Aula 21 - 9 MAT - Circulo, Circunferencia, Arcos e Angulos (2)

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
	TURMA: 9º ANO 
	AULA 21/2022
	Objeto de conhecimento: Círculo, Circunferência, Arcos e Ângulos. 
	Habilidades: (GO-EF09MA24*) Resolver situações problema envolvendo o cálculo das medidas do comprimento da circunferência. (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica. 
	NOME: 
	UNIDADE ESCOLAR:
Circunferência e Círculo
Inicialmente, vamos relembrar a diferença entre circunferência e círculo. A circunferência é uma região no plano formada por todos os pontos que têm a mesma distância de um ponto fixo chamado centro, essa distância do centro à qualquer ponto da circunferência é chamada de raio. Já o círculo é formado pela circunferência e por todos os pontos internos dela. Em outras palavras, a circunferência é a linha que delimita a região (superfície) do círculo.
 Portanto quando nos referimos a medidas relacionadas à circunferência que é uma “linha unidimensional” tratamos de comprimento ou perímetro e quando nos referimos a medidas relacionadas ao círculo que é uma região ou superfície, trataremos de comprimento e de área.
Comprimento ou Perímetro de uma circunferência
O comprimento da circunferência é a medida do comprimento dessa “linha” que delimita o círculo, sendo por isso, também chamado de perímetro da circunferência.
Na figura acima, o ponto O é centro, P é um ponto da circunferência e r é o raio, ou seja, a distância de O à P. A circunferência está representada pela cor azul, desprezando-se a espessura e o círculo está representado pelas cores azul e vermelha.
Na figura abaixo, temos uma corda da circunferência que passa pelo centro, essa corda é chamada de diâmetro e sua medida é o dobro da medida do raio.
	
O comprimento ou perímetro da circunferência pode ser calculado através da seguinte fórmula:
Onde:
: comprimento da circunferência
: raio da circunferência
Exemplo: Qual é a medida do comprimento de uma circunferência cujo raio mede 10 cm?
Exemplo: Um atleta deseja treinar para uma maratona e deseja correr diariamente 12km. Próximo à sua casa possui uma pista de atletismo que tem formato circular e seu diâmetro é igual a 90m. Determine o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista a cada dia.
Primeiro calculamos a medida dessa pista que tem o formato de uma circunferência. Como o diâmetro é o dobro do raio, então o raio dessa pista é igual a 45m.
Agora, para determinar vamos o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista a cada dia, vamos dividir a distância que ele deseja percorrer diariamente pelo tamanho da pista:
 . 
Portanto, o atleta precisa dar no mínimo 43 voltas.
Ângulos e Arcos na circunferência
Arcos da circunferência
Um arco é um subconjunto de pontos da circunferência que estão entre dois pontos quaisquer pertencentes à ela. Os pontos destacados em verde na figura a seguir, formam o menor arco determinado pelos pontos e ou simplesmente arco . Os pontos destacados em amarelo, formam o maior arco determinado pelos pontos A e B ou arco .
Ângulo central
Chamamos de ângulo central todo ângulo cujo vértice coincide com o centro dessa circunferência. O ângulo na figura a seguir é um ângulo central, pois seu vértice está no centro O da circunferência. Observe que os extremos desse ângulo determinam um arco nessa circunferência.
A unidade de medida do arco é a mesma unidade de medida dos ângulos, ou seja, graus. 
Propriedade:
 A medida de um arco é igual à medida do ângulo central que seus extremos determinam.
Pela propriedade acima, temos na figura a seguir que .
Ângulo inscrito
Denominamos de ângulo inscrito à circunferência todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência. O ângulo na figura a seguir é um ângulo inscrito, pois seu vértice C é um ponto da circunferência. Observe que os extremos desse ângulo determinam um arco nessa circunferência.
Relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central:
Um ângulo inscrito em uma circunferência tem a metade da medida do ângulo central correspondente ao mesmo arco.
Da relação acima, temos na figura a seguir que 
Podemos concluir também que a medida de um ângulo inscrito na circunferência é a metade da medida de seu arco correspondente.
ATIVIDADES
1. O parque central de um município, possui o formato circular e seu perímetro mede 9 420 m de comprimento.
Determine a medida do raio desse parque. (Use π = 3,14.).
2. Observe, na figura a seguir, uma praça em formato circular. 
Disponível em: https://brainly.com.br/tarefa/10273649.(Adaptado). Acesso em 10 de nov. 2022
Uma pessoa que dá 12 voltas ao redor dessa praça percorre quantos quilômetros?
3. Considere a imagem a seguir que representa a roda de um ônibus. Qual a distância percorrida pelo ônibus quando essa roda der 110 voltas?
Disponível em: encurtador.com.br/gsuIV. Acesso em 10 de nov. 2022.
4. A superfície de uma mesa é formada por um retângulo e dois semicírculos, um em cada lateral, conforme a ilustração a seguir.
Para realizar a decoração de Natal, deseja-se colocar uma fita de LED contornando essa mesa. O metro dessa fita de LED custa R$ 3,50 e só é vendido o metro inteiro. Quanto será gasto na compra dessa fita para cobrir todo o contorno dessa mesa?
5. A figura a seguir, representa a área de meta (área do goleiro) de uma quadra de futebol de salão. Para demarcar essa área é utilizada uma faixa marrom contornando-a toda.
Quantos metros dessa faixa marrom, são necessários para demarcar as duas áreas de meta dessa quadra?
6. Deseja-se pregar uma fita decorativa ao redor da tampa de um pote redondo. Se o diâmetro da tampa mede 14 cm, qual o comprimento mínimo que a fita deve ter para dar a volta completa na tampa?
7. Na circunferência a seguir, a medida do arco AC igual a 110º. 
Determine a medida dos ângulos x e y nessa figura.
8. Observe o triângulo inscrito na circunferência a seguir.
O valor do ângulo BÂC desse triângulo é igual a
A) 60°
B) 65°
C) 70°
D) 75°
9. Considere a figura a seguir.
Qual a medida do ângulo x?
10. Observe a circunferência a seguir de centro C, em que a medida do arco é igual a 
Com base nessas informações calcule o valor de .
11. Considere a circunferência de centro C, na figura a seguir.
 Qual é o valor de x?
Respostas
1.
 
Logo, o raio do parque circular em questão, mede 1500 m.
2. 
Comprimento da praça: 
Agora vamos multiplicar o número de voltas pelo comprimento da praça: .
Logo, uma pessoa que der 10 voltas ao redor dessa praça percorrerá km.
3. Primeiro vamos calcular o tamanho do raio da roda:
Agora, vamos calcular o comprimento da circunferência dessa roda:
Logo, quando a roda dá uma volta a distância percorrida é de 502,4 cm, sendo assim, temos que ao dar 110 voltas o ônibus vai percorrer a distância de 
Convertendo para metros temos .
4. Os dois semicírculos da figura são iguais, portanto, se unirmos os dois obteremos uma circunferência. A medida do contorno da mesa é igual ao comprimento dessa circunferência mais (7 + 7 = 14m).
Cálculo do raio da circunferência:
Logo, para contornar a mesa será necessário 12,56 + 14 = 26,56 metros. 
Como cada metro da fita de LED custa R$ 3,50 e só é vendido inteiro será gasto o total de 
5. Primeiro, calcularemos quantos metros de faixa serão utilizados na demarcação de uma área de meta. Observamos que essa área de meta é formada por um quadrado e dois setores circulares que medem do círculo. Unindo esses dois setores circulares teremos um semicírculo, cujo perímetro é uma semicircunferência. 
Cálculo do perímetro da semicircunferência:
 
Cálculo do perímetro da área de meta:
 
Cálculo do perímetro das 2 áreas de meta:
Logo, serão necessários metros de faixa marrom para delimitar as duas áreas de meta da quadra.
6. O raio da tampa é igual a 
O comprimento mínimo da fita será igual ao comprimento da circunferência dessa tampa:
Portanto, a fita deveter, no mínimo, de comprimento.
7. Observe que a medida do arco é 110º e que o ângulo y é um ângulo central, portanto, .
O ângulo x é um ângulo inscrito na circunferência proveniente do mesmo arco que y, logo x vale a metade de y, ou seja, 55º.
8. Gabarito: B
Analisando a circunferência, o arco formado pelos pontos AB tem amplitude igual à meia circunferência, ou seja, 180º.Como o ângulo C é inscrito, então ele corresponde à metade de 180º, logo o ângulo C é igual a 90º. A soma dos ângulos internos do triângulo é sempre igual a 180º, então temos que:
9.
 
10.
11.