soluções exercícios- matriz

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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 MATRIZ 
 
1. (Chiang; Wainwriht, 2006) Dados 𝐴 = [
7 −1
6 9
], 𝐵 = [
0 4
3 −2
] e 𝐶 = [
8 3
6 1
], calcule: 
 
(a) 𝐴 + 𝐵 
[
7 3
9 7
] 
 
(b) 𝐶 − 𝐴 
[
1 4
0 −8
] 
 
(c) 3𝐴 
[
21 −3
18 27
] 
 
(d) 4𝐵 + 2𝐶 
[
16 22
24 −6
] 
 
 
2. (Boldrini et al., 1980) Sejam: 
 
𝐀 = [
1 2 3
2 1 −1
] ; 𝐁 = [
−2 0 1
3 0 1
] ; 𝐂 = [
−1
2
4
]; 𝐃 = [2 −1] 
Encontre: 
a) 𝐴 + 𝐵 
[
−1 2 4
5 1 0
] 
b) 𝐴𝐶 
[15
−4
] 
c) 𝐵𝐶 
 
[
6
1
] 
 
d) 𝐶𝐷 
[
−2 1
4 −2
8 −4
] 
e) 𝐷𝐴 
[0 3 7] 
f) 𝐷𝐵 
 
[−7 0 1] 
 
 
g) –A 
[
−1 −2 −3
−2 −1 1
] 
 
h) –D 
[−2 1] 
 
3. (Chiang; Wainwriht, 2006) Dados 𝐴 = [
2 8
3 0
5 1
], 𝐵 = [
2 0
3 8
] e 𝐶 = [
7 2
6 3
]: 
 
(a) 𝐴𝐵 é definido? Calcule 𝐴𝐵. É possível calcular 𝐵𝐴? Por quê? 
 
Sim: 𝐴𝐵 = [
28 64
6 0
13 8
] 
Não é possível calcular 𝐵𝐴. Pois o número de colunas de 𝐵 é diferente do número de 
linhas de 𝐴. 
 
(b) 𝐵𝐶 é definido? Calcule 𝐵𝐶. 𝐶𝐵 é definido? Se for, calcule 𝐶𝐵. É verdade que 𝐵𝐶 =
𝐶𝐵 
 
Ambos são definidos. 
𝐵𝐶 = [
14 4
69 30
] ≠ 𝐶𝐵 = [
20 16
21 24
] 
 
4. (Chiang; Wainwriht, 2006) Tendo como base as matrizes dadas por 𝐴 = [
3 −1 2
1 0 3
4 0 2
] e 
𝐵 = [
0 −1/5 3/10
−1 1/5 7/10
0 2/5 −1/10
], o produto 𝐵𝐴 é definido? Se for, calcule o produto. Nesse caso, 
temos 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴? 
 
Sim. 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 =
[
 
 
 
 
 −
1
5
+
12
10
0 −
3
5
+
6
10
−3 +
1
5
+
28
10
1 −2 +
3
5
+
14
10
2
5
−
4
10
0
6
5
−
2
10 ]
 
 
 
 
 
= [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
5. (Chiang; Wainwriht, 2006) Calcule as matrizes produtos nos seguintes casos (em cada 
caso, acrescente um indicador de dimensão embaixo de cada matriz): 
 
(a) [
0 2 0
3 0 4
2 3 0
] [
8 0
0 1
3 5
] 
 
[
0 2
36 20
16 3
] 
(3x2) 
 
(b) [
6 5 −1
1 0 4
] [
8 0
0 1
3 5
] 
 
[
49 3
4 3
] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑚 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑖: [45 0
20 20
] 
(2x2) 
 
(c) [3 5 0
4 2 −7
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
 
 
[
3𝑥 + 5𝑦
4𝑥 + 2𝑦 − 7𝑧
] 
(2x1) 
 
(d) [𝑎 𝑏 𝑐] [
7 0
0 2
1 4
] 
 
 
[(7𝑎 + 𝑐) (2𝑏 + 4𝑐)] 
(1x2) 
 
 
6 (Chiang; Wainwriht, 2006) Dados 𝐴 = [
3 6
2 4
], 𝐵 = [
−1 7
8 4
] e 𝐶 = [
3 4
1 9
], calcule: 
 
a) (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) 
[
5 17
11 17
] 
 
b) (𝐴 + 𝐵) − 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 − 𝐶) 
 
[
−1 9
9 −1
] 
 
 
7. (Boldrini et al., 1980) Seja 𝐀 = [ 2 𝑥
2
2𝑥 − 1 0
]. Se A′=A, então x=_____________. 
Se A′=A então: 
[
2 2𝑥 − 1
𝑥2 0
] = [ 2 𝑥
2
2𝑥 − 1 0
] 
Que resulta nas seguintes igualdades: 
2 = 2, 0 = 0 e 2𝑥 − 1 = 𝑥² 
Logo: 
𝑥 = 1 
8. (Boldrini et al., 1980) Verdade ou falso? 
a) (−𝑨′) = −(𝑨′) 
VERDADEIRO 
 
b) (𝑨 + 𝑩) ′ = 𝑩′ + 𝑨′ 
VERDADEIRO 
 
c) Se 𝑨𝑩 = 0, então 𝑨 = 0 ou 𝑩 = 0 
FALSO 
 
d) (𝑘1𝑨)(𝑘2𝑩) = (𝑘1𝑘2)𝑨𝑩 
VERDADEIRO 
 
e) (−𝑨)(−𝑩) = −(𝑨𝑩) 
FALSO 
 
f) Se 𝑨 e 𝑩 são matrizes simétricas, então 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 
FALSO 
 
g) Se 𝑨𝑩 = 0, então 𝑩𝑨 = 0 
FALSO 
 
h) Se podemos efetuar o produto 𝑨𝑨, então 𝑨 é uma matriz quadrada 
VERDADEIRO 
 
9. (Boldrini et al., 1980) Se 𝑨² = 𝑨𝑨 então [
−2 1
3 2
] 2 é _____ 
 
[
−2 1
3 2
] 2 = [
−2 1
3 2
] [
−2 1
3 2
] = [
7 0
0 7
] 
10. (Boldrini et al., 1980) Ache x, y, z, w se [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] [
2 3
3 4
] = [
1 0
0 1
] 
 
O produto entre as matrizes [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] [
2 3
3 4
] resulta em [
2𝑥 + 3𝑦 3𝑥 + 4𝑦
2𝑧 + 3𝑤 3𝑧 + 4𝑤
] que por 
qui hipótese é igual a matriz identidade: 
[
2𝑥 + 3𝑦 3𝑥 + 4𝑦
2𝑧 + 3𝑤 3𝑧 + 4𝑤
] = [
1 0
0 1
] 
Portanto, 𝑥 = −4, 𝑦 = 3, 𝑧 = 3 e 𝑤 = −2. 
 
11. (Boldrini et al., 1980) 
Dados A=[
1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
]; 𝐁 = [
1 4 1 
2 1 1 
1 −2 1 
 
0
1
2
] ; 𝐂 = [
2 1 −1 
3 −2 −1 
2 −5 −1 
 
−2
−1
0
] 
 
Mostre que 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 
 
[
−3 −3 0 
1 15 0 
−3 15 0 
 
1
−5
−5
] = [
−3 −3 0 
1 15 0 
−3 15 0 
 
1
−5
−5
] 
 
12. (Boldrini et al., 1980) 
Dados A=[
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] ; 𝐵 = [
−1 3 5 
1 −3 −5 
−1 3 5
]; 𝐶 = [
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
] 
a) Mostre que 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 = 0, 𝑨𝑪 = 𝑨 e 𝑪𝑨 = 𝑪 
𝐴𝐵 = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
][
−1 3 5 
1 −3 −5 
−1 3 5
] = [
−2 − 3 + 5 6 + 9 − 15 10 + 15 − 25 
1 + 4 − 5 −3 − 12 + 15 −5 − 20 + 25 
−1 − 3 + 4 3 + 9 − 12 5 + 15 − 20
] = 0 
𝐵𝐴 = [
−1 3 5 
1 −3 −5 
−1 3 5
] [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] = [
−2 − 3 + 5 3 + 12 − 15 5 + 15 − 20 
2 + 3 − 5 −3 − 12 + 15 −5 − 15 + 20 
−2 − 3 + 5 3 + 12 − 15 5 + 15 − 20
] = 0 
𝐴𝐶 = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] [
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
] = [
4 + 3 − 5 −4 − 9 + 10 −8 − 12 + 15
−2 − 4 + 5 2 + 12 − 10 4 + 16 − 15
2 + 3 − 4 −2 − 9 + 8 −4 − 12 + 12
] = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] 
𝐶𝐴 = [
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
] [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] [
4 + 2 − 4 −6 − 8 + 12 −10 − 10 + 16
−2 − 3 + 4 3 + 12 − 12 5 + 15 − 16
2 + 2 − 3 −3 − 8 + 9 −5 − 10 + 12
]=[
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
] 
 
b) Use os resultados de (a) para mostrar 𝑨𝑪𝑩 = 𝑪𝑩𝑨, 𝑨² − 𝑩² = (𝑨− 𝑩) (𝑨+ 𝑩) e 
(𝑨 ± 𝑩)² = 𝑨² + 𝑩² 
Mostrar que 𝐴𝐶𝐵 = 𝐶𝐵𝐴: 
Temos que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 0, como 𝐴 = 𝐴𝐶 então: 
𝐴𝐶𝐵 = (𝐴𝐶)𝐵 = (𝐴)𝐵 = 0 
𝐶𝐵𝐴 = 𝐶(𝐵𝐴) = 𝐶(0) = 0 
 
Mostrar que 𝐴² − 𝐵² = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵): 
Temos que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 0, então: 
(𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴² + 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 − 𝐵² = 𝐴² − 𝐵² 
 
Mostrar que (𝐴 ± 𝐵)² = 𝐴² + 𝐵²: 
Temos que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 0, então: 
(𝐴 ± 𝐵)2 = (𝐴 ± 𝐵)(𝐴 ± 𝐵) = 𝐴2 ± 𝐴𝐵 ± 𝐵𝐴 + 𝐵2 = 𝐴² − 𝐵² 
 
13. (Boldrini et al., 1980) Se 𝑨 = [
3 −2
−4 3
], ache 𝑩, de modo que 𝑩² = 𝑨 
Tomando 𝐵 = [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] então: 
[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] = [
3 −2
−4 3
] 
Resultando no sistema: 
𝑥2 + 𝑦𝑧 = 3 (1) 
𝑧𝑦 + 𝑤2 = 3 (2) 
𝑥𝑦 + 𝑦𝑤 = −2 (3) 
𝑧𝑥 + 𝑤𝑧 = −4 (4) 
Das equações (1) e (2) obtemos que 𝑥 = ±𝑤. Vamos tomar (arbitrariamente), 𝑥 = 𝑤. 
Se x = w então a equação (3) pode ser escrita como: 
𝑤𝑦 + 𝑦𝑤 = −2 
2(𝑤𝑦) = −2 
𝑤𝑦 = −1 (5) 
Ainda supondo que x = w podemos escrever a equação (4) como: 
𝑧𝑥 + 𝑤𝑧 = −4 
𝑧(𝑥 + 𝑤) − 4 
𝑧(𝑤 + 𝑤) = −4 
𝑤 = −
2
𝑧
 (6) 
Colocando (6) em (5) chegamos a uma nova relação: 
𝑤𝑦 = −1 
−
2
𝑧
𝑦 = −1 
𝑧 = 2𝑦 (7) 
Agora tome a equação (1) 
 
𝑥2 + 𝑦𝑧 = 3 
Usando novamente que x = w então: 
𝑤2 + 𝑦𝑧 = 3 
Usando a equação (7) 
𝑤2 + 𝑦(2𝑦) = 3 
Usando agora a equação (5) 
𝑤2 + 2𝑦2 = 3 
𝑤2 + 2 (−
1
𝑤
)
2
= 3 
𝑤2 +
2
𝑤2
− 3 = 0 
𝑤 = −1 𝑜𝑢 𝑤 = 1 
Tomando (arbitrariamente) w = 1 então por (5) y = −1 e por (7) z = −2. Como havíamos 
suposto de início que x = w então x = 1. 
Logo 𝐵 = [
1 −1
−2 1
] 
 
14. (Boldrini et al., 1980) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: 
moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa 
é dada pela matriz: 
 
 
[ 
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
] 
Moderno 5 20 16 7 17 
Mediterrâneo 7 18 12 9 21 
Colonial 6 25 8 5 13 
 
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência.) 
 
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos modernos, mediterrâneo e colonial, 
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? 
 
[5 7 12] [
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
] = [146 526 260 158 388] 
(b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, 15, 8, 5, 1, e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? 
 
[
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
]
[
 
 
 
 
15
8
5
1
10]
 
 
 
 
= [
492
528
465
] 
 
(c) Qual o custo total do material empregado? 
 
[146 526 260 158 388]
[
 
 
 
 
15
8
5
1
10]
 
 
 
 
= [5 7 12] [
492
528
465
] = [11736] 
 
REFERÊNCIAS 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. Núcleo, v. 15, p. 19, 1980 
CHIANG, Alpha C. WAINWRIHT. Matemática para economistas. Elsevier, Rio de Janeiro, 
2006.