L4 - matrizes e sistemas lineares

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear (MA71B)
Profa. Dra. Nara Bobko
Lista de Exerćıcios 4
(Matrizes e Sistemas Lineares)
1. Considere a matriz Am×n. Faça a correspondência entre as colunas.
a) Matriz quadrada
b) Matriz nula
c) Matriz coluna
d) Matriz linha
e) Matriz diagonal
f) Matriz identidade
g) Matriz triangular superior
h) Matriz triangular inferior
i) Matriz simétrica
( ) aij = 0 ∀i < j
( ) aij = 0 ∀i e j
( ) m = n
( ) n = 1
( ) m = 1
( ) m = n e aij = aji ∀i e j
( ) m = n, aij = 0∀i 6= j e aii = 1 ∀i
( ) m = n e aij = 0 ∀i 6= j
( ) aij = 0 ∀i > j
2. Construa as matrizes:
a) A1×3, tal que aij = 2i− j
b) B4×4, tal que bij =
{
i+ j, se i ≤ j
i− j, se i > j
3. Sejam A, B e C matrizes n× n.
a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2? Justifique.
b) (AB)C = C(AB)? Justifique.
4. Considere as matrizes A =
[
2 1
3 −1
]
, B =
[
−1 2
1 0
]
e C =
[
4 −1
2 1
]
. Calcule a matriz X
de modo que 3(X − A) = 2(B +X) + 6C.
5. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique
porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
b) Se AB = 0 então BA = 0.
c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.
6. Considere a matriz A tal que aij = i+ j, se i ≤ j e aij = (i− j)x, se i > j. Monte a matriz A e
calcule os valores de x e y, sabendo-se que
A> =
 2 2y − 35y − 7 4
4 5
 .
1
7. Determine os valores de a e b para que a matriz M =
 3 8 xa3 1 b2
x 121 0
 seja simétrica.
8. Calcule os valores de x e y para que as matrizes A =
[
1 3
−1 0
]
e B =
[
x y
0 2
]
comutem na
multiplicação.
9. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal,
denotamos o traço de uma matriz A por tr(A). Determine x e y na matriz A =
1 2 30 x 4
0 0 y
 para
que tr(A) = 9 e x seja o triplo de y.
10. Usando o método de Gauss-Jordan, encontre todas as posśıveis soluções para os seguintes sis-
temas lineares:
a)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
c)

−2x2 + 3x3 = 1
3x1 + 6x2 − 3x3 = −2
6x1 + 6x2 + 3x3 = 5
d)

x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 2
x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + x5 + 2x6 = 3
x1 + 2x2 − 3x4 + 2x5 + x6 = 4
3x1 + 6x2 + x3 − 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9
11. Considere os planos dados por π1 : x+2y−3z = 4, π2 : 3x−y+5z = 2 e π3 : 4x+y+(a2−14)z =
a+ 2 onde a é um escalar. Determine os valores de a tais que
a) π1 ∩ π2 ∩ π3 = ø.
b) π1 ∩ π2 ∩ π3 contém um único ponto.
c) π1 ∩ π2 ∩ π3 contém ao menos dois pontos distintos. Interprete geometricamente o resultado.
12. Considere os planos π1 : x + y + z − 6 = 0 e π2 : 3x + 2y + z − 10 = 0, e a reta r dada por
y = −2x+ 4 e z = x+ 2. Calcule π1 ∩ π2 ∩ r e interprete geometricamente o resultado.
13. Prove que:
a) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear homogêneo AX = 0, então αX1 + βX2 também é
solução, para quaisquer escalares α e β.
b) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear AX = B e se αX1 + βX2 também é solução deste
sistema para quaisquer escalares α e β, então B = 0.
14. Sejam A =
1 0 51 1 1
0 1 −4
, I =
1 0 00 1 0
0 0 1
, X =
xy
z
 e 0̄ =
00
0
.
(a) Encontre a solução geral do sistema de equações lineares (A+ 4I)X = 0̄.
(b) Encontre a solução geral do sistema de equações lineares (A− 2I)X = 0̄.
15. Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira
leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada.
Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos
2
para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 14 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser
tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica dispońıvel 16 horas por
semana, a bancada para tingir 11 horas por semana e a bancada para envernizar 19 horas por
semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas
sejam plenamente utilizadas?
16. Um comerciante de café vende três misturas de grãos. Um pacote com a “mistura da casa”
contém 300 gramas de café colombiano, 50 gramas de café queniano e 150 gramas de café tostado
tipo francês. Um pacote com a “mistura especial” contém 200 gramas de café colombiano, 200
gramas de café queniano e 100 gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com a “mistura
gourmet” contém 100 gramas de café colombiano, 350 gramas de café queniano e 50 gramas de
café tostado tipo francês. O comerciante tem a disposição 30 quilogramas de café colombiano, 15
de café queniano e 15 de café tostado tipo francês. Suponha que um pacote da “mistura da casa”
dê um lucro de R$0, 50, um pacote da “mistura especial” dê um lucro de R$1, 50 e um pacote da
“mistura gourmet” dê um lucro de R$2, 00. Quantos pacotes de cada tipo o comerciante deve
preparar se ele quer usar todo o estoque e maximizar seu lucro? Qual é o lucro máximo?
17. Calcule o determinante das matrizes abaixo.
a)
[
−1 2
−4 1
]
b)
−2 0 −53 −3 −1
0 3 −4

c)
[
−5 4
0 6
]
d)
2 −2 40 −1 3
4 −2 0

e)

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0

f)

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 π −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1

18. Seja A uma matriz tal que det(A) = −3. Calcule
a) det(A3) b) det(A2) c) det(A−1) d) det(A>)
19. Mostre que
a) Se det(AB) = 0, então ou A é singular ou B é singular.
b) Se A> = A−1, então det(A) = ±1.
c) Se α é um escalar e A é uma matriz n× n, então det(αA) = αndet(A).
d) An×n é invert́ıvel se, e somente se, A
>A é invert́ıvel.
e) Se An×n é invert́ıvel, então det(A
−1) = 1/det(A).
20. Se A e B são matrizes n× n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule det(A>B−1).
21. Mostre que a matriz B =
1 1 00 −1 2
1 0 1
 é a inversa de A =
−1 −1 22 1 −2
1 1 −1
.
22. Seja An×n uma matriz diagonal tal que aii 6= 0 para i = 1, . . . , n . Prove que A é invert́ıvel e
que A−1 também é uma matriz diagonal cujos elementos são dados por dii = a
−1
ii .
23. Se posśıvel, encontre a inversa das seguintes matrizes:
3
a) A =
[
1 2
2 4
]
b) B =
[
1 2
0 1
]
24. Dadas as matrizes A =
[
9 5
7 4
]
e B =
[
4 n
m 9
]
, calcule os valores de m e n para que B seja a
matriz inversa de A.
25. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A =
1 1 01 0 0
1 2 a
 possui inversa.
26. Para cada uma das matrizes abaixo calcule, se posśıvel, suas inversas.
(a)
1 2 31 1 2
0 1 2

(b)
1 2 21 3 1
1 3 2

(c)
1 2 30 2 3
1 2 4

(d)

0 0 0 −3
1 2 3 4
−1 3 2 5
2 1 −2 0

(e)

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1

(f)

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 1 3

Respostas
1. h, b, a, c, d, i, f, e, g.
2.
a) A =
[
1 0 −1
]
b) B =

2 3 4 5
1 4 5 6
2 1 6 7
3 2 1 8

3. a) Não. Só será verdade se AB = BA. b) Não. Só será verdade se AC = CA e BC = CB.
4. X =
[
28 1
23 3
]
.
5. a) Falsa b) Falsa c) Falsa
6. x = 1 e y = 2.
7. a = 2 e b = ±11.
8. x = 2 e y = 0.
9. x = 6 e y = 2.
10. a)X = [3 1 2]> b){[−1/7− (3/7)a 1/7− (4/7)a a]>; a ∈ R} c) não tem solução
11 a)a = −4 b) a 6= ±4 c) a = 4
12. π1 ∩ π2 ∩ r = r.
14. a) X =
−z0
z
 para qualquer z ∈ R. b)X = λ
5
56
1
 para qualquer λ ∈ R.
15. 50 cadeira, 15 mesas de centro e 20 mesas de jantar.
16. 60 pacotes de “mistura da casa” e 60 pacotes de “mistura da especial”. Note que existirão
infinitas soluções para o sistema linear ((x, 120− 2x, x− 60)). Mas considerando que os valores das
incógnitas devem ser números naturais, então a solução será única. Neste caso o lucro será de
R$120, 00.
17.
4
a) 7 b) −75 c) −30 d) 4 e) 12 f) 0
18. a)−27 b)9 c)−1/3 d)−3
20. −2/3
21. Dica: basta mostrar que A.B = I.
23. a) A não é invert́ıvel pois det(A) = 0 b) B−1 =
[
1 −2
0 1
]
21.m = 7 e n = −5
25. a 6= 0
26. Dica: Para conferir suas respostas, multiplique a matriz obtida pela dada e verifique se obtém a
identidade.
5