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Serviço Nacional de Aprendizagem e Comércio 
 
Curso:Auxiliar de Pessoal 
Eixo: Gestão de negócios 
Modalidade: Formação Iniciada e Continuada 
Tipo: Capacitação / Carga Horária de 240h 
Facilitador: Natalia Siqueira 
 
Matemática Instrumental 
 
Razões – Introdução 
 
 Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de 
comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um 
deles pelo outro. Assim: 
 (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). 
 Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de 
corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. 
 A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart 
corresponde a 2m do carro de corrida. 
 
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) 
o quociente ou a:b. 
 
 A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, 
são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos: 
 
 Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. 
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: 
 (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). 
 
 
 Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. 
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: 
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 (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). 
 
Observações: 
 
1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: 
 Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 
 
2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus 
termos tenham sinais contrários. Exemplos: 
 A razão entre 1 e -8 é . 
 A razão entre é . 
 
 
Proporções – Introdução 
 
 Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 
40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos 
dois rapazes: 
 
 Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: 
 
 Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a 
igualdade é uma proporção. Assim: 
 
 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
 
Exercícios de Razão e Proporção 
 
1 - Resolva as seguintes proporções: 
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a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) 
 
 
Grandezas – Introdução 
 
 Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas 
podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, 
a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a 
produção. 
 É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. 
Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a 
velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o 
tempo. 
 Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o 
tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a 
produção. 
 
 
Grandezas Diretamente proporcionais 
 
 Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: 
 
Tempo (minutos) Produção (Kg) 
5 100 
10 200 
15 300 
20 400 
 
 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis 
dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 
 
5 min ----> 100Kg 
10 min ----> 200Kg 
 
 Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 
 
5 min ----> 100Kg 
15 min ----> 300Kg 
Assim: 
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Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a 
razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores 
correspondentes da 2ª 
 
 Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão 
entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. 
 
 
Grandezas Inversamente proporcionais 
 
 Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo 
em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, 
conforme a tabela abaixo: 
 
Velocidade (m/s) Tempo (s) 
5 200 
8 125 
10 100 
16 62,5 
20 50 
 
 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis 
dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido 
à metade. 
 
5 m/s ----> 200s 
10 m/s ----> 100s 
 
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 
 
5 m/s ----> 200s 
20 m/s ----> 50s 
Assim: 
 
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente 
proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual 
ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. 
 
 Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso 
da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. 
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Exercícios de Grandezas Proporcionais 
 
1) Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. 
Observe a tabela e responda: 
 
Número de acertadores Prêmio 
3 R$ 200.000,00 
4 R$ 150.000,00 
 
a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o 
prêmio de R$150.000,00? 
 
b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 
acertadores? 
 
c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais? 
 
 
2) Diga se é diretamente ou inversamente proporcional: 
 
a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa 
poderá consumir. 
b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante. 
c) Número de erros em uma prova e a nota obtida. 
d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa. 
e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago. 
 
 3) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. 
Determine os números x e y. 
 
4) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 
480, determine os números a, b e c. 
 
 
Média aritmética simples 
 
 A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de 
posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que 
qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto 
de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado 
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pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou 
seja, a média de n números é sua soma dividida por n. 
 Em outras palavras, é o resultado da divisão da soma de n valores por n. Por exemplo, 
a média entre 5, 10 e 6 será: 
 
Média Aritmética Ponderada 
 
 Neste tipo de média aritmética, cada número que fará parte da média terá um peso. 
Este peso será multiplicado pelo número, que serão somados e dividos depois pela soma dos 
pesos. Veja o exemplo: 
 
Exercícios de Médias 
 
1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos: 
 
a) 15 ; 48 ; 36 
 
b) 80 ; 71 ; 95 ; 100 
 
c) 59 ; 84 ; 37 ; 62 ; 10 
 
d) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 
 
e) 18 ; 25 ; 32 
 
f) 91 ; 37 ; 84 ; 62; 50 
 
2) João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a 
seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas 
valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos: 
Inglês 
1ª prova 6,5 
2ª prova 7,8 
3ª prova 8,0 
4ª prova 7,1 
 
 
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Português 
1ª prova 7,5 
2ª prova 6,9 
3ª prova 7,0 
4ª prova 8,2 
 
 
História 
1ª prova 5,4 
2ª prova 8,3 
3ª prova 7,9 
4ª prova 7,0 
 
 
Matemática 
1ª prova 8,5 
2ª prova 9,2 
3ª prova 9,6 
4ª prova 10,0 
 
 
 
 
 
Divisão em partes proporcionais 
 
 As vezes nos deparamos com problemas que solicitam a divisão de um número em 
partes diretamente proporcionais a outro grupo de números. 
 
 A divisão de um número em partes diretamente proporcionais a outros números 
dados, consiste em se determinar as parcelas que são diretamente proporcionais a cada um 
dos números dados e que somadas, totalizam o número original. 
 
 A divisão do número N em partes p1, p2, p3, ..., pn diretamente proporcionais aos 
números reais, diferentes de zero a1, a2, a3, ..., an respectivamente, baseia-se em encontrar a 
constante K, real não nula, tal que: 
 
 
 
Depois de calculado o valor da constante K, basta substituí-lo nas igualdades onde foi usado e 
realizar as contas para descobrir o valor de cada uma das partes. 
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Exemplos 
1 - Divida o número 630 em partes diretamente proporcionais a 6, 7, 8 e 9. 
Conforme o explicado sabemos que: 
p1 = K . 6 
p2 = K . 7 
p3 = K . 8 
p4 = K . 9 
p1 + p2 + p3 + p4 = 630 
 
K . 6 + K . 7 + K . 8 + K . 9 = 630 => K = 630/30 => 21 
(6 + 7 + 8 + 9 = 30) 
 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p1, p2, p3 e p4 na 
última igualdade: 
 
Logo: 
p1 = 21 . 6 = 126 
p2 = 21 . 7 = 147 
p3 = 21 . 8 = 168 
p4 = 21 . 9 = 189 
 
As partes procuradas são respectivamente 126, 147, 168 e 189. 
 
2 - Divida o número 140 em parcelas diretamente proporcionais a 2, 4 e 8. 
Do enunciado tiramos que: 
p1 = K . 2 
p2 = K . 4 
p3 = K . 8 
p1 + p2 + p3 = 140 
 
K . 2 + K . 4 + K . 8 = 140 => K = 140/14 => 10 
(2 + 4 + 8 = 14) 
 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p1, p2 e p3 na última 
expressão: 
 
Portanto: 
p1 = 10 . 2 = 20 
p2 = 10 . 4 = 40 
p3 = 10 . 8 = 80 
 
As parcelas procuradas são respectivamente 20, 40 e 80. 
 
 
 
Exercícios grandezas diretamente proporcionais 
 
 
1) Divida o número 51 em partes diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7. 
 
2) Divida o número 124 em parcelas diretamente proporcionais a 11, 7 e 13. 
 
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http://www.matematicadidatica.com.br/DivisaoEmPartesProporcionaisExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/DivisaoEmPartesProporcionaisExercicios.aspx#anchor_ex2
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3) Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao pagamento por um serviço 
realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia 
diretamente proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá receber cada um? 
 
4) Dois ambulantes obtiveram R$ 1.560,00 pela venda de certas mercadorias. Esta quantia 
deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais a 5 e 7, respectivamente. 
Quanto irá receber cada um? 
 
Desconto 
 
 Se uma pessoa (ou empresa) deve uma quantia em dinheiro para pagamento em uma 
data futura, ela dá um título de crédito para o credor, comprovante desta dívida. 
 Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porem, pode-se resgatá-lo 
antecipadamente, obtendo com isto um abatimento proporcional ao tempo de antecipação e 
a taxa de juros; 
 Este tipo de operação denomina-se DESCONTO. Com relação as operações de 
desconto dos títulos de crédito, pode ocorrer : 
 
 Quê o devedor pague o título antes do dia do vencimento. Neste caso ele obtém um 
abatimento (Desconto) correspondente ao juro que seria gerado pelo capital durante 
o tempo que faltava para o vencimento do mesmo. 
 
 Que o credor precise do dinheiro antes da data do vencimento. Neste caso, ele pode 
vender o título a um terceiro (geralmente uma instituição financeira) que obterá um 
lucro, correspondente ao juro gerado pelo capital durante o tempo que falta para o 
vencimento do título; assim sendo, a instituição paga uma quantia menor que a fixada 
no titulo de crédito . 
 
 Em ambos os casos é um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades; 
este benefício, obtido de comum acordo denomina-se DESCONTO. 
 As operações anteriormente descritas são denominadas operações de desconto, e ao 
ato de efetuá-las denominamos descontar um título. 
 
NOMENCLATURA: 
 
Dia do Vencimento: é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação. 
 
Valor Nominal (N): é o valor expresso no título (importância a ser paga no dia do vencimento). 
 
Valor Atual (A): é o líquido pago ( ou recebido) antes do vencimento. 
 
Tempo ou Prazo: é o intervalo de tempo ( dias, meses , anos, etc...) compreendido entre o dia 
em que se negocia o título e o do seu vencimento, excluindo um dos extremos ( conta-se o 
primeiro dia e não o último ; e vice-versa). 
 
Logo: 
 DESCONTO É A QUANTIA A SER ABATIDA DO VALOR NOMINAL, ISTO É, A DIFERENÇA 
ENTRE O VALOR NOMINAL E O VALOR ATUAL. 
 
 Os descontos podem ser Comerciais ( quando considera-se como capital o valor 
nominal) ou Racional (quando considera-se como capital o valor atual). 
 
 
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Desconto Comercial 
 
 Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples 
produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada. 
 
Fórmula de Desconto 
 
Onde: 
D = Desconto 
N = Valor Nominal 
i = Taxa de juros centesimal 
n = Período de tempo 
 
ou : 
 
Fórmula do Valor Atual 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
1) Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o 
seu vencimento. Determine o valor atual do título e o desconto. 
 
N = 60.000,00 
n = 45 dias 
r = 2,1 % ao mês 
i = 2,1/100 = 0,021 am /30 = 0,0007 a.d. 
 
D -= N . i . n 
D = 60.000,00 . 0,0007 . 45 
 
A = N - D 
A = 60.000 1.890 
 
2) Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. 
Calcule o tempo de Antecipação, sabendo que a taxa de desconto foi de 4% ao mês? 
 
N = 6.900, 
A = 6.072, 
r = 4% ao mês 
i = 4/100 = 0,04am 
 
A = N ( 1 – i . n ) 
6.072, = 6.900, ( 1 – 0,04 . n ) 
6.072, / 6900, = 1 – 0,04 . n 
0,88 = 1 - 0,094 . n 
0,88 – 1 = -0,04 . n 
-0,12 = -0,04 n 
n = - 0,12/ -0,04 
 
D = 1.890,00 
D = N . i . n 
D = N - A 
A = N (1 – i . n) 
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A = 58.110,00 
 
n = 3 meses 
 
Exercícios - Desconto 
 
1. Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, á taxa de 
30% ao ano. CALCULE O VALOE ATUAL E O DESCONTO COMERCIAL. 
 
2. Um título, no valor de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/7. Se a 
taxa de juros for de 34% ao ano, qual o valor comercial descontado? 
 
 
3. Um títulode R$ 4.800,00 foi descontado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. 
Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de 
antecipação do resgate? 
 
4. Qual a diferença entre "taxa de juros" e "taxa de descontos"? Exemplifique. 
 
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