Aula de Função Quadrática

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FUNÇÃO QUADRÁTICA 
PONTO MÁXIMO E MÍNIMO
Problema
A trajetória da bola, num chute a gol, 
descreve uma parábola. Supondo que sua 
altura ℎ, em metros, 𝑡 segundos após o chute, 
seja dada por ℎ = −𝑡2 + 6𝑡, determine:
a) Em que instante a bola atinge a altura 
máxima?
b)Qual é a altura máxima atingida pela bola?
Solução do Problema
Bom, para resolver o problema devemos ter 
conhecimento sobre o valor máximo de uma 
função quadrática. 
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:
Revisão
𝒚𝒗=
−∆
𝟒𝒂
𝒙𝒗 =
−𝒃
𝟐𝒂
Solução: 
Passo 1: Vamos calcular o ∆:
Os Coeficientes são: a= 1, b= -4 e 
c=0
∆= b²-4.a.c
∆= (-4)² - 4.1.0
∆= 16 - 0
∆= 16
Passo 2: Calcular o vértice da função:
Exemplo 1: Determine o vértice, os zeros e o valor máximo (ou mínimo) da parábola 
dada pela função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 e construa seu gráfico.
− −𝟒
𝟐 𝟏
=
𝟒
𝟐
=2
𝒚𝒗 =
−∆
𝟒𝒂
=
−𝟏𝟔
𝟒 𝟏
=
−𝟏𝟔
𝟒
=−𝟒
𝒙𝒗 =
−𝒃
𝟐𝒂
=
x=0 ou x=4
O valor mínimo 
da função: -4
𝒙 𝒙 − 𝟒 = 𝟎
𝐱𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎
Como temos um produto 
resultando em zero, significa 
que:
Passo 3:Calcular as raízes
x=0 ou x - 4=0
Passo 4: Desenhe o gráfico:
E daí, temos que essa função 
assume valor mínimo, visto que a 
parábola tem concavidade 
voltada para cima.
Vamos colocar o x em evidência
Definição: Dada a função quadrática 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Definição de Máximo e Mínimo
Quando 𝒂 < 𝟎, a parábola tem concavidade volta para baixo e,
o 𝑉 = 𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 é ponto máximo de f;
o 𝒚𝒗=
−∆
𝟒𝒂
corresponde ao valor máximo de f;
o O conjunto imagem é 𝐼𝑚 𝑓 = [
−∆
𝟒𝒂
, +∞).
Quando a 𝒂 > 𝟎 , a parábola tem concavidade voltada para cima e,
o 𝑉 = 𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 é ponto mínimo de f;
o 𝒚𝒗=
−∆
𝟒𝒂
corresponde ao valor mínimo de f;
o O conjunto imagem é 𝐼𝑚 𝑓 = −∞,
−∆
𝟒𝒂
.
Voltando ao exemplo anterior, temos que,
𝑰𝒎 𝒇 = −∞,
−∆
𝟒𝒂
Observe no gráfico:
𝑰𝒎 𝒇 = −∞,−𝟒
A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma 
parábola. Supondo que sua altura 𝒉, em metros, 𝒕
segundos após o chute, seja dada por 𝒉 = −𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 ,
determine:
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?
b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
t’ t’’
---------𝒚𝒗
|
|
|
Retomando o problema 
inicial:
𝒙𝒗
Informações retiradas do enunciado da questão:
𝒙𝒗 =
−𝒃
𝟐𝒂
=
Solução do Problema inicial
𝒚𝒗 =
−∆
𝟒𝒂
=
(−𝟔)
𝟐 −𝟏
= 3s
Logo a bola atinge altura máxima 
de 3 segundos após o chute.
Passo 1: Calcular o ∆.
𝒉 = −𝒕𝟐 + 𝟔𝒕
∆= b²-4.a.c
∆= (6)² - 4.(-1).0
∆= 36 - 0
∆= 36
Os Coeficientes são: a= -1, b= 6 e c=0
Passo 2: Calcular as coordenadas 
do vértice.
−𝟑𝟔
𝟒 −𝟏
=
𝒉 = 𝟗𝒎
Outra maneira de achar a altura:
𝒉 = −𝟗 + 𝟏𝟖
Logo altura máxima é atingida pela bola é de 9 
metros.
𝟗𝐦
𝒉 𝟑 = − 𝟑 𝟐 + 𝟔 𝟑
𝒉 = −𝒕𝟐 + 𝟔𝒕
Vamos para os exercícios
Exercício 1 Solução
Determine o valor máximo ou 
mínimo da função y= 𝑥2 − 3𝑥 + 2.
‘
Passo 1: Calcular o Δ
Os Coeficientes são: a= 1, b= - 3 e c=2
∆= b² − 4.a.c
∆= (− 3)² − 4.(1).2
∆= 9 − 8
∆= 1
Passo 2: Calcular o valor do vértice
𝒚𝒗=
−∆
𝟒𝒂
=
−(𝟏)
𝟒. 𝟏
=
−𝟏
𝟒
Informações que podemos tirar do enunciado da 
questão:
• 𝒂 > 𝟎 a parábola tem concavidade voltada
para cima;
• 𝒚𝒗=
−∆
𝟒𝒂
corresponde ao valor mínimo de f.
Logo nosso valor mínimo é 
−𝟏
𝟒
.
Exercício 2 Solução
Encontre o ponto máximo ou mínimo 
da função f ሶ𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖
a) Máximo (3,-1)
b) Mínimo (-3,1)
c) Máximo (3,1)
d) Mínimo (3,1)
e) Mínimo (3,-1)
Passo 1: Calcular o Δ
Os Coeficientes são: a= 1, b= - 6 e c=8
∆= b² − 4.a.c
∆= (−𝟔)² − 4.(1).8
∆= 36 −𝟑𝟐
∆= 4
Passo 2: Calcular o vértice da função:
𝒙𝒗 =
−𝐛
𝟐𝒂
=
−(−𝟔)
𝟐.𝟏
=
𝟔
𝟐
=3
𝒚𝒗=
−∆
𝟒𝒂
=
−𝟒
𝟒. 𝟏
=
−𝟒
𝟒
=− 1
Logo o V= (3, -1). 
Informações que podemos tirar do enunciado 
da questão:
• 𝒂 > 𝟎 a parábola tem concavidade
voltada para cima;
• 𝑉 = 𝑥𝑣, 𝑦𝑣 é ponto mínimo de f.
Exercício 3 Solução
(UFPE) A área máxima de um 
retângulo de 12m de perímetro é:
x
y
O que é perímetro?
Soma das medidas de todos os lados da figura.
Revisão
Formula para calcular a área 
de um retângulo:
A= b. h
Utilizando as informações que temos:
x + y + x + y = 12
2x +2y = 12
(Simplificando por 2)
x + y = 6
y= 6 – x
Agora vamos utilizar a formula da área do retângulo
A= b . h
A= y. x
A= (6 - x) . x
A= 6x – x²
y
x
Solução
Passo 1: Calcular o ∆
Os Coeficientes são: a= - 1, b= 6 e c=0
∆= b² − 4.a.c
∆= (𝟔)² − 4.(1).0
∆= 36 −𝟎
∆= 36
−𝟑𝟔
𝟒. (−𝟏)
=
−𝟑𝟔
−𝟒
= 9
Logo o valor da área máxima é 9 m.
Passo 2: Calcular o valor do vértice da função.
𝒚𝒗=
−∆
𝟒𝒂
=
IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar.
Volume 1. São Paulo: Editora Atual, 2006
Referência Bibliográfica