APOSTILA MAT FINANCEIRA CAP 1 2 3 4 5

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SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 .......................................................................................................... 2 
1. JURO SIMPLES ............................................................................................. 2 
1.1. RAZÃO ............................................................................................................ 2 
1.2. PORCENTAGEM .......................................................................................... 4 
1.2.1 Taxa percentual e taxa unitária ................................................................... 5 
1.3. CÁLCULO DO JURO SIMPLES ................................................................. 8 
1.4. TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES ..................... 12 
1.4.1 Taxas proporcionais ................................................................................ 12 
1.4.2 Taxas equivalentes ................................................................................... 12 
1.5. CONTAGEM DO TEMPO.......................................................................... 13 
1.6. MONTANTE ................................................................................................. 14 
1.7. ATIVIDADES RESOLVIDAS .................................................................... 16 
1.8. ATIVIDADES PROPOSTAS ...................................................................... 24 
CAPÍTULO 2 ........................................................................................................ 27 
2. DESCONTO ...................................................................................................... 27 
2.1 DESCONTO SIMPLES (COMERCIAL ou POR FORA) ......................... 27 
2.2 TAXA EFETIVA NO DESCONTO SIMPLES ......................................... 29 
2.3 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) ............................................. 32 
2.4 DESCONTO COM DESPESAS BANCARIAS ......................................... 33 
2.5 PRAZO e TAXA MÉDIA EM DESCONTO SIMPLES ........................... 35 
2.6 ATIVIDADES RESOLVIDAS .................................................................... 36 
2.7 ATIVIDADES PROPOSTAS ...................................................................... 38 
CAPÍTULO 3 ........................................................................................................ 42 
3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA .............................................................. 42 
3.1. MONTANTE ................................................................................................. 42 
3.2. CAPITAL INICIAL ..................................................................................... 45 
3.3. PERÍODOS ................................................................................................... 46 
3.4. TAXA ............................................................................................................. 47 
3.5. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ................................................................... 48 
3.6. TAXAS ........................................................................................................... 51 
3.6.1. Taxa efetiva ......................................................................................... 51 
3.6.2. Taxa nominal ....................................................................................... 52 
3.6.3. Taxa aparente – taxa real – taxa inflacionária ................................. 53 
3.7. ATIVIDADES RESOLVIDAS .................................................................... 57 
3.8. ATIVIDADES PROPOSTAS ...................................................................... 67 
CAPÍTULO 4 ........................................................................................................ 71 
4. SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES ...................................................... 71 
4.1 FLUXO DE CAIXA ..................................................................................... 71 
4.2 SÉRIE POSTECIPADA .............................................................................. 72 
4.2.1 Cálculo do Valor Presente ..................................................................... 72 
4.2.2 Cálculo do Valor das Parcelas ............................................................... 74 
4.2.3 Cálculo do Valor Futuro ........................................................................ 75 
4.2.4 Cálculo do Número de Parcelas ............................................................ 77 
4.2.5 Cálculo da Taxa ...................................................................................... 77 
4.3 SÉRIE ANTECIPADA ................................................................................ 78 
4.3.1 Cálculo do Valor Presente ..................................................................... 78 
4.3.2 Cálculo do Valor das Parcelas ............................................................... 80 
4.3.3 Cálculo do Valor Futuro ........................................................................ 81 
4.3.4 Cálculo do Número de Parcelas ............................................................ 82 
4.3.5 Cálculo da taxa ....................................................................................... 83 
4.4 SÉRIE DIFERIDA ....................................................................................... 84 
4.5 ATIVIDADES RESOLVIDAS .................................................................... 87 
4.6 ATIVIDADES PROPOSTAS .................................................................... 102 
CAPÍTULO 5 ...................................................................................................... 110 
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ........................................................... 110 
5.1 DEFINIÇÃO BÁSICA ............................................................................... 110 
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ....................... 111 
5.3 SISTEMA FRANCÊS – TABELA PRICE .............................................. 113 
5.4 ATIVIDADES RESOLVIDAS .................................................................. 117 
5.5 ATIVIDADES PROPOSTAS .................................................................... 122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
1. JURO SIMPLES 
 
1.1. RAZÃO 
 
Em diversos aspectos da vida cotidiana, deparamo-nos com situações nas quais 
necessitamos comparar valores de uma grandeza, ou mesmo valores de grandezas 
diferentes. Essa comparação pode ser feita de várias maneiras. 
Uma delas é determinar a diferença entre os dois números. 
Se o salário de Renata é de R$ 2500,00 e o salário de Caio é igual a R$ 2000,00, então 
pela diferença 2500 – 2000 = 500 podemos dizer que o salário de Renata é maior do 
que o de Caio, e essa diferença é de R$ 500,00. Se o salário de Renata fosse de R$ 
20.500,00 e o de Caio R$ 20.000,00, poderíamos também dizer que o salário de Renata 
é maior do que o de Caio, e essa diferença é de R$ 500,000, mas, neste caso, essa 
diferença seria muito menos significativa quando comparada aos valores de cada 
salário. 
Um outro modo de compararmos os salários de Caio e Renata seria através do 
quociente, ou seja, o resultado da divisão desses valores. No primeiro caso, dividindo o 
salário de Renata pelo de Caio, obtemos: 
2500 25 5
1,25
2000 20 4
  
 
No segundo caso, temos: 
20500 205 41
1,025
20000 200 40
  
. 
 
Se os dois salários fossem iguais, o quociente seria igual a 1. Veja que os valores 1,25 e 
1,025, por serem maiores do que 1, indicam que o salário de Renata é maior do que o de 
Caio, mas a relação entre os salários não é a mesma nas duas situações, pois no segundo 
caso esses salários estão bemmais próximos um do outro. 
Como se vê, a comparação por meio do quociente pode dar uma idéia melhor da relação 
existente entre os números que desejamos comparar. 
Tomemos o exemplo de uma dona-de-casa que tem uma receita de bolo de 1 quilograma 
(1.000 gramas) e que por essa receita ela deva usar 700 gramas de farinha. Se, por 
alguma razão, a dona-de-casa tiver que fazer um bolo pesando apenas 800 gramas, as 
quantidades dos ingredientes deverão ser adaptadas. Assim, para todos os ingredientes 
da receita, a dona-de-casa terá de reduzir as quantidades na proporção de 
1000
800
 
(oitocentos em mil - é conveniente que ambos os valores da grandeza estejam na mesma 
unidade, no caso gramas). Essa fração pode ser simplificada, dividindo-se tanto o 
numerador quanto o denominador por 100, o que resulta 
800 8
0,8
1000 10
 
. Portanto, a 
quantidade de cada ingrediente da receita de 1 quilograma, deveria ser reduzida para 
10
8
 
do seu valor, para achar a quantidade necessária à receita de um mesmo bolo pesando 
800 gramas. A quantidade de 700 gramas de farinha passaria a ser de 
8
700 700 0,8 560
10
   
 gramas. 
O cálculo também poderia ser feito por meio de uma regra de três simples: se uma 
receita de 1000 gramas contém 700 gramas de farinha, uma receita de 800 gramas deve 
conter quantos gramas de farinha? Esquematicamente, temos: 
X

800
7001000
 
de onde resulta 
700 800
560
1000
X

 
gramas. 
A fração 
800 8
0,8
1000 10
 
, que é o resultado da divisão dos números 800 e 1000, 
denomina-se razão. 
A razão é o número que expressa o quociente entre dois números dados. 
 
Em uma razão, temos o numerador (também chamado antecedente) e o denominador 
(também chamado conseqüente): 
antecedente numerador
razão
conseqüente denominador
 
 
e, como em toda fração, o denominador deve ser diferente de zero. 
Para termos uma idéia da importância do conceito de razão em Finanças, consideremos 
o exemplo de uma empresa que toma um financiamento por determinado período de 
tempo. Ao final desse período, ela terá que restituir o capital e pagar o juro. Pode-se 
fazer uma comparação entre o juro e o capital, construindo a razão 
Juro
Capital
, e esta 
razão é muito importante no estudo da matemática financeira, como veremos adiante. 
 
1.2. PORCENTAGEM 
 
A percentagem ou porcentagem é um tipo de razão muito especial e muito utilizado. 
 
A porcentagem é um símbolo que expressa uma razão em que o denominador é igual a 
100. 
 
Por exemplo, a razão 
53
100
 é uma porcentagem, simplesmente porque o denominador é 
igual a 100. Esta fração é equivalente, é claro, a 0,53. 
Não parece haver motivo especial para a escolha do número 100. Porém, 
historicamente, o número 100 exerce certo fascínio na maioria das pessoas. É comum 
ver-se comemorar o aniversário de 100 anos de algum privilegiado, os 100 primeiros 
dias de um governo, 100 anos do nascimento ou da morte de alguma personalidade, 
além de inúmeros outros exemplos. Assim, relacionar um número qualquer ao número 
100 parece facilitar o entendimento da respectiva razão. 
Por ter-se tornado um símbolo muito comum e muito utilizado, resolveu-se simplificar a 
forma de se escrever e falar a porcentagem, com o uso do símbolo %, ou seja, sempre 
que o número 100 aparece como denominador, ele é substituído pelo símbolo % (por 
cento). Desta forma, a razão 
53
100
 escreve-se como 53% (cinqüenta e três por cento). 
Temos, portanto: 
53
0,53 53%
100
 
. 
Tomemos um grupo de 10 pessoas. Como, normalmente, cada pessoa tem 10 dedos nas 
mãos, temos no grupo um total de 100 dedos. Fazer a relação entre o número de dedos 
de uma determinada pessoa do grupo com o total de dedos de todas as pessoas do grupo 
é um exercício que caracteriza bem essa facilidade de entendimento. Teremos, assim, 10 
dedos da pessoa em 100 dedos do grupo 
10
100
 
 
 
, ou seja, um elemento do grupo é 
portador de 10% (dez por cento) do total de dedos do grupo. Temos: 
10
0,10 10%
100
 
. 
Vamos citar um dado estatístico obtido em determinada pesquisa em 2006: 40% dos 
alunos que estudam administração são mulheres. Daí conclui-se que, de cada 100 
alunos, 40 são mulheres. 
1.2.1 Taxa percentual e taxa unitária 
A matemática financeira trabalha com valores monetários (R$) e utiliza intensivamente 
a notação percentual. Quando comparamos entre si duas quantias (em qualquer unidade 
monetária, como real, dólar, euro, etc), a razão entre essas duas quantias é denominada 
taxa. 
Uma taxa é representada freqüentemente de duas formas: taxa percentual e taxa 
unitária. Por exemplo, ao compararmos uma quantia de R$ 1.200,00 com a quantia de 
R$ 60.000,00, simplesmente calculamos a razão desses valores, que é dada por 
1200 12 2
2% 0,02
60000 600 100
   
. Veja que a mesma razão foi indicada nestas 
expressões de cinco modos diferentes. A notação 2% é a taxa percentual, enquanto que 
a notação 0,02 é a taxa unitária. 
Assim, para expressar a taxa que representa a relação entre R$ 400,00 (quatrocentos 
reais, dólares, euros etc.) e um total de R$ 2.000,00, poderemos escrever: 
400 40 20
20% 0,20
2000 200 100
   
. 
A taxa percentual é 20% e a taxa unitária é 0,20. Concluímos que 400 está para 2.000 na 
mesma proporção em que 20 está para 100, ou seja, 
400 20
2000 100

. 
Nota: Conceito de proporção. Uma proporção é uma igualdade entre razões. 
Se uma primeira grandeza assume sucessivamente os valores 
36, 72, 24, 6, 84, 120 
e uma segunda grandeza assume sucessivamente os valores 
54, 108, 36, 9, 126 e 180, 
observa-se que 
36 72 24 6 84 120
54 108 36 9 126 180
    
, 
pois todas estas razões são iguais a 
2
3
. Dizemos, então, que as duas seqüências de 
valores são proporcionais. 
 Como 
36 72
54 108

, dizemos que 36 está para 54 na mesma proporção em que 72 está 
para 108. 
 
Vimos, então, que as formas de expressar a razão entre valores têm nomes diferentes. 
Quando dizemos que a taxa é de 20% (vinte por cento), estamos utilizando a forma 
percentual, e se dizemos que a taxa é 0,20 (vinte centésimos), estamos utilizando a 
forma unitária. 
 
Para converter a taxa percentual em unitária basta dividir a taxa percentual por 100. 
Para converter a taxa unitária em percentual faz-se o inverso, multiplicando por 100. 
 
Veja alguns exemplos na tabela: 
Tabela-1: Comparações entre taxas percentuais e taxas unitárias 
TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA 
15% 0,15 
8% 0,08 
0,15% 0,0015 
125% 1,25 
 
A seguir, veremos alguns casos onde se usa o conceito de taxa. 
Calcular 40% de R$ 20.000,00 
Basta multiplicar a taxa pelo valor dado, fazendo 
40% 20.000
. 
Podemos escrever: 
40 40 20.000,00 800.000,00
40% 20.000,00 20.000,00 8.000,00
100 100 100

     
 
 
Porém, é mais prático utilizar a taxa unitária, ou seja, primeiramente transformamos a 
taxa percentual em taxa unitária, para depois efetuarmos o produto. 
Assim, como: 
40
40% 0,40
100
 
 (taxa unitária), fazemos 
0,40 20.000,00 8.000,00 
. 
Como regra, para calcular o valor que representa uma porcentagem de um total dado, 
basta multiplicar a taxa pelo total: 
valor taxa total 
 
Quanto fazemos uma transferência de valores de uma conta bancária para outra, o banco 
cobra uma taxa sobre o valor transferido. Suponhamos que a taxa percentual seja de 
0,3%. Qual o valor cobrado se a transferência foi de R$ 3.800,00? 
Podemos calcular o resultado de dois modos: 
1º.) Usando a taxa percentual. Nesse caso, o valor cobrado é:0,3 0,3 3800 1140
0,3% 3800 3800 $ 11,40
100 100 100

     
 
2º.) Usando a taxa unitária. Nesse caso, como a taxa unitária é 0,3% = 0,003, o valor 
cobrado é: 
0,003 3800 $ 11,40 
. 
O exemplo sugere que a taxa unitária apresenta um cálculo bem mais prático, por isso 
ela é mais utilizada em cálculos com calculadoras comuns. Na HP-12C, os dois modos 
se equivalem, devido aos recursos dessa calculadora. 
O preço de uma mercadoria apresenta a seguinte formação: 
 34% de impostos; 
 16% de custos fixos; 
 35% de custos variáveis; 
 15% de lucro. 
 
Supondo que o preço da mercadoria seja de R$ 250,00, calculemos os valores dos seus 
componentes: 
 34% de impostos: 
34
250,00 0,34 250,00 $85,00
100
   
 
 16% de custos fixos: 
16
250,00 0,16 250,00 $40,00
100
   
 
 35% de custos variáveis: 
35
250,00 0,35 250,00 $87,50
100
   
 
 15% de lucro: 
15
250,00 0,15 250,00 $37,50
100
   
 
 
Se somarmos esses valores, teremos: 
R$ 85,00 + R$ 40,00 + R$ 87,50 + R$ 37,50 = R$ 250,00 (preço total da mercadoria). 
 
1.3. CÁLCULO DO JURO SIMPLES 
 
Chamada, pejorativamente, de usura, a atividade de empréstimo de dinheiro a juro foi, 
até a idade média, proibida pela Igreja de ser praticada pelos cristãos. Porém, já a partir 
do final do século XV, alguns pensadores começaram a defender a idéia de que seria 
natural que o dinheiro fosse tratado como outro bem qualquer. Assim, se é 
absolutamente normal que alguém tenha um imóvel desocupado e cobre determinado 
valor (aluguel) para que um interessado possa ocupá-lo, por que não seria natural que 
alguém que tenha uma soma em dinheiro (capital), que não pretenda utilizar durante 
determinado período de tempo, possa alugá-lo (empréstimo), cobrando uma 
determinada taxa (%) por isso? 
Noção de capital. Na matemática financeira, capital pode ser entendido como qualquer 
valor expresso em moeda e disponível no presente ou no futuro. 
Noção de juro. Podemos definir “juro” como a remuneração recebida ou paga por uma 
aplicação ou empréstimo de uma soma de dinheiro (capital), ou seja, é o rendimento 
(aluguel) do dinheiro emprestado. 
Antes de iniciarmos o estudo do juro simples, vamos definir siglas para alguns dos 
argumentos financeiros: 
PV – valor presente (do inglês present value), capital inicial, valor aplicado ou valor 
tomado na data presente; 
FV – valor futuro (do inglês future value), montante, resultado de aplicações ou de 
tomadas de valores; 
n – número de períodos de uma determinada aplicação; 
i – taxa de juro - no caso de juro simples ou capitalização simples a taxa de juro 
incide sempre sobre o capital inicial aplicado, e não incide sobre os juro 
acumulados. 
J – juro 
 
1.Seu amigo pede a você, emprestada, a quantia de R$ 300,00 por um período de 1 (um) 
mês e propõe pagar 2% de juro no período. 
Para calcular quanto você receberia de juro (o aluguel do dinheiro que você empresta), 
basta fazer como visto anteriormente, ou seja, calcular 2% de R$ 300,00. Ficaria assim: 
2% de juro: 
2
300,00 0,02 300,00 $ 6,00
100
   
 
Consideremos, porém, que você queira escrever o cálculo que acabou de efetuar de uma 
maneira que possa ser utilizado para qualquer outro cálculo desse tipo, ou seja, montar 
uma fórmula para ser usada sempre que surgir uma situação semelhante. Para tanto 
basta substituir, no cálculo, os valores pelas respectivas siglas. 
Temos então os seguintes dados: 
i (taxa de juro) = 2% no período, ou seja: 
2
2% 0,02
100
i   
; 
PV (valor presente) = R$ 300,00; 
J (juro, valor que você quer calcular) = ? 
Ora, se J (juro) é o valor que você quer calcular (aquilo que você desconhece), quando 
colocado em uma fórmula ele deve ser escrito em primeiro lugar e igualado àquilo que 
você conhece. Tendo o valor presente (PV) e a taxa de juro (i), então para calcularmos o 
juro (J), basta fazer o seguinte cálculo: 
J PV i 
 
No exemplo numérico acima, esta fórmula foi aplicada assim: 
2
300,00 2% 300,00 300,00 0,02 6,00
100
J       
 
Porém, esta fórmula aplica-se apenas para um período. Lembre-se que seu amigo 
combinou que o empréstimo seria pelo período de 1 (um) mês (n = 1). Caso o 
empréstimo fosse por mais de um período, faríamos a soma dos respectivos juro por 
quantos períodos fossem considerados no fechamento do negócio. 
1.Imagine que o seu amigo tivesse pedido os R$ 300,00 emprestados por 3 (três) meses. 
Teríamos então os seguintes dados: 
i (taxa de juro) = 2% no período, ou seja: 
2
2% 0,02
100
i   
; 
PV (valor presente) = R$ 300,00; 
n = 3 
J (juro, valor que você quer calcular) = ? 
e faríamos o seguinte cálculo: 
 1º período 2º período 3º período 
J = 
 PV i
 + 
 PV i
 + 
 PV i
 
     300,00 0,02 300,00 0,02 300,00 0,02 6,00 6,00 6,00 3 6,00 18,00J            
Observe que o que acabamos de fazer foi: 
 J PV i n  
 
Podemos, então, generalizar, ou seja, escrever uma fórmula que sirva para qualquer 
situação: 
     
1º 2º º
n vezes
período período n período
J PV i PV i PV i       
 
que é equivalente à fórmula 
J PV i n  
 
 
Esta fórmula pode ser escrita de vários modos, conforme as variáveis que são dadas e 
aquela que desejamos calcular: 
J
PV
i n


 ou 
J
n
PV i


 ou 
J
i
PV n


 
Qualquer que seja a incógnita (o valor a ser calculado), tem-se a respectiva fórmula para 
o cálculo. 
2.Imagine que, em determinado problema, tivéssemos os seguintes dados: 
$1.000,00PV 
 
4n 
 períodos 
2%i 
 ao período 
?J 
 
Utilizando a fórmula: 
J PV i n  
, obtemos: 
1000 0,02 4J   
, logo 
80,00J 
 
Suponhamos, porém, que tivéssemos: 
?PV 
 
4n 
 períodos 
2%i 
 ao período 
$ 80,00J 
 
Utilizaríamos então a fórmula: 
80
0,02 4
J
PV
i n
 
 
, de onde 
$1.000,00PV 
 
Poderíamos, também, ter: 
PV = R$ 1.000,00 n = ? i = 2% ao período e J = 80,00 
Utilizaríamos então a fórmula: 
80
1000 0,02
J
n
PV i
 
 
, de onde n = 4 períodos 
Finalmente, poderíamos ter: 
PV = R$ 1.000,00 n = 4 períodos i = ? e J = 80,00 
Utilizaríamos a fórmula: 
80
1000.4
J
i
PV n
 

, de onde i = 0,02 = 2% 
Uma observação muito importante: 
Em cálculos na matemática financeira envolvendo taxa e período, devemos ter o 
cuidado de colocar os dois argumentos na mesma unidade. Por exemplo: se a taxa for ao 
mês (a.m.) o período também deverá estar em meses, se o período estiver em anos, a 
taxa deverá ser ao ano (a.a.) e assim por diante. 
 
 
1.4. TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
 
1.4.1 Taxas proporcionais 
 
Imagine dois empréstimos, envolvendo taxas e períodos diferentes, como por 
exemplo: 
 2% ao mês 
 24% ao ano 
Note que 
2%
1 mês
 = 
24%
12 meses
, ou seja, 2% ao mês = 24% ao ano. 
Quando as taxas foram comparadas com os respectivos períodos utilizando uma mesma 
unidade de tempo, as razões obtidas resultaram iguais. Neste caso, dizemos que as 
taxas são taxas proporcionais. Este conceito também pode ser aplicado a três ou mais 
taxas. 
1.4.2 Taxas equivalentes 
 
Imagine agora que dois empréstimos, envolvendo taxas por períodos diferentes, 
produzem sobre um dado capital (PV) o mesmo montante (FV) em um mesmo prazo. 
Por exemplo: 
1º) Empréstimo de R$ 100,00 a 2% a.m., pelo prazo de 12 meses (1 ano) 
PV = R$ 100,00, i = 2% a.m. (ao mês), n = 12 meses100 0,02 12 $ 24,00J    
 
O montante será 
100 24 $ 124,00FV PV J    
 
 
2º) Empréstimo de R$ 100,00 a 24% a.a., pelo prazo de 1 ano (12 meses) 
PV = R$ 100,00, i = 24% a.a. (ao ano), n = 1 ano 
100 0,24 1 $ 24,00J    
 
O montante será 
100 24 $ 124,00FV PV J    
 
Como podemos ver, a taxa de 2% ao mês e a taxa de 24% ao ano, no mesmo prazo de 1 
ano, produzem montantes iguais a partir do capital dado. 
Estas taxas são denominadas taxas equivalentes. 
 
Observação: No caso de juro simples, que estamos estudando até agora, taxas que são 
proporcionais também são equivalentes e podem ser chamadas de taxas lineares, pois o 
crescimento do juro ao longo dos períodos é linear (ou seja, é representado por uma 
função do primeiro grau). No caso de juro composto, que veremos posteriormente, taxas 
proporcionais não são necessariamente equivalentes. 
1.5. CONTAGEM DO TEMPO 
 
Em operações onde o prazo é menor que um mês, a taxa geralmente se refere à unidade 
diária. Pode-se contar o número de dias na forma ordinal ou na forma cardinal. 
Na contagem ordinal, contamos os dias desde o dia do fechamento do negócio até o 
término. Exemplo: se o financiamento foi liberado no dia 2 de janeiro para ser pago no 
dia 10 do mesmo mês, conta-se: 
02/01 03/01 04/01 05/01 06/01 07/01 08/01 09/01 10/01 
1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia 9º dia 
Portanto, a duração do financiamento é de 9 dias (n = 9). 
Na contagem cardinal, contamos a quantidade de passagens de um dia para o outro. 
Exemplo: para o mesmo financiamento do exemplo acima, temos: 
02/01 03/01 04/01 05/01 06/01 07/01 08/01 09/01 10/01 
1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia 9º dia 
 
 1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
Portanto, na contagem cardinal, a duração do financiamento é de 8 dias (n = 8). 
De acordo com o Código de Processo Civil brasileiro (CPC), a contagem de tempo deve 
ser feita da seguinte forma: exclui-se o dia do começo e inclui-se o do vencimento, com 
prorrogação do início ou do vencimento para o primeiro dia útil subseqüente, caso haja 
feriado. 
1.Vejamos o caso de uma dívida feita na data 18 de dezembro de 2006 (segunda-feira) 
para ser paga com 7 dias: 
 
 
18/12 19/12 20/12 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 
segunda terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda terça 
exclui conta conta conta conta conta conta exclui 7º dia 
 
O pagamento deverá ser executado no dia 26 de dezembro de 2007 (terça-feira) em 
virtude do feriado do dia 25/12 (Natal). 
 
Os agentes financeiros não praticam a contagem da forma processual, contam o tempo 
de duas formas, chamadas período exato e período comercial. 
 Período exato: para este caso é usado o calendário do ano civil, ou seja, 365 
dias. 
 Período comercial: neste caso, admite-se o mês com 30 dias, logo, o ano com 
360 dias. 
 
2.Para um caso de uma negociação que teve início na data de 20/05/2007 e término em 
25/10/2007. 
I. Período exato: início: 20/05/2007 , término: 25/10/2007 (158 dias) 
II. Período comercial: início: 20/05/2007 término: 25/10/2007 (155 dias) 
 
Para transformarmos taxas anuais (juro linear) em taxas diárias, basta fazer como nos 
exemplos a seguir: 
i = 12% ao ano equivale a i = 
365
12,0
 i = 0,0329 % ao dia ( período exato) 
i = 12% ao ano equivale a i = 
360
12,0
 i = 0,0333 % ao dia ( período comercial) 
 
1.6. MONTANTE 
 
Vamos estudar agora como se calcula o montante ou valor futuro (FV) de um 
determinado valor presente (PV) que deverá ser pago ou recebido no futuro, acrescido 
de juro. Para tanto suponha, por exemplo, que uma mercadoria seja vendida por uma 
empresa com um prazo de um mês para o pagamento. O vendedor, buscando compensar 
o prazo que levará para receber, bem como o risco envolvido neste processo, reajusta o 
preço a uma determinada taxa i. O cálculo é feito da seguinte forma: 
 Multiplica-se a taxa pelo preço da mercadoria, encontrando o valor do reajuste. 
 Soma-se o valor encontrado com o preço da mercadoria, obtendo-se o preço 
final. 
 
1.Vamos supor que a mercadoria tenha seu preço à vista estipulado em R$ 100,00 (PV), 
e que será paga ao final de um período, no caso 1 mês (n = 1) e o vendedor corrige o 
preço à taxa de 2% a.m. (i = 0,02). Qual é o preço final? 
Se seguirmos os passos acima, teremos: 
100 0,02 2,00J   
 
100 2,00 102,00FV   
 
Aqui, o resultado R$ 102,00 é o valor da mercadoria adicionado ao reajuste. Note que o 
cálculo feito é: 
100 100 0,02FV   
 
Colocando em evidência a parcela 100, temos: 
 100 1 0,02FV  
 
ou seja, 
 1FV PV i 
 
Chamamos o fator (1 + i) de “fator de reajuste”. 
Quando fazemos o empréstimo de um capital PV por um determinado número n de 
períodos a certa taxa i, queremos que seja restituído, ao final do período, o valor do 
empréstimo adicionado o juro. Desta forma, temos o MONTANTE (FV): 
FV PV J 
 
FV PV PV i n   
 
 1FV PV i n  
 
O fator 
 1 i n 
 é chamado de “fator de capitalização simples” para n períodos. 
Usando as propriedades da álgebra podemos deduzir que: 
(1 )
FV
PV
i n

 
 
 
2.Por exemplo, se o valor emprestado é de 
$ 1000,00PV 
 por 
4n 
 períodos a uma 
taxa de juro linear de 
2%i 
 ao período, então: 
   1 1000 1 0,02 4 1000 1,08 $ 1080,00FV PV i n        
 
Figura 1. Demonstrativo de fluxo de caixa da atividade proposta. 
 
Se desejarmos encontrar o valor do período (n) ou da taxa (i) e forem dados os valores 
de PV e FV, o mais indicado é obter o valor do juro: J = FV – PV e usar as fórmulas: 
J
n
PV i


 ou 
J
i
PV n


. 
 
1.7. ATIVIDADES RESOLVIDAS 
 
1. Uma empresa aplica R$ 1.000,00 a uma taxa de juro simples de valor 2% ao 
mês. Qual o valor do juro pago ao final de um semestre? 
1000,00PV 
, 
2%i 
 ao mês, 
1 6n semestre meses 
 
1000 0,02 6 120J PV i n      
 
Usando os argumentos financeiros da calculadora financeira HP-12c, temos: 
2. Um capital de valor R$ 1.000,00 foi aplicado por 2 anos resultando R$ 500,00 
de juro. Calcular a taxa percentual a) em anos e b) em meses. 
a) Em anos: 
1000,00PV 
, 
2n anos
, 
500J 
 
500 1
0,25 25%
1000 2 4
J
i ao ano
PV n
    
 
. 
 
b) Em meses: 
1000,00PV 
, 
24n meses
, 
500J 
 
500 1
0,02083 2,083%
1000 24 48
J
i ao mês
PV n
    
 
. 
 
 
3. Uma aplicação a taxa de juro linear de 18% ao ano, durante 3 trimestres rendeu 
R$ 400,00 de juro. Calcule o valor da aplicação. 
 
1º. modo: reduzir a taxa e os períodos à unidade meses. 
3 9n trimestres meses 
, 
18%
18%
12
i ao ano ao mês 
, 
400J 
 
400
$ 2962,96
0,18
9
12
J
PV
i n
  


 
 2º. modo: reduzir a taxa e os períodos à unidade anos. 
3
3
4
n trimestres ano 
, 
18%i ao ano
, 
400J 
 
400
$ 2962,96
3
0,18
4
J
PV
i n
  


 
4. O valor de R$ 2.000,00 foi aplicado a uma taxa de juro linear de 9% ao 
semestre, rendendo R$ 500,00 de juro. Por qual período ficou este valor 
aplicado? 
2000PV 
, 
9%i ao semestre
, 
500J 
 
500
2,78
2000 0,09
J
n semestres
PV i
  
 
. 
 O resultado pode ser dado de várias formas: 
 em meses: 
2,78 6 16,68n meses  
 
 em dias: 
16,68 30 500n dias  
 
 em meses e dias: 
16,68 16 0,68 30 16 20n meses meses dias mesesdias     
, 
 ou seja, 16 meses e 20 dias. 
 em anos, meses e dias: 
16 20 12 4 20 1 4 20n meses dias meses meses dias ano meses dias       
 
 ou seja, 1 ano, 4 meses e 20 dias. 
5. Um empréstimo de R$ 2.000,00 foi liquidado por R$ 2.600,00 no final de 140 
dias. Calcular a taxa percentual i: 
a) ao dia. 
2000PV 
, 
2600FV 
, 
140n dias
 
2600 2000 600J FV PV    
 
600
0,002143 0,2143%
2000 140
J
i ao dia
PV n
   
 
. 
 
b) ao mês (mês comercial). 
 O mês comercial tem 30 dias, logo 
0,002143 30 0,06429 6,429%i ao mês   
 
 Outro modo de calcular a taxa ao mês é fazer 
600
0,06429 6,429%
2000 140
30
i ao mês  

. 
6. Calcule o montante gerado por um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 que 
ficou por 6 meses e 20 dias emprestado a uma taxa de 3% ao mês. 
1000PV 
, 
3%i ao mês
, 
6 20n meses e dias
 
 1º. modo: período em dias. Devemos fazer 
6 20 200n meses e dias dias 
 e 
3% 0,1%i ao mês ao dia 
 
(admitindo mês comercial). Neste caso, 
   1 1000 1 0,001 200 $ 1200,00FV PV in     
 
 2º. modo: período em meses. Devemos fazer 
20 200
6 20 6
30 30
n meses e dias meses
 
    
 
 e 
3%i ao mês
 
(admitindo mês comercial). Neste caso, 
 
200
1 1000 1 0,03 $ 1200,00
30
FV PV in
 
      
 
 
 
7. O capital de valor R$ 2.000,00 ficou aplicado por 3 trimestres a uma taxa de juro 
simples de 20% ao ano. Qual o montante ao final deste período? 
2000PV 
, 
20%i ao ano
, 
3
3 9
4
n trimestres meses anos  
 
 
3
1 2000 1 0,20 $ 2300,00
4
FV PV in
 
      
 
 
8. Um empréstimo de R$ 2.000,00 gerou um montante de R$ 2.700,00 a 5% ao 
semestre. Determinar o período mensal desta aplicação. 
2000PV 
, 
2700FV 
, 
5%
5%
6
i ao semestre ao mês 
 
2700 2000 700J FV PV    
 
700
42
0,05
2000
6
J
n meses
PV i
  


. 
9. O banco A emprestou a empresa MS o valor de R$ 4.000,00 na data 20/04/07, 
para ser pago no dia 02/05/07. Considerando o mês comercial, qual o valor do 
juro pago e o montante, se a taxa linear combinada foi de 18% ao ano? 
4000PV 
, 
18%
18% . .
360
i a a ao dia 
 
 Para o número de dias, temos 
20 / 04 / 07 02 / 05 / 07 12n a dias 
 
 Em seguida, fazemos: 
0,18
4000 12 $ 24,00
360
J PV i n      
 
 Sendo assim, 
4000 24 $ 4024,00FV PV J    
 
10. A loja SS vendeu para um cliente uma mercadoria no valor de R$ 2.500,00, no 
dia 12/03/2007 para ser paga na data 20/08/2007, sendo a taxa no valor de 12% 
ao semestre, calcular o valor do montante pago: a) considerando o mês 
comercial; b) considerando o mês civil. 
 
a) Considerando o mês comercial 
2500PV 
, 
12%
12%
180
i ao semestre ao dia 
 
 Para o número de dias, temos: 
12 / 03/ 07 20 / 08 / 2007 158n a dias 
 
 
0,12
1 2500 1 158 $ 2763,33
180
FV PV i n
 
       
 
 
b) Considerando o mês civil. 
2500PV 
, 
12%
12%
182,5
i ao semestre ao dia 
 
 Para o número de dias, temos: 
12 / 03/ 07 20 / 08 / 2007 161n a dias 
 
 
0,12
1 2500 1 161 $ 2764,66
182,5
FV PV i n
 
       
 
 
11. Uma dívida de R$ 320.000,00 irá vencer daqui a 3 meses e 20 dias (mês 
comercial). Se o juro é de R$ 42.000,00, calcule a taxa linear a) diária b) 
mensal c) anual 
a) taxa linear diária 
320.000PV 
, 
3 20 110n meses e dias dias 
, 
32.000J 
 
42000
0,0011932 0,11932%
320000 110
J
i ao dia
PV n
   
 
 
b) taxa linear mensal 
0,11932% 30 3,57954%i ao mês  
 
c) taxa linear anual 
3,57954% 12 42,95454%i ao ano  
 
12. Determine a taxa linear que triplica o capital aplicado em 8 anos. 
 
Neste caso, podemos supor que o capital aplicado é de R$ 100,00, e assim o montante 
será de FV = R$ 300,00: 
100PV 
, 
8n anos
, 
300FV 
 
200J FV PV  
 
200
0,25 25%
100 8
J
i ao ano
PV n
   
 
 
13. Determinar o valor presente (valor atual) de um título cujo valor nominal é de 
R$ 40.000,00, e sobre o qual foi cobrada uma taxa de juro linear de 3,5% ao mês 
para um prazo de vencimento de 80 dias. 
 
40000FV 
, 
80n dias
, 
3,5%i ao mês
 
40000
$ 36.585,36
0,035 801
1
30
FV
PV
in
  


 
 
14. Certo capital, aplicado por 4 meses, torna-se R$ 4.000,00. Caso ficasse aplicado 
por mais 6 meses, chegaria ao valor de R$ 6.000,00. Sendo assim, qual o valor 
da taxa linear mensal e do capital aplicado? 
 
 
4000PV 
, 
6000FV 
 
2000J FV PV  
 
2000
0,0833 8,33%
4000 6
J
i ao mês
PV n
   
 
 
4000
$ 3.000,00
1 1 0,0833 4
FV
PV
in
  
  
 
15. A empresa MSL ltda toma emprestado R$ 20.000,00 do Banco AGS, e promete 
pagar ao final de 6 meses. A taxa combinada por ambos é de 36% ao ano e o 
banco AGS cobra uma taxa bancaria de 2% sobre o valor do empréstimo. 
Portanto, determine: 
a) o montante pago ao final do prazo estipulado; 
b) a taxa de juro realmente paga pelo tomador, ou seja, a taxa efetiva do 
negocio; 
PV = 20000, n = 6 meses i = 36% a a = 3% a m 
a) FV = PV (1 + i n) 
FV = 20000 (1 + 0,03 . 6) 
FV = 23600 
b) PV = 20000 – 0,02 * 2000 PV = 19600 
ou seja, o Banco AGS emprestou a empresa MSL ltda R$ 20.000,00 mas 
depositou na conta da empresa apenas R$ 19.600,00, logo a empresa terá 
que pagar o montante de R$ 23.600,00 a partir de R$ 19.600,00, então o 
valor da taxa de juro não será a mesma, pois a diferença do deposito na 
conta e do valor que deverá ser pago (montante) será de J = 4.000,00. 
Calculando a taxa de juro temos: 
4000
0,034 3,40%
1960 6
i am  

 
 
16. Determinada mercadoria foi adquirida em 4 pagamentos trimestrais de RR$ 
6.240,00 cada um. Alternativamente, esta mesma mercadoria poderia ser 
adquirida pagando-se 20% de seu valor como entrada e o restante ao final de 5 
meses. Sendo de 36% ao ano a taxa da operação, pede-se determinar o valor da 
prestação vencível ao final de 5 trimestres. 
 
Inicialmente nesta questão devemos transformar a taxa anual em trimestral e trazer para 
o presente (PV1) os valores das prestações (pagamentos – PMT), fazendo: 
i = 36% ao ano i = 9% ao trimestre 
(1 )
FV
PV
i n

 
 
62400 62400 62400 62400
(1 0,09 1) (1 0,09 2) (1 0,09 3) (1 0,09 4)
20.514,53
PV
PV
   
       

 
O próximo passo é calcular o valor presente (PV2) com o desconto da entrada de 20%, 
ou seja, 80% do valor do PV, e depois calcular o valor do pagamento da dívida ao final 
do 5º período. 
 
PV2 = 20.514,53 . 0,80 = 16.411,62 
 1FV PV i n  
 
FV = PMT = 16.411,62 (1 + 0,09 . 5) = 23.796,85 
17. O sr. Caio faz um empréstimo de valor R$ 20.000,00 para pagar em 80 dias em 
um banco que cobra taxa de 18% ao ano, mais 2,2% sobre o valor do 
financiamento, taxa que é relativa a despesas e abertura de crédito. O sr. Caio 
não honra com a obrigação na data marcada e pede mais 100 dias para efetuar o 
pagamento. O banco aceita e renegocia a divida a uma taxa de 20% ao ano, e 
também cobra mais uma taxa de manutenção de crédito no valor de 1,8%. 
Calcule a divida do sr. Caio ao final dos 180 dias; a taxa efetiva em cada 
empréstimo, e a taxa efetiva cobrada no tempo que ficou devendo ao banco. 
 
Neste problema temos inicialmente: 
PV = 20.000, n = 80 dias i = 18%a a t = 2,2% do PV 
Calculando o montante da divida: 
 1FV PV i n  
 
0,18 80
20000(1 ) 20800,00
360
FV

  
 
Por não ter liquidado a divida na data e ter pedido mais um prazo, devemos calcular o 
novo montante da divida: 
PV = 20.800, n = 100 dias i = 20 % a a t = 1,8% do PV 
 1FV PV i n  
 
0,20 100
20800(1 ) 21955,55
360
FV

  
 
Para calcularmos a taxa efetiva em cada empréstimo devemos colocar a taxa bancaria. 
Para o primeiro empréstimo temos: 
PV = 20.000 – 2,2% de 20.000 = 19.560 n = 80 dias i = 18% a a t = 2,2% do 
PV 
FV = 20.8000, J = 800, 
J
i
PV n


 
800
0,1840 18,40%
80
19560
360
i aa  

 
Para o segundo empréstimo temos: 
PV = 20.800 – 1,8% de 20.800 = 20.425,60 n = 100 dias i = 20% a a t = 1,8% 
do PV 
FV = 21.955,55, J = 1.529,95 
J
i
PV n


 
 
1529,95
0,2509 25,09%
100
21955,55
360
i aa  

 
Para encontrarmos a taxa efetiva do negocio por todo período temos: 
PV = 19.560,00 FV = 21.9555,55 J = 2.395,55 n = 180 dias 
J
i
PV n


 
2395,55
0,2449 24,49%
180
19560
360
i aa  

 
Obs: a taxa bancaria não entra como divida, pois a taxa bancaria é paga no ato do 
negocio, por esse motivo ela é um valor a parte do empréstimo, portanto, não devemos 
adicionar a taxa no valor da divida, e sim somente usá-la quando for calcular a taxa 
efetiva. 
1.8. ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
1) Calcular o juro linear de uma aplicação de valor R$ 2.500.00, da data 
03/05/2006 a 14/08/2006, à taxa de 15% ao ano, considerando: 
a) mês comercial (período comercial) 
b) mês civil (período exato) 
R. a) R$ 105,21 b) R$ 105,82 
2) Qual o período que quadruplica uma aplicação a uma taxa linear de 14% ao ano, 
a) em meses ? 
b) em anos ? 
R. a) 257,14 meses = 257 meses 4 dias b) 21,43 anos = 21 anos 5 meses 4 dias 
3) O sr. João toma um empréstimo de R$ 10.000,00, para pagar em 140 dias, a 
uma taxa linear de 2,5% ao mês. Pede-se: 
a) o juro; 
b) o montante; 
c) a taxa efetiva (ao mês) da negociação, sabendo que na data do fechamento 
do empréstimo foi-lhe cobrada uma comissão de 1,5% sobre o valor do 
empréstimo. 
R. a) R$ 1166,67 b) R$ 11166,67 c) 2,5381% 
4) A empresa MS tem disponível por um ano certo capital, e tem duas opções de 
aplicação a juro linear. Em qual delas a empresa terá melhor rendimento? 
I. Aplicar seu capital a uma taxa linear de 28% ao ano; 
II. Aplicar ¾ do seu capital a uma taxa linear de 3% ao mês e a outra parte a 
1% ao mês. 
Resposta: opção II 
 
5) A fábrica de moveis SS aplicou 25% de certo valor a 1,2% ao mês, o restante a 
2,1% ao mês durante 4 meses recebendo de juro por estas aplicações R$ 
2.000,00. Pede-se determinar o valor total e de cada aplicação. Resposta: 
R$6666,67 e R$20.000,00 e R$ 26.666.67 
 
6) Por quanto tempo o capital de R$ 1.900,00 deve ficar aplicado à taxa de 22% ao 
ano para que produza um montante de R$ 2.400,00 ? 
Resposta: 1,196 ano = 14,35 meses 1 ano 2 meses e 10 dias 
7) Durante 4,8 meses o capital R$ 20.000,00 ficou aplicado gerando R$ 560,00 de 
juro. Neste caso qual o valor da taxa: 
a) em meses 
b) em anos 
R. a) 0,5833% ao mês b) 7% ao ano 
8) Uma mercadoria tem seu preço a vista em R$ 1.800,00. Entretanto, será pago em 
duas vezes, sendo uma entrada de R$ 400,00 e uma parcela de R$ 1.600,00 após 
dois meses. Qual a taxa linear cobrada na venda? Resposta: 7,1429% ao mês 
 
9) Em quantos dias o capital de R$ 3.000,00 deve ser aplicado à taxa de juro 
simples 8% ao trimestre, de modo a gerar um valor final de R$ 3.680,00. R. 255 
dias 
 
10) Por qual período a uma taxa de 20% ao ano, certo capital deve permanecer 
aplicado de modo a gerar um juro igual a 1/3 do valor principal? Resposta: 20 
meses 
 
11) A mercearia AG aplicou R$ 23.000,00 no dia 20/02/2007 em fundo que paga 
uma taxa linear de 10% ao ano. Em que data ele recebeu o montante, se o juro 
foi de R$ 800,00? 
Resposta: 25/06/2007 (período exato) ou 27/06/2007 (período comercial) 
12) O banco MS oferece um financiamento à taxa de juro simples de 14% ao ano, 
pelo período de 12/02/2007 a 25/08/2007. Considerando o ano comercial, quais 
são o juro e o montante pagos, se o valor do financiamento é de R$ 50.000,00? 
Resposta: R$ 3752,78 (juro) e R$ 53.752,78 (montante) 
13) A empresa AG dispõe de R$ 3.000,00 e divide este valor em duas partes, para 
fazer as aplicações: a primeira a 20% ao ano por 8 meses e a segunda a 18% ao 
ano por 4 meses. Determine o valor de cada aplicação sabendo R$ 300,00 foi o 
juro total recebido pelas duas aplicações. Resposta: R$ 1636,36 e 1363,64 
 
14) Um aplicador dividiu seu capital em três partes e negociou com o banco da 
seguinte forma: 
I. Um sexto do capital a uma taxa de 2% ao mês, em 4 meses; 
II. Dois sextos do capital a uma taxa de 2,5% ao mês, em 6 meses; 
III. Três sextos do capital a uma taxa de 3,0% ao mês, em 8 meses; 
Pede-se calcular o valor de cada parcela sabendo que o juro total recebido foi de 
R$ 2.000,00. Resposta: R$ 1818,18, R$ 3636,37 e R$ 5454,55 
15) A loja ML adquiriu uma mercadoria na fábrica SM por R$ 2.000,00, na 
condição de pagar no dia que vencer o prazo dado na venda pela ML. A 
mercadoria foi vendida com um acréscimo de 40% depois de 12 dias de 
comprada e com um prazo para o cliente pagar em 40 dias. A taxa de juro 
cobrada pela fábrica é de 3% ao mês, e pela loja 4,5% ao mês. Determine: 
a) Os valores a serem pagos pelo comprador e pela loja; 
b) O lucro da loja em valor monetário e percentual. 
R. a) R$ 2168,00 e R$ 2104,00 b) R$ 64,00 e 3,042% 
16) O proprietário de uma lanchonete está pensando em fazer uma reforma antes das 
festas de fim de ano, e para isto ele necessitará de R$ 6.000,00. Quanto ele 
deverá depositar hoje em um banco que remunera a taxa linear de 1,2% ao mês e 
que ainda faltam 170 dias para a data prevista para o início das reformas? 
Resposta: R$ 5617,98 
17) O valor do montante a ser pago daqui a 138 dias é 40% maior que o valor da 
aplicação. Qual a taxa cobrada nesta operação? 
Resposta: 0,2899% ao dia = 104,36% ao ano 
18) Um aparelho é vendido em três parcelas mensais e iguais, de R$ 450,00. A 
primeira parcela é dada no ato da compra, e as demais 30 e 60 dias após. Sendo 
a taxa de juro simples cobrada pela loja de 3,8% ao mês, qual o valor à vista 
deste produto? 
Resposta: R$ 1301,75 
19) Uma nota promissória está sendo negociada com 25 dias de antecedência do seu 
resgate. O negócio foi fechado de tal modo que o valor a ser recebido é 4/5 do 
valor devido. Determine a taxa de juro mensal nesta transação. Resposta: 1% ao 
dia 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
2. DESCONTO 
 
2.1 DESCONTO SIMPLES (COMERCIAL ou POR FORA) 
 
No dia a dia do comercio ou em qualquer outra atividade onde pagamentos e 
recebimentos fazem parte do cotidiano da empresa, há necessidade de capital em mãos 
para poder cobrir obrigações. Sendo assim, há uma prática comum de se adiantar o 
recebimento de valores, ou até mesmo cobrir antecipadamente obrigações. Para estes 
casos usa-se o Desconto, que é o valor do abatimento de um título pago 
antecipadamente, ou o valor abatido do valor futuro a receber, quando este é recebido 
antecipadamente. Diferentemente do juro simples em que a taxa incide sobre o valor 
presente (PV), a taxa de desconto incide sobre o valor futuro (FV). 
A expressão desconto simples ou comercial é devido a seu grande uso no comercio e em 
bancos, quando estes não cobram comissões. 
No estudo de desconto simples ou desconto comercial, temos os mesmosargumentos do 
juro simples, porém, alguns apresentam notação diferenciada. 
PV – valor presente – valor atual – valor líquido – valor descontado – valor resgatado. 
FV – valor futuro – valor da promessa de pagamento (cheque pré-datado, nota 
promissória, títulos, duplicatas) – valor nominal – valor de resgate. 
n – período de antecipação do FV 
id – taxa de desconto 
t – taxa bancaria – taxa adicional 
D – valor do desconto 
Tomando um caso em que a taxa de desconto é de id = 2% sobre o valor de R$ 100,00 a 
ser pago antecipadamente por um período: 
id = 2% = 0,02 =
100
2
 = 
FV
D
 
temos: o desconto é de R$ 2,00 a cada R$ 100,00, ou seja, 
d
D
i
FV

 
Para encontrar a fórmula do desconto simples, iniciamos o desconto para um período: 
dD FV i 
 e daqui pode-se deduzir o desconto efetuado em mais de um período, 
 
 
 
 
que é equivalente à fórmula 
dD FV i n  
 
Da fórmula acima podemos encontrar: 
id = D
FV n
 FV = 
d
D
i n
 n =
d
D
FV i
 
Usando a idéia de que o Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título 
(FV) e o Valor Atual (PV) deste mesmo título temos: 
D FV PV 
 
Desta fórmula podemos deduzir outras: 
a do valor atual (PV) 
PV FV D 
 (i) 
Substituindo 
dD FV i n  
 em (i) temos: 
dPV FV FV i n   
 
Colocando em evidencia o fator FV, temos: 
(1 )dPV FV i n  
 (ii) 
Fazendo operação algébrica em (ii) encontramos: 
(1 )d
PV
FV
i n

 
 
Aplicando as fórmulas. 
1. Passando por dificuldades financeiras a fábrica MSL recorre ao banco na data 
12/03/2007 e faz um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, com promessa de pagar em 
22/10/2007. O banco empresta a taxa de 3,0% ao mês, para o caso do empréstimo ser 
pago antes do vencimento, a taxa de desconto é de 2,0% ao mês sobre o valor do 
montante no prazo estipulado. Passados 122 dias volta ao banco para liquidar a divida. 
Qual o valor pago pelo empréstimo? Considere o mês comercial. 
 
 1ºperíodo 2ºperíodo nºperíodo 
( ) ( ) ... ( )      d d dD FV i FV i FV i
 
 n ( vezes) 
 
PV = 50.000,00 i = 3,0% ao mês id = 2,0% ao mês 
n (empréstimo) = 12/03/2007 a 22/10/2007 (comercial) = 220 dias 
n (antecipação) = 220 - 122 = 98 dias 
 
0,03 220
1 50000(1 ) 61000
30
FV PV i n

     
 
61000 0,02 98
3985,33
30
61000 3985,33 57014,67
dD FV i n
PV FV D
 
    
    
 
2. Uma nota promissória para pagamento em 12/08/07 é negociada no dia 20/06/07, a 
uma taxa de desconto de 2,3% ao mês. Qual o valor resgatado se o período é exato e o 
valor de resgate é R$ 40.000,00. 
FV = 40.000,00 id = 2,3% ao mês n = 20/06/07 a 12/08/07 = 53 dias 
0,023 53
(1 ) 40000(1 ) 38374,66
30
dPV FV i n

     
 
3. O proprietário de certa fazenda resgatou antecipadamente 38 dias um título por R$ 
28.300,00. A taxa de desconto comercial combinada foi de 3,5% ao mês. Determine o 
valor do título. 
PV = 28.300,00 n = 38 dias id = 3,5% ao mês. 
28300
29612,84
0,035 38(1 )
(1 )
30
d
PV
FV
i n
  
 

 
 
2.2 TAXA EFETIVA NO DESCONTO SIMPLES 
 
Conforme dito acima, a taxa de desconto simples incide sobre o valor nominal (FV) de 
um título, esta trás para o presente o valor a ser liquidado. Importante salientar que esta 
taxa de desconto não iguala o PV encontrado ao valor nominal (FV) no período 
estipulado. Portanto, há uma taxa implícita no problema. A taxa que iguala o PV ao FV 
no período estipulado nós a chamaremos de taxa efetiva (ie) do negocio. Na verdade, 
esta taxa nada mais é que a taxa de juro, e no caso até agora estudado, é o simples. 
Uma mercadoria tem seu preço estipulado em R$ 100,00 para pagamento a prazo e para 
pagamento a vista o valor é de R$ 80,00, entende-se que o vendedor está adicionando 
R$ 20,00 de juro ao preço para o caso de pagamento a prazo e ao mesmo tempo dando 
um desconto de R$ 20,00 se o pagamento for a vista. Portanto, na negociação o valor do 
juro é o mesmo valor do desconto. Sendo assim temos duas taxas, uma de juro (taxa 
efetiva) eleva em R$ 20,00 o preço de R$ 80,00, e a taxa de desconto, que abate em R$ 
20,00 do valor de R$ 100,00. 
Pode-se verificar através de um exemplo: certo titulo tem seu valor nominal R$ 
1.000,00 que pode ser pago 40 dias antes do vencimento, sendo a taxa de desconto id = 
0,1% ao dia. Calcular a taxa efetiva. 
FV = 1.000 n = 40 dias id = 0,1% a d 
(1 ) 1000(1 0,001 40) 960,00dPV FV i n      
 
 
Fazendo o caminho inverso: 
PV = 960,00 n = 40 dias i = 0,1% a d (taxa de juro) 
(1 ) 960,00(1 0,01 40) 998,40FV PV i n      
 
O que se conclui que a taxa de desconto não pode ser utilizada para encontrar o valor 
nominal do título. 
 
No caminho inverso o valor do juro não se chega ao valor nominal do título, isto é 
devido ao desconto ser sobre o valor nominal e o juro sobre o valor atual, mesmo que o 
período seja o mesmo. Então, qual a taxa de juro que iguala o valor presente ao valor 
nominal? Esta taxa a chamaremos de taxa efetiva do negocio (ie). 
40
0,001042 0,1042% .
960 40
e
J
i a d
PV n
   
  
 
 
Com esta taxa e o valor presente encontramos o valor nominal: 
(1 ) 960(1 0,001042 40) 1000,00FV PV i n      
 
 
Considerando que o desconto dado no preço da mercadoria é o mesmo que o valor do 
juro acrescido ao preço a vista, então pode-se encontrar a taxa efetiva da seguinte 
maneira: 
e 
J
i
PV n


 ou 
e
D
i
PV n


 
Vejamos algumas aplicações das fórmulas: 
1. O banco MSL afirma que cobra uma taxa de desconto por fora (desconto simples) 
igual a 3,8% ao mês. Determine o valor do desconto, o valor atual e a taxa efetiva do 
negocio para um título de valor nominal R$ 12.500,00 e tem seu vencimento antecipado 
em 48 dias. 
FV = 12.500,00 n = 48 dias id = 3,8% ao dia 
obs: taxa ao mês e período em dias, transformando período em dias para mês basta 
dividir por 30. 
12500 0,038 48
760,00
30
dD FV i n
 
    
 
12500 760 11740,00PV FV D    
 
Taxa efetiva: 
760
0,040459 4,046%
48
11740
30
e
D
i am
PV n
   


 
2. A empresa AGS vai ao banco MSL para descontar um título de valor de resgate R$ 
240.000,00 que tem seu vencimento previsto daqui a 52 dias. O banco aceita comprar o 
título e paga por este, R$ 228.000,00. Qual o valor da taxa de desconto e da taxa efetiva 
mensal cobrada pelo banco MSL? 
FV = 240.000,00 PV = 228.000,00 n = 52 dias 
240000 228000 12000
12000
0,028846 2,8846%
52
240000
30
d
D FV PV
D
i am
FV n
    
   


 
Podemos encontrar a taxa em dia e depois transformar mês. Para isto, fazemos: 
12000
0,000961538 0,0961538% 30 2,8846%
240000 52
d
D
i ad am
FV n
     
 
 
 
Taxa efetiva: 
12000
0,030364 3,0364%
52
228000
30
e
D J
i am
PV n PV n
    
 

 
A taxa efetiva encontrada neste caso está relacionada aos valores do negocio, ou seja, o 
banco está ganhando 3,0364% ao mês de juro. 
Pode-se pedir a taxa efetiva correspondente a taxa de desconto dada no problema, ou 
seja, indiferente dos dados do problema qual será a taxa de juro que corresponde a taxa 
de desconto. Para isso fazemos um artificio: 
FV = 100 id = 2,8864% a m PV = 97,12 n = 1 mês j = D = 2,88 
 
 
 
Neste caso temos duas taxas efetivas diferente, a primeira relacionada aos dados do 
problema e a segunda relacionada somente a taxa de desconto. 
3.A fábrica AGS ao vender seus produtos emite título no qual consta que haverá 
desconto a taxa de 3,2% ao mês na antecipação do pagamento. A loja MSL possui um 
título de valor R$ 30.000,00 e pagou por este R$ 27.500,00. Determine o período de 
antecipação. 
FV = 30.000 PV = 27.500 id = 3,2% ao mês D = FV – PV = 2.500 
2500
2,6
30000 0,032d
D
n meses
FV i
  
 
 
n = 2 meses e 60% do mês n = 2 meses e 0,60 

 30 n = 2 meses e 18 dias 
 
2.3 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) 
 
O desconto racional (Dr) também é conhecido como desconto por dentro porque a taxa 
de desconto incide sobre o valor presente da operação. 
Quando o cliente vai ao banco e toma um empréstimo, geralmente é depositado na conta 
o valor do empréstimo deduzido o valor do juro, sendo assim, o juro é pago 
antecipadamente. Portanto, o valor da taxa de desconto é na realidade uma taxa de juro, 
ou seja, a taxa efetiva do negocio. 
rD PV i n  
 
rD FV PV 
 (i) 
Lembrando do juro simples: 
(1 )
FV
PV
i n

 
 (ii) 
Substituindo a fórmula (ii) em (i) temos: 
(1 )
(1 )
r
r
FV
D FV
i n
FV i n
D
i n
 
 
 

 
 
1.Determinar o desconto racional e o valor resgatado de um título de valor R$ 2.300,00 
pago 12 dias antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto 3,2% ao mês. 
FV = 2.300,00 n = 12 dias id = i = 3,2% ao mês i = ?(taxa de juro) 
Calculando o valor da taxa de juro correspondente a taxa de desconto dada: 
Usando um artifício matemático temos: sendo FV = 100 com desconto de id = 3,2% am, 
encontramos um PV para um mês, n= 1 mês, PV= 96,80. Portanto, para determinar a 
taxa efetiva fazendo: J = 100 – 96,80 = 3,20 i = (3,20 / 96,80) 100 i = 
3,3058% a m 
2300 0,033058 12
30 30,01
0,033058 12(1 )
(1 )
30
r
FV i n
D
i n
 
 
  
 

 
 
 
2.4 DESCONTO COM DESPESAS BANCARIAS 
 
É muito comum empresas usarem os bancos para receberem obrigações dos clientes, 
seja na antecipação ou no atraso as obrigações correspondentes às vendas através de 
duplicatas ou papeis de mesma finalidade. Os bancos recebem os pagamentos e ganham 
percentuais sobre o valor nominal ou outra forma qualquer, depende da combinação 
entre o banco e a empresa. As taxas adicionais (t) que incidem de uma única vez sobre o 
valor nominal do título, têm como finalidade cobrir despesas administrativas e 
operacionais internas na instituição. Estas taxas não iguais para todos os bancos. 
 
Pode-se encontrar o desconto bancário (Db) e o valor atual (PV) com despesas através 
das fórmulas: 
dD FV i n  
 
E como no desconto bancário temos a taxa bancaria que incide no valor nominal temos: 
( ) ( )b dD FV i n t FV    
 
Colocando em evidencia o fator FV encontramos a fórmula para determinar o Db: 
( )b dD FV i n t  
 
Para o valor atual temos: 
bPV FV D 
 (i) 
Substituindo a fórmula do desconto bancário em (i): 
( )dPV FV FV i n t   
 
( )dPV FV FV i n FV t    
 
Colocando em evidencia o fator FV: 
(1 )dPV FV i n t   
 
1. A fábrica de macarrão AGS adquiriu uma nova máquina para ser paga daqui a dois 
anos. A empresa vendedora emitiu um título de R$ 20.000,00 para pagamento em 18 
meses. Foi combinado que se a AGS for antecipar a obrigação deve ir ao banco MSL e 
quitar a dívida. Sabe-se que a divida foi negociado para o caso de antecipação do 
pagamento, a taxa de desconto será de 3,5% ao mês e mais uma comissão de 1,2% sobre 
o valor nominal do título. A AGS vai ao banco 148 dias antes do vencimento do título e 
liquida a divida. De posse dos dados informados determine: 
a) O valor do desconto e o valor descontado que a fábrica terá: 
FV = 20.000 n = 148 dias id = 3,5% ao mês t = 1,2%(comissão) 
0,035 148
20000 ( ) 3453,33
30
dD FV i n

     
 
20000 3453,33 16546,67PV FV D    
 
b) O valor que a empresa vendedora irá receber: 
A empresa vendedora irá receber o valor do título menos o desconto dado a AGS e 
menos a taxa de comissão. 
t = 1,2% sobre o valor do título t = 0,012 

 20000 t = 240,00 
PV = 20000 – ( 3453,33 + 240,00) PV = 16.306,67 
Ou 
0,035 148
(1 ) 20000(1 0,012) 16306,67
30
dPV FV i n t

       
 
c) o ganho do banco: 
fazendo a diferença entre o recebido pelo banco e o pago à empresa teremos o ganho, ou 
calculando a comissão: 
Ganho = 16546,67 – 16306,67 =240,00 Ganho = 20000 

0,012 =240,00 
 
2.5 PRAZO e TAXA MÉDIA EM DESCONTO SIMPLES 
 
Pode-se fazer operações bancarias de desconto de várias obrigações (títulos) de uma 
única vez. Os títulos podem apresentar valores iguais ou não da mesma forma para os 
prazos. Os bancos determinam taxas diferentes para os valores ou prazos dos títulos, ou 
seja, para um determinado valor ou prazo tem-se uma taxa diferenciada. Devido a 
tecnologia computacional existem programas que são utilizados pelos bancos, 
facilitando os cálculos dos descontos de vários títulos. Estes programas utilizam 
fórmulas matemáticas relacionadas à média. 
Por se tratar de desconto simples, utiliza-se a fórmula de média simples ponderada para 
encontrar a taxa média ou prazo médio nos descontos onde apresentam vários títulos a 
taxas diferenciadas. 
1
1
k
J j
j
m K
J
J
FV i
i
FV






 e 1
1
k
J j
j
m K
J
J
FV n
n
FV






 
 
1. A rede de lojas AGS vai ao banco com três cheques no propósito de descontá-los. Os 
três cheques têm valores iguais a R$ 2.000,00, R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00, com 
vencimentos em 28, 32 e 45 dias respectivamente. O banco pratica uma taxa de 2,3% ao 
mês. Sendo assim qual o prazo médio, o desconto e o valor descontado? 
FV1= 2.000 FV2 = 3.500 FV3 = 4.000 id = 2,3% ao mês. 
n1 = 28 dias n2 = 32 dias n3 = 45 dias 
 
2000 28 3500 32 4000 45 348000
36,63
2000 3500 4000 9500
mn
    
  
 
 dias, fazendo uma aproximação 
teremos 37 dias. 
0,023
(2000 3500 4000) 36,63 266,79
30
dD FV i n        
 
(2000 3500 4000) 266,79 9233,21PV FV D      
 
2. O banco MSL desconta cheques a taxas diferenciadas. Para valores entre R$ 
1.000,00 e inferior a R$ 3.000,00 a taxa é de 3% ao mês, entre R$ 3.000,00 e R$ 
8.000,00 a taxa é 2,5% ao mês, e acima de R$ 8.000,00 a taxa é 2,2% ao mês. O banco 
recebe quatros cheques com os seguintes valores: R$ 2.500,00, R$ 3.800,00 , R$ 
5.500,00 e R$ 9.200,00, com prazos 44 dias, 38 dias, 35 dias e 40 dias respectivamente. 
Determine a taxa média, o prazo médio, o desconto e o valor descontado. 
FV1= 2.500 FV2 = 3.800 FV3 = 5.500 FV4 = 9.200 
i1 = 3,0% ao mês i2 = 2,5% ao mês i3 = 2,5% ao mês i4 = 2,2% ao mês 
n1 = 44 dias n2 = 38 dias n3 = 35 dias n4 = 40 dias 
a) Prazo médio: 
2500 44 3800 38 5500 35 9200 40 814900
38,80
2500 3800 5500 9200 21000
mn dias
      
  
  
 
b) Taxa média: 
2500 0,03 3800 0,025 5500 0,025 9200 0,022 509,90
0,02428
2500 3800 5500 9200 21000
mi
      
  
  
 
im = 2,2428% ao mês. 
0,02428
(2500 3800 5500 9200) 38,80 659,47
30
dD FV i n         
 
 
(2500 3800 5500 9200) 659,47 20340,53PV FV D       
 
 
2.6 ATIVIDADES RESOLVIDAS 
 
1) O diretor financeiro de certa empresa está negociando com o banco MSL o 
desconto de duplicatas. Ficou acertado que o banco descontará do devedor a 
3,5% ao mês e cobrará da empresa uma comissão de 1,5% sobre o valor de 
resgate. Sendo assim, calcule o valor pago pelo devedor e o recebido pela 
empresa se as duplicatas somam R$ 120.000,00com prazo médio de 40 dias? 
FV = 120.000 n = 40 dias id = 3,5% ao mês t = 1,5% 
Valor pago pelo devedor: 
0,035 40
(1 ) 120000(1 ) 114400,00
30
dPV FV i n

     
 
Valor recebido pela empresa: 
0,035 40
(1 ) 120000(1 0,015) 112600,00
30
dPV FV i n t

       
 
2) Uma duplicata é descontada em uma instituição financeira, produzindo um 
débito na conta do cliente de R$ 14.460,00. Se a taxa do desconto simples 
comercial da operação foi de 4,5% ao mês e a duplicata foi negociada 68 dias 
antes do vencimento, determinar o valor de resgate da duplicata. 
PV = 14.460,00 id = 4,5% ao mês n = 68 dias 
14460
16102,44
0,045 68(1 ) (1 )
30
d
PV
FV
i n
  
  
 
3) Um título no valor de R$ 18.000,00 foi negociado 54 dias antes de seu 
vencimento por R$ 16.200,00. Determinar a taxa do desconto simples comercial 
envolvida na operação e a taxa efetiva. 
A taxa de desconto: 
FV = 18.000 PV = 16.200 D = 18000 – 16200 = 1800 
1800
0,0555 5,55%
54
18000
30
d
D
i am
FV n
   


 
A taxa efetiva: 
1800
0,06173 6,173%
54
16200
30
e
D
i am
PV n
   


 
 
4) O desconto simples racional de um título descontado à taxa juro de 24% ao ano, 
80 dias antes de seu vencimento, é de R$ 1.720,00. Calcular o valor da taxa de 
desconto comercial (ao ano) correspondente ao desconto racional dado. 
Dr = 1.720 n = 80 dias ir = i = 24% ao ano, ir = taxa de desconto racional. 
1720
32250,00
0,24 80
360
rDPV
i n
  

 
 
32250 1720 33970,00rFV PV D    
 
 
Taxa de desconto comercial: 
 
1720
0,2278 22,78%
33970 80
360
d
D
i aa
FV n
   

 
 
5) Uma Letra do Tesouro Nacional - LTN, de valor R$ 40.000,00 vencerá em 45 
dias, e está sendo negociada a uma taxa de desconto de 28% ao ano. Calcule o 
desconto o valor líquido e a taxa de desconto efetiva anual: 
Valor líquido e o desconto: 
FV = 40.000 id = 28% ao ano n = 45 dias 
0,28 45
(1 ) 40000(1 ) 38600,00
360
dPV FV i n

     
 
40000 38600 1400,00D FV PV    
 
Taxa efetiva: 
1400
0,2902 29,02%
45
38600
360
e
D
i aa
PV n
   


 
6) Determine o valor nominal de um título de crédito descontado 120 dias antes de 
seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2,6% ao mês que sofreu um 
desconto simples por fora no valor de R$ 225,00, vale: 
D = 225,00 id = 2,6% ao mês n = 120 dias = 4 meses 
225
2163,46
0,026 4d
D
FV
i n
  
 
 
 
2.7 ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
1) A loja de confecções AGS assume hoje uma dívida com valor de face de R$ 
70.000,00 a ser paga em 120 dias. Passados 45 dias negocia pagar a dívida a 
uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor recebido pela loja? Qual a 
taxa efetiva? R. PV = R$ 63.875,00 ie = 3,84% a m 
 
2) Na questão anterior a divida foi feita a uma taxa de juro linear de 5% ao mês. A 
loja fez um bom negocio pagando antes a sua dívida? R. O valor inicial da 
dívida é de R$ 58.333,33, acrescido de 5% a m em 45 dias torna-se R$ 
62.708,33. Se a loja tivesse previsão de pagamento em 45 dias teria 
desembolsado menos que liquidando a dívida com desconto. Portanto, não fez 
um bom negócio. 
 
3) Um título de valor R$ 45.000,00 foi descontado 38 dias antes do vencimento, a 
uma taxa de 20% ao ano. Determine o valor do desconto, o valor líquido e a taxa 
efetiva, nas seguintes situações: 
a) Desconto comercial R. R$ 950,00 
b) Desconto racional R. R$ 930,36 
c) Taxa efetiva R. 20,43% a a 
 
4) Foi creditado na conta de uma empresa R$ 3.500,00 correspondente a um 
desconto de duplicata, ou seja, o devedor pagou antecipadamente sua dívida e 
assim entrou na conta do credor o valor acima citado. Sabe-se que o valor da 
taxa de desconto é 3,8% ao mês e o período de antecipação foi de 45 dias. 
Portanto, calcule o valor do desconto, o valor da dívida e a taxa efetiva.R.D = 
R$ 211,56 FV = R$ 3711,56 ie = 4,03 am 
 
5) Se a empresa MSL pagar hoje a duplicata de valor R$ 30.000,00 ganhará um 
desconto de R$ 2.580,00. Se a taxa de desconto praticada é de 22% ao ano, qual 
o período em meses e dias de antecipação desta duplicata? Qual a taxa efetiva do 
negocio? R. n = 4 meses e 21 dias ie = 2% a m 
 
6) Calcule a taxa mensal de desconto usada para descontar antecipadamente em 80 
dias um título de R$ 38.000,00 que gerou um desconto de R$ 2.500,00. R. i d = 
2,47% a m 
 
7) O banco MSL anuncia uma taxa de desconto de 4,3% ao mês e mais uma taxa de 
comissão de 1,2% sobre o valor nominal do título. O diretor financeiro da loja 
AGS vai a esse banco e aceita as condições. No caso de um cliente da AGS for 
ao banco com um título de valor R$ 50.000,00, vinte e cinco dias antes do 
vencimento, qual valor do desconto e o valor descontado que o cliente terá? E 
qual valor creditado na conta do credor do título? O lucro do banco? R. Ddevedor = 
1791,67 PVdevedor = 48208,33 PVcredor = R$ 47.608,83 Lucro = 600,00 
 
8) De acordo com a tabela apresentada, determine o valor do desconto e o valor 
descontado usando o prazo médio e a taxa média. 
TÍTULO TAXA PERÍODO DE ANTECIPAÇÃO 
R$ 40.000,00 3,3% a m 40 dias 
R$ 32.000,00 3,5% a m 38 dias 
R$ 28.000,00 4,2% a m 55 dias 
R$ 12.000,00 4,5% a m 22 dias 
 
n = 41,25 dias id = 3,71% a m D = R$ 5.713,40 PV = R$ 106.286,60 
9) Determinar o valor de face de um título cuja taxa de desconto de 20% ao ano 
proporcionou R$ 4.580,00 de desconto 38 dias antes do vencimento. R. FV = R$ 
216.947,37 
 
10) Calcule o valor atual de um título de R$ 23.000,00 que sofreu um desconto 
racional a taxa de juro de 3,0% ao mês, 40 dias antes do vencimento. Calcule o 
valor do desconto comercial. Se o desconto fosse comercial na mesma taxa, qual 
a diferença entre os valores líquidos? Diferença = R$ 35,18 D = R$ 
884,62 PV = R$ 22.115,38 D = R$ 920,00 PV = R$ 
22.080,00 Diferença = 35,38 
 
11) Uma duplicata foi descontada num banco que pratica uma taxa de 4,0% ao mês 
e mais uma comissão de 1,5% sobre o valor nominal do título. Sabendo que foi 
antecipado em 40 dias, qual o valor do título se o valor atual foi de R$ 
30.000,00. Encontre o valor da taxa efetiva do negocio para a empresa credora. 
R. FV = R$ 32.200,36 i efetiva = 5,501% a m 
 
12) A que taxa anual uma duplicata paga antecipadamente 48 dias gera um desconto 
de R$ 2.800,00 sobre o valor de face R$ 50.000,00. Calcule o valor da taxa 
efetiva desta transação. R. i d = 3,5% a m i e = 3,71% a m 
 
13) A empresa AGS aumenta os preços das mercadorias a uma taxa efetiva de 3,5% 
ao mês. Ao vender a vista oferece um desconto comercial. Determinar a taxa de 
desconto comercial para prazos de 30 dias de antecipação de forma a voltar o 
preço sem o reajuste. R. id = 3,38% a m 
 
14) O valor atual de R$ 2.300,00 é devido a um desconto simples de 3,8% ao mês, e 
28 dias antes do vencimento da obrigação. Determine o valor: do título, do 
desconto e da taxa efetiva do negocio. R. FV = R$ 2.384,57 D = 84,57 
 i e = 3,94% a m 
 
15) Qual a taxa efetiva correspondente a uma taxa de desconto comercial de 4,0% 
ao mês num período de 45 dias? R. i e = 4,26% a m 
 
16) Se uma mercadoria for reajustada em 3,0% ao mês, qual a taxa de desconto para 
que o preço da mercadoria volte ao preço inicial (sem o reajuste)? R. id = 2,91% 
a m 
 
17) Qual o valor do desconto e da taxa efetiva se a duplicata de R$ 30.000,00 foi 
paga 68 dias antes do vencimento e o banco cobra uma taxa desconto de 4,0% 
ao mês. R. D = R$ 2.720,00 i e = 4,4% a m18) A empresa AGS pode aplicar o valor de R$ 45.000,00 em uma instituição que 
paga 3,2% ao mês. É interessante para esta empresa saldar sua obrigação de R$ 
52.000,00 que irá vencer daqui a 150 dias a uma taxa de desconto de 2,5% ao 
mês ou aplicar e pagar no vencimento? R. Verificamos que o melhor negócio é 
aplicar o valor hoje e ao final de 150 dias liquidar a obrigação. 
 
19) O banco MSL oferece uma taxa de desconto por fora (comercial) de 3,5% ao 
mês, e a taxa de desconto racional do banco AGS é 3,8,% ao mês. Qual dos 
bancos oferece melhor negocio para quem quer descontar títulos com prazo de 
30 dias de antecipação? R. No banco AGS o desconto é maior. 
 
20) Determine a taxa mensal, anual de desconto que a empresa AGS ao descontar 
uma duplicata de valor R$ 50.000,00 obteve R$ 2.800,00 de desconto em 50 
dias de antecipação do vencimento. R. id = 3,36% a m = 40,32% a a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
3.1. MONTANTE 
 
No mercado financeiro quando se trata de empréstimos, financiamentos e transações 
financeiras, é utilizada a capitalização composta (juro composto), onde a taxa de juro 
incide sobre o principal (PV) acrescido do juro acumulado do período anterior. Neste 
caso o juro é capitalizados, ou seja, o juro é calculados sobre o juro acumulado no 
período anterior. 
A tabela abaixo compara o juro e o montante nas duas modalidades - simples e o 
composto, para uma aplicação de R$ 1.000,00 por 12 períodos a uma taxa de 2% ao 
período. 
Comparativo entre juro e montante da capitalização composta e simples. 
 
Analisando a tabela, vemos que o juro simples e o composto são iguais no primeiro 
período, a partir deste o juro composto cresce exponencialmente. 
Na capitalização composta, há de se ter cuidado no uso de taxas, pois através da tabela 
acima vimos que, para o mesmo período e mesma taxa os montantes finais para juro 
simples e o composto não são os mesmos. 
Utilizando o gráfico gerado da tabela acima, pode-se verificar o crescimento 
exponencial do juro composto e o linear do juro simples. 
Comparativo do crescimento exponencial e linear da capitalização composta e simples. 
R$ 1.000,00
R$ 1.050,00
R$ 1.100,00
R$ 1.150,00
R$ 1.200,00
R$ 1.250,00
R$ 1.300,00
0 2 4 6 8 10
MO
NT
AN
TE
PERÍODO
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
FV + J S FV + J C
 
Antes de encontrarmos a fórmula que calcula o valor do montante, vamos analisar a 
seguinte situação: certa aplicação de valor R$ 1.000,00 aplicado por 4 períodos (n = 4) a 
uma taxa de 2% ao período (i = 2%) e sem retiradas, ou seja, a retirada será feita ao 
final da aplicação. 
 Demonstrativo da evolução de uma capitalização composta. 
 
Fluxo de caixa da evolução da capitalização composta. 
 
No fluxo de caixa referimos ao primeiro período o intervalo de 0 a 1, onde 0 é o início 
do primeiro período e 1 o final, o segundo período inicia em 1 e finda em 2 e assim por 
diante. Porém, para este item não daremos muita ênfase neste capítulo, e sim no 
próximo (rendas). 
Usando a tabela ou o diagrama de fluxo de caixa, verifica-se o valor gerado da aplicação 
(capital aplicado mais o juro), ou seja, em qualquer momento temos o valor a resgatar se 
for aplicação ou a pagar se for empréstimo. 
 
Referenciando no fluxo de caixa e na tabela, vemos que o valor investido PV = 1.000,00 
no período 0 (zero), torna-se FV = 1.020,00 ao final do período. A aplicação continua 
iniciando no período 1 (um) com o PV = 1.020,00 e finda com FV = 1.040,40, e assim 
sucessivamente até chegarmos o valor final de FV = 1.083,43. 
Usando o fator de reajuste (1 + i) encontramos o seguinte: 
Para o primeiro período temos: 
1 1000 (1,02) 1020,00FV   
 
1
1 (1 )FV PV i 
 
Para o segundo período, temos: 
2
2 1020 (1,02) 1000 (1,02) (1,02) 1000 (1,02) 1040,40FV        
 
2
2 (1 )FV PV i 
 
Para o terceiro período, temos: 
3
3 1000 (1,02) (1,02) (1,02) 1000 (1,02) 1061,21FV       
 
3
3 (1 )FV PV i 
 
Para o quarto período, temos: 
4
3 1000 (1,02) (1,02) (1,02) (1,02) 1000 (1,02) 1082,43FV        
 
4
4 (1 )FV PV i 
 
Acompanhando o raciocínio acima, para encontrar o valor futuro em “n” períodos, o 
montante na capitalização composta faz-se: 
 
 
FV = PV ( 1 + i )
n
 
 
O fator (1+ i)
n
 é chamado de fator de capitalização composta ou fator de acumulação de 
capital para “n” períodos. 
Usa-se as expressões - crescimento exponencial ou juro exponencial, quando estamos 
referindo a uma capitalização composta. Da mesma forma quando certo valor for 
aplicado a uma taxa exponencial, também queremos dizer que se trata de uma 
capitalização composta. 
FV = PV (1+i) (1+i) (1+i).... (1+i) 
 
n (períodos) 
 
1.Uma aplicação inicial de R$ 4.000,00 renderá que montante ao final de 8 meses, se a 
taxa exponencial é de 1,2% ao mês? 
Fazendo o fluxo de caixa da questão proposta temos: 
Obs: lembrando que o valor da aplicação PV e o valor do montante FV, no fluxo de 
caixa têm sentidos opostos e para efeito de cálculo nas calculadoras financeiras são de 
sinais opostos. 
Para este caso, se alguém aplica algum valor, este valor saiu do caixa e retornará como 
recebimento (entrada de caixa). O fluxo desenhado poderia ser de forma inversa. Na 
verdade, o desenho do fluxo depende de que lado do balcão estamos. 
 
PV = 4.000 n = 8 meses i = 1,2% ao mês. 
8 8(1 ) 4000 (1 0,012) 4000 (1,012) 4400,52nFV PV i       
 
2.Certa empresa necessitando pagar os salários de seus funcionários vai ao banco e faz o 
empréstimo de valor R$ 23.000,00. Promete pagar em 20 dias. O banco cobra uma taxa 
exponencial de 2,3% ao mês. Calcule o valor a ser pago pela empresa. 
 
PV = 23.000 n = 20 dias i = 2,3% ao mês 
Obs: período e taxa não estão na mesma unidade, então vamos transformar o período de 
dias em mês. 
20
30(1 ) 23000 (1,023) 23351,33nFV PV i    
 
 
3.2. CAPITAL INICIAL 
 
Pode-se determinar o valor atual, valor presente ou capital inicial aplicado usando as 
propriedades da álgebra na fórmula do montante. 
 
(1 )nFV PV i 
 
Dividindo os dois membros da equação por (1 + i)
n
, temos: 
PV = 
ni
FV
)1( 
 
Para encontrar o valor presente a partir do montante, basta descapitalizar o valor do 
montante, ou seja, usar o fator de descapitalização para “n” períodos: 
1
(1 )ni
. 
1.A empresa AGS deverá obter um equipamento daqui a 4 meses, e este terá o valor de 
R$ 4.500,00. Quanto deverá ser aplicado hoje a uma taxa de 2,5% ao mês, de modo a 
obter o valor necessário? 
FV = 4.500 n = 4 meses i = 2,5% ao mês 
4
4500
4076,78
(1 ) (1,025)n
FV
PV
i
  

 
 
3.3. PERÍODOS 
 
A partir da fórmula do montante e usando propriedades da álgebra deduz-se a fórmula 
para o período. 
(1 )nFV PV i 
 
Dividindo os dois membros por PV, temos: 
(1 )n
FV
i
PV
 
 
Aplicando logaritmo natural – logaritmo Neperiano (ln) nos dois lados da equação 
temos: 
ln( ) ln(1 )n
FV
i
PV
 
 
Usando a propriedade da potência do logaritmo, encontramos: 
ln(1 ) ln( )
FV
n i
PV
  
 
 
Dividindo os dois membros por ln(1+ i)
n
, temos: 
ln( )
ln(1 )
FV
PVn
i


 
Para o caso do uso do logaritmo de base dez, temos: 
log( )
log(1 )
FV
PVn
i


 
 1.Por quantos meses uma empresa terá que dispor R$ 5.000,00 em uma aplicação a 
taxa de 1,2% ao mês, de modo a obter R$ 5.370,97. 
PV = 5.000 FV = 5.370,97 i = 1,2%