L7 - produto interno

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear (MA71B)
Profa. Dra. Nara Bobko
Lista de Exerćıcios 7
(Produto Interno)
1. Verifique que 〈(u1, u2), (v1, v2)〉 = u1v1 − u1v2 − u2v1 + 3u2v2 define um produto interno no R2.
2. Considere os vetores u = (1, 5), v = (3, 4) e w = (a, 1) do R2. Encontre:
(a) 〈u, v〉 com respeito ao produto interno usual do R2.
(b) 〈u, v〉 com respeito ao produto interno definido no exerćıcio 1.
(c) ‖v‖ usando o produto interno usual do R2.
(d) ‖v‖ usando o produto interno definido no exerćıcio 1.
(e) a tal que u ⊥ w referente ao produto interno usual do R2.
(f) a tal que u ⊥ w referente ao produto interno definido no exerćıcio 1.
3. Verifique que 〈(u1, u2), (v1, v2)〉 = 2u1v1 + u1v2 + v1u2 + u2v2 define um produto interno no R2.
4. Verifique que 〈A,B〉 = tr(B>A) é um produto interno em M3×3.
5. Prove a desigualdade triangular: ‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖.
6. Seja V um espaço vetorial com base B = {u1, . . . , un}. Dados dois vetores v e w de V, definamos
f(v, w) =
∑n
i=1 αiβi onde v =
∑n
i=1 αiui e w =
∑n
i=1 βiui. Mostre que f define um produto
interno em V.
(Isto prova que qualquer espaço vetorial V 6= {0̄} de dimensão finita admite um produto interno).
7. Considere o espaço vetorial M2×2 com a base canônica, isto é,
B =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.
usando a ideia do exerćıcio (6), defina um produto interno para este espaço vetorial.
8. Sejam v1, v2 e v3 vetores de Rn tais que 〈v1, v2〉 = 0 e v2 ⊥ v3. O conjunto {v1, v2, v3} é L.I.?
9. Sejam u = (1, 1,−2) e v = (a,−1, 2) . Para quais valores de a, os vetores u e v são ortogonais?
10. Seja B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)}. Usando o processo de Gram-Schmidt, ache uma base
ortonormal para R3.
11. Encontre uma base ortonormal para o plano x+ y + z = 0.
12. Mostre que se v é ortogonal a w1, . . . , wk, então v é ortogonal a qualquer combinação linear de
w1, . . . , wk.
13. Seja A ⊆ V. Definimos por complemento ortogonal de A (Not.: A⊥) o conjunto dos vetores
ortogonais a todos os vetores de A, isto é,
A⊥ = {v ∈ V|〈u, v〉 = 0,∀u ∈ A}.
Mostre que A⊥ é um subespaço de V.
1
14. Seja W um subespaço do R5 gerado por u = (1, 2, 3,−1, 2) e v = (2, 4, 7, 2,−1). Encontre uma
base para o complemento ortogonal W⊥.
15. Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base B ortogonal para
o subespaço de R4 que tem como base {(1, 1,−1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}.
16. Considere o subespaço U do R4 gerado pelos vetores:
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 2, 4), v3 = (1, 2,−4,−3) e v4 = (3, 4,−1, 2).
Encontre:
(a) uma base de U .
(b) uma base ortogonal de U .
(c) uma base ortonormal de U .
Respostas
1. Lembre-se que x21 − 2x1x2 + 3x22 = (x1 − x2)2 + 2x22.
2.
(a) 23
(b) 44
(c) 5
(d)
√
33
(e) a = −5
(f) a = 7/2
4. Lembre-se que
(i) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
(ii) tr(cA) = ctr(A)
(iii) tr(AB) = tr(BA)
(iv) tr(A>) = tr(A)
5. Dica: desenvolva ‖u+ v‖2 = 〈u+ v, u+ v〉 e use a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
8. Não necessariamente. Contra-exemplo v1 = (1, 0, 0),v2 = (0, 1, 0) e v3 = (2, 0, 0)
9. a = 5
10. {(1/
√
2, 1/
√
2, 0), (1/
√
6,−1/
√
6, 2/
√
6), (−1/
√
3, 1/
√
3, 1/
√
3)}
11.
{√
2
2
(−1, 0, 1) ,
√
6
6
(−1, 2,−1)
}
14. B = {(−2, 1, 0, 0, 0), (13, 0,−4, 1, 0), (−17, 0, 5, 0, 1)}
15. B = {(1, 1,−1, 0), (−2
3
, 4
3
, 2
3
, 1), (− 4
11
,− 3
11
,− 7
11
, 6
11
)}.
16.
(a) B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 4), (1, 1,−4,−3)}
(b) B = {(1, 1, 1, 1), (−1,−1, 0, 2), (1, 3,−6, 2)}
(c) B =
{(
1
2
, 1
2
, 1
2
, 1
2
)
,
(
− 1√
6
,− 1√
6
, 0, 2√
6
)
,
(
1
5
√
2
, 3
5
√
2
,− 6
5
√
2
, 2
5
√
2
)}
2