Matrizes Operações

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Binômio de Newton
Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. 
Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton. 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º ano
Matrizes: Operações
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes. São elas:
Adição;
Subtração;
Multiplicação de uma constante real por uma matriz;
Multiplicação entre matrizes;
Inversa.
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Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
ADIÇÃO DE MATRIZES
Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij (os termos correspondentes deverão ser somados). A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas. 
- 4
1
3
2
2
0
3
4
B =
A =
A + B =
- 4
1
3
2
2
0
3
4
6
6
1
-2
+
=
Dada as matrizes: 
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, elas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ser de mesma ordem que as matrizes subtraídas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij – bij (cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz).
1
- 2
2
1
- 5
0
- 1
4
-
=
- 5
0
- 1
4
1
- 2
2
1
B =
A =
B - A =
Dada as matrizes: 
-3
3
-2
6
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
MULTIPLICAÇÃO UMA MATRIZ POR UMA CONSTANTE K
Para multiplicar um número real k, qualquer, por uma matriz Amxn, basta multiplicar todos os elementos da matriz por k. Assim, a matriz resultante será de mesma ordem da matriz A.
Dada a matriz: 
3.A =
3.2
3.3
3.1
3.(–2)
=
–6
3
9
6
–2
1
3
2
A =
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Exemplo 1:
Resolver a equação 3X – A = 2B, onde:
–5
0
–1
4
1
–3
2
1
B =
A =
A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B:
x
y
z
t
X =
Uma equação é chamada de Matricial quando envolve matrizes em suas operações.
EQUAÇÕES MATRICIAIS
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
⇒
3x
3y
3z
3t
5
0
1
–4
2
–6
4
2
+
=
⇒
3t – 4
3z + 1
3y
3x + 5
2
–6
4
2
=
3x + 5 = 2
3y = –6
3z + 1 = 4
3t – 4 = 2
⇒
x = –1
y = –2
z = 1
t = 2
⇒
–1
–2
1
2
X =
3.X – A = 2B ⇒
x
y
z
t
–5
0
–1
4
1
–3
2
1
3.
–
= 2.
3x = 2 - 5
y = – 6/3
3z = 4 - 1
3t = 2 +4
3x = - 3
y = – 2
3z = 3
3t = 6
x = -3/3
y = – 2
z = 3/3
t = 6/3
⇒
⇒
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
–2
1
3
2
2
0
3
4
N =
M =
3.M =
3.2
3.3
3.1
3.–2
=
–6
3
9
6
–2.M =
–2.4
–2.3
–2.0
–2.2
=
–4
0
–6
–8
Exemplo 2:
Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.
3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 =
–6
3
9
6
–4
0
–6
–8
1
0
0
1
–1
3
3
–9
=
+
+
=
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Sob certas condições, definem-se a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B:
Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz);
Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz).
A é matriz m x n 
B é matriz n x p 
iguais ⇒ existe AB 
AB é do tipo ⇒ m x p 
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.
–3
1
0
2
4
–2
–1
2
3
5
–2
6
B =
A =
A é uma matriz 2 x 3 
B é uma matriz 3 x 2 
iguais ⇒ existe AB 
AB é do tipo 2 x 2 
x11
x12
x21
x22
AB =
Exemplo 1:
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
–3
1
0
2
4
–2
–1
2
3
5
–2
6
B =
A =
Cálculo de x11: 
x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2)
= 3 + 3 + 0
= 6
Cálculo de x12: 
x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6
= –6 + 5 + 0
= –1
Cálculo de x21: 
x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2)
= –2 + 12 + 4
= 14
Cálculo de x22: 
x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6
= 4 + 20 – 12
= 12
AB =
6
–1
14
12
Conclusão: 
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
OBSERVAÇÃO
Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo 3 x 3.
Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam definidos, em geral AB ≠ BA.
Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso, AB = BA, dizemos que A e B comutam.
Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA, que também pode ser indicado por A2.
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Exemplo:
Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B.
2
–1
1
1
5
4
B =
A =
EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM PRODUTO DE MATRIZES
2x – y = 5
x + y = 4
x
y
AX = B
⇒
.
2
–1
1
1
5
4
=
x + y
2x – y
4
5
=
⇒
x = 3
y = 1
⇒
3
1
X =
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA
Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal que AB = BA = In. No caso a matriz B é chamada de inversa de A e é representada por A–1. Portanto:
A é a inversa de B (A = B–1);
B é a inversa de A (B = A–1).
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA.
AB =
1
1
2
3
A =
3
–1
–2
1
B =
1
1
2
3
3
–1
–2
1
.
=
–2 + 3
–1 + 1
6 – 6
3 – 2
=
1
0
0
1
BA =
3
–1
–2
1
1
1
2
3
.
=
–2 + 3
3 – 3
–2 + 2
3 – 2
=
1
0
0
1
Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2. 
Exemplo 1:
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Calcular a matriz inversa de . 
2
–5
1
–3
A =
A . A–1 = I2
⇒
2
–5
1
–3
.
a
b
c
d
1
0
0
1
=
⇒
b – 3d
2b – 5d
a – 3c 
2a – 5c
=
1
0
0
1
⇒
2a – 5c = 1
a – 3c = 0
e
2b – 5d = 0
b – 3d = 1
Exemplo 2:
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Logo:
a
b
c
d
A–1 =
3
–5
1
–2
=
2a – 5c = 1
a – 3c = 0
x (-2)
2a – 5c = 1
-2a +6c = 0
+
c = 1
a – 3c = 0
a – 3.1 = 0
a – 3 = 0
a = 0
2b – 5d = 0
b – 3d = 1
x (-2)
2b – 5d = 0
-2b +6d = -2
+
d = -2
b – 3d = 1
b – 3.(-2) = 1
b + 6 = 1
b = 1 - 6
b = -5
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
QUESTÕES
http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
6º) (CESGRANRIO) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura. 
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais.Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:
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7º) (PUCCAMP) Em um laboratório, as substâncias A, B e C são a matéria-prima utilizada na fabricação de dois medicamentos. O Mariax é fabricado com 5g de A, 8g de B e 10g de C e o Luciax é fabricado com 9g de A, 6g de B e 4g de C. Os preços dessas substâncias estão em constante alteração e, por isso, um funcionário criou um programa de computador para enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa os preços X, Y e Z de um grama das substâncias A, B e C, respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos elementos correspondem aos preços de custo da matéria-prima do Mariax e do Luciax. Essa matriz pode ser obtida de:
Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações
8º) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante; A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P, P‚ Pƒ desse restaurante:
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P, P‚ e Pƒ, está indicada na alternativa:
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EXTRAS
UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WINMAT
É um software matemático gratuito que permite construir matrizes e operar com elas. É possível trabalhar com números inteiros, reais e complexos. Determina, entre outras coisas, a matriz inversa, transposta, determinante, traço da matriz e encontra inclusive o polinômio característico da matriz.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.
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REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
www.mundoeducacao.com.br/.../matriz-determinantes.htm
http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Matrizes
Livros:
 I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. 
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
 I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
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1º) Calcule A + B, A – B e 5A – 3B se e .
2º) Seja A = e seja B = 
Calcule 2A + 3B.
3º) Seja A = e seja B = .
Calcule A – 4B.
4º) Calcule o produto das matrizes:
 
5º) Encontre a matriz X, na equação A.X = B, onde
 e .