Lista 3 Álgebra Linear

Prévia do material em texto

willikatbezerra@gmail.com 
Página | 1 
 
Universidade Federal de Pernambuco – UFPE 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professor: Willikat B. Melo 
 
LISTA 3 
 
 
1. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços? 
a) O conjunto 𝑋 ⊂ ℝ3 formado pelos vetores 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tais que 𝑧 = 3𝑥 e 
𝑥 = 2𝑦. 
b) O conjunto 𝑌 ⊂ ℝ3 formado pelos vetores 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tais que 𝑥𝑦 = 0. 
c) O conjunto 𝑍 das matrizes 2 × 3 nas quais alguma coluna é formada por 
elementos iguais. 
d) O conjunto 𝐿 ⊂ ℝ𝑛 dos vetores 𝑣 = (𝑥, 2𝑥, ⋯ , 𝑛𝑥), onde 𝑥 ∈ ℝ é arbitrário. 
 
2. Obtenha números 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 tais que o plano de ℝ3 definida pela equação 𝑎𝑥 +
𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 contenha os pontos 𝑒1 = (1, 0, 0), 𝑒2 = (0, 1, 0) e 
𝑒3 = (0, 0, 1). 
 
3. Mostre que o vetor 𝑏 = (1, 2, 2) não é combinação linear dos vetores 
𝑣1 = (1, 1, 2) e 𝑣2 = (1, 2, 1). A partir daí, formule um sistema linear de 3 
equações com 2 incógnitas, que não possui solução e que tem o vetor 𝑏 como 
segundo membro. 
 
4. Dados 𝑢 = (1, 2) e 𝑣 = (−1, 2), sejam, 𝐹1 e 𝐹2 respectivamente as retas que 
passam pela origem em ℝ2 e contêm 𝑢 e 𝑣. Mostre que ℝ2 = 𝐹1 ⊕ 𝐹2. 
 
5. Seja 𝐹 o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores 𝑢 = (1, 1, 1) e 𝑣 = (1, −1, −1). 
Ache os números 𝑎, 𝑏, 𝑐 com a seguinte propriedade: um vetor 𝑤 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
pertence a 𝐹 se, e somente se, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0. 
 
6. Exprima o vetor (1, −3, 10) como combinação linear dos vetores (1, 0, 0), 𝑣 =
(1, 1, 0) e 𝑤 = (2, −3, 5). 
 
7. Mostre que a matriz 𝐷 = [
4 −4
−6 16
] pode ser escrita como combinação linear 
das matrizes 𝐴 = [
1 2
3 4
], 𝐵 = [
−1 2
3 −4
] e 𝐶 = [
1 −2
−3 4
]. 
 
8. Seja 𝑊 o subespaço vetorial de 𝑃3 dado por 𝐺𝑒𝑟 = [𝑝1(𝑡), 𝑝2(𝑡), 𝑝3(𝑡)], onde 
𝑝1(𝑡) = 𝑡³ − 𝑡 + 1, 𝑝2(𝑡) = −𝑡³ + 2𝑡² + 𝑡 − 1, e 𝑝3(𝑡) = 𝑡² − 2𝑡 + 2. Quais 
condições 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 devem satisfazer para que o polinômio 
𝑝(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + 𝑎2𝑡² + 𝑎3𝑡³ pertença a 𝑊? 
 
willikatbezerra@gmail.com 
Página | 2 
 
9. Seja 𝑊 o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −2, 5, −3), 
𝑣2 = (2, 3, 1, −4), 𝑣3 = (3, 8, −3, −5). Podemos afirmar que {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} 
formam uma base para 𝑊? Se não, encontre uma base. 
 
10. Considere, num espaço vetorial 𝑉, os vetores 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 𝑣4. 
a) Mostre que se 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 𝑣4 forem linearmente independentes, então os 
vetores 𝑣1, 𝑣2 − 𝑣1, 𝑣3 − 𝑣1 e 𝑣4 − 𝑣1 são linearmente independentes. 
b) Mostre que 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 𝑣4 e 𝑣1, 𝑣2 − 𝑣1, 𝑣3 − 𝑣1 e 𝑣4 − 𝑣1geram o mesmo 
subespaço de 𝑉, isto é, que 
𝐺𝑒𝑟[𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4] = 𝐺𝑒𝑟[𝑣1, 𝑣2 − 𝑣1, 𝑣3 − 𝑣1, 𝑣4 − 𝑣1]. 
 
11. Considere o espaço vetorial 𝐶0(ℝ, ℝ) das funções contínuas de ℝ em ℝ. Mostre 
que as seguintes funções de 𝐶0(ℝ, ℝ) são linearmente independentes. 
a) 𝑒2𝑡, 𝑒3𝑡 , 𝑒4𝑡 
b) 𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos (𝑡) 
 
12. Em ℝ4, sejam 𝑊1 o subespaço gerado pelo vetores [
1
−1
1
0
], [
0
1
−1
1
], e 𝑊2 o 
subespaço gerado pelo vetores [
1
1
0
0
], [
0
1
1
0
], [
0
0
1
1
]. Encontre uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2 
e outra para 𝑊1 + 𝑊2. 
 
13. No espaço vetorial 𝑃3, sejam 𝑊1 o subespaço gerado por 𝑡 + 1 e 𝑡³ − 𝑡² + 2, 
𝑊2 o subespaço gerado por 𝑡³ + 3 e – 𝑡² + 𝑡. Encontre uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2 
e outra para 𝑊1 + 𝑊2.