5 - Mecânica de fratura elasto-plastica

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FUNDAMENTOS DE 
MECÂNICA DE FRATURA
GRUPO DE ESTUDOS SOBRE FRATURA DE MATERIAIS 
DEMET/EM/UFOP
MECÂNICA DE FRATURA ELASTO-PLÁSTICA
“FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DE FRATURA”
Capítulo 5 – Mecânica de Fratura Elasto-Plástica
I. O Critério CTOD
II. O Critério Integral J
O CRITÉRIO CTOD
CTOD: definição do critério
O modelo de Wells
O modelo de Burdekin e Stone
Relação entre CTOD e K
Medição experimental de CTOD
Fator rotacional e fator “eta”
A curva de projeto de Dawes
Efeito de diversas variáveis
Utilização de 5
CTOD e o crescimento estável 
de trinca
O CRITÉRIO INTEGRAL J
Integral J: definição matemática 
e significado físico
Os campos HRR
Relação de J com K e CTOD
Medição experimental de J
Curva de projeto
Curva de resistência ao 
crescimento de trinca
Medição experimental de J-R
Mecânica de fratura 
biparamétrica
Faixas de aplicação da MFEL e da MFEP para descrever o comportamento de fratura.
Introdução
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
,~
1
1
2
0
0 n
rI
JE
ij
n
n
ij
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Similaridade entre valores de tenacidade obtidos experimentalmente e o comportamento
à fratura de um componente estrutural em serviço:
 escoamento de pequena monta (small scale yielding) à frente da trinca;
 semelhança entre campos de tensões de corpos-de-prova laboratoriais e
componentes estruturais;
 transferabilidade de resultados de tenacidade entre ambas as configurações.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
A análise matemática seguinte modela materiais elasto-plásticos como materiais
elásticos não lineares, com a condição de não ocorrência de descarregamento. Assume-
se também que os materiais obedecem a relação de Ramberg-Osgood entre tensão e
deformação.
Definição de Wells (1961):
Determinação de K1c em aços estruturais tenacidade muito
elevada para caracterização pela MFEL .
A deformação plástica provoca o embotamento da ponta da trinca
inicialmente aguda, e esse grau de embotamento aumenta
proporcionalmente à tenacidade do material.
Conclusão: Wells propôs a abertura da ponta da trinca – CTOD ou
(crack tip opening displacement) como um parâmetro de medição de
tenacidade à fratura.
: deslocamento normal ao plano da
trinca medido a partir da posição original
da ponta da mesma.
CTOD: definição geométrica do critério
Definição de Rice (1968):
Neste caso, o CTOD é a interseção de duas retas ortogonalmente
posicionadas na ponta deformada da trinca.
Esta definição se torna equivalente ao caso anterior, se a trinca se
deforma de forma semicircular.
Esta definição é chamada de CTOD 90º, e é comumente utilizada para
a determnação de CTOD a partir de análises por elementos finitos.
CTOD como deslocamento na zona plástica de Irwin
E
K
u
LE
I
y
2
4
2
a2
Situação elástica linear
Situação elasto-plástica
Zona plástica de Irwin
O modelo de Wells (1961)
CTOD pelo modelo da faixa de escoamento
Situação elástica linear
E
K
E
a
LE
I
LE
LE
2
2
secln
8
Zona plástica de Dugdale e Barenblatt
O modelo de Burdekin e Stone (1966)
'
2
Em
K
LE
I
2
'
1
2
E
E
m
EE
m
'
1
d.p.
t.p.
Relação entre CTOD e K
Trabalho de Robinson e Tetelman (1974).
Aço 4340
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
aaWr
VaWr
Em
K
p
pp
LE
I
plel '
2
Trabalho de Robinson e Tetelman (1974).
Trabalho de Shang-Xian (1983) e Zhang/Wang (1987).
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
O método eta ( ), proposto em 1973 por Turner, surge como uma ferramenta
simples e acurada para determinação da tenacidade à fratura (ambos e J), por
meio da divisão da energia total absorvida em frações elástica e plástica. A área
sob a curva P x CMOD representa estas parcelas de energia.
aLE2
5,0,
2
1
2
1
LE
LEc
m
E
a
5,0,
25,02
1
1
LE
LE
c
m
E
a
A curva de projeto de Dawes
A curva de projeto de Dawes:
correlação entre tamanho de
defeito admissível previsto pela
curva de projeto de CTOD e
tamanho real de trinca crítica
de um aço estrutural.
Dimensões
Tamanho de 
trinca
Taxa de 
deformação
Temperatura
Microestrutura
Efeito de diversas variáveis
Curvas obtidas em ensaio de máx com um aço do tipo AISI/SAE 4140. 
Aplicação: parafusos de bomba de mineroduto. GESFRAM.
 
0 1 2 3 4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
METAL DE BASE
USI SAC-50
C
ar
ga
 (
kg
f)
COD (mm)
0 1 2 3 4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
ZTA
USI SAC-50
C
ar
ga
 (
kg
f)
COD (mm)
0 1 2 3 4
0
1000
2000
3000
4000
METAL DE SOLDA
USI SAC-50
C
ar
ga
 (
kg
f)
COD (mm)
Região do 
entalhe
CTOD max
(mm)
Metal de base 0,24
ZTA 0,25
Metal de 
solda
0,40
Resultados de ensaio CTOD em junta soldada de aço patinável
USI-SAC-50.
a) largura W do corpo de prova – trabalho de Burdekin e Stone, 1966.
b) tamanho a de trinca – trabalho de Kanazawa, 1969.
Taxa de deformação, temperatura e espessura – trabalho de Hood, 1971.
Aço baixo carbono
Taxa de deformação, temperatura e espessura – trabalho de Nishioka e
Iwanaga, 1973.
Vantagens:
a) 5 é medido localmente na ponta da 
trinca, independente do 
comportamento global do material.
b) Como consequência da medida 
direta de deslocamento, nenhuma 
função de calibração é requerida.
LELE
ef
Em
K
K
E
2
5
1
41,2
m
mm
2
09,2
m
mm
t.p.
d.p.
Utilização de 5: modelo de Schwalbe (1984) 
Grupo Europeu de Fratura – EGF (1990)
Perez-Ipiña et al. (1992)
pi
ipii
iipi
i V
aaWraa
aaaWr
p
pp
pp
V
Wraar
aWrar
1
1
CTOD e o crescimento estável de trinca
Aço ao cromo
Aço ao silício
Curvas de crescimento de trinca de aços bifásicos, efeito do tamanho do entalhe lateral.
0 1 2 3 4 5 6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8 Cr-LT SG25%
 Cr-LT SG37%
 Cr-TL SG25%
 Cr-TL SG37%
 Si-LT SG25%
 Si-LT SG37%
 Si-TL SG25%
 Si-TL SG37%
Q
 (
m
m
)
a (mm)
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Idealizando o comportamento elasto-plástico de materiais
como um comportamento não linear, onde o caminho de
deformação é o mesmo no carregamento e no
descarregamento (elasticidade não-linear), Rice (1968)
definiu o parâmetro J como a medida da quantidade de
energia disponível no material (força-motriz) para um
pequeno crescimento de trinca.
ds
x
u
TdywJ
da
dU p
Rice demonstrou ainda que o valor de J pode ser
determinado através de uma integral de linha
calculada no plano normal à trinca, na região ao redor
da trinca.
A Integral J
Uma propriedade de grande importância para que a integral J tenha
aplicabilidade científica e prática é a sua independência em relação ao caminho
de integração. Desta forma, a integral J avaliada nas proximidades de defeitos
deve apresentar os mesmos valores caso avaliada em qualquer contorno
arbitrário mais abrangente tomado no corpo trincado.
Analogamente, a manutenção de tal independência é de fundamental
importância para que a determinação experimental da integral J possa ser
realizada baseada em cargas remotas (como realizado pelo método eta). É sob
tal contexto, e com os campos de tensão-deformação descritos pelo campo
HRR, que a integral J medida tanto numérica como experimentalmente pode
ser interpretada como um parâmetro de tenacidade à fratura.
A definição original da integral J proposta por Rice é considerada independente
do caminho de integração em certas circunstâncias:
• Carregamento quasiestático;
• Carregamento proporcional;
• Ausência de forças de corpo;
• Condição isotérmica;
• Material homogêneo;
• Ausência de crescimento de trinca.Taxa de liberação de energia
não linear.
U = Uo + Ua + U - F
ad
Ud
UF
ad
d
ad
Ud
a
0
Integral J: definição matemática e significado físico
Integral J: definição 
matemática e 
significado físico
ad
Ud
UF
ad
d
J
da
UFd
da
dU
FUUU
p
a
ap
aop
Integral J: definição matemática e significado físico
Considerações importantes:
Densidade de 
energia de 
deformação w
Teorema 
de Green
Vetor 
tração T
Integral J: definição matemática e significado físico
Considerações importantes:
Densidade de energia de deformação w
ij
ijij dw
0
Integral J: definição matemática e significado físico
Considerações importantes:
Vetor tração T
jiji nT
Exemplo:
2
1
2221
1211
2
1
n
n
T
T
n1 e n2 são os co-senos dos ângulos 1 e 2 que o vetor normal à superfície do 
sólido faz com os eixos x e y.
Se n é normal ao comprimento ds da superfície:
1
2
cos
cos
dsdy
dsdx
Integral J: definição matemática e significado físico
Considerações importantes:
Teorema de Green
A
dydx
y
P
x
Q
dyQdxP
Integral J: definição matemática e significado físico
A
ao dydxwUU
udsTF

U = Uo + Ua + U - F
Integral J: definição matemática e significado físico
udsTdydxwU
A
p

ds
a
u
Tdydx
a
w
da
dU
A
p

Integral J: definição matemática e significado físico
da = - dx d/da = - d/dx
ds
x
u
Tdydx
x
w
da
dU
A
p

Integral J: definição matemática e significado físico
aWB
dP
J 0
2 Rice (1973)
Rice (1968)
ds
x
u
TdywJ
da
dU p
Em 1968, Hutchinson e Rice/Rosengreen [HRR] independentemente
demonstraram que a integral J caracteriza o campo de tensões e de
deformações na ponta da trinca de um material elástico não-linear, cujo
comportamento mecânico seja descrito pela equação de Ramberg-Osgood:
: constante adimensional
n : coeficiente de encruamento do material
n
ooo
Eles demonstraram que para J
permanecer independente do
caminho de integração, a composição
tensão versus deformação deveria
variar com 1/r nas proximidades da
ponta da trinca.
Os campos HRR
Efeito do expoente de encruamento de deformação na 
constante de integração dos campos HRR.
,~
1
1
2
0
0 n
rI
JE
ij
n
n
ij
Variação angular da tensão adimensional em função do expoente n.
A formulação HRR apresenta a mesma anomalia encontrada na
MFEL: ambas indicam tensões infinitas para o raio da trinca
tendendo a zero. Porém, esse não representa o comportamento real
do material na ponta da trinca, já que as grandes deformações
geram o embotamento da ponta da trinca, reduzindo a triaxialidade
local de tensões.
A fim de verificar a zona de validade de HRR para J, McMeeking e
Parks (1979) realizaram formulações por elementos finitos,
incorporando a teoria de grandes deformações e considerando o
efeito das variações geométricas.
Efeito de grandes deformações
O embotamento na ponta da trinca faz com que o campo de tensões se
desvie da solução dos campos HRR nas proximidades da ponta da trinca.
Por outro lado, na região próxima à trinca na qual é válida a formulação
HRR, a integral J caracteriza univocamente o campo de tensões , e um
valor crítico Jc é tido como uma medida da tenacidade à fratura do material.
Relação K-J para uma série de aços estruturais.
2
2
1
E
E
EE
E
K
GJ I
t.p.
d.p.
Relação de J com K: escoamento limitado
Contorno ao longo da zona de estiramento à frente da ponta da trinca.
LEmJ
Relação de J com CTOD: escoamento limitado
Relação J-CTOD para tensão plana
e deformação plana, assumindo =
1; para 1 os resultados devem
ser multiplicados por ^(1/n).
nd
J
0
Shih (1981)
Relação de J com CTOD: 
material elasto-plástico
Relação de J com CTOD
Relação J-CTOD para um aço C-Mn, resultados de Kanazawa (1975).
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Comparação entre a curva de projeto de CTOD e a curva
de projeto de J. Turner (1979).
Curva de projeto
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Curva de resistência ao crescimento de trinca
Curva de resistência esquemática, comparando controle de carga 
com controle de deslocamento.
Curva de resistência ao crescimento de trinca: módulo de rasgamento
Curva de resistência.
Diagrama de avaliação de estabilidade.
apl
apl
da
dJE
T
2
0
mat
R
da
dJE
T
2
0 Rapl
TT
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Fonte: C.Ruggieri - Mecânica de Fratura Elasto-Plástica, ABM, 2006, 3a Edição.
Dimensões
Tamanho de 
trinca
Taxa de 
deformação
Temperatura
Microestrutura
Efeito de diversas variáveis
Curva de resistência ao crescimento de trinca: efeito de variáveis
Curva de resistência para um
aço estrutural En32, mostrando
efeito da espessura e do
entalhe lateral. Garwood e
Turner (1977).
Aço ao cromo
Aço ao silício
Curvas de crescimento de trinca de aços bifásicos, efeito do tamanho do entalhe lateral.
0 1 2 3 4 5 6 7
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
 Cr-LT SG=25%
 Si-LT SG=25%
 Cr-LT SG=37%
 Si-LT SG=37%
 Cr-LT SG=0%
 Si-LT SG=0%
J 
(k
Pa
.m
)
a (mm)
Aço ao cromo
Aço ao silício
Efeito de processamento termo-mecânico no valor de JQ para aços bifásicos.
300 400 500 600 700
0
100
200
300
400
BH CM
EE
EE = estado de entrega
CM = estirado + bake hardening
BH = bake hardening
BH
CM
EE
J Q
 (
kJ
/m
2 )
LE
 (MPa)
 DP Cr
 DP Si
Tenacidade à fratura de um aço do tipo DIN 1740.
Aplicação: mandril de bobinadeira de LTQ. GESFRAM.
Em condições de escoamento em pequena escala, um parâmetro único 
(por exemplo, K , J , ou CTOD) caracteriza as condições na ponta da trinca, 
e pode ser utilizado como critério de fratura independente da geometria do 
material. 
A mecânica de fratura de um único parâmetro falha na presença de 
excessiva plasticidade, e a tenacidade à fratura passa a depender do 
tamanho e da geometria do corpo de prova utilizado.
Um número significativo de pesquisadores tem procurado estender a teoria 
da mecânica de fratura além dos limites impostos pela consideração de um 
único parâmetro.
A maior parte destas novas aproximações envolve a introdução de um 
segundo parâmetro para caracterizar as condições na ponta da trinca:
a) a tensão elástica T ;
b) a teoria J-Q .
Mecânica de fratura biparamétrica
Mecânica de fratura biparamétrica: tensão elástica T

T
T
f
r
K
ij
I
ij
00
000
00
2
T : tensão uniforme na direção OX, que induz uma 
tensão T na direção OZ; deformação plana.
Mecânica de fratura biparamétrica:
Efeito da tensão T no campo de tensões dentro da zona plástica
Kirk, Dodds e Anderson (1994).
Mecânica de fratura biparamétrica: razão de biaxialidade
Valores de para diversas geometrias:
T > 0 elevada restrição à deformação plástica
T < 0 perda rápida da restrição
W
af
WaB
P
T
K
aT
I
Mecânica de fratura biparamétrica: teoria J-Q
campo de tensões na ponta da trinca, dentro da zona plástica
trabalho de O’Dodds e Shih (1991/1992)
DifijTijDifijHRRijij 0
2
,00 ijTijij Q
ij : delta de Kronecker
20 0
0
0
J
r
eemQ T
yyyy
Mecânica de fratura biparamétrica: teoria J-Q
Relação entre Q e T
Mecânica de fratura biparamétrica:
Evolução de Q com a deformação.
Mecânica de fratura biparamétrica:
Lugar geométrico da tenacidade à fratura J-Q
Mecânica de fratura biparamétrica:
Aplicação para estruturas reais.