Matematica-Conceito-de-Matriz-Ricardo-Nunes

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Matrizes 
Prof Nunes 
Matemática - Matrizes – Teoria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
Matrizes 
 
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Matrizes 
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1- Definição 
Matrizes são tabelas onde os elementos estão dispostos em linhas e colunas. 
Representamos matrizes com letras maiúsculas e os elementos com letras 
minúsculas: 
 
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 
Lê-se: Seja a matriz A, do tipo mxn, formada pelos elementos aij 
O termo “mxn”, que é o tipo da matriz, indica quantas linhas(m) e quantas 
colunas(n) tem a matriz e o termo “aij” indica em qual posição, dentro da 
tabela, se encontra o elemento a. Por ex: o elemento a23 se encontra na 
segunda linha e terceira coluna. 
 
Ex: 𝐴 = (
 4 1 5
−2 3 2
) e a23 = 2 ; A matriz A é do tipo 2x3 
Obs: Para representarmos matrizes, podemos usar parênteses ou colchetes. 
 
 
2- Tipos de matrizes 
2.1 – Matrizes Quadradas (An) 
Como o próprio nome está dizendo, são matrizes que tem a quantidade de 
linhas igual a quantidade de colunas. Nesse caso não usamos o termo “tipo” 
mas sim “ordem”. 
An Lê-se: Matriz A de ordem n 
 
Ex: 𝐴3 = (
1 0 3
4 3 1
6 5 − 1
) 
Nesse caso, toda matriz quadrada tem as diagonais designadas: 
principal(DP) e secundária(DS). 
𝐴3 = (
1 0 3
4 3 1
6 5 − 1
) 
 
 
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 DS DP 
 
2.2 – Matriz Identidade (In) 
É uma matriz quadrada de ordem n que tem os elementos da diagonal 
principal todos iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a 0, ou seja, a ij = 1 
se i=j e aij = 0 se i≠j. 
Ex: 
𝐼2 = (
1 0
0 1
) 𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
A matriz identidade é importante porque ela funciona como o elemento neutro 
na multiplicação de matrizes. Ela funciona como se fosse o número 1 no produto 
dos números. 
𝐴𝑛. 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛. 𝐴𝑛 = 𝐴𝑛 
 
2.3 – Matriz Transposta (𝐴𝑡) 
É a matriz que se obtém trocando-se as linhas pelas respectivas colunas. 
Assim, temos:𝐴𝑚𝑥𝑛 = 𝐴𝑛𝑥𝑚
𝑡 
Ex: 𝐴2𝑥3 = (
1 0 1
2 1 1
) 𝐴3𝑥2
𝑡 = (
1 2
0 1
1 1
) 
Obs: (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴 ( A transposta da transposta é a própria matriz.) 
 
 
3- Operações com matrizes 
3.1- Soma e subtração de matrizes 
Somente podemos somar ou subtrair matrizes do mesmo tipo ou com a 
mesma ordem. 
E quando formos somar ou subtrair as operações ocorrem entre os elementos 
correspondentes. Por ex: a23 + b23 = c23 
Ex: (
2 − 1
0 3
) + (
3 2
5 3
) = (
5 1
5 6
) 
 
 
 
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3.2 – Multiplicação de uma matriz por um número 
Multiplicam-se todos os elementos da matriz pelo número: 
Ex: 3(
1 − 1 2
3 0 − 2
) = (
3 − 3 6
9 0 − 6
) 
3.3- Produto entre matrizes 
A condição para haver o produto entre duas matrizes é que o número de 
colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. 
𝐴𝑚𝑥𝑝 𝑥 𝐵𝑝𝑥𝑛 = 𝐶𝑚𝑥𝑛 
Portanto, a matriz resultante 𝐶𝑚𝑥𝑛 tem o número de linhas da primeira e o 
número de colunas da segunda. 
Ex: 𝐴2𝑥3 = (
1 2 3
0 1 2
) 𝑒 𝐵3𝑥2 = (
 1 2
−1 0
 2 − 1
). Se AB = C, calcule c11 + c22. 
Vamos utilizar um dispositivo prático: Traçamos duas retas perpendiculares 
 
 Colocamos aqui a 
 segunda matriz (B) 
 
 Colocamos aqui a Resultado 
 primeira matriz (A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 1 2
−1 0
 2 − 1
) 
 
(
1 2 3
0 1 2
) 
 
 
 
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Essas duas retas perpendiculares vão gerar quatro quadrantes. 
Repare que no quadrante do resultado aprecem 4 cruzamentos de linhas, 
que são as posições dos elementos da matriz resultante. 
c11 = é o resultado da iteração da primeira linha da matriz A com a primeira 
coluna da matriz B = 1x1 + 2x-1 + 3x2 = 5 
c12 = é o resultado da iteração da primeira linha da matriz A com a segunda 
coluna da matriz B = 1x2 + 2x0 + 3x-1 = -1 
c21 = é o resultado da iteração da segunda linha da matriz A com a primeira 
coluna da matriz B = 0x1 + 1x-1 + 2x2 = 3 
c22 = é o resultado da iteração da segunda linha da matriz A com a primeira 
coluna da matriz B = 0x2 + 1x0 + 2x-1 = -2 
𝐶2 = (
5 − 1
3 − 2
) 
Portanto, c11 + c22 = 5 + (-2) = 3 
 
Obs1: Vale a pena dizer que, no produto de matrizes, nem sempre AB será 
igual BA. 
De uma maneira geral: AB ≠ BA 
Repare que no nosso exemplo, AB = C2 e que BA = D3. 
Obs2: (AB)t = Bt . At