Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no Geogebra

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ROTEIRO DE PRÁTICA
Tema
Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no
GeoGebra
Unidade 01
Disciplina (s) ▪ Álgebra Linear Computacional Data da última
atualização
03/02/2020
Aluna Amanda Alves Matrícula 201708447
I. Instruções e observações
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial.
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3.
II. Materiais
Descrição Quantidade
Software GeoGebra 3D Online
Roteiro da prática 1
Calculadora científica 1
III. Introdução
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar:
▪ Cálculo de ângulos, áreas e volumes.
▪ Determinação do momento de uma força.
▪ Trabalho realizado por uma força.
▪ Fluxo de água através de uma mangueira.
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e do
produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo.
https://www.geogebra.org/
IV. Objetivos de Aprendizagem
▪ Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial.
▪ Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além
disso, usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo.
V. Experimento
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores e . O Geogebra reconhece os vetores a partir𝑢
→
= (1, 1, 1) 𝑣
→
= (1, 1, 3)
de letras minúsculas.
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: , e . Esses pontos𝐴 = (0, 0, 0) 𝐵 = (1, 1, 1) 𝐶(1, 1, 3)
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores e , conforme PASSO 3 abaixo.𝑢
→
𝑣
→
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos . Qual o𝐵 𝐴 𝐶
ângulo apresentado?
O ângulo (B, A, C) é de 29,5°, conforme podemos ver na figura abaixo:
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores e e compare o resultado com o valor𝑢
→
𝑣
→
encontrado no PASSO 3.
𝑢
→
• 𝑣
→
= 𝑢
→| | 𝑣| | 𝑐𝑜𝑠 (𝑢→, 𝑣→)
Cos ( = 0,87θ) = 𝑢
→
, 𝑣
→
 |𝑢
→
| .|𝑣
→
| 
= (1,1,1) . (1, 1, 3)
1+1+1 . 1+1+3
5
 33 
≅
Cos – 1 (0,87) = 29,5°
Obtivemos o mesmo resultado, 29,5°
ETAPA 2: determinação do produto vetorial
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores e .𝑢
→
𝑣
→
Produto vetorial:
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor . Para isso, digite a função . Compare o𝑤
→
= 𝑢
→
× 𝑣
→
 𝑤
→
= 𝑢
→
⊗ 𝑣
→
resultado com o vetor determinado no PASSO 5.
Observação: o operador pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento:⊗
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de vetores
e . O resultado verificado era previsível? Por quê?𝑢
→
, 𝑤
→( ) 𝑣→, 𝑤→( )
Sim, o resultado foi previsível, foram obtidos ângulos de 90°. O produto vetorial
gera um vetor ortogonal aos vetores que de origem.
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos , e para representar o𝐴 𝐵 𝐶
triângulo .𝐴𝐵𝐶
^
PASSO 9: Identifique a área do polígono , clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, no𝐴𝐵𝐶
^
polígono representado. Qual o valor da área encontrada?
A área de A,B,C = 1,41
PASSO 10: Utilize o produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: .𝐴 = 12 |𝑢
→
× 𝑣
→
|
Sabendo que:
= (2, -2, 0)𝑤 = 𝑢
→
 ⊗ 𝑣
→
 
𝐴 = 1 2 . | 2, − 2, 0| =
1
 2 . 2, 83 ≅ 1, 41
Pode-se observar que a área da figura é numericamente igual ao produto vetorial
da área do paralelograma dividido por dois.
Amanda Alves 201708447
VII. Referências
▪ PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392.
▪ SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.