Aula 13 - Equa+º+Áes Biquadradas - Papirando

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ÁLGEBRA 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Uma equação biquadrada é do tipo: 
4 2ax bx c 0   a, b, c R e a 0 
Exemplos: 
a) 4 27x 4x 2 0    é uma equação 
biquadrada 
b) 45x 3 0   é uma equação biquadrada 
c) 4 3 22x 4x 3x 2x 1 0      não é uma 
equação biquadrada, pois possui variável 
elevada a expoente ímpar. 
 
MÉTODO DE RESOLUÇÃO 
Sua resolução é feita através de uma 
transferência de variáveis. Devemos, para 
isto, utilizar os procedimentos a seguir: 
1°) Substitui-se na equação 2x por y. Logo 
4x será igual a y, o que a tornará uma 
equação do 2° grau. 
2°) Em seguida resolve-se a equação do 2° 
grau assim obtida, determinando-se os 
dois valores de y. 
3°) Como 2x y , então x y . 
Exemplos: 
Resolver em R, as equações: 
a) 4 2x 10x 9 0   
Resolução: 
Artifício: Faça 2 4 2x y x y   
y² 10y 9 0   
   
2
1
2
10 10 4 1 9 y 910 8
y
y 12 1 2
        
  
 
 
como 2x y , logo: 
 
 
2
1x y 
2
2x y 
2x 9 ou 2x 1 
x 9 3  x 1 1  
 
 S 3, 1,1,3   
 
b) 4 2x x 20 0   
Resolução: 
Artifício: Façamos 
2 4 2x y x y   
2y y 20 0   
     
2
1
2
1 1 4 1 20 y 51 8
y
y 42 1 2
         
  
 
 
como 2x y , temos que: 
2
1x y 
2
2x y 
2x 5 ou 2x 4  
x 5 x 4 R   
 
 S 5, 5  
 
c) 2 4
18 8
9 0
x x
   
Resolução: 
Vamos tirar o MMC dos denominadores: 
MMC = 4x 
2 4
4 2
9 18 8
0
1 x x
x 1x
   
Supondo-se que x 0 , podemos 
abandonar os denominadores: 
4 29x 18x 8 0   
Façamos: 2x y e 4 2x y 
29y 18y 8 0   
 
 
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EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
/mestreviana /canalmestreviana 
2
1
2
18 18 4 9 8 18 6
y
2 9 18
18 6 12 2
y
18 18 3
18 6 24 4
y
18 18 3
      
  

  
    


 
    

 
como 2x y : 
2
1x y 
2
2x y 
2 2x 3  ou 
2 4x 3  
2
x R
3
   
4
x R
3
   
 
S   
 
Observações: 
a) As raízes de uma equação biquadrada 
são SIMÉTRICAS duas a duas. 
b) Em decorrência do que foi apresentado 
acima, a soma das raízes de uma equação 
biquadrada vale sempre ZERO. 
c) Esse procedimento serve para resolver 
qualquer equação do tipo 2k kax bx c 0   , 
sendo k, um número positivo. Nesse caso, 
devemos proceder de forma análoga à 
mostrada, chamando kx de y e 2kx de 2y . 
 
COMPOSIÇÃO DA EQUAÇÃO 
BIQUADRADA, DADAS AS 
RAÍZES 
O processo de composição é bem 
semelhante àquele utilizado no capítulo 
"Equação do 2° Grau". Assim sendo, uma 
equação biquadrada de raízes k e m é da 
forma: 
4 2x S x P 0    
onde: S k² m²  e P k² m²  
Exemplo: 
Compor uma equação biquadrada de raízes 
3 e 7 . 
Neste caso temos k 3 e m 7 
Logo:  
2
2k 3 3  e 2 2m 7 49  
S k² m² 3 49 52     
P k² m² 3 49 147     
4 2x S x P 0    
4 2x 52x 147 0   
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
Uma equação é dita irracional quando 
apresenta variável sob radical ou elevada a 
expoente fracionário. 
Cabe lembrar que, ao resolvermos uma 
equação irracional, é necessário que 
testemos os resultados obtidos de modo a 
verificar se eles servem ou não como 
soluções da equação proposta. Este teste é 
necessário pois, muitas vezes a resolução 
de uma equação irracional é feita elevando-
se ambos os membros a um expoente par, 
o que, por certo, pode introduzir raízes 
estranhas à equação. 
Por exemplo: 
I) Suponha x = 2 
II) Elevando ambos os membros da 
equação ao quadrado, teoricamente não a 
alteramos: 
x² 2² 
x² 4 
x 2 
III) Observe que a raiz – 2 apareceu, sem, 
no entanto, satisfazer à equação primitiva 
do item (I), daí ser chamada de raiz 
 
 
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estranha, e, portanto, ser importante a 
verificação dos resultados encontrados. 
Exemplos: 
a) Seja resolver a equação 5 2x 2 
Resolução: 
Devemos elevar ambos os membros à 5ª 
potência de modo a eliminar a raiz: 
 
5
55 2x 2 
 2x 32 x 16 S 16     
 
b) Resolver a equação 4 x x 1 5    . 
Resolução: 
Devemos isolar um dos radicais em um dos 
membros, e, em seguida elevar ambos os 
membros ao quadrado, tornando a isolar o 
radical obtido: 
4 x x 1 5    
4 x 5 x 1    
   
2 2
4 x 5 x 1    
4 x 25 10 x 1 x 1      
10 x 1 25 x 1 x 4      
10 x 1 20  
x 1 2  
 
2
2x 1 2  
x 1 4 x 5    
 
Teste: 
4 5 5 1 5    
9 4 5  
3 2 5  
5 5 (Serve)  S 5 
 
 
c) Resolver a equação abaixo: 
3x 1 x 4 7    
Resolução: 
3x 1 7 x 4    
   
2 2
3x 1 7 x 4    
3x 1 49 14 x 4 x 4      
14 x 4 52 2x   
Dividindo-se ambos os membros por 2: 
7 x 4 26 x   
   
2 27 x 4 26 x   
  249 x 4 676 52x x    
249x 196 676 52x x    
2x 52x 676 49x 196 0      
2x 101x 480 0    
2x 101x 480 0   
Resolvendo-se tal equação, obtemos x = 5 
ou x = 96. 
 
Testes: 
1°) x = 5 
3 5 1 5 4 7     
16 9 7  
4 3 7  
7 7 Serve!! 
 
2°) x = 96 
3 96 1 96 4 7     
289 100 7  
17 10 7  
27 7 Não Serve!!! 
 S 5 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Resolva as equações abaixo, sendo 
U = R. 
a) 
48x 0 
b) 
4 24x 9x 0  
c) 
416x 1 0  
d) 
49x 16 0  
e) 
4 26x 7x 0  
f) 
4 2x 13x 36 0   
 
2) Resolver, em IR, as equações 
irracionais a seguir: 
a) x 6 
b) 
3 x 2 
c) 3x 8 
d) 
5 2x 1 
e) 
4 3x 3 
f) x 2 3x 2 0    
g) x 3 2x 2 4    
h) 
3 62x 1 3x 2   
i) x 6x 1 3   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. 2. 
a)  S 0 
a)  S 36 
b) 
3 3
S ,0,
2 2
  
  
  
 
b)  S 8 
c) 
1 1
S ,
2 2
  
  
  
 
c) 
64
S
3
  
  
   
d) 
2 3 2 3
S ,
3 3
  
  
  
 
d) 
1
S
2
  
  
   
e)  S 0 
e)  S 27 
f)  S 3, 2,2,3   
f)  S 2 
 g) S   
 
h) 
3
S ,1
4
  
  
   
 
i)  S 4