Áreas de Polígonos

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MATEMÁTICA II
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ÁREA DE FIGURAS PLANAS – 
POLÍGONOS (QUADRILÁTEROS)08
ÁREAS DE POLÍGONOS
A área de uma região plana é a medida da extensão dessa 
região. Para efetuar essa medida é necessário termos uma unidade 
de comparação. Essa unidade é a região quadrada de lado unitário. 
Dessa maneira, a área de uma região é o número que indica 
quantas vezes essa região contém a região unitária.
ÁREA DO QUADRADO
A área de uma região quadrada é igual ao quadrado do seu 
lado.
2
quadradoA = 
UNIDADES DE ÁREAS
A unidade fundamental de medida de superfície chama-se 
metro quadrado. Representado por m2, é a medida correspondente 
à área de um quadrado com 1 metro de lado. 
Múltiplos Unidade Fundamental
Quilômetro 
quadrado
Hectômetro 
quadrado
Decâmetro 
quadrado
Metro 
quadrado
km2 hm2 dam2 m2
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2
Unidade 
Fundamental Submúltiplos
Metro 
quadrado
Decímetro 
quadrado
Centímetro 
quadrado
Milímetro 
quadrado
m2 dm2 cm2 mm2
1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
As medidas km², hm², dam² são equivalentes às áreas dos 
quadrados com lados 1 km, 1 hm e 1 dam respectivamente, e são 
usadas para medir grandes áreas. As medidas dm2, cm2 e mm2 são 
equivalentes às áreas dos quadrados com lados 1 dm, 1 cm e 1 
mm respectivamente, e são utilizadas para medir pequenas áreas.
ÁREA DO RETÂNGULO
Observe que em um retângulo de base b e altura h, podemos 
decompô-lo em n quadrados unitários. 
Logo, Aretângulo=base · altura=b · h
ÁREA DO PARALELOGRAMO
Considere um paralelogramo de base b e altura h.
A área do paralelogramo é dada por:
Aparalelogramo = b · h
Justifi cativa:
Observemos que em todo paralelogramo podemos formar um 
retângulo de base b e altura h, assim como ilustra a fi gura abaixo.
h
b b
h
A diagonal de qualquer paralelogramo divide sua área em 
duas áreas equivalentes, ou seja, a diagonal divide a área do 
paralelogramo em duas áreas de mesma medida.
PROEXPLICA
ÁREA DO TRAPÉZIO
Seja ABCD um trapézio de base maior B, base menor b e altura h.
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MATEMÁTICA II 08 ÁREA DE FIGURAS PLANAS – POLÍGONOS (QUADRILÁTEROS)
Sua área é dada por:
trapézio
(B b)·hA
2
+
=
Justificativa
Dupliquemos a área do trapézio conforme a figura abaixo.
Note que obtemos um paralelogramo de base (B + b) e altura 
h, assim a área do trapézio será metade da área do paralelogramo. 
Portanto: 
trapézio
(B b)·hA
2
+
=
ÁREA DO LOSANGO
Considere um losango de diagonal maior D e diagonal menor d.
Sua área é dada por:
losango
d·DA
2
=
Demonstração
Como as diagonais de um losango são perpendiculares e se 
cruzam no ponto médio, temos que a área do losango é a soma das 
áreas de dois triângulos de base d e altura D
2
. Portanto: 
Sendo um losango qualquer, vamos construir um retângulo em 
volta dele.
A H D
G d
D
E
B F C
Na imagem acima temos um retângulo ABCD e, dentro dele, o 
losango EFGH, com a diagonal maior D (EG) e a diagonal menor d (HF).
Como se trata de um retângulo, sabemos que sua área será o 
produto da base pela altura. Como BC = D e DC = d , então a área do 
retângulo será A = D · d.
Observe que o retângulo ABCD está dividido em quatro 
retângulos menores. Em cada um desses retângulos menores, 
temos duas regiões: uma correspondente ao retângulo maior e 
outra referente ao losango. Assim, é possível perceber que cada 
parte dessa é a metade do retângulo pequeno. Ou seja, se juntarmos 
a área de todas as partes em AZUL, essa área será metade da área 
do retângulo maior.
Logo, a área do losango poderá ser calculada como a metade 
da área do retângulo a sua volta, ou seja, D·dA
2
= .
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Dado o quadrado abaixo, determine, em cm2, a área.
02. Sabendo que o comprimento da base de um retângulo mede o 
triplo do comprimento da altura, calcule o valor do perímetro desse 
retângulo de área igual a 48 cm2.
03. Determine a área de um losango, sabendo que suas diagonais 
têm, respectivamente, 22 cm e 16 cm de comprimento.
04. Encontre o valor de x, sabendo que a área no retângulo abaixo 
é 24 cm2.
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MATEMÁTICA II
05. Encontre a metade da área do paralelogramo abaixo.
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de 
espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção 
de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afi rma 
que irá construí-la em formato retangular devido às características 
técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem 
que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A 
prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos 
terrenos disponíveis para a construção da praça:
• Terreno 1: 55 m por 45 m
• Terreno 2: 55 m por 55 m
• Terreno 3: 60 m por 30 m
• Terreno 4: 70 m por 20 m
• Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições 
impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02. (COTIL 2019) Frente ao crescente volume de construções 
nas cidades, muitas vezes de forma desordenada, um projeto 
paisagístico tem a importante missão de devolver a harmonia do 
ser humano com o meio ambiente, possibilitando-lhe uma melhor 
convivência com a natureza. O projeto de um museu prevê que se 
construa um jardim, formando com o prédio do museu uma área 
retangular, de acordo com a fi gura abaixo. Nela, a região cinza 
representa o lugar em que o jardim será construído.
Sabendo que o jardim ocupa 184m2, calcule a medida 7 em metros. 
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
03. Um show de rock foi realizado em um terreno retangular de 
lados 120 m e 60 m. Sabendo que havia, em média, um banheiro 
por cada 100 metros quadrados, havia no show:
a) 20 banheiros.
b) 36 banheiros.
c) 60 banheiros.
d) 72 banheiros.
e) 120 banheiros.
04. Um quadrado é dividido em quatro retângulos congruentes 
traçando-se três linhas paralelas a um dos lados, conforme a fi gura.
Se a área de cada um desses 
quatro retângulos é 48 cm², então 
o perímetro, em centímetros, do 
quadrado original é:
a) 64 
b) 48 3
c) 48 2
d) 32 2
e) 32 3
05. (CFTRJ 2019) As quatro fi guras a seguir têm:
a) perímetros diferentes e áreas diferentes.
b) perímetros diferentes e áreas iguais.
c) perímetros iguais e áreas diferentes.
d) perímetros iguais e áreas iguais.
e) dois perímetros diferentes e áreas iguais.
06. (CP2 2019) Nas salas de aula do Colégio Pedro II serão 
colocados pisos conforme a fi gura a seguir:
Cada piso é formado por quatro retângulos 
iguais de lados 10 cm e (x+10) cm, 
respectivamente, e um quadrado de lado 
igual a x cm. 
Sabendo-se que a área de cada piso 
equivale a 900 cm2, o valor de x. em 
centímetros, é 
a) 10. b) 23. c) 24. d) 50. e) 55.
07. (CFTMG 2019) Observe a planta a seguir que representa parte 
do loteamento de um condomínio residencial.
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Uma empresa está vendendo os quatro lotes restantes, 
completamente arborizados. A política de loteamento da região 
determina que 10% da área de cada lote deve ser preservada com a 
mata nativa. Uma pessoa que deseja comprar o lote com a menor 
área de reserva deverá escolher o de número 
a) I. b) II. c) III. d) IV.
08. (ESPM 2018) O terreno mostrado na figura abaixo, cujas 
medidas estão expressas em metros, foi di vidido em dois lotes de 
mesma área. 
A medida x, em metros, é igual a: 
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
09. A área da sala representada na figura é:
2 m
7 m
6 m
3 m
a) 15 m² b) 17 m² c) 19 m² d) 20 m² e) 26 m²
10. (IFAL 2018) Dados os quadrados abaixo, com lados x para o 
maior e y para o menor, conforme a figura:
Qual das expressões abaixo representa a 
diferençaentre as áreas dos quadrados? 
a) (x+y)(x-y).
b) (x-y)2
c) (x+y)2
d) (x-y)(x2+xy+y2)
e) (x+y)(x2-xy+y2)
11. Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 cm de altura. A área 
desse quadrilátero é ______ cm 2 
a) 13 b) 19 c) 44 d) 84 e) 96
12. Considere o quadrado ABCD da figura a seguir, em que G é o 
ponto médio de CD, F é o ponto médio de AC e = =
AC
AE EF .
4
A razão entre a área do quadrilátero EFGD e a área do quadrado 
ABCD é 
a) 
1.
4
b) 1.
2
c) 1.
3
d) 
2 .
3
e) 1.
13. (PUCRJ 2018) Um terreno de 120 m3 contém um jardim central 
de 8 m · 10 m. Em volta do jardim, existe uma calçada de largura X, 
conforme a figura abaixo:
Qual é o valor de X, em metros? 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) 11
14. (CMRJ 2018) A figura ilustra uma chapa metálica retangular 
bem fina cuja superfície vale 204 cm2.
Devido à dilatação térmica, a maior das dimensões (comprimento) 
foi aumentada de 3 cm e a largura, de 2 cm, fazendo com que essa 
superfície seja aumentada de 76 cm2. 
“Observe que a área de um retângulo corresponde ao produto do 
comprimento pela largura.” 
Nessas condições, o comprimento pode ter dois valores, ambos 
contidos no intervalo 
a) [11,0; 12,5]
b) [13,5; 15,5]
c) [14,5; 16,5]
d) [16,5; 18,5]
e) [17,5; 19,5]
15. (IFSC 2018) A tela de proteção para janelas é um acessório 
útil para garantir segurança em uma residência. Telas ou redes 
são comumente instaladas em janelas de prédios onde moram 
crianças ou animais de estimação. Sabendo da importância de 
prezar pela segurança da família, Sr. João decide instalar, em cada 
janela de seu apartamento, uma tela retangular com área 18.000 
cm2, cuja altura mede 4
5
 do seu comprimento.
Quais são as dimensões, em centímetros, dessa tela?
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) 200 e 160
b) 120 e 96
c) 150 e 100
d) 100 e 80
e) 150 e 120
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16. (CFTMG 2018) Em um lote retangular, murado, pretende-se 
construir um jardim que ocupe uma porção retangular com área 
igual a 60 m2, conforme a figura 1. A área do jardim, não delimitada 
pelo muro, foi cercada, usando o modelo representado na figura 2, 
com estacas de 35 cm de largura, distantes 15 cm uma da outra.
O número de estacas necessárias para cercar a área do jardim é 
a) 23 b) 24 c) 33 d) 34 e) 36
17. (IFAL 2018) Um cliente deseja revestir o piso de sua sala 
retangular de dimensões 6 m por 4 m, com uma cerâmica de sua 
escolha, no formato quadrado com lado 45 cm, cada pedra da 
cerâmica. Sabendo que cada caixa da cerâmica em questão possui 
10 pedras, o profissional que irá realizar o serviço deve solicitar ao 
seu cliente a compra de, no mínimo, quantas caixas? 
a) 2 b) 6 c) 11 d) 12 e) 65
18. (ESPM 2018) A gravura mostrada na figura abaixo foi do brada 
na linha tracejada MN, a x cm da bor da AB. 
Sabendo-se que, depois da dobradura, a parte oculta da gravura 
representa 25 % da parte visível, podemos afirmar que a medi da 
x é de: 
a) 3,5 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 4,5 cm e) 5 cm
19. (CPS 2018) O trapézio retângulo ABCD da figura representa a 
superfície de um reservatório de água.
Na figura, tem-se que:
AB 20 m;
CD 15 m;
AD 12 m;
=
=
=
o ângulo DÂB é reto.
Admita que, a cada metro quadrado da superfície desse reservatório, 
3 litros de água evaporem por dia.
Em um dia em que a variação da quantidade de água dependeu apenas 
da evaporação, o reservatório perdeu N litros de água. O valor de N é 
a) 360.
b) 480.
c) 540.
d) 630.
e) 720.
20. (IFSUL 2017) As medidas do comprimento e da altura (em 
metros) do outdoor retangular, representado na figura abaixo, são 
exatamente as soluções da equação X2 - 10X + 21 = 0.
Dessa forma, é correto afirmar que a área desse outdoor é 
a) 10 m2 b) 20 m2 c) 21 m2 d) 24 m2 e) 26 m2
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01.(UEL 2017) João é dono de um food truck, uma espécie de 
lanchonete estruturada em uma carroceria de um veículo móvel 
(caminhão) e utilizada para preparar e vender lanches. Ele quer 
enfeitar uma das faces da carroceria de seu caminhão, cujo 
formato é retangular, contornando-a com fita de led.
Considerando que João precisa de exatamente 700 cm de fita de 
led e que a área retangular limitada pela fita de led deve ser igual a 
30.000 cm2, determine as dimensões desse retângulo.
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na 
resolução desta questão. 
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02. (CFTRJ 2017) Um trapézio propriamente dito é um quadrilátero 
em que há um par de lados paralelos chamados bases cujas 
medidas são denotadas usualmente por b e B, e outros dois lados 
que não são as bases e não são paralelos entre si. Chama-se altura 
do trapézio propriamente dito a distância entre suas bases e usa-
se a notação h para sua medida. Desse modo, a área A de um 
trapézio propriamente dito é dada pela expressão
(B b)
A h
2
+
= ×
A figura a seguir mostra um trapézio propriamente dito com bases 
medindo 17 e 34,
com os comprimentos dos lados medidos em centímetros.
 Qual será a área desse trapézio, em centímetros quadrados?
03. (IFSC 2019 - ADAPTADA) Na figura a seguir há três quadrados, 
sendo 250 cm² a soma de suas áreas. Determine o perímetro do 
maior quadrado, em cm, sendo que o menor quadrado tem lado 
medindo 5 cm.
04. (UNESP 2017) A figura representa, em vista superior, a casinha 
de um cachorro (retângulo BIDU) e a área externa de lazer do 
cachorro, cercada com 35 metros de tela vermelha totalmente 
esticada.
a) Calcule a área externa de lazer do cachorro quando X=6 m. 
b) Determine, algebricamente, as medidas de x e y que maximizam 
essa área, mantidos os ângulos retos indicados na figura e as 
dimensões da casinha.
05. (FGV 2016) A figura a seguir representa a tela de um quadro 
pós-moderno, um quadrado cujos lados medem 2 metros. Deseja-
se pintar o quadro nas cores cinza e preta, como descrito na figura.
a) Qual a área que deverá ser pintada em preto? Expresse a 
resposta em metros quadrados. Qual é a proporção de cor 
preta para cor cinza?
b) Se a pintura na cor preta custa R$ 100,00 o metro quadrado, e 
a pintura na cor cinza, R$ 200,00 o metro quadrado, qual será o 
custo total de pintura do quadro?
c) Se as cores forem invertidas (sendo a área cinza pintada de 
preto e a área preta pintada de cinza), qual será a variação 
percentual do custo total de pintura do quadro, com relação ao 
custo total obtido no item B?
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. C
02. D
03. D
04. E
05. C
06. A
07. A
08. E
09. D
10. A
11. D
12. A
13. A
14. D
15. E
16. D
17. D
18. A
19. D
20. C
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. 150 e 200 cm
02. 180 cm2
03. 52 cm.
04. a) Áreaexterna= 76 m²; b) x = 9,5; y = 9,5
05. 
a) 5
3
b) R$ 550,00
c) 18,18 %
ANOTAÇÕES
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