Aula 14 - Comprimento da circunfer+¬ncia

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GEOMETRIA PLANA 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
A circunferência de um círculo é uma linha 
formada por todos os pontos do plano 
equilátero de um ponto fixo chamado de 
cateto, como p é do nosso conhecimento. 
Seu comprimento é dado por. 
 
C 2 R 
Onde 3,14 
Exemplo: 
Determine o comprimento de uma 
circunferência de raio 4,5 cm. 
Resolução: 
C 2 R 2 4,5 9 cm 9 3,14 28,26 cm          
 
O SISTEMA CIRCULAR OU 
RADIOMÉTRICO 
A unidade padrão deste sistema é o radiano 
(rad ou rd). Definimos o ângulo de 1 
radiano como sendo o ângulo central que, 
em um círculo qualquer, subentende na 
circunferência um arco cujo comprimento 
retificado é igual ao comprimento do raio 
do círculo utilizado. 
 
O arco AB retificado tem comprimento 
igual a r. 
Vimos que o comprimento de uma 
circunferência de raio r é dado por 2 r . 
Assim, para determinarmos a quantos 
radianos equivale uma circunferência, 
devemos montar uma regra de três, pois, 
um arco de comprimento r está associado 
ao valor 1rad, logo a circunferência de 
comprimento 2 r está associada a x rd. 
Daí: 
comprimento 
do arco 
ângulo 
r 1 rad 
2 r x rad 
x r 2 r x 2 r     
 
Ou seja, a circunferência equivale a 2 rad. 
 
RELAÇÃO IMPORTANTE: 
 
2 rad 360º
 ou
 rad 180º




 
 
 
 
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COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
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Exemplos: 
a) A quantos radianos equivale o ângulo de 
150°? 
Resolução: 
180º rad
150º x
180 x 150
150 5
x x rad
180 6


 


  

  
 
b) O ângulo de 
3
4

 rad a quantos graus 
equivale? 
Resolução: 
3 3
rad 180º 135º
4 4

   
 
COMPRIMENTO DE UM ARCO 
Seja o comprimento  de um arco que, em 
um círculo de raio R, está associado a um 
ângulo central  . Podemos observar que 
enquanto a circunferência é um arco que 
tem comprimento 2 R e subentende um 
ângulo de 360°, o arco de comprimento  
compreende um ângulo central a . Assim, 
podemos montar uma regra de três: 




2 R 360º
 
360º 2 R 
2 R
360º
R
180º


 
 
 


  








 
Se o ângulo a estiver em radianos, teremos 
que: 
 R R
180º
   



 
R   
Exemplos: 
1) Determine o comprimento de um arco 
que, num círculo de raio 4 m, subentende 
um ângulo de 120°. 
Resolução: 
Dados: R = 4 m:  120º  ; ? 
R 4 120º 8 8 3,14
8,37 m
180º 180º 3 3
     
     
2) Quantos radianos tem um arco que um 
círculo de raio 12 m, mede 2 m? 
Resolução: 




R 
2 12 
2
 
12
 rad
6

 




 
 



 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Transforme para radianos os ângulos: 
a) 120° 
b) 72° 
c) 225° 
d) 330° 
2) Transforme para graus os ângulos: 
a) 
3
2

 
b) 
7
10

 
c) 
4
15

 
3) Determine o comprimento de uma 
circunferência de raio 8 cm. 
4) Determine o perímetro de uma 
circunferência de diâmetro 5 cm. 
5) Determine o raio de uma 
circunferência de comprimento 31,40 
cm. 
6) Determine o comprimento de um arco 
de 240° em um círculo de 6 m de raio. 
7) Em um círculo de 8 cm de raio, um 
arco mede 18,84 cm. Determine o 
ângulo a ele associado 
8) Determine o diâmetro de um círculo 
no qual um arco de 24° mede 
m
3

 
9) Em um círculo de raio 12 cm, 
determine o comprimento: 
a) do menor arco subentendido pelo 
lado de um triângulo equilátero 
inscrito 
b) do menor arco subentendido pelo 
lado de um quadrado inscrito 
c) do menor arco subentendido pelo 
lado de um icoságono regular 
inscrito. 
10) Em um círculo de raio 6 cm está 
inscrito um triângulo ABC. Se os arcos 
AB e BC têm comprimento 
respectivamente iguais a 5 cm e 
4
 cm
3

 determine os ângulos desse 
triângulo, sabendo-se que: 
a) C pertence ao maior arco AB. 
b) C pertence ao menor arco AB. 
11) Determine o ângulo formado por duas 
tangentes a um círculo de raio R, 
sabendo que o arco por elas 
subentendido na circunferência tem 
comprimento 
R
3

 
12) Em círculo de raio 5 cm, um ângulo 
inscrito tem como lados um diâmetro 
e uma corda que subentende um arco 
de comprimento igual a 2 cm . 
Determine, em radianos, a medida 
desse ângulo. 
Hora do papiro! 
 
 
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13) Determine a razão entre os 
perímetros das circunferências 
inscrita e circunscrita a um quadrado. 
14) Determine a maior distância entre 
duas circunferências concêntricas 
cujos comprimentos diferem de 
16 m , sabendo que o raio de uma é o 
triplo do raio da outra. 
15) Em um serviço artesanal, José recorta 
em uma folha de alumínio um círculo 
de raio R. Em seguida, com centro 
coincidente com o anterior, ele recorta 
dele um outro círculo, obtendo assim, 
um "disco" de largura constante, igual 
a 8 cm. Finalmente, reveste a 
circunferência externa do disco com 
um barbante dourado, e a 
circunferência interna, com outro 
barbante azul. Determine a diferença 
entre os comprimentos dos barbantes 
utilizados. 
16) De quanto aumenta o comprimento de 
uma circunferência quando 
aumentamos seu raio de 6 cm? 
17) De quanto devemos aumentar o raio 
de um círculo para que a 
circunferência aumente de 8 cm? 
18) De quanto diminui o perímetro de 
uma circunferência, se diminuirmos 
seu diâmetro de 4 cm? 
19) Qual a diminuição que deve sofrer o 
raio de um círculo, para que o 
comprimento da circunferência 
diminua de 10 cm? 
20) As rodas de um automóvel têm raios 
iguais a 30 cm. Qual a distância 
aproximada por elas percorrida ao fim 
de 1000 voltas? 
21) Uma pista circular tem raio de 50 m. 
Um atleta que nela percorra 12560 m, 
quantas voltas aproximadamente 
dará? 
22) Uma praça de formato circular tem 
200 m de raio. Quantas árvores serão 
necessárias para arborizarmos seu 
perímetro, colocando-as de 4 em 4 
metros? 
23) Duas circunferências secantes são tais 
que uma passa pelo centro da outra, e 
a interseção dá-se nos pontos A e B. 
Determine a medida do menor arco 
AB, sabendo-se que o perímetro do 
quadrilátero convexo cujos vértices 
são A, B e os centros dos círculos, 
mede 24 cm. 
24) Em um quadrado ABCD, de perímetro 
60 cm, com raio igual ao seu lado, 
traçam-se os arcos BD, com centro em 
A; AC, com centro em B; BD, com 
centro em C e AC, com centro em D, 
todos interiores ao quadrado. 
Determine o comprimento da figura 
curvilínea assim formada. 
25) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado 
de perímetro igual a 16 cm e os pontos 
M, N, P e Q são médios de seus lados. 
Determine o perímetro da figura 
inscrita nesse quadrado. 
 
 
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26) Determine o perímetro da rosácea 
inscrita em um quadrado de lado 8 cm. 
27) Determine o perímetro da figura 
abaixo, sendo 2 m o raio do círculo que 
a contém. 
 
28) Os centros das três polias de um 
mecanismo estão sobre os vértices de 
um triângulo equilátero de lado L e o 
diâmetro de cada polia é muito 
próximo de L. 
O comprimento da correia MNPQRSM, 
que movimenta as polias é, 
aproximadamente: 
a)  3 L  
b)  2 3 L  
c)  6 L  
d) 
 6 L
2
 
 
e) 6 L 
29) Em um círculo inscrevem-se um 
triângulo equilátero e um quadrado. 
Transportam-se para uma reta o 
segmento AB , igual ao comprimento 
do lado do triângulo equilátero, e o 
segmento BC , igual ao comprimento 
do lado do quadrado. o segmento AC , 
assim obtido, tem um comprimento 
aproximadamente igual a um arco 
com que medida em graus na 
circunferência desse círculo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
/mestreviana /canalmestrevianaGABARITO 
1. b) 20°, 55° e 105° 
a) 
2
rad
3

 
11. 120° 
b) 
2
rad
5

 12. 
3
rad
10

 
c) 
5
rad
4

 13. 
2
2 
d) 
11
rad
6

 
14. 16 m 
2. 15. 16 cm 
a) 270° 16. 12 cm  
b) 126° 
17. 
4
cm
 
c) 48° 18. 4 cm 
3. 16 cm ou 50, 24 cm 
19. 
5
cm
 
4. 5 cm ou 15,70 cm 20. 1884 m 
5. 5 cm 21. 40 
6. 8 cm ou 25,12 cm 22. 314 
7. 135° 23. 4 cm 
8. 5 m 24. 30 cm 
9. 25. 4 cm 
a) 8 cm  26. 16 cm ou 50, 24 cm 
b) 6 cm  27. 12 cm ou 37,68 cm 
c) 1,2 cm  28. A 
10. 29. 180° 
a) 20°, 85° e 75°