Exemplo - Integrais Iteradas

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EXEMPLO 
CAPÍTULO 15.2 - INTEGRAIS ITERADAS 
 
• Calcule a integral dupla ∬ (𝑥 − 3𝑦²)𝑑𝐴
𝑅
, onde 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑒 1 ≤ 𝑦 ≤ 2} 
 
Pelo Teorema de Fubini, temos: 
∬(𝑥 − 3𝑦2)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ (𝑥 − 3𝑦2)𝑑𝑦
2
1
𝑑𝑥
2
0
= ∫ [𝑥𝑦 − 𝑦3]
𝑦 = 2
𝑦 = 1
2
0
𝑑𝑥 
= ∫ [𝑥 − 7]𝑑𝑥
2
0
=
𝑥²
2
− 7𝑥]
2
0
= −12 
Do mesmo modo, 
∬(𝑥 − 3𝑦2)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ (𝑥 − 3𝑦2)𝑑𝑥
2
0
𝑑𝑦
2
1
= ∫ [
𝑥²
2
− 3𝑥𝑦²]
𝑥 = 2
𝑥 = 0
2
1
𝑑𝑦 
= ∫ [2 − 6𝑦²]𝑑𝑦
2
1
= 2𝑦 − 2𝑦³]
2
1
= −12 
Observe que não há nada de errado com a resposta ser negativa, pois a função apresentada não é 
positiva, logo a integral não representa um volume. Nesse caso, observe a figura a seguir: 
 
 
Mesmo que 𝑓 for sempre negativa em 𝑅, o 
valor da integral é menos o volume que está 
acima do gráfico de 𝑓 e abaixo de 𝑅. 
 
 
 
 
 STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010