AULA 3 - DERIVADAS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 41 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
CAPÍTULO 3 
 
Como vimos na seção 2.4, uma derivada fica totalmente determinada se usar-
mos a definição de limite sobre uma função. Porém você deve ter observado que 
mesmo uma função simples como uma função racional, pode apresentar uma dedu-
ção um pouco trabalhosa, para executar sua derivada. Porém essa tarefa pode ser 
facilitada se usarmos as regras de derivação. Existe uma grande quantidade de fun-
ções que podem ser derivas de forma simples, usando essas regras. Aqui trabalhare-
mos somente as mais usadas em cálculo 1. Mas, lembre-se a maioria dos livros de 
cálculo, traz uma tabela contendo todas as derivadas que podem ser executadas 
usando as regras de derivação. Porém você, como estudante, dever se lembrar de 
apenas dez regras de derivação, para conseguir derivar cerca de 80% das funções 
que você irá encontrar no decorrer de seu curso. 
 
3.1 Regras de Derivação 
 
Nesta seção vamos estudar o processo de derivação usando as regras de de-
rivação para essas dez condições. 
 
3.1.1 Derivada de uma constante. 
 
A derivada de uma constante é sempre zero. 
 
0)(')( == xfcxf 
 
Exemplo 3.1 
0)('
3)(
=
=
xf
xf
 
 
3.1.2 Regra da potência (derivada de uma potência) 
 
1)()(')( −== aa xaxfxxf 
 
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Exemplo 3.2 
 
²3)(
³)(
xxf
xxf
=
=
 
 
3.1.3 Derivada do produto de uma constante por uma função. 
 
1)()(')( −== aa xacxfcxxf 
 
Exemplo 3.3 
 
³32³)4)(8()(
8)( 4
xxxf
xxf
==
=
 
 
3.1.4 Derivada de uma soma (derivada de uma função polinomial) 
 
11 )()()(')( −− +=+= baba xbxaxfxxxf 
 
Exemplo 3.4 
 
310³32)('
0)1(3)2(5³)4)(8()(
93²58)(
0
4
−+=
+−+=
+−+=
xxxf
xxxxf
xxxxf
 
 
3.1.5 Derivada do produto 
 
)(')()()(')(')()()( xvxuxvxuxfxvxuxf •+•=•= 
 
Exemplo 3.5 
)1²6)(1²()³2(2)(
)1²6)(1²()³2)(02()(
)³2)(1²()(
++++=
+++++=
++=
xxxxxxf
xxxxxxf
xxxxf
 
 
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3.1.6 Derivada do quociente 
))²((
)(')()()('
)('
)(
)(
)(
xv
xvxuxvxu
xf
xv
xu
xf
•−•
== 
 
Exemplo 3.6 
 
)²³2(
)1²6)(1²()³2(2
)(
)²³2(
)1²6)(1²()³2)(02(
)(
)³2(
)1²(
)(
xx
xxxxx
xf
xx
xxxxx
xf
xx
x
xf
+
++−+
=
+
++−++
=
+
+
=
 
 
3.1.7 Derivada da função exponencial 
 
uu eucxfcexf )'()(')( == 
 
Exemplo 3.7 Exemplo 3.8 
 
xx
x
eexf
exf
22
2
6)2(3)(
3)(
==
=
 
x
x
exf
exf
=
=
)(
)(
 
 
3.1.8 Derivada de logaritmo natural (Ln) 
u
u
xfuxf
'
)(')ln()( == 
 
Exemplo 3.9 
xx
x
xfxxxf
2²
22
)(')2²ln()(
+
+
=+= 
 
3.1.9 Derivada da função seno 
 
)(cos)(')()( xxfxsenxf == 
 
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3.1.10 Derivada da função cosseno 
 
)()(')(cos)( xsenxfxxf −== 
 
Como você deve ter observado, para derivar uma função, basta seguir a defi-
nição de derivada estabelecida nas regras de derivação. Para derivar qualquer outra 
função, que não esteja nessas regras aqui apresentada, basta seguir as orientações 
que podem ser encontrada nas tabelas de derivadas de qualquer livro de cálculo 1. 
 
 
3.2 Derivada pela regra da cadeia 
 
A regra da cadeia é uma formula usada para derivar uma função composta de 
duas funções. 
Se )()( ugxf = e )(xfu = as derivadas 
du
dy
 e 
dx
du
 existem, então a função com-
posta  )()( xfgxf = tem derivada dada por: 
dx
du
du
dy
dx
dy
•= 
 
Exemplo 3.10 
 
Dada a função 7)25²( ++= xxy ,determinar 
dx
dy
 
Resolução: 
Para derivar essa função, multiplique a função pelo expoente repita o termo 
dentro do parêntese, derive a função polinomial dentro do parêntese e simplifique a 
função. 
6
6
7
)25²)(3514('
)52()25²(7'
)25²(
+++=
+++=
++=
xxxy
xxxy
xxy
 
 
 
 
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Exemplo 3.11 
 
Dada a função 
5
12
23






+
+
=
x
x
y , determinar 
dx
dy
 
 
Resolução: 
 
Para derivar essa função, multiplique a função pelo expoente repita o termo 
dentro do parêntese, derive a função polinomial dentro do parêntese e simplifique a 
função. 
 
( ) ( )
( )
( )
( )






+
−
•





+
+
=






+
−−+
•





+
+
=






+
+−+
•





+
+
=






+
+
=
2
4
2
4
2
4
5
12
1
12
23
5'
12
4636
12
23
5'
12
232123
12
23
5'
12
23
xx
x
y
x
xx
x
x
y
x
xx
x
x
y
x
x
y
 
 
4. Exercícios 
 
1) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: 
a) xxy 42 += R: 42 += x
dx
dy
 
b) ( )
2
2
x
xf = R: ( )
3
4
x
xf −= 
c) 
2
3
2
3 xx
y += R: ( )1
2
3 2 += x
dx
dy
 
d) 3 xy = R : 
3 23
1
xdx
dy
= 
e) ( ) ( )16
1
3 −





+= x
x
xxf R : 
( )
3
1
36
2
−+=
x
x
dx
xdf
 
 
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f) x
ba
x
ba
x
y −
−
−
+
=
25
 R: 1
25 4
−
−
−
+
=
ba
x
ba
x
dx
dy
 
g) 
( )
2
3
3
1
x
x
y
+
= R: 
( ) ( )
2
52
1213
2
x
xx
dx
dy −+
= 
h) ( )( )2312 +−= xxxy R: ( )192 2 −+= xx
dx
dy
 
i) 
22
42
xb
x
y
−
= R: 
( )
( )222
223 24
xb
xbx
dx
dy
−
−
= 
j) 
xa
xa
y
+
−
= R: 
( )2
2
xa
a
dx
dy
+
−
= 
k) 
3






+
−
=
xa
xa
y R: 
( )
( )4
2
6
xa
xaa
dx
dy
+
−−
= 
l) 
x
x
y
−
+
=
1
1
 R: 
( ) 211
1
xxdx
dy
−−
= 
m) ( )331 xy += R: 
2
3
11








+=
xxxdx
dy
 
n) 
2
2
1
12
xx
x
y
+
−
= R: 
( )322
2
1
41
xx
x
dx
dy
+
+
= 
o) ( )522 axy −= R: ( )42210 axx
dx
dy
−= 
 
 
2) Determine o valor da derivada das funções a seguir. 
 
a) )12²6)(14()( ++= xxxF R: 𝐹′(𝑥) = 72𝑥2 + 12𝑥 − 48 
b)
26
84
)(
−
+
=
x
x
xFR: 𝐹′(𝑥) =
−16
(6𝑥−2)²
 
c) 5)24²2³5()( +−+= xxxxF R:𝐹′(𝑥) = (75𝑥2 + 20𝑥 − 20)(5𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 2)4 
d) 𝐹(𝑥) = √6𝑥2 + 12𝑥 − 4)3 R: 𝐹′(𝑥) = 
3
2
(12𝑥 + 12)√6𝑥2 + 12𝑥 − 4 
e) 10020²5³10)( −++= xxxxF R: 𝐹′(𝑥) = 30𝑥2 + 10𝑥 + 20 
 
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3) Utilizando a tabela e as regras de derivação, encontre as derivadas das funções 
abaixo: 
 
a) 
13²5³2)( +−+= xxxexf R: 𝑓′(𝑥) = (6𝑥2 + 10𝑥 − 3)𝑒2𝑥
3+5𝑥2−3𝑥+1 
b) )26ln()( 4 xxxf += R: 𝑓′(𝑥) = 
(24𝑥3+2)
(6𝑥4+2𝑥)
 
c) 𝑓(𝑥) = 5cos (𝑥) R: 𝑓′(𝑥) = −5𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
d) ³)3()( 4 xxsenxf += R: 𝑓′(𝑥) = (𝑥3 + 9𝑥²)𝑐𝑜𝑠(𝑥4 + 3𝑥³)