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03/10/2021 22:54 GRA1632 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GR3188-212-9 - 202120.ead-17786.01
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_TEST_PLAYER&COURSE_ID=_73… 1/7
Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Leia o trecho a seguir: 
“Se as funções e forem contínuas em um intervalo
aberto , então, existirá uma única solução
 do sistema de equações que também
satisfaz às condições iniciais , em que é qualquer ponto em e
são números dados. Além disso, a solução existe em todo o intervalo ”. 
 
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C.; MEADE, D. B. Equações diferenciais
elementares e problemas de valores de contorno . 10. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2017.
 
 Considerando o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
 , e sabendo que , assinale a alternativa
que apresenta, corretamente, a solução do Problema de Valor Inicial (PVI).
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema de equações
diferenciais lineares de primeira ordem é , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: , e . 
Considerando , então: .
Isso significa que , e . Portanto, a solução do PVI é:
.
Pergunta 2
Para os valores de que satisfazem à equação , damos o nome
de autovalores da matriz A. Para encontrar os autovalores da matriz A, basta
encontrar as raízes do polinômio característico, as quais podem ser raízes reais
distintas, complexas conjugadas ou repetidas. 
 
 No que se refere à matriz , analise as afirmativas a seguir.
 
 
 I. .
 
II. Os autovalores são: e .
 
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03/10/2021 22:54 GRA1632 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GR3188-212-9 - 202120.ead-17786.01
https://anhembi.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_TEST_PLAYER&COURSE_ID=_73… 2/7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
III. O autovetor associado a é dado por .
 
IV. O autovetor associado a é dado por .
 
 
Está correto o que se afirma em:
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se a matriz é ,
então, , cujas raízes (autovalores)
são: e . 
O autovetor associado a é dado por . 
 
 
 
 
 
 
 
O autovetor associado a é dado por . 
 
 
 
Pergunta 3
Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
Leia o trecho a seguir.
“As funções vetoriais são ditas linearmente dependentes em um
intervalo I, se existirem constantes , não todas zero, tais que
 , para todo em I. Se os vetores não forem
linearmente dependentes, eles são considerados linearmente independentes em
I”. 
 NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais . 8. ed. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 413.
 
 Com base no apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta
entre elas. 
 
 
I. As funções vetoriais , e são LD
(Linearmente Dependentes) em .
 
Pois:
 II. é 3 vezes , portanto, para todo .
 
 
 A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
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03/10/2021 22:54 GRA1632 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GR3188-212-9 - 202120.ead-17786.01
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Comentário
da resposta:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as duas asserções estão
corretas, e a II é uma justificativa da I. As funções vetoriais , e são LD
(Linearmente Dependentes) em , porque é 3 vezes , portanto,
 para todo .
Pergunta 4
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Por definição, um Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de
primeira ordem refere-se a um conjunto de equações que envolvem as variáveis
dependentes, suas respectivas derivadas de primeira ordem e a variável
independente. Ademais, as equações precisam ser linearmente independentes.
 
Utilizando seus conhecimentos, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, a equação como um sistema de
equações diferenciais de primeira ordem.
O sistema equivalente é , ,
O sistema equivalente é , , 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para escrever a equação
 como um sistema de equações diferenciais de
primeira ordem, primeiramente, precisamos isolar a derivada de maior ordem,
nesse caso, , ficando assim: . Na
sequência, reescrevemos a equação em função de variáveis , e as
funções das derivadas . Desse modo, podemos escrever o seguinte
sistema de equações: 
 
 
 
 
 
Pergunta 5
Diferentes modelos podem ser utilizados para representar a dinâmica de
populações. Em ecologia, a equação é utilizada para representar a taxa
de crescimento populacional. No caso, é o tamanho da população, é o
tempo e é a taxa de crescimento per capita .
 
CRESCIMENTO exponencial e logístico. Khan Academy , [2021]. Disponível
em: https://pt.khanacademy.org/science/biology/ecology/population-growth-and-regulati
on/a/exponential-logistic-growth. Acesso em: 23 jun. 2021.
 
 Com base no apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta
entre elas. 
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Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
Comentário
da resposta:
 
I. É possível afirmar que r é somente função das taxas de natalidade e de
mortalidade, se considerarmos que não há imigração ou emigração de
indivíduos.
Pois:
II. Quando r assume valor positivo, há crescimento exponencial,
independentemente do tamanho populacional.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma
justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as asserções I e II são
proposições verdadeiras, mas a II não é justificativa da I. Em , r é função
das taxas de natalidade e mortalidade, se considerarmos que não há movimento
de indivíduos para dentro ou para fora da população. Além disso, sempre
que r (taxa per capita de crescimento) assumir o mesmo valor positivo,
independentemente do tamanho populacional, há crescimento exponencial.
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Os sistemas homogêneos com coeficientes constantes são da forma ,
que é igual a . Tal estrutura vem da forma dos sistemas de
equações , em que ; por isso, o sistema é
considerado homogêneo.
 Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução
geral do sistema .
e .
e .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é ,
então, , cujas raízes (autovalores)
são: e . Para , temos: 
 
 
 
 
 
 Para , temos: 
 
 
 
 
 
 
 Logo, as soluções do sistema são dadas por: 
 
 
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Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Existe um passo a passo para reescrever uma equação diferencial de ordem 
 como um sistema de equações diferenciais, com a existência de uma única
solução; isso quando tivermos condições iniciais conhecidas, ou seja, quando
estivermos trabalhando com um Problema de Valor Inicial (PVI).
 
 Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F 
 para a(s) falsa(s).
 
 I. ( ) A primeira etapa consiste em definir variáveis novas, usando o número
da ordem da equação diferencialoriginal: .
II. ( ) A segunda etapa consiste em escrever no formato matricial
 .
 
III. ( ) A terceira etapa consiste em definir variáveis novas, usando o número
da ordem da equação diferencial original: .
IV. ( ) A quinta e última etapa consiste em aplicar os valores iniciais na forma
matricial.
F, F, F, V.
F, F, F, V.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para a redução de uma equação
diferencial de ordem n para um sistema de equações, devem ser seguidos estes
passos: 
 I.reescrever a equação isolando ; 
 
 II. definir variáveis novas, usando o número da ordem da equação
diferencial original: ; 
 III.reescrever , aplicando as novas variáveis; 
 IV.escrever no formato matricial ; 
 
 V.aplicar os valores iniciais na forma matricial.
Pergunta 8
Segundo Oliveira (2019), existem três possibilidades para os autovalores: todos
os autovalores são reais e distintos entre si, alguns são conjugados e alguns são
repetidos. É possível considerar autovalores complexos conjugados, dados por:
 ; , para . Nesse caso, os autovetores associados 
 e também são complexos conjugados.
 
OLIVEIRA, R. L. Equações diferenciais ordinárias : métodos de resolução e
aplicações. Curitiba: InterSaberes, 2019.
 
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03/10/2021 22:54 GRA1632 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GR3188-212-9 - 202120.ead-17786.01
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 
Sabendo disso, e considerando o sistema dado por , analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Os autovalores são: e .
II. ( ) Para , o autovetor associado é dado por: .
 
 
 III. ( ) Para , o autovetor associado é dado por: .
 
 
 IV. ( ) A solução geral é:
 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, F, V.
V, V, F, V.
Resposta correta. A sequência está correta, pois, se o sistema é dado por
, então, , cujas raízes
são os autovalores: e . Para , o autovetor
associado é dado por: . Para , o autovetor
associado é dado por: . Logo, a solução geral é:
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Segundo Nagle, Saff e Snider (2012), um sistema de equações diferenciais
lineares está na forma normal se ele for expresso como .
O sistema é considerado homogêneo quando , caso contrário, é não
homogêneo. Quando os elementos de A são todos constantes, há um sistema
de coeficientes constantes. 
 NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais . 8. ed. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
 
 Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução geral do sistema 
 .
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a primeira coluna é da variável
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03/10/2021 22:54 GRA1632 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GR3188-212-9 - 202120.ead-17786.01
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, e a segunda coluna é da variável . Assim, e . Desse
modo, podemos escrever a solução na forma vetorial: 
 
 
 
 
 Logo, as duas possíveis são: 
 
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário da
resposta:
Leia o trecho a seguir. 
“Sejam soluções linearmente independentes do sistema
homogêneo no intervalo I, onde é uma função matricial 
 contínua em I, então, toda solução em pode ser expressa
na forma , onde são constantes”. 
 
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais . 8. ed. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 414.
 
 Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução
geral do sistema .
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é
 
 
, os autovalores são , e , cujos autovetores
associados estão expostos a seguir. 
 
● Autovetor associado a : . 
 
● Autovetor associado a : . 
● Autovetor associado a : . 
 
Logo, a solução geral é dada por: 
 
 
1 em 1 pontos