Álgebra Linear I - Lista 3

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear I – 2019.2
Lista 3 – Determinante e Matriz Inversa
PARTE 1: Questões tipo VERDADEIRO ou FALSO, com justificativa. Sejam A e B matrizes
quadradas de ordem n.
1. det(AB) = det(BA).
2. det(At) = det(A).
3. det(2A) = 2 det A.
4. det(A2) = (det A)2.
5. det Aij ≤ det A, para quaisquer i, j.
6. Se A é uma matriz 3× 3, então
a11 411 +a12 412 +a13413 = a21 421 +a22 422 +a23 423 .
7. Se det A = 1, então A−1 = A.
8. Se A é da forma kIn para algum escalar k, então det A = k
n.
9. Se A é uma matriz triangular, então det A = a11 + · · ·+ ann.
10. Se A é uma matriz invert́ıvel tal que AB = 0, então B = 0.
PARTE 2: Problemas.
1. Dadas as matrizes A =
[
1 2
1 0
]
e B =
[
3 −1
0 1
]
, calcule
a) det A + det B;
b) det(A + B).
2. Encontre todos os t ∈ R tais que det A = 0, onde:
a) A =
[
t− 4 3
2 t− 9
]
;
1
b) A =
[
t− 1 4
3 t− 2
]
.
3. Dada a matriz A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 calcule
a) A23;
b) |A23|;
c) 423;
d) det A.
4. Calcule det A, onde
a) A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
;
b) A =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 π −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1
;
c) A =

i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1
;
d) A =

6 2 1 0 5
2 1 1 −2 1
1 1 2 −2 3
3 0 2 3 −1
−1 −1 −3 4 2
.
5. Dada a matriz A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
 calcule:
a) adj A;
b) det A;
c) A−1.
2
6. Encontre A−1, onde
A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
 .
7. Considere a matriz
A =
 1 0 k1 1 k2
2 2 k2
 .
Para que valores de k existe A−1? Para estes valores encontre A−1.
8. Seja A uma matriz quadrada tal que A2 = A. Mostre que det A ∈ {0, 1}.
9. Mostre que det
 1 1 1a b c
a2 b2 c2
 = (a−b)(b−c)(c−a). Além disso, calcule:
∣∣∣∣∣∣∣
1 4 16
1 5 25
1 11 121
∣∣∣∣∣∣∣.
10. Considere a matriz
A =
 1 2019 (2019)
2
1 2020 (2020)2
1 2021 (2021)2
 .
A matriz A é invert́ıvel? Justifique sua resposta.
11. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P−1AP .
Mostre que det A = det B se A e B são semelhantes. O mesmo acontece se A e B são
linha equivalentes?
12. Resolva o sistema abaixo, usando a Regra de Cramer:
x − 2y + z = 1
2x + y = 3
y − 5z = 4
13. Use determinantes para resolver o sistema
2x + 3y = z + 1
3x + 2z = 8 − 5y
3z − 1 = x − 2y
14. Considere o sistema 
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
Encontre os valores de k ∈ R tais que o sistema seja
3
a) Posśıvel e determinado;
b) Posśıvel e indeterminado;
c) Imposśıvel.
4