Superfi¦ücie co¦énica - Papirando

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
SUPERFÍCIE CÔNICA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
SUPERFÍCIES CÔNICAS 
Definição 
Denomina-se superfície cônica àquela 
gerada por uma reta r (geratriz) a qual se 
desloca passando por um mesmo ponto 
fixo V (vértice), apoiando-se numa linha 
curva d (diretriz). A superfície cônica é 
composta de duas folhas, e pode ser aberta 
ou fechada, conforme seja aberta ou 
fechada a sua diretriz. O eixo de uma 
superfície cônica é uma reta vertical que 
passa pelo seu vértice. 
 
 
 
 
 
r - geratriz 
v - vértice 
d - diretriz 
s - eixo 
 
 
Seções Cônicas 
A interseção de um plano  com uma 
superfície cônica fechada, cuja geratriz tem 
inclinação constante em relação ao eixo, é 
chamada de seção cônica. A seguir vamos 
enumerar as principais seções cônicas, 
aquelas que vamos estudar de uma forma 
analítica e não apenas geométrica. 
 
1) O plano  é perpendicular ao eixo e não 
contém o vértice V. 
 
Neste caso a seção é uma circunferência 
 
2) O plano  é oblíquo ao eixo, intersecta a 
geratriz apenas numa das folhas da 
superfície cônica e não contém V. 
 
Neste caso a seção é uma elipse. 
 
3) O plano  intersecta ambas as folhas da 
superfície cônica e não contém V. 
 
Neste caso a seção é uma hipérbole. 
Devemos notar que a hipérbole possui dois 
ramos. 
 
4) O plano  é paralelo à geratriz e não 
contém V. 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
SUPERFÍCIE CÔNICA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Neste caso a seção é uma parábola. 
 
Agora que já mostramos a obtenção de 
cada cônica geometricamente, vamos 
passar a estudá-las analiticamente, através 
de suas equações e gráficos. Antes, porém, 
é importante entender um conceito que 
será bastante utilizado daqui para frente, o 
conceito de lugar geométrico (l.g.). 
Chamamos de lugar geométrico ao 
conjunto de pontos tais que eles, e apenas 
eles, possuem uma determinada 
propriedade. Por exemplo, o lugar 
geométrico dos pontos equidistantes dos 
lados de um ângulo é a bissetriz desse 
ângulo. 
 
ESTUDO DA ELIPSE 
Definição 
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de 
um plano cuja soma das distâncias a dois 
pontos 
1
F e 
2
F desse plano, chamados de 
focos, é igual a uma constante positiva 2a. 
 
 
 
1 2
PF PF 2a  
 
 
Elementos da elipse 
1) Distância focal: é a distância entre os 
pontos 
1
F e 
2
F que são os focos aludidos na 
definição. A distância local é normalmente 
representada por 2c, então: 
1 2
F F 2c 
2) Centro: é o ponto médio do segmento 
1 2
F F . Na figura é representado pelo ponto 0. 
 
3) Eixo maior: é o segmento de reta que 
contém os focos 
1
F e 
2
F e tem como 
extremos os pontos 
1
A e 
2
A da elipse. O 
eixo maior tem comprimento igual a 2a, 
assim: 
1 2
A A 2a 
4) Eixo menor: é o segmento de reta que 
passa pelo centro 0, é perpendicular ao 
eixo maior 
1 2
A A e tem como extremos os 
pontos 
1
B e 
2
B da elipse. Consideremos o 
comprimento do eixo menor igual a 2b, daí: 
1 2
B B 2b 
5) Vértices: são os extremos dos eixos 
maior e menor. Portanto, são vértices 
1
A , 
2
A , 
1
B , e 
2
B . 
 
6) Excentricidade: a excentricidade e de 
uma cônica é a razão entre a distância focal 
e o eixo maior. 
2c
e
2a
 
c
e
a
 
7) Simetrias na elipse: a elipse tem dois 
eixos de simetria que são os eixos maior e 
 
 
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menor. Além disso, seus pontos são 
simétricos, dois a dois, em relação ao 
centro 0. 
 
Relação Fundamental 
 
Pela definição de elipse, a soma das 
distâncias de qualquer um de seus pontos 
aos focos 
1
F e 
2
F vale sempre 2a. Na figura 
abaixo, o triângulo 
1 1 2
B F F é isósceles, com 
1 1 1 2
B F B F . Como 
1
B é ponto da elipse: 
1 1 1 2
B F B F 2a  
Logo: 
1 1 1 2
B F B F a  
Aplicando-se o teorema de Pitágoras no 
triângulo 
1 2
0B F : 
a² = b² + c² 
 
Equação da Elipse 
 
Considerando-se uma elipse centrada na 
origem do sistema de eixos, com focos no 
eixo horizontal, como mostra a figura, e um 
ponto P (x, y) genérico, pertinente a ela, 
temos que: 
1 2
PF PF 2a  
Desenvolvendo-se analiticamente os 
módulos dos vetores 
1
PF e 
2
PF , chegamos 
à equação reduzida de elipse: 
x² y²
1
a² b²
  
Se considerarmos uma elipse centrada na 
origem e com os focos no eixo vertical, 
chegaremos, utilizando um método 
análogo ao anterior, à sua equação 
reduzida: 
 
 
 
 
 
x² y²
1
b² a²
  
 
Elipse Equilátera 
Uma elipse é dita equilátera quando o eixo 
menor tem comprimento igual ao da 
distância focal, ou seja, 2b = 2c, ou ainda b 
= c. Neste tipo de elipse o quadrilátero de 
vértices 
1
B , 
1
F , 
2
B e 
2
F é um quadrado. 
Exemplos 
a) Determine a equação de elipse centrada 
na origem cujo eixo maior está sobre o eixo 
x e mede 10 cm e cuja distância focal mede 
6 cm. 
Resolução 
eixo maior = 2a = 10 → a = 5 
distância focal = 2c = 6 → c = 3 
 
 
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Pela relação fundamental: 
a² = b² + c² 
5² = b² + 3² ∴ b = 4cm 
 
Equação: 
x² y²
1
a² b²
  
x² y²
1
25 16
  
b) Determine a excentricidade da elipse de 
equação: 9x² + 4y² = 36. 
Resolução 
Para que a equação seja reduzida, o 
segundo membro deve ser igual a 1. 
portanto devemos dividir ambos os 
membros de equação por 36. 
9x² 4y² 36 :36  
9x² 4y² 36
36 36 36
  
x² y²
1
4 9
  
Observe que neste caso como o maior 
denominador está sob o termo y², o eixo 
maior está na direção do eixo y, assim: 
 
a² = 9 → a = 3 
b² = 4 → b = 2 
a² = b² = c² 
3² = 2² + c² ∴ c 5 
c 5
e e
a 3
   
 
ESTUDO DA HIPÉRBOLE 
Definição 
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos 
de um plano cujo módulo da diferença 
entre as distâncias a dois pontos 
1
F e 
2
F 
desse plano, chamados de focos, é igual a 
uma constante real positiva 2a. 
 
 
 
 
1 2
PF PF 2a  
 
 
Elementos da Hipérbole 
 
1) Distância focal: é a distância 2c entre os 
focos 
1
F e 
2
F então: 
1 2
F F 2c 
2) Centro: é ponto 0, médio do segmento 
1 2
F F . 
 
3) Eixo real: é o segmento 
1 2
A A , onde 
1
A e 
2
A são as interseções da reta 
1 2
F F com a 
hipérbole. Note que 
1 2
A A 2a . 
 
 
 
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4) Circunferência fundamental: 
Chamaremos de circunferência 
fundamental àquela que tem centro 0 e raio 
igual a c. 
 
5) Retângulo fundamental: é o retângulo 
cujos vértices são as interseções da 
circunferência fundamental com as 
perpendiculares ao eixo real que passam 
por 
1
A e 
2
A . Na figura, QRST é o retângulo 
fundamental. 
 
6) Eixo imaginário ou transverso: é o 
segmento 
1 2
B B 2b , que é perpendicular 
ao eixo real e passa pelo centro 0. 
 
7) Vértices: são os pontos 
1
A , 
2
A , 
1
B e 
2
B 
 
8) Assíntotas: devemos lembrar que 
assíntota é uma reta da qual uma curva se 
aproxima, sem, no entanto, haver 
interseção. No caso da figura, 
1
r e 
2
r são as 
assíntotas e têm equações: 
1 2
b b
r : y x e r : y x
a a

    
Obs.: Quando o eixo real é vertical, os 
coeficientes angulares das assíntotas são ± 
a/b 
 
9) Diretrizes: são retas 
1
s e 
2
s , paralelas ao 
eixo imaginário, distando deste 
a²
c
 
unidades, cada uma. 
 
Relação Fundamental 
No triângulo
2
OQA da figura anterior, 
temos que OQ c . 
2 1
A Q OB b  e 
1
OA a
. Então, aplicando-se o teorema de 
Pitágoras: 
c² = a² + b² 
Equação da Hipérbole 
Consideremos uma hipérbole centrada na 
origem do sistema de eixos e com focos no 
eixo horizontal. Assim, dado um ponto 
genérico P (x, y), pertinente à hipérbole, 
temos que: 
 
 
 
1 2
PF PF 2a  
 
Desenvolvendo-
se analiticamente os módulos dos vetores e 
algebricamente a equação obtida, 
chegaremos à equação reduzida da 
hipérbole: 
x² y²
1
a² b²
  
No caso de hipérbole centrada na origem e 
com focos no eixo das ordenadas, 
utilizando-seum procedimento análogo ao 
anterior, chegaremos à sua equação 
reduzida: 
 
 
 
 
y² x²
1
a² b²
  
 
 
 
 
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: 
Quando o semi-eixo transverso for igual ao 
semi-eixo real, ou seja, a = b, a hipérbole é 
chamada de equilátera. Neste caso o seu 
retângulo fundamental é um quadrado e 
suas assíntotas, que contêm os diagonais 
desse quadrado, são as bissetrizes dos 
quatro quadrantes, e portanto, 
perpendiculares. Cabe ressaltar que sua 
excentricidade vale 2 
Exemplo 
a) Determine todos os elementos da 
hipérbole 
x² y²
1
4 9
  
Resolução 
2
a = 4 → a = 2 (semi-eixo real) 
2
b = 9 → b = 3 (semi-eixo transverso) 
2
c = 4 + 9 ∴ c 13 (semi-distância 
focal) 
 
Como na equação reduzida dada acima o 
coeficiente de x² é positivo, a hipérbole tem 
eixo real sobre o eixo horizontal, seus 
vértices são: 
1
A (-2, 0), 
2
A (2, 0), 
1
B (0, 3) e 
2
B (0, -3) 
enquanto que os focos são os pontos: 
1 2
F ( 13,0) e F ( 13,0) 
sua excentricidade é dada por: 
c 13
e
a 2
  
as assíntotas têm equações: 
b
y x
a
  
1 2
3 3
r : y x e r : y x
2 2

    
e finalmente, as diretrizes: 
a²
x
c
  
1 2
4 13 4 13
s : x e s : x
13 13

  
Abaixo, um esboço gráfico dessa hipérbole: 
 
 
b) Determine todos os elementos da 
hipérbole 9y² - 16x² = 144. 
Resolução 
Em primeiro lugar devemos dividir ambos 
os membros por 144, para que a equação 
esteja expressa na forma reduzida: 
9y² 16x² 144 :144  
9y² 16x² 144
144 144 144
  
y² x²
1
16 9
  
Na qual temos: 
a² = 16 → a = 4 
b² = 9 → b = 3 
 
 
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c² = a² + b² 
c² = 16 + 9 → c = 5 
 
Como o coeficiente de y² é positivo, o eixo 
real está sobre o eixo y. Os pontos notáveis 
dessa hipérbole são: 
1
A (0, 4), 
2
A (0, -4), 
1
B (-3, 0), 
2
B (3, 0), 
1
F (0, 5) e 
2
F (0, -5) 
 
As retas importantes: 
1 2
4 4
r : y x e r : y x
3 3

    
1 2
16 16
s : y e s : y
5 5

  
Em seguida, temos um esboço gráfico dessa 
hipérbole: 
 
 
ESTUDO DA PARÁBOLA 
Definição 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos 
de um plano equidistante de um ponto fixo 
F deste plano, chamado de foco, e de uma 
reta d deste plano, que não passa por F, 
chamada de diretriz. 
 
 
 
 
 
 
 
P,d
PF d 
 
 
Elementos da Parábola 
 
1) Foco: é o ponto F. 
 
2) Diretriz: é a reta d. 
 
3) Eixo: é a reta r, perpendicular à diretriz 
d, que passa pelo foco F, sendo o único eixo 
de simetria da parábola. 
 
4) Vértice: é a interseção da parábola com 
o seu eixo. Na figura acima é representado 
pelo ponto V. 
 
5) Parâmetro: é o número real positivo p, 
que representa a distância do foco à 
diretriz. Como V é um ponto pertencente à 
parábola, vale a relação: 
V ,d V ,F
p
d d
2
  
 
 
 
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Equação da Parábola 
Considerando-se que a parábola tenha 
vértice na origem do sistema e que seu 
parâmetro valha p, temos a considerar 
quatro casos e suas respectivas equações, 
todas obtidas a partir do desenvolvimento 
analítico da lei fundamental da formação 
da parábola: 
P,d
PF d 
1° caso: foco no semi-eixo OX positivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação: y² = 2px 
 
2° caso: foco no semi-eixo OX negativo 
 
 
 
 
 
 
 Equação: y² = - 2px 
 
3° caso: foco no semi-eixo OY positivo 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação: x² = 2py 
4° caso: foco no semi-eixo OY negativo 
 
 
 
 
 
 
 Equação: x² = - 2py 
 
Exemplos 
a) Determine a equação da parábola que 
possui vértice na origem e foco no ponto F 
(2, 0) 
Resolução 
Como F (2, 0), temos que p 2
2
 , então 
p = 4. 
 
Portanto a equação da parábola é: 
y² = 2px 
y² = 8x 
 
Sua diretriz d é dada por. 
pd : x
2
  
d: x = -2 
 
Abaixo o esboço gráfico: 
 
 
 
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b) Determine a equação da parábola com 
vértices na origem e diretriz de equação x 
= 3. 
Resolução 
Como a diretriz é x = 3, temos que p/2 = 3, 
logo p = 6 e por conseguinte, o foco que é o 
ponto pF ,0
2
 
  
 
, é dado por F (-
3, 0). A equação é, portanto: 
y = -2px 
y² = -12x 
Seu gráfico é mostrado abaixo: 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Uma elipse tem centro na origem e 
vértices em (2a, 0) e (0, a), com a > 0. A 
área do quadrado inscrito nessa elipse é 
a) 
16a²
5
 
b) 
4a²
5
 
c) 
12a²
5
 
d) 
8a²
5
 
e) 
20a²
5
 
 
2) Os valores reais de 𝑛 para os quais a reta 
(𝑡) 𝑦 = 𝑥 + 𝑛 seja tangente à elipse de 
equação 2𝑥² + 3𝑦² = 6 são iguais a 
a) 5 e 5 
b) 3 e 3 
c) −3 𝑒 3 
d) −2 𝑒 2 
e) −5 𝑒 5 
 
3) Considere as afirmações: 
I. Uma elipse tem como focos os pontos 
1 2
F ( 3,0),F (3,0) e a medida do eixo 
maior é 8. Sua equação é 
x² y²
1
16 7
  . 
II. Os focos de uma hipérbole são 
1 2
F ( 10,0),F (10,0) e sua excentricidade 
é 
5
3
. Sua equação é 16x² 9y² 576  . 
III. A parábola 8𝑥 = −𝑦² + 6𝑦 − 9 tem 
como vértice o ponto 𝑉(3,0). 
Com base nessas afirmações, assinale a 
alternativa correta. 
a) Todas as afirmações são falsas 
b) Apenas as afirmações I e III são 
falsas 
c) Apenas as afirmações I e II são 
verdadeiras 
 
 
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/mestreviana /canalmestreviana 
d) Todas as afirmações são verdadeiras 
e) Apenas a afirmação III é verdadeira 
 
4) Uma reta 𝑡 passa pelo ponto 𝐴(−3,0) e é 
tangente à parábola de equação 𝑥 = 3𝑦² no 
ponto 𝑃. Assinale a alternativa que 
apresenta uma solução correta de acordo 
com essas informações 
a) 𝑡: 2𝑥 − 15 + 6 = 0 𝑒 𝑃(12,2) 
b) 𝑡: 𝑦 = 0 𝑒 𝑃(0,0) 
c) 𝑡: 2𝑥 + 15𝑦 + 6 = 0 𝑒 𝑃(12, −2) 
d) 𝑡: 𝑥 + 6𝑦 + 3 = 0 𝑒 𝑃(3, −1) 
e) 𝑡: 𝑥 − 10𝑦 + 3 = 0 𝑒 𝑃(27,3) 
 
5) Sobre a curva 9𝑥² + 25𝑦² − 36𝑥 + 50𝑦 − 
164 = 0, assinale a alternativa correta 
a) Seu centro é (−2,1) 
b) A medida do seu eixo maior é 25 
c) A medida do seu eixo menor é 9 
d) A distância focal é 4 
e) Sua excentricidade é 0,8 
 
6) Num estádio de futebol em forma de 
elipse, o gramado é o retângulo 𝑀𝑁𝑃𝑄, 
inscrito na cônica, conforme mostra a 
figura. Escolhendo o sistema de 
coordenadas cartesianas indicado e 
tomando o metro como unidade, a elipse é 
descrita pela equação 
x² y²
1
36² 60²
  . Sabe-
se também que os focos da elipse estão 
situados em lados do retângulo 𝑀𝑁𝑃𝑄. 
 
Assim, a distância entre as retas 𝑀𝑁 𝑒 𝑃𝑄 
é 
a) 48m 
b) 68m 
c) 84m 
d) 92m 
e) 96m 
 
7) A representação no sistema cartesiano 
ortogonal da equação 9𝑥² − 𝑦² = 36𝑥 + 8𝑦 
− 11 é dada por 
a) Duas retas concorrentes 
b) Uma circunferência 
c) Uma elipse 
d) Uma parábola 
e) Uma hipérbole 
 
8) O ponto 𝑃(𝑎, 1/3) pertence à parábola 
(y² 3)x
3
 . A equação da reta 
perpendicular à bissetriz dos quadrantes 
ímpares que passa por 𝑃 é: 
a) 27𝑥 + 27𝑦 − 37 = 0 
b) 37𝑥 + 27𝑦 − 27 = 0 
c) 27𝑥 + 37𝑦 − 27 = 0 
d) 27𝑥 + 27𝑦 − 9 = 0 
e) 27𝑥 + 37𝑦 − 9 = 0 
 
 
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GABARITO 
1. a 5. e 
2. a 6. e 
3. c 7. e 
4. d 8. a 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Uma elipse tem centro na origem e 
vértices em (2a, 0) e (0, a), com a > 0. A 
área do quadrado inscrito nessa elipse é 
a) 
16a²
5
 
b) 
4a²
5
 
c) 
12a²
5
 
d) 
8a²
5
 
e) 
20a²
5
 
Resolução 
O centro dessa elipse é a origem, do que 
segue que sua equação é do tipo: 
x² y²
1
a² b²
  
Seu eixo maiorestá sobre o eixo 𝑥, e mede 
2 2a 4a  e seu eixo menor está sobre o 
eixo 𝑦, do que segue que ele mede 2 a . 
Portanto, a equação fica: 
x² y² x² y²
1 1
(2a)² (a)² 4a² a²
     
O vértice superior direito do quadrado 
possui coordenadas 
L L
,
2 2
 
 
 
 
 e está sobre a 
elipse. Disso, temos que: 
2 2
L L
2 2
1
4a² a²
   
   
   
      
L² 1 4 16a²
1 L²
4 4a² 4a² 5
 
      
 
 
A área do quadrado é dada por L², do que 
segue que ela vale: 
16a²
A L²
5
  
 
Gabarito: “a”. 
 
2) Os valores reais de 𝑛 para os quais a reta 
(𝑡) 𝑦 = 𝑥 + 𝑛 seja tangente à elipse de 
equação 2𝑥² + 3𝑦² = 6 são iguais a 
a) 5 e 5 
b) 3 e 3 
c) −3 𝑒 3 
d) −2 𝑒 2 
e) −5 𝑒 5 
Resolução 
Substituindo 𝑦 da reta na elipse: 
2𝑥² + 3(𝑥 + 𝑛)² = 6 
2𝑥² + 3(𝑥² + 2𝑛𝑥 + 𝑛²) = 6 ⇒ 
⇒ 5𝑥² + 6𝑛𝑥 + 3𝑛² − 6 = 0 
Queremos que a reta seja tangente à elipse, 
do que segue que o discriminante da 
equação acima deve ser nulo (apenas uma 
raiz real): 
(6n)² 4 5 (3n² 6) 0        
120
24n² 120 0 n² 5
24
      
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
SUPERFÍCIE CÔNICA 
/mestreviana /canalmestreviana 
Ou seja: 
n 5 
 
Gabarito: “a”. 
 
 
3) Considere as afirmações: 
I. Uma elipse tem como focos os pontos 
1 2
F ( 3,0),F (3,0) e a medida do eixo maior 
é 8. Sua equação é 
x² y²
1
16 7
  . 
II. Os focos de uma hipérbole são 
1 2
F ( 10,0),F (10,0) e sua excentricidade é 
5
3
. Sua equação é 16x² 9y² 576  . 
III. A parábola 8𝑥 = −𝑦² + 6𝑦 − 9 tem 
como vértice o ponto 𝑉(3,0). 
Com base nessas afirmações, assinale a 
alternativa correta. 
a) Todas as afirmações são falsas 
b) Apenas as afirmações I e III são 
falsas 
c) Apenas as afirmações I e II são 
verdadeiras 
d) Todas as afirmações são verdadeiras 
e) Apenas a afirmação III é verdadeira 
Resolução 
Vamos analisar cada afirmação: 
Afirmação I: 
A semidistância focal vale 𝑐 = 3 e o 
semieixo maior vale 
8
a 4
2
  . Disso, seu 
semieixo menor vale: 
𝑏² + 3² = 4² ⇒ 𝑏² = 7 
O seu centro é o ponto médio de 
1
F
2
F , isto 
é, (0,0) do que segue que sua equação é: 
x² y² x² y²
1 1
a² b² 16 7
     
Verdadeira. 
 
Afirmação II: 
A semidistância focal vale 𝑐 = 10. Da sua 
excentricidade, temos: 
5 10
a 6
3 a
   
Além disso: 
6² + 𝑏² = 10² ⇒ 𝑏 = 8 
Assim, sua equação é dada por: 
x² y²
1 64x² 36y² 48²
6² 8²
      
16x² 9y² 576   
Verdadeira. 
 
Afirmação III: 
Completando o quadrado do lado direito: 
8(𝑥 − 0) = −(𝑦² − 6𝑦 + 9) = −(𝑦 − 3)² 
Logo, o vértice da parábola é o ponto (0,3). 
Falsa 
 
Gabarito: “c”. 
 
4) Uma reta 𝑡 passa pelo ponto 𝐴(−3,0) e é 
tangente à parábola de equação 𝑥 = 3𝑦² no 
ponto 𝑃. Assinale a alternativa que 
apresenta uma solução correta de acordo 
com essas informações 
a) 𝑡: 2𝑥 − 15 + 6 = 0 𝑒 𝑃(12,2) 
b) 𝑡: 𝑦 = 0 𝑒 𝑃(0,0) 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
SUPERFÍCIE CÔNICA 
/mestreviana /canalmestreviana 
c) 𝑡: 2𝑥 + 15𝑦 + 6 = 0 𝑒 𝑃(12, −2) 
d) 𝑡: 𝑥 + 6𝑦 + 3 = 0 𝑒 𝑃(3, −1) 
e) 𝑡: 𝑥 − 10𝑦 + 3 = 0 𝑒 𝑃(27,3) 
Resolução 
Seja 𝑡: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 a equação reduzida da 
reta 𝑡. Como ela passa por 𝐴, temos: 
0 = −3𝑚 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 3𝑚 
Ou seja: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 3𝑚 
Substituindo na equação da parábola: 
𝑥 = 3(𝑚𝑥 + 3𝑚)² ⇒ 
⇒ 𝑥 = 3(𝑚²𝑥² + 6𝑚²𝑥 + 9𝑚²) 
3𝑚²𝑥² + (18𝑚² − 1)𝑥 + 27𝑚² = 0 
Da tangência, temos que o discriminante 
deve ser nulo: 
(18m² 1)² 4 27m² 3m² 0       
Δ = (18𝑚² − 1)² − (18𝑚²)² = 0 ⇒ 
⇒(18𝑚²−1−18𝑚²)(18𝑚²−1+18𝑚²)=0 
Disso, temos que: 
1
36m² 1 m
6
   
Assim, 
1
b
2
 e temos duas retas 
possíveis: 
1
1 1 1
t : y x ou x 6y 3 0 m
6 2 6
 
       
 
 
2
1 1 1
t : y x ou x 6y 3 0 m
6 2 6
 
         
 
 
Os pontos de tangência são, usando que 
1m²
36
 : 
1 1 27
3 x² 18 1 x 0
36 36 36
 
        
 
 
1
(x 3)² 0 x 3
12
     
 
1m
6
 
3 1
y 1
6 2
   
P(3,1) 
 
1m
6
  
3 1
y 1
6 2
     
𝑃(3, −1) 
 
Gabarito: “d”. 
 
5) Sobre a curva 9𝑥² + 25𝑦² − 36𝑥 + 50𝑦 − 
164 = 0, assinale a alternativa correta 
a) Seu centro é (−2,1) 
b) A medida do seu eixo maior é 25 
c) A medida do seu eixo menor é 9 
d) A distância focal é 4 
e) Sua excentricidade é 0,8 
Resolução 
Vamos completar os quadrados para 
identificar a cônica: 
9(𝑥²−4𝑥+4−4)+25(𝑦²+2𝑦+1−1)−164=0 
9(𝑥−2)²−36+25(𝑦+1)²−25−164=0 
9(𝑥−2)²+25(𝑦+1)²=225
(x 2)² (y 1)²
1
225 225
9 25
 
   
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
SUPERFÍCIE CÔNICA 
/mestreviana /canalmestreviana 
(x 2)² (y 1)²
1
5² 3²
 
   
Seu semieixo maior vale 𝑎 = 5 e seu 
semieixo menor vale 𝑏 = 3, do que temos 
que sua semidistância focal é: 
𝑐² + 3² = 5² ⇒ 𝑐 = 4 
Assim, sua excentricidade é dada por: 
c 4
e 0,8
a 5
   
 
Gabarito: “e”. 
 
6) Num estádio de futebol em forma de 
elipse, o gramado é o retângulo 𝑀𝑁𝑃𝑄, 
inscrito na cônica, conforme mostra a 
figura. Escolhendo o sistema de 
coordenadas cartesianas indicado e 
tomando o metro como unidade, a elipse é 
descrita pela equação 
x² y²
1
36² 60²
  . Sabe-
se também que os focos da elipse estão 
situados em lados do retângulo 𝑀𝑁𝑃𝑄. 
 
Assim, a distância entre as retas 𝑀𝑁 𝑒 𝑃𝑄 
é 
a) 48m 
b) 68m 
c) 84m 
d) 92m 
e) 96m 
Resolução 
Os focos da elipse estão situados nos 
pontos médios de 𝑄𝑃 𝑒 𝑀𝑁. Disso, temos 
que, sendo 𝑐 a semidistância focal: 
𝑄𝑀 = 𝑃𝑁 = 2𝑐 
Da equação da elipse, 𝑎 = 60 𝑒 𝑏 = 36, do 
que segue que: 
𝑐² + 36² = 60² ⇒ 𝑐 = 48 
Veja que a distância entre 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄 vale 
QM PN 2c 2 48 96     . 
 
Gabarito: “e”. 
 
7) A representação no sistema cartesiano 
ortogonal da equação 9𝑥² − 𝑦² = 36𝑥 + 8𝑦 
− 11 é dada por 
a) Duas retas concorrentes 
b) Uma circunferência 
c) Uma elipse 
d) Uma parábola 
e) Uma hipérbole 
Resolução 
Vamos completar os quadrados para 
identificar a provável cônica: 
9𝑥²−36𝑥–𝑦²−8𝑦+11=0 ⇒ 
⇒ 9(𝑥²−4𝑥+4−4)−(𝑦²+8𝑦+16)+11=0 
Ou ainda: 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
SUPERFÍCIE CÔNICA 
/mestreviana /canalmestreviana 
9(x 2)² (y 4)² 9 0     
(y 4)²
(x 2)² 1
9

    
Que corresponde à equação de uma 
hipérbole. 
 
Gabarito: “e”. 
 
8) O ponto 𝑃(𝑎, 1/3) pertence à parábola 
(y² 3)x
3
 . A equação da reta 
perpendicular à bissetriz dos quadrantes 
ímpares que passa por 𝑃 é: 
a) 27𝑥 + 27𝑦 − 37 = 0 
b) 37𝑥 + 27𝑦 − 27 = 0 
c) 27𝑥 + 37𝑦 − 27 = 0 
d) 27𝑥 + 27𝑦 − 9 = 0 
e) 27𝑥 + 37𝑦 − 9 = 0 
Resolução 
Como 𝑃 pertence à parábola, temos: 
2
1
3
3 28
a
3 27
 
   
   
E o ponto 𝑃 é 
28 1
,
27 3
 
 
 
 
. 
A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta 
𝑦 = 𝑥, de coeficiente angular 1. Disso, segue 
que a reta buscada possui coeficiente 
angular −1, pois: 
1 ∙ (−1) = −1 
Isto é: 
𝑦 = −𝑥 + 𝑏 
Como ela passa por 𝑃: 
1 28 37
b b
3 27 27
     
Logo: 
37
y x 27x 27y 37 0
27
       
 
Gabarito: “a”.