residuos e polos

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VARIÁVEIS 
COMPLEXAS
Tiago Loyo Silveira
 
Resíduos e polos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Reconhecer o resíduo de uma função na singularidade isolada.
  Identificar um polo de ordem m e um polo simples na singularidade 
isolada.
  Utilizar resíduos para calcular integrais.
Introdução
No estudo das funções de variáveis complexas, as funções analíticas e 
funções que possuem expansão em série de Laurent possuem lugar 
especial, já que permitem a manipulação do seu domínio e possível 
remoção de pontos singulares internos ao contorno da função.
Neste capítulo, vamos expandir os conceitos sobre os pontos singula-
res. Veremos a sua classificação e manipulação. Ainda, veremos que o polo 
é uma singularidade relevante ao nosso estudo e, por fim, concluiremos 
com o uso das singularidades para a resolução de integrais.
Singularidades e resíduos
Os conceitos de funções analíticas e expansões em série de Laurent são de 
grande importância para a compreensão de singularidades. Portanto, vamos 
relembrar esses conceitos.
Funções analíticas
Dizemos que uma função f de variáveis complexas é analítica se ela está 
defi nida em um conjunto aberto . Temos, ainda, que f é diferenciável 
e holomorfa, ou seja, uma função f é analítica se puder ser representada por 
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uma série de potências. O termo holomorfa nos diz que f é diferenciável 
em algum disco aberto C pertencente ao domínio de f e centrado em um 
ponto z0.
Singularidades
Até agora, estudamos as funções analíticas e funções que podem ser expressas 
como séries de potências. Porém, dado o domínio de uma função f, é possível 
que haja um ponto onde f não é analítica, ou um disco centrado nesse ponto. 
Esse ponto é denominado singularidade.
Ponto singular
Sejam um aberto conexo, uma função complexa e 
. Dizemos que é um ponto singular de f se, e somente se, 
ou não existe.
Singularidade isolada
Sejam um aberto conexo, uma função complexa e 
 um ponto singular de f. Dizemos que é um ponto singular isolado 
se, e somente se, existe um disco aberto de centro em , tal que é o único 
ponto singular de f que pertence ao disco. Caso contrário, é dito um ponto 
singular não isolado.
Sendo um ponto singular isolado, interior, de f. Da definição de ponto 
singular isolado, existe uma vizinhança na qual f é analítica, exceto no 
próprio ponto , digamos . Então, nessa região, a função f 
pode ser representada pela Série de Laurent. Essa região tem representação 
gráfica circular, com o seu contorno definido por um número complexo 
(Figura 1).
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Figura 1. Função analítica representada por 
uma série de Laurent.
,
onde os coefi cientes são dados por:
e
onde C é um contorno fechado contido em , envolvendo 
uma vez no sentido positivo.
No desenvolvimento acima, o coeficiente do termo é chamado 
resíduo de f no ponto , e escrevemos .
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Existem três tipos de singularidades isoladas:
  singularidade removível — uma singularidade é chamada de removível 
se a sua série de potências possuir apenas termos nulos ou de expoente 
positivos.
Seja a expressão . Se todas as 
parcelas tiverem os coeficientes a, b, c e d iguais a zero, o que vem na 
sequência (...) será uma singularidade removível.
Outra análise pode ser feita se, no ponto singular p, existir o limite . Ou seja, o 
cálculo do limite de f tendendo ao ponto de singularidade nos dirá se a singularidade 
é ou não removível.
Considere a função .
Essa função é analítica em todos os pontos fora da origem, mas, na origem, é des-
contínua, pois . Dessa forma, a expansão em séries de f(z) ao 
redor do disco na origem removível é:
Nesse caso, não aparecem potências negativas de z. Então, basta definirmos f(0) = 
1 para conseguirmos que f seja analítica em todos os pontos.
  polo de ordem m — se um ponto z0 é uma singularidade isolada 
da função f, o ponto z0 será dito polo de ordem m, com , se, 
e somente se, for finito e diferente de zero, onde 
m é o maior expoente dos denominadores da expansão em série de 
potências.
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Considere a função . Nesse caso, teremos, como série de potências, 
uma série de Laurent do tipo:
Dizemos que essa função possui um polo de ordem 4 em z = 0. Nesse caso, a expansão 
em séries de potência só é válida fora do disco que possua o polo z = 0. O disco pode 
ser tão pequeno quanto for preciso, desde que ele possua o polo z = 0 no seu interior.
  singularidade essencial — quando ocorre para um número 
infinito de valores de n.
Considere a função . A sua série de Laurent será:
Temos que o ponto z = 0 é uma singularidade essencial.
Polos
Seja uma função f tal que possa ser expressa na forma de uma série de Laurent 
em torno de um ponto singular isolado . A sua representação em série de 
potência possui um número fi nito de potências negativas, de forma que possa 
ser expressa por:
 
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quando , para algum número r > 0. O ponto é chamado 
de polo de ordem m da função f. Quando m = 1, dizemos que é um polo 
simples.
Observe que os denominadores do coeficiente possuem 
expoente negativo na sua representação decimal. Esse quantitativo de deno-
minadores é finito, enquanto a expansão em série do coeficiente an vai para ∞.
Vejamos a seguinte proposição. Se um ponto z0 é uma singularidade isolada 
da função f, o ponto z0 será dito polo de ordem m, com , se, e somente 
se, for finito e diferente de zero.
Veja a demonstração.
De z0 polo de ordem m, temos:
 
quando , para algum número r > 0.
Vamos multiplicar os termos da equação por :
Aplicando o limite , obtemos:
Portanto, o limite é finito e diferente de zero.
Como z0 é um ponto singular isolado, então , tal que:
onde .
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Vamos multiplicar os termos da equação por :
Aplicando o limite , obtemos:
Entretanto, sabemos que o somatório vai para zero 
quando . Então, resta-nos analisar o somatório quando 
.
Vamos dividir em casos:
1. Se n < m, então:
2. Se n = m, então:
3. Se n > m, então:
Mas, por hipótese, temos: 
Então devemos ter
Logo, bm ≠ 0 e bm+1 = bm+2 = ... = 0. Dessa forma, z0 é polo de ordem m.
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Seja a expressão . Se nas 
parcelas existirem coeficientes a, b, c e d diferentes de zero, dizemos 
que o expoente da parcela de maior grau é também a ordem do polo. Ou seja, na 
expressão dada, se a ≠ 0, dizemos que o polo é de ordem 4.
Se uma função possui polo de ordem maior ou igual a 2, podemos obter o 
resíduo por meio da expressão:
onde n é o expoente da ordem máxima do polo.
Se a função f é do tipo e possuir um polo simples em z0, então 
o seu resíduo pode ser obtido pela expressão:
Resíduos em integrais complexas
Como defi nimos, o coefi ciente da série de Laurent é denominado 
resíduo da função f(z) no ponto z0, e escrevemos .
Vimos que z0 será uma singularidade removível se, e somente se, existir:
Nesse caso, f(z) não possui resíduo no ponto z0, e escrevemos .
Por outro lado, se z0 é um polo de ordem m:
Então, se m = 1:
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Dessa forma, se uma função f(z) singularidades, a exemplo z0, é analítica 
no interior de um contorno C com a remoção da singularidade. Então, ao redor 
de cada singularidade pertencente ao contorno C, existe um disco definido 
por uma série de Laurent, com raios diferentes, mas que convergem para o 
ponto singular.
Para calcular a integral em cada ponto singular z0, podemos nos utilizar 
do resíduo no ponto. De forma que:
Ou, pelo somatório de todos os resíduos:
Exemplo1
Determine o resíduo da função , onde a, b, c são números reais 
e .
Solução:
Para determinar os pontos singulares, façamos az2 + bz + c = 0. Temos que as raízes 
dessa equação são: 
 e 
Como , podemos reescrever as raízes como:
 e 
Escrevendo , onde p(z) = 1 e , temos:
 e 
 e 
Ou seja, .
Portanto, z
0 
é polo simples e o resíduo é 
Para z
1
, se segue de forma análoga.
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Exemplo 2
Calcule a integral:
 
Solução:
Certamente, um dos polos é z = 0.
Fazendo , portanto, , com .
Mas observe que, se , qualquer que seja k > 0, o ponto não faria mais parte 
do contorno , logo, nosso único polo é z = 0.
, 
g(0) = 0; e 
z = 0
(res.f )(z = 0), ou, simplesmente, (res.f )(0).
Saiba mais sobre as séries de Laurent e a sua representação nas funções de variáveis 
complexas (SÉRIES, 2018):
https://goo.gl/Uu27Hx
Saiba mais sobre as funções analíticas e a sua importância para nosso estudo de 
variáveis complexas (RAMOS, 2013):
https://goo.gl/hznDEp
Acompanhe uma aula sobre a classificação das singularidades (IEEEACADEMIC, 2014):
https://goo.gl/KLLgjG
Resíduos e polos10
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https://goo.gl/Uu27Hx
https://goo.gl/hznDEp
https://goo.gl/KLLgjG
1. Qual(ais) é(são) o(s) resíduo(s) 
da função ?
a) e 
b) e 
c) i
d) –i
e) e 
2. Qual é o tipo de singularidade e o 
resíduo da função ?
a) Singularidade removível; 
(res.f ) = 0.
b) Polo simples; (res.f ) = 1.
c) Singularidade removível; 
(res.f ) = 1.
d) Polo simples; (res.f ) = 2.
e) Singularidade essencial; (res.f ) = 0.
3. Determine a integral 
ao longo do círculo C de raio .
a) 
b) 2
c) –1
d) 1
e) 0
4. Na função , um dos 
polos de ordem 1 tem singularidade 
z = i. Qual é o seu resíduo?
a) –ei
b) –ei .(13 – 9i) 
c) 10–3.ei .(13 – 9i) 
d) 
e) ei
5. Calcule o(s) resíduo(s) da 
função :
a) 
b) 2
c) 0
d) 1
e) –1
IEEEACADEMIC PORTUGAL. Classificação de singularidades. YouTube, 2014. Disponível 
em: <https://www.youtube.com/watch?v=FQTmGLwjZQk>. Acesso em: 21 fev. 2018.
RAMOS, P. Variáveis complexas: funções analíticas. YouTube, 2013. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=bNdFLs0ZaSY>. Acesso em: 21 fev. 2018.
SERIES de Laurent. Aracaju: CESADUFS, 2018. Disponível em: <http://www.cesadufs.
com.br/ORBI/public/uploadCatalago/19154416022012Vari%C3%A1veis_Comple-
xas_10.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
11Resíduos e polos
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https://www.youtube.com/watch?v=FQTmGLwjZQk
https://www.youtube.com/watch?v=bNdFLs0ZaSY
http://www.cesadufs/
http://com.br/ORBI/public/uploadCatalago/19154416022012Vari%C3%A1veis_Comple-
Leituras recomendadas
JESUS, D. V. Aplicações do teorema do resíduo. 2007. 79 f. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Licenciatura em Matemática) — Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 
2007. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
Daynitti.pdf?sequence=1>. Acesso em: 20 fev. 2018.
MORICONI, M. Variáveis complexas e aplicações: a vida é mais simples no plano com-
plexo.Niterói: UFF, [2018]. Disponível em: <http://profs.if.uff.br/moriconi/complex/
complex.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
PIRES, G. E. Notas em análise complexa. Lisboa: Instituto Superior Técnico, 1998. Dis-
ponível em: <https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~gpires/Complexa/complexa.
pdf>. Acesso em: 21 fev. 2018.
SINGULARIDADES e Resíduos. Lisboa: Instituto Superior Técnico, 2018. Disponível em: 
<https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/3779572089125/aced-apontamentos-
-sec6.pdf>. Acesso em: 21 fev. 2018.
Resíduos e polos12
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https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
http://profs.if.uff.br/moriconi/complex/
https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~gpires/Complexa/complexa.
https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/3779572089125/aced-apontamentos-
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