Exercícios Resolvidos - Integrais Triplas

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
CAPÍTULO 15.6 - INTEGRAIS TRIPLAS 
 
01. Calcule a integral do Exemplo 1, integrando primeiro em relação a y, depois z e 
então x. 
 
Temos que: 
 
∭ 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑉
𝐸
= ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥
2
−1
3
0
1
0
= ∫ ∫ [
1
2
𝑥𝑦2𝑧2]
𝑦 = 2
𝑦 = −1
3
0
1
0
𝑑𝑧 𝑑𝑥 
= ∫ ∫
3
2
𝑥𝑧2
3
0
1
0
𝑑𝑧 𝑑𝑥 = ∫ [
1
2
𝑥𝑧3]
𝑧 = 3
𝑧 = 0
1
0
 𝑑𝑥 = ∫
27
2
1
0
𝑥 𝑑𝑥 
=
27
4
𝑥²]
1
0
=
27
4
 
 
09. Calcule a integral tripla. 
∭ 2𝑥 𝑑𝑉
𝐸
 
Onde, 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|0 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ √4 − 𝑦² 𝑒 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦}. 
 
Temos que: 
 
∭ 2𝑥 𝑑𝑉
𝐸
= ∫ ∫ ∫ 2𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
0
√4−𝑦2
0
2
0
= ∫ ∫ [2𝑥𝑧]
𝑧 = 𝑦
𝑧 = 0
 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑦2
0
2
0
 
= ∫ ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑦2
0
2
0
= ∫ [𝑥2𝑦]𝑥 = √4 − 𝑦
2
𝑥 = 0
 𝑑𝑦
2
0
= ∫ (4 − 𝑦2)𝑦 𝑑𝑦
2
0
 
= [2𝑦2 −
1
4
𝑦4]
2
0
= 4 
 
19. Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos 
coordenados e o plano 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4. 
 
Temos que o plano 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 intercepta o plano 𝑥𝑦 quando: 
 
2𝑥 + 𝑦 + 0 = 4 ⇒ 𝑦 = 4 − 2𝑥 
Então, 
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 2𝑥 𝑒 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 2𝑥 − 𝑦} 
 
Com isso, temos que o volume pode ser dado por: 
 
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
4−2𝑥−𝑦
0
4−2𝑥
0
2
0
= ∫ ∫ (4 − 2𝑥 − 𝑦)
4−2𝑥
0
2
0
𝑑𝑦 𝑑𝑥 
= ∫ [4𝑦 − 2𝑥𝑦 −
1
2
𝑦2]
𝑦 = 4 − 2𝑥
𝑦 = 0
2
0
𝑑𝑥 
 
= ∫ [4(4 − 2𝑥) − 2𝑥(4 − 2𝑥) −
1
2
(4 − 2𝑥)2]
2
0
𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥2 − 8𝑥 + 8)
2
0
𝑑𝑥 
= [
2
3
𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥]
2
0
=
16
3
 
 
27. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada: 
 
∫ ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥
2−2𝑧
0
1−𝑥
0
1
0
 
 
Temos que esse sólido é da forma: 
 
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 − 2𝑧} 
 
Logo, esse sólido é delimitado por essas coordenadas e pelos seguintes planos: 
 
𝑧 = 1 − 𝑥 𝑒 𝑦 = 2 − 2𝑧 
 
Com isso, temos o seguinte esboço: 
 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010