Aula sobre Progressão Geométrica

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Progressão
geométrica
REVISÃO 01
Exercícios do termo 
geral da p.g. 03
Exercício da Definição02
Exercícios da soma dos 
termos de uma p.g. 
FINITA E INFINITA
04
Objetivo da aula
Definição
02
DEFINIÇÃO
Progressão Geométrica é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, 
é o produto do anterior por uma constante q dada.
De modo geral, a PG pode ser escrita das seguintes formas:
O primeiro termo é o a1 e, a partir dele, ao multiplicar a razão q, vamos encontrar 
o termos sucessor.
(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒…) (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒)ou
𝒂𝟏. 𝒒 = 𝒂𝟐 𝒒 =
𝒂𝟐
𝒂𝟏
Exercício
1 2 4 8 16 ...
3 -9 -27 -81 243 729
A sequência acima é uma P.G. de razão q = 2.
A sequência acima é uma P.G. de razão q = -3.
1. Encontre a razão das sequencias abaixo:
a)
b)
Solução
𝒒 =
𝒂𝟐
𝒂𝟏
𝒒 =
𝟐
𝟏
= 𝟐
Solução
𝒒 =
𝒂𝟐
𝒂𝟏
𝒒 =
−𝟗
𝟑
= −𝟑
EXERCÍCIO
2. Obtenha o 10º e o 15º termos da P.G. (3, 9, 27, 81, …).
𝒂𝟏. 𝒒 = 𝒂𝟐
Dados da Questão:
𝐚𝟏 = 𝟏
𝒒 =
𝟗
𝟑
= 𝟑
Vamos utilizar a definição
Solução
Vamos encontra o termo 10° da PG:
𝒂𝟏𝟎 = 𝒂𝟏. 𝒒
𝟗
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 . 𝟑
𝟗
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑
Vamos encontra o termo 15° da PG:
𝒂𝟏𝟒 = 𝒂𝟏. 𝒒
𝟏𝟒
𝒂𝟏𝟒 = 𝟏 . 𝟑
𝟏𝟒
𝒂𝟏𝟒 = 𝟒𝟕𝟖𝟐𝟗𝟔𝟗
CLASSIFICAÇÃO 04
Classificação
Crescente: A PG é crescente quando 𝒒 > 𝟏 e os termos são positivos 
ou quando 𝟎 < 𝒒 < 𝟏.
Exemplo 1: (2, 6, 18, 54)
Logo, 𝒒 = 𝟏
𝟐
. 
Decrescente: A PG é decrecesnte quando 0 < q < 1 e os termos são 
positivos ou quando q > 1 e os termos são negativos.
Exemplo 1: (200, 100, 50, 25, ...)
Logo, 𝒒 = 𝟏
𝟐
.
Exemplo 2: (-40,-20,-10,-5, ...) 
Logo, 𝒒 = 𝟏
𝟐
.
Exemplo 2: (-4, -12, -36, -108, ...)
Logo, 𝒒 = 𝟑. 
classificação
Constante: A PG é constante quando 𝒒 = 𝟏. 
Exemplo: (8, 8, 8, 8, ...)
Logo, 𝒒 = 𝟏. 
Alternante: A PG é alternante quando 𝑞 < 0. 
Exemplo: (3, -6, -12, -24, ....)
Logo, 𝒒 = −𝟐
Termo geral de uma
p.g.
03
Formula do Termo Geral de uma P.G.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒒
𝒏−𝟏
Onde:
𝑎𝑛: termo geral
𝑎1: 1° termo
n: número de termos (até 𝒂𝒏)
q: razão 
EXERCÍCIO
3. Determine o décimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro 
termo é 2 e a razão é 3.
Dados da Questão:
𝐚𝟏 = 𝟐
𝐧 = 𝟏𝟎
𝒒 = 𝟑
Fórmula do termo geral
Solução
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 . 𝐪
𝐧−𝟏
𝒂𝟏𝟎 = 𝟐 . 𝟑
𝟏𝟎−𝟏
𝒂𝟏𝟎 = 𝟐 . 𝟑
𝟗
𝒂𝟏𝟎 = 𝟐 . 𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑
𝒂𝟏𝟎 = 𝟑𝟗𝟑𝟔𝟔
Logo 𝒂𝟏𝟎 = 𝟑𝟗𝟑𝟔𝟔.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒒
𝒏−𝟏
EXERCÍCIO
4. Qual o oitavo termo da PG (5, 25, 125, ...)?
Dados da Questão:
𝐚𝟏 = 𝟏
𝐧 = 𝟖
𝒒 =
𝟐𝟓
𝟓
= 𝟓
Formula do termo geral
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒒
𝒏−𝟏
Solução
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 . 𝐪
𝐧−𝟏
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 . 𝟓
𝟖−𝟏
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 . 𝟓
𝟕
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 . 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓
𝒂𝟏𝟎 = 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓
Logo 𝒂𝟖 = 𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓.
SOMA DOS TERMOS 
DE UMA P.G. fINITA
04
Soma dos Termos de uma P.G. Finita
A soma dos n termos iniciais:
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏. 𝒒
𝒏 − 𝟏
𝒒 − 𝟏
Observação: Para 𝑞 ≠ 1.
Onde:
𝑆𝑛: Soma dos termos de uma P.G. Finita
𝑎1: 1° termo
n: número de termos 
q: razão 
EXERCÍCIO
5. Encontre a soma dos cinco primeiros termos onde 𝑎1 = 2 e razão igual a 5.
Dados da questão:
𝐚𝟏 = 𝟐
𝐪 = 𝟓
n= 5
Formula Soma dos termos PG finita:
Solução
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏. 𝒒
𝒏 − 𝟏
𝒒 − 𝟏
𝑺𝟓 =
𝟐. 𝟓𝟓 − 𝟏
𝟓 − 𝟏
𝑺𝟓 =
𝟐. 𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝟏
𝟒
𝑺𝟓 =
𝟔𝟐𝟒𝟖
𝟒
= 𝟏𝟓𝟔𝟐
Logo, a soma pedida é 1562.
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏. 𝒒
𝒏 − 𝟏
𝒒 − 𝟏
EXERCÍCIO
6. A soma de seis elementos em P.G. de razão 2 é 1197. Qual é o 1º termo da P.G.? 
Dados da Questão:
𝐪 = 𝟐
𝐧 = 𝟔
𝑺𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟕
Formula Soma dos termos PG finita:
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏. 𝒒
𝒏 − 𝟏
𝒒 − 𝟏
Solução
𝟏𝟏𝟗𝟕 =
𝒂𝟏. 𝟐
𝟔 − 𝟏
𝟐 − 𝟏
𝟏𝟏𝟗𝟕 =
𝒂𝟏. 𝟔𝟒 − 𝟏
𝟏
𝟏𝟏𝟗𝟕 = 𝒂𝟏. 𝟔𝟑
𝟏𝟏𝟗𝟕
𝟔𝟑
= 𝒂𝟏
𝒂𝟏 = 𝟏𝟗
SOMA DOS TERMOS 
DE UMA P.G. 
infINITA
05
Soma dos termos de uma pg infinita 
𝑺 =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
, 𝐜𝐨𝐦 𝟎 < 𝒒 < 𝟏
Onde:
S ∶ Soma dos termos de uma P.G. Infinita
𝑎1: 1° termo
q: razão 
Exercício
7. Determine a soma dos termos da PG infinita 1
3
+
2
9
+
4
27
+⋯
Dados da Questão:
𝐚𝟏 =
𝟏
𝟑
𝐪 =
𝟐
𝟗
𝟏
𝟑
=
𝟐
𝟑
Formula Soma dos termos PG Infinita:
Solução
𝑺 =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
𝑺 =
𝟏
𝟑
𝟏 −
𝟐
𝟑
𝑺 =
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
= 𝟏
Logo o valor procurado é 1.𝑺 =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
Exercícios 
contextualizados 04
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS
8. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas 
respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das 
vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
Dados:
Sequência retirada da tabela:
(1,2,4,8,...)
Solução
Dados:
Sequência retirada da tabela:
(1,2,4,8,...)
𝑎1 = 1
𝑞 =
2
1
= 2
Solução
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 . 𝐪
𝐧−𝟏
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 . 𝟐
𝟏𝟐−𝟏
𝒂𝟏𝟎 = 𝟐 . 𝟐
𝟏𝟏
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 . 𝟐𝟎𝟒𝟖
𝒂𝟏𝟎 = 𝟐𝟎𝟒𝟖
Logo, na pilha 12 teremos 2048 tábuas.
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS
Exercício cONTEXTUALIZADOS
Aplicativo: Wordwall
Objetivo: Fixação do conteúdo de 
maneira lúdica.
Quiz sobre progressão geométrica
Progress:
fim
Mathematics is not about 
numbers, equations, 
computations or algorithms: it 
is about understanding.
—SOMEONE FAMOUS
No way! However, you can actually 
change the image on the screen 
with your own by replacing it and 
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computer! Awesome!
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Progress:
classificação
classificação
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