo para o retângulo:
Fluxo
area
≈ ∂P
∂x
+
∂Q
∂y
.
Fazendo ∆x e ∆y se aproximarem de zeropara definir a densidade de fluxo de
−→
F
no ponto (x, y).
Em matemática, chama-se a densidade de fluxo de divergente de
−→
F .
Observação 1.18.2. O divergente de
−→
F próximo de um ponto P (x, y, z) é o fluxo
por unidade de volume.
Se div
−→
F > 0, então P é uma fonte de
−→
F , pois existe um fluxo líquido de fluido
para fora próximo de P , se div
−→
F < 0, então P é dito escoadouro para
−→
F , pois
existe fluxo líquido de fluido para dentro próximo de P . Se div
−→
F = 0, então o fluido
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1.19. FUNÇÕES HARMÔNICAS
é dito incompressível.
Exemplo 1.18.1. Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
−→
F =
(x2sen(yz), z cos(xz3), ye5xy).
Exemplo 1.18.2. Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade −→v =
x
−→
j . Verifique que todas as partículas se deslocam em linha reta e que o campo de
velocidade dado representa um escoamento incompressível.
1.19 Funções Harmônicas
Quando uma função escalar f(x, y, z) tem derivadas de segunda ordem
contínuas e div(gradf) = 0 em um domínio é chamada de função harmônica neste
domínio. Isto é, ∇2f = 0 significa que f é uma função harmônica.
Exemplo 1.19.1. Verifique se f(x, y, z) = x2y + ey − z é harmônica.
1.20 Campo Conservativo
Definição 1.20.1. Seja
−→
F um campo vetorial em um domínio U . Se f = f(x, y, z)
é uma função diferenciável em U tal que
−→
F = ∇f
diz-se que
−→
F é um campo conservativo ou campo gradiente e a função f é chamada
de função potencial de
−→
F em U .
Teorema 1.20.1. Seja
−→
F = (f1, f2, f3) um campo vetorial contínuo em um domínio
U com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em U . Se
−→
F admite uma
função potencial f , então
∇×
−→
F =
−→
0 .
Exemplo 1.20.1. Verifique se o campo vetorial
−→
F = (yz+ 2, xz+ 1, xy+ 2z) é um
campo gradiente em R3. Em caso afirmativo, determine a função potencial f .
Exercício 1.20.1. Verifique se o campo vetorial
−→
F = (1 + ysen(x), 1 − cos(x)) é
conservativo. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
Exercício 1.20.2. Exercícios sugeridos da seção 3.7: 7 a 16, 38.
21 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.21. INTEGRAIS DE LINHA
1.21 Integrais de Linha
Integral de linha é uma integral definida ao longo de uma curva.
1.21.1 Conceitos Básicos
Considere uma curva parametrizada C : x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b.
Sejam os pontos A = (f(a), g(b)) e B = (f(b), g(b)).
Definição 1.21.1. (Curva suave) C é uma curva suave se f ′ e g′ são contínuas
em [a, b] e não simultaneamente nulas em (a, b).
Definição 1.21.2. (Curva suave por partes) C é uma curva suave por partes
for uma união de curvas suaves: C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn.
Definição 1.21.3. (Curva fechada) Se A = B, então a curva é dita fechada.
Definição 1.21.4. (Curva fechada simples) Se C for uma curva fechada que não
cruza por cima de si própria.
Observação 1.21.1. Se C não for uma curva fechada, então a direção positiva em
C é a direção correspondente ao crescimento dos valores de t.
Observação 1.21.2. A interpretação física de uma integral de linha depende do
significado físico de f . Suponha ρ(x, y) como sendo a densidade linear em um ponto
(x, y) de um arame fino com o formato de uma curva C. A massa da parte do arame
entre Pi−1 e Pi é ρ(xi, yi)∆si e a massa total é
∑
ρ(xi, yi)∆si =
∫
C
ρ(x, y)ds. O
centro de massa do arame com função densidade ρ está localizado no ponto:
x =
1
m
∫
C
xρ(x, y)ds
y =
1
m
∫
C
yρ(x, y)ds.
1.21.2 Integrais de Linha no Plano
Seja G uma função de duas variáveis x e y definida em uma região do
plano que contenha uma curva suave C.
i) A integral de linha de G ao longo de C a partir de A para B em relação a x é
I =
∫
C
G(x, y)dx =
∫ b
a
G(f(t), g(t))f ′(t)dt.
22 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.21. INTEGRAIS DE LINHA
ii) A integral de linha de G ao longo de C a partir de A para B em relação a y é
I =
∫
C
G(x, y)dy =
∫ b
a
G(f(t), g(t))g′(t)dt.
iii) A integral de linha de G ao longo de C a partir de A para B em relação ao
comprimento de arco é
I =
∫
C
G(x, y)ds =
∫ b
a
G(f(t), g(t))
√
[f ′(t)]2 + [g′(t)]2dt.
Exemplo 1.21.1. Considerando C uma semicircunferência centrada na origem com
raio 3, calcule:
a) I1 =
∫
C
(x+ 2y)dx
b) I2 =
∫
C
(x+ 2y)dy
c) I3 =
∫
C
(x+ 2y)ds
1.21.3 Integral de Linha: Curva definida por uma função ex-
plícita
Se uma curva C for definida por uma função explícita y = f(x), a ≤ x ≤
b, usa-se x como parâmetro. Assim dy = f ′(x)dx e ds =
√
1 + [f ′(x)]2dx. Portanto,
∫
C
G(x, y)dx =
∫ b
a
G(x, f(x))dx
∫
C
G(x, y)dy =
∫ b
a
G(x, f(x))f ′(x)dx
∫
C
G(x, y)ds =
∫ b
a
G(x, f(x))
√
1 + [f ′(x)]2dx.
Observação 1.21.3. Uma integral de linha ao longo de uma curva suave por par-
tes é definida como a soma das integrais sobre diversas curvas suaves cuja união
compreende C. Por exemplo, se C = C1 ∪ C2, então
∫
C
G(x, y)ds =
∫
C1
G(x, y)ds+
∫
C2
G(x, y)ds.
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1.21. INTEGRAIS DE LINHA
Observação 1.21.4. Notação:
∫
C
P (x, y)dx+
∫
C
Q(x, y)dy=
∫
C
Pdx+Qdy. Uma
integral de linha ao longo de uma curva fechada C é frequentemente representada
por
∮
C
Pdx+Qdy.
Exemplo 1.21.2. Calcule
∫
C
xydx+ x2dy, onde C : y = x2, 0 ≤ x ≤ 4.
Exemplo 1.21.3. Calcule
∮
C
3xyds, sendo C o triângulo de vértices A = (0, 0),
B = (1, 0) e C = (1, 2) no sentido anti-horário.
1.21.4 Forma Compacta para Escrever a Integral de Linha
Suponha
−→
F (x, y) = (P,Q) definida ao longo de uma curva C : x =
f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, então −→r (t) = (f(t), g(t)) é o vetor posição dos pontos de
C.
A derivada de −→r (t) é d
−→r
dt
= (f ′(t), g′(t)) e a diferencial d−→r = (dx, dy).
Como
−→
F · d−→r = Pdx+Qdy, pode-se escrever∫
C
Pdx+Qdy =
∫
C
−→
F · d−→r .
Analogamente para uma curva espacial∫
C
P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =
∫
C
−→
F · d−→r ,
onde
−→
F = (P,Q,R) e d−→r = (dx, dy, dz).
1.21.5 Aplicação da Integral de Linha: Trabalho
O trabalho W feito por uma força
−→
F causando um deslocamento em
linha reta
−→
d de um objeto é
W =
−→
F ·
−→
d .
O trabalho W realizado ao longo de uma curva C é
W =
∫
C
−→
F · d−→r .
Exemplo 1.21.4. Determine o trabalho realizado pela força
−→
F = (y, x) atuando
ao longo de y = ln(x) de (1, 0) até (e, 1).
Observação 1.21.5. A unidade de trabalho depende da unidade da força e do
deslocamento.
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1.21. INTEGRAIS DE LINHA
1.21.6 Circulação
Uma integral de linha de um campo vetorial em torno de uma curva
fechada simples C é chamada de circulação de
−→
F em torno de C, isto é,
∮
C
−→
F · d−→r .
Exemplo 1.21.5. Calcule
∮
C
(x2+y2)dx−2xydy na curva fechada C : x = 2 cos(θ); y =
2sen(θ) para 0 ≤ θ ≤ π.
Exercício 1.21.1. Exercícios sugeridos da seção 3.8: 1, 2, 3, 5, 17, 23, 29 e 35.
1.21.7 Integrais de Linha: Independência do Caminho
Teorema 1.21.1. (Teorema Fundamental para Integrais de Linha) Suponha
que exista uma função f(x, y) tal que df = Pdx+Qdy é uma diferencial exata, isto
é,
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
, então
∫
C
Pdx+Qdy depende apenas dos pontos extremos do caminho
C, ou seja, A e B e, portanto,∫
C
Pdx+Qdy = f(B)− f(A).
Observação 1.21.6. Se P , Q e R têm derivadas parciais primeiras contínuas em
uma região aberta e conexa do espaço, então
∫
C
Pdx + Qdy + Rdz é independente
do caminho se e só se
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
∂P
∂z
=
∂R
∂x
e
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
.
Observação 1.21.7. Campo vetorial conservativo
1) Sendo
−→
F = (P,Q) é um campo vetorial e P =
∂f
∂x
e Q =
∂f
∂y
, ou seja,
−→
F = ∇f .
Então
−→
F é um campo gradiente e f é a função potencial para
−→
F .
2) Se
−→
F = ∇f , então
−→
F é um campo conservativo. Se
−→
F = (x, y, z) e
−→
∇×
−→
F =
−→
0 ,
então
−→
F é campo conservativo.
3) A integral de linha de
−→
F = ∇f é independente do caminho de integração.
4) A integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é
zero.
Exemplo 1.21.6. Resolva os itens:
a) Verifique se o campo vetorial
−→
F = (y, x) é conservativo.
b) Calcule I =
∫ −→
F · d−→r de A = (0, 0) e B = (1, 1).
25 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.22. TEOREMA DE GREEN
Exemplo 1.21.7. Calcule I =
∫ −→
F · d−→r , sabendo que
−→
F = (2xy3, 1 + 3x2y2) ao
longo de qualquer caminho de A = (1, 4) e B = (3, 1).
Exemplo 1.21.8. Determine I =
∫
C
−→
F · d−→r , sendo
−→
F = (ex+y + 1, ex+y), e C
qualquer caminho de A = (1, 0) e B = (1, 1).
Observação 1.21.8. O teorema fundamental das integrais de linha vale para o
espaço tridimensional:
I =
∫
C
−→
F · d−→r = f(B)− f(A).
Exemplo 1.21.9. Calcule I =
∫
C
−→
F · d−→r , onde
−→
F = (yz + 2, xz + 1, xy + 2z) ao
longo de qualquer caminho que une A = (0, 0, 1) e B = (1, 2, 1).
Exemplo 1.21.10. Sendo
−→
F = (sen(x),−2yz,−y2), calcule I =
∫
C
−→
F ·d−→r ao longo
de qualquer caminho que une A = (0, 2, 0) e B = (2, 2, 4).
Exercício 1.21.2. Mostre as integrais são independentes do caminho. Calcule o
resultado.
a) I1 =
∫ (2,2)
(0,0)
x2dx+ y2dy
b) I2 =
∫ (2,4,8)
(1,1,1)
yzdx+ xzdy + xydz
Exercício 1.21.3. Calcule I =
∫
C
−→
F · d−→r , sabendo que
−→
F = (y − yzsen(x), x +
z cos(x), y cos(x)) e −→r (t) = (2t, (1 + cos(t))2, 4sen3(t)), 0 ≤ t ≤ π
2
.
Exercício 1.21.4. Exercícios sugeridos da seção 3.9: ímpares até o 18.
1.22 Teorema de Green
O Teorema de Green expressa uma integral curvilínea ao longo de uma
curva fechada no plano como uma integral dupla sobre uma região limitada pela
curva.
Teorema 1.22.1. Sejam C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada
no sentido anti-horário, e R uma região fechada delimitada por C. Se
−→
F = (P,Q)
é um campo vetorial contínuo com derivadas parciais de primeira ordem contínuas
em um domínio D que contém R, então∮
C
Pdx+Qdy =
∫ ∫
R
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy.
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1.23. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Exemplo 1.22.1. Use o teorema de Green para calcular
∮
C
y2dx+ 2x2dy, sendo C
o triângulo de vértices O = (0, 0), A = (1, 2) e B = (0, 2) no sentido anti-horário.
Exemplo 1.22.2. Calcule I =
∫
C
−→
F ·d−→r ao longo da circunferência x2+(y−1)2 = 1,
no sentido horário, sendo
−→
F = (4x2 − 9y, 9xy +
√
y2 + 1).
Exemplo 1.22.3. Calcule o fluxo exterior do campo
−→
F = (y2, x) através do qua-
drado limitado pelas retas x = ±1 e y = ±1, usando o teorema de Green.
Exercício 1.22.1. Verifique o teorema de Green para o campo
−→
F (x, y) = (x−y, x)
e a região R limitada pela circunferência unitária C : −→r (t) = (cos(t), sen(t)), 0 ≤
t ≤ 2π.
Exercício 1.22.2. Utilize o teorema de Green para calcular
∮
C
(
√
ydx+
√
xdy) onde
C é o contorno formado pelas retas y = 0, x = 1 e a parábola y = x2 no sentido
anti-horário.
Observação 1.22.1. Uma aplicação da direção reversa do teorema de Green está
no cálculo de áreas. Como a área de uma região D é
∫ ∫
D
dA, deseja-se escolher P
e Q de modo que∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1. Existem as possibilidades:
1) Se P (x, y) = 0, Q(x, y) = x, então A =
∮
C
xdy.
2) Se P (x, y) = 0, Q(x, y) = −y, então A = −
∮
C
ydx.
3) Se P (x, y) = −1
2
y,Q(x, y) =
1
2
x, então A =
1
2
∮
C
xdy − ydx.
Exemplo 1.22.4. Calcule a área delimitada pela elipse
x2
4
+
y2
9
= 1.
Exemplo 1.22.5. Calcule a área do círculo −→r (t) = (a cos(t), asen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
Exercício 1.22.3. Exercícios sugeridos da seção 3.12: 2, 4, 5, 7, 9 e 13.
1.23 Integrais de Superfície
1.23.1 Superfícies Orientáveis
Uma superfície S é orientável ou é uma superfície orientada se existir
uma função vetorial normal unitária contínua −→n definida em cada ponto P (x, y, z)
27 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.23. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
na superfície. Uma superfície S definida por z = f(x, y) tem orientação para cima
quando as normais unitárias estão direcionadas para cima (cota > 0) e têm ori-
entação para baixo quando as normais estão voltadas para baixo (cota< 0). Se a
superfície é definida por g(x, y, z) = 0, então
−→n =
−→
∇g
‖
−→
∇g ‖
.
Para uma superfície fechada, a convenção positiva é aquela para a qual
os vetores normais apontam para fora.
Figura 1.8: Plano tangente e vetor normal a uma superfície
Fonte: Kreyszig
1.23.2 Integral de Superfície
Figura 1.9: Área de uma superfície
Fonte: Zill, Cullen
Definição 1.23.1. Seja f uma função na qual as derivadas parciais primeiras fx e
fy sejam contínuas em uma região fechada R, então a área da superfície sobre R é
dada por
A(S) =
∫ ∫
R
√
1 + f 2x + f
2
ydA.
28 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.23. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Figura 1.10: Área de uma superfície
Fonte: Zill, Cullen
A função dS =
√
1 + f 2x + f
2
ydA é chamada de diferencial de superfície.
Exemplo 1.23.1. Determine a área da superfície da parte do plano 2x+3y+4z = 12
que é limitada pelos planos coordenados no primeiro octante.
Exercício 1.23.1. Determine a área da parte do parabolóide z = x2 + y2 que está
abaixo do plano z = 9.
Exercício 1.23.2. Calcule a área da calota cortada pelo hemisfério x2+y2+z2 = 2,
z ≥ 0 pelo cilindro x2 + y2 = 1.
Exemplo 1.23.2. Calcule
∫ ∫
S
G(x, y, z)dS, sabendo que G(x, y, z) = x e S é a
porção do cilindro z = 2− x2 no primeiro octante limitada por x = 0, y = 0, y = 4
e z = 0.
Exemplo 1.23.3. Calcule
∫ ∫
S
ydS, onde S é a superfície z = x+ y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e
0 ≤ y ≤ 2.
1.23.3 Aplicações de Integrais de Superfície
Fluxo elétrico
Se
−→
E é o campo elétrico, então I =
∫ ∫
S
−→
E · −→n dS é o fluxo elétrico de
−→
E através de S.
Carga elétrica
Lei de Gauss: a carga contida por uma superficie S é
Q = ε0
∫ ∫
S
−→
E · −→n dS.
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1.23. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Fluxo de calor
Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja
u(x, y, z), então o fluxo de calor é definido pelo campo vetorial
−→
F = −k
−→
∇u, onde k
é a condutividade da substância.
A taxa de fluxo de calor através da superfície S no corpo é dada por:∫ ∫
S
−→
F · −→n dS = −k
∫ ∫
S
−→
∇u · −→n dS.
Exemplo 1.23.4. A temperatura de uma bola metálica é proporcional ao quadrado
da distância do centro da bola. Determine a taxa de fluxo de calor através da esfera
S de raio a e centro no centro da bola.
1.23.4 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais
Se
−→
F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) for o campo de veloci-
dade de um fluido, então o volume do fluido escoando através de um elemento de
área de superfície ∆S por unidade de comprimento é aproximado por:
(altura) · (área da base)=(
−→
F · −→n )∆S,
onde −→n é o vetor unitário normal à superfície.
O volume total de um fluido passando através de S por unidade de
tempo é chamado de fluxo de
−→
F através de S, sendo dado por
fluxo=
∫ ∫
S
(
−→
f · −→n )dS.
Exemplo 1.23.5. Seja S a superfície exterior do parabolóide −→r = (x, y, x2 + y2),
(x, y) ∈ R, onde R = {(x, y)‖x2 + y2 ≤ 4}. Determine
∫ ∫
S
(
−→
f · −→n )dS, onde
−→
f é o
campo vetorial definido por
−→
f = (3x, 3y,−3z).
Exemplo 1.23.6. Calcule
∫ ∫
S
(
−→
f ·−→n )dS, onde
−→
f = (x, y, z) e S é a parte do plano
2x + 3y + 4z = 12 cortada por x = 0, y = 0, x = 1 e y = 2 e −→n a normal com
componente z não negativa.
Exemplo 1.23.7. Determine o fluxo do campo vetorial
−→
f = (x, y, z) através da
esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Exercício 1.23.3. Exercícios sugeridos da seção 3.13: 1, 3, 5, 8, 15, 17 e 25.
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1.24. TEOREMA DE STOKES
1.24 Teorema de Stokes
Teorema 1.24.1. (Teorema de Stokes) Seja S uma superfície orientável suave
por partes limitada por uma curva fechada simples e suave por partes C. Seja
−→
F = (P,Q,R) um campo vetorial para o qual P , Q e R são contínuas e têm
derivadas parciais primeiras contínuas em uma região tridimensional contendo S.
Se C for atravessada na direção positiva, então∮
C
−→
F · d−→r =
∫ ∫
S
(∇×
−→
F ) · −→n dS,
onde −→n é uma normal unitária a S na direção da orientação de S.
Exemplo 1.24.1. Verifique o teorema de Stokes.Considere que a superfície S
esteja orientada para cima
−→
F = (5y,−5x, 3) e S é a porção do plano z = 1 dentro
do cilindro x2 + y2 = 4.
Exemplo 1.24.2. Utilize o teorema de Stokes para calcular I =
∫
y2dx+z2dy+x2dz,
onde C é o contorno da parte do plano x+ y + z = 4, que está no primeiro octante
no sentido anti-horário.
Exemplo 1.24.3. Calcule
∫ ∫
S
(
−→
∇×−→g ) ·−→n dS, sendo −→g = (xy2, x, z3) e S qualquer
superfície suave delimitada pela curva −→r (t) = (2 cos(t), 3sen(t), 1), 0 ≤ t ≤ 2π, com
a normal apontando para cima.
Exemplo 1.24.4. Calcule
∫
C
sen(z)dx− cos(x)dy+ sen(z)dz, onde C é o perímetro
do retângulo 0 ≤ x ≤ π,0 ≤ y ≤ 1, z = 3 no sentido horário.
Exemplo 1.24.5. Calcule
∮
C
−→
F · d−→r , onde
−→
F = (−y2, x, z2) e C é a curva da
intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. (Oriente C para ter o
sentido anti-horário quando visto de cima.)
Exemplo 1.24.6. Use o teorema de Stokes para calcular
∫ ∫
rot
−→
F · dS, onde
−→
F =
(yz, xz, xy) e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do cilindro
x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.
Exercício 1.24.1. Use o teorema de Stokes para calcular
∫
C
−→
f d−→r , para C orientada
em sentido anti-horário, sabendo que
−→
f (x, y, z) = (x + y2, y + z2, z + x2) e C é o
triângulo de vértices A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1).
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1.24. TEOREMA DE STOKES
Exercício 1.24.2. Seja S a parte do gráfico de z = 9− x2 − y2, z ≥ 0 com normal
exterior. Determine I =
∫ ∫
S
(
−→
∇ ×−→g ) · −→n dS, sendo −→g = (3z, 4x, 2y).
Exercício 1.24.3. Use o teorema de Stokes para calcular
∫
C
−→
f · d−→r . Considere
−→
f (x, y, z) = (yz, 2xz, exy) e C como sendo a circunferência x2 + y2 = 16 e z = 5.
Exercício 1.24.4. Calcule
∮
C
[(x2 + 2y3)dx + xy2dy + 3
√
z2 + 1dz], sendo C a cir-
cunferência x = a cos(t), y = asen(t), z = 2, 0 ≤ t ≤ 2π.
Exercício 1.24.5. Utilize o teorema de Stokes para calcular as integrais de linha:
a) I =
∮
C
(y2dx+ x2dz), onde C é o contorno da parte do plano 2x+ y+ z = 4 que
está no primeiro octante, no sentido anti-horário.
b) I =
∮
C
[(y+2z)dx+(2z+x)dy+(x+y)dz], onde C é a intersecção das superfícies
x2 + y2 + z2 = a2 e x =
a
2
. Considere os dois sentidos de percurso.
c) I =
∮
C
[xdx + ydy + z2dz], onde C é o perímetro do retângulo 0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤ 4, z = 4 no sentido anti-horário.
d) I =
∮
C
[ex
2
dx+ (x+ z)dy + (2x− z)dz], onde C é o contorno da parte do plano
x+ 2y + z = 4 que está no primeiro octante, no sentido anti-horário.
e) I =
∮
C
~fd~r, onde ~f = (y3 cos(xz), 2x2+z2, y(x−z)) e C é o retângulo 0 ≤ x ≤ 4,
0 ≤ z ≤ 1, no plano y = 2. Considere os dois sentidos de percurso.
f) I =
∮
C
[ydx + (y + 2z + x)dy + (x + 2y)dz], onde C é a intersecção do cilindro
x2 + y2 = 1 com o plano z = y, orientado no sentido anti-horário.
g) I =
∮
C
[(y − x)dx + (x − z)dy + (x − y)dz], onde C é o retângulo de vértices
(0, 0, 5), (0, 2, 5), (−1, 0, 5) e (−1, 2, 5) no sentido horário.
h)I =
∮
C
~fd~r, onde ~f = (ex2 + 2y, ey2 + x, ez2) e C é elipse x = cos(t), y = 2sen(t),
z = 2 para 0 ≤ t ≤ 2π.
i) I =
∮
C
[(x2+2y3)dx+(xy2)dy+ 3
√
z2 + 1dz], onde C é circunferência x = a cos(t),
y = asen(t), z = 2 para 0 ≤ t ≤ 2π.
Exercício 1.24.6. Seja S a parte do gráfico z = 16 − x2 − y2, z ≥ 0 com normal
exterior. Determine I =
∫ ∫
S
rot~g · ~ndS, sendo ~g = (2y, y + z, z).
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1.25. TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
Exercício 1.24.7. Calcule I =
∫ ∫
S
rot~g · ~ndS, sendo ~g = (xy2, x, z3) e S qualquer
superfície suave delimitada pela curva ~r(t) = (2 cos(t), 3sen(t), 1), para 0 ≤ t ≤ 2π.
Respostas
1.24.5 a)−16 b)3a
2π
4
c)0 d)−16 e)±(sen(4)− 4) f)2π g)0 h) −2π i)−5πa
4
4
1.24.6 −32π
1.24.7 6π
1.25 Teorema da Divergência
Este teorema expressa uma relação entre uma integral tripla sobre um
sólido e uma integral de superfície sobre a fronteira deste sólido.
Teorema 1.25.1. (Teorema da Divergência) Seja D um sólido no espaço limi-
tado por uma superfície orientável S. Se −→n é a normal unitária exterior a S e se
−→
f (x, y, z) = (P,Q,R) é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais
de primeira ordem contínuas em um domínio que contém D, então∫ ∫
S
−→
f · −→n dS =
∫ ∫ ∫
D
div(
−→
f )dV .
ou ∫ ∫
S
[Pdydz +Qdzdx+Rdxdy] =
∫ ∫ ∫
D
[
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
]
dxdydz.
Exemplo 1.25.1. Determine o fluxo do campo vetorial
−→
f = (z, y, x) sobre a esfera
x2 + y2 + z2 = a2.
Exemplo 1.25.2. Calcule I =
∫ ∫
S
−→
f · −→n dS, onde
−→
f = (xy, y2 + exz
2
, sen(xy))
e S é a superfície da região E limitada pelo cilindro parabólico z = 1 − x2 e pelos
planos z = 0, y = 0 e y + z = 2.
Exemplo 1.25.3. Utilizando o teorema da Divergência, calcule o fluxo de
−→
f =
(exsen(y), ex cos(y), yz2) através da superfície da caixa delimitada pelos planos x = 0,
x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.
Exemplo 1.25.4. Determine o valor de
∫ ∫
S
[xdydz + ydzdx+ zdxdy], onde S é a
superfície da região delimitada pelo cilindro x2 +y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = 3
usando o teorema da divergência.
33 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.25. TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
Exemplo 1.25.5. Use o teorema da divergência para calcular a integral de superfície
I =
∫ ∫
S
−→
f · d
−→
S , ou seja, calcule o fluxo através de S.
a)
−→
f = (xysen(z), cos(xz), y cos(z)), S é o elipsóide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
b)
−→
f = (cos(z) + xy2, xe−z, sen(y) + x2z), S é a superfície do sólido limitado pelo
parabolóide z = x2 + y2 e o plano z = 4.
Exercício 1.25.1. Prove cada identidade, admitindo que S e E satisfaçam às condi-
ções do Teorema de Gauss e que as funções escalares componentes do campo vetorial
tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
a)
∫ ∫
S
−→a · −→n dS = 0, onde −→a éum vetor constante.
b) V (E) =
1
3
∫ ∫
S
−→
f · −→n d
−→
S , onde
−→
f = (x, y, z).
Exercício 1.25.2. Verifique que o teorema da divergência é verdadeiro para o campo
vetorial
−→
f = (x2, xy, z) na região que é delimitada pelo parabolóide de z = 4−x2−y2
e pelo plano xy.
Exercício 1.25.3. Use o teorema da divergência para calcular o fluxo de saída do
campo
−→
f (x, y, z) = (2x, 3y, z2) através do cubo de lado unitário que é determinado
pelos vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k .
Exercício 1.25.4. Exercícios sugeridos da seção 3.16: 5, 6, 8, 11, 12 e 13.
34 Notas de aula de Cálculo - FURG