Aula 10 - Produtos Not+íveis - Papirando

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ÁLGEBRA 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Existem alguns produtos de polinômios 
que, pelo fato de aparecerem 
frequentemente nos cálculos com 
expressões algébricas, recebem a 
denominação de produtos notáveis. São 
eles: 
 
I) Quadrado da soma 
(x + a)² = x² + 2ax + a² 
 
Exemplos: 
a) (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3²= 
= x² + 6x + 9 
b)  
2
4x³ 2y² 
   
2 2
6 3 2 4
4x³ 2 4x³ 2y² 2y²
16x 16x y 4y
     
  
 
 
II) Quadrado da diferença 
(x – a)² = x² – 2ax + a² 
 
Exemplos: 
a) (x – 5)² = x² – 2 · x · 5 + 5² = 
= x² – 10x + 25 
 
b)  
242xy 3z 
   
22 4 4
2 2 4 8
2xy 2 2xy 3z 3z
4x y 12xyz 9z
     
  
 
 
 
III) Produto da soma pela diferença 
(x + a) · (x – a) = x² – a² 
 
Exemplos: 
a) (x + 3) · (x – 3) = x² – 3² = x² – 9 
b)    x² 2y x² 2y   
   
2 2 4 2x² 2y x 4y    
 
IV) Produto de Stevin 
(x + a) · (x + b) = x² + (a + b) · x + ab 
 
Nota: O produto de Stevin é utilizado no 
produto de dois binômios que possuem 
um termo comum. 
 
Exemplos: 
a) (x + 2) · (x + 5) = x² + (2 + 5) x + 
+ 2 · 5 = x² + 7x + 10 
b)    4x² 2y 4x² 6y   
     
2
4 2 2
4x² 2y 6y 4x² 2y 6y
16x 16x y 12y
        
  
 
 
V) Quadrado de um trinômio 
(a + b + c)² = 
= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc 
 
Exemplos: 
a) (x + 2y + 2)² = x² + (2y)² + z² + 
+ 2 · x · 2y + 2x · z +2 · 2y · z = 
= x² + 4y² + z² + 4xy + 2xz + 4yz 
b)        
2 2 2 2
x³ y² 3z x³ y² 3z      
   
6 4 2 3 2 3 2
2 x³ y² 2 x³ 3z 2 y² 3z
x y 9z 2x y 6x z 6y z
          
     
 
 
VI) Cubo da Soma 
(x + a)³ = x³ + 3x³a + 3xa³ + a³ 
 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Exemplos: 
a) (x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 
+ 2³ = x ³ + 6x² + 12x + 8 
b) (2a + 3b)³ = (2a)³ +3 · (2a)² · 3b + 
+ 3 · 2a · (3b)² + (3b)³ = 
= 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³ 
 
VII) Cubo da diferença 
(x – a)³ = x³ – 3x²a + 3xa² – a³ 
 
Exemplos: 
a) (x – 3)³ = x³ – 3 · x² · 3 + 3 · x · 
· 3² – 3³ = x³ – 9x² + 27x – 27 
b)      
3 3 22 5 2 2y 2a y 3 y    
   
2 35 2 5 5
6 5 4 10 2 15
2a 3 y 2a 2a
y 6a y 12a y 8a
    
   
 
 
 
Casos especiais: 
1) (x + a) · (x² – ax + a²) = x³ + a³ 
 
Exemplos: 
a)(x + 2) (x² – 2x + 4) = x³ + 2³ = 
= x³ + 8 
b)    6 3 2a³ 3y a 3a y 9y    
   
3 3 9 3a³ 3y a 27y    
 
 
 
2) (x – a) · (x² + ax + a²) = x³ – a³ 
 
Exemplos: 
a) (x – 3) · (x² + 3x + 9) = x³ – 3 = 
= x³ – 27 
b)    4 2 3 6x² 2y³ x 2x y 4y    
   
3 32 3 6 9x 2y x 8y    
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Desenvolva os produtos notáveis. 
a) (a + b)² 
b) (x + 1)² 
c) (x + 6)² 
d) 
2
x
1
3
 
  
  
e) 
2
2x 1
3 3
 
  
  
f) (5a² – 2b³)² 
g) (a + b) · (a – b) 
h) (7 + x) · (7 – x) 
i) (x – 3) · (x + 2) 
j) (x + 3) · (x + 7) 
k) (3x – 2y – z)² 
l) (2x + 3y + 5z)² 
m) (x + 2)³ 
n) (x + 1)³ 
 
 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
2) (CEFET) Qual das afirmativas abaixo 
está errada? 
a) (– a – b)² = (a + b)² 
b) (– a + b)² = (a – b)² 
c) (a – b)² + 4ab = (a + b)² 
d) (a + b)² – 4ab = (a – b)² + ab 
e) Nenhuma das afirmativas acima uma 
está errada 
 
3) (CAP-UFRJ) Sabendo que a² + b² = 13 
e que 
2
3
ab = – 4, determine o valor de (a + 
b)² 
 
4) (CN) A expressão 
   
2 2
x³ y³ z³ x³ y³ z³
y³ z³
    

 é 
equivalente a: 
a) 4 · x³ 
b) 4 · y · x³ 
c) 4 · z · x³ 
d) 4y · z · x³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. i) x² – x – 6 
a) a² + 2ab + b² j) x² + 10 x + 21 
b) x² + 2x + 1 k) 9x² + 4y² + z² – 
12xy – 6xz + 4yz 
c) x² + 12x + 36 l) 4x² + 9y2 + 25z² + 
12xy + 20xz + 
30yz 
d) 
x² 2x
1
9 3
  
m) x³ + 6x² + 12x + 8 
e) 
4x² 4x 1
9 9 9
  
n) x³ + 3x² + 3x + 1 
f) 4 2 3 625a 20a b 4b  2. D 
g) a² – b² 3. 1 
h) 49 – x² 4. A