Resumo de Conteúdo - Integrais duplas sobre regiões gerais

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RESUMO DE CONTEÚDO 
CAPÍTULO 15.3 - INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 
 
Para as integrais de funções de uma variável real, a região sobre a qual integramos é sempre um 
intervalo. Porém, para integrais duplas, queremos integrar a função f não somente sobre retângulos, 
como também sobre uma região D de forma mais geral. Supondo que que D seja uma região limitada 
e está contida em uma região retangular R, podemos então definir: 
 
 
𝐹(𝑥, 𝑦) = {
𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝐷
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑚 𝑅, 𝑚𝑎𝑠 𝑛ã𝑜 𝑒𝑚 𝐷
 
Equação 1 
 
 
Se 𝐹 for integrável em 𝑅, então definimos a integral dupla de 𝑓 em 𝐷 como: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹 é 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1 
Equação 2 
 
Isso porque 𝑅 é um retângulo e ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 já foi definida na Seção 15.1. Nesse sentindo, o 
procedimento usado é razoável, pois os valores de 𝐹(𝑥, 𝑦) são 0 quando (𝑥, 𝑦) está fora da região 𝐷 
e dessa forma não contribuem para o valor da integral, logo não importa qual o retângulo 𝑅 tomado, 
desde que contenha 𝐷. 
No caso em que 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, podemos ainda interpretar ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 como o volume do sólido que 
está acima de 𝐷 e abaixo da superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) (gráfico de 𝑓). Isso é razoável ao comparar os 
gráficos de 𝑓 e 𝐹 e lembrar que ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 é o volume abaixo do gráfico de 𝐹: 
 
 
O gráfico mostra também que 𝐹 provavelmente tem descontinuidades nos pontos de fronteira de 𝐷. 
 
Uma região plana 𝐷 é dita do Tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de 𝑥, 
ou seja: 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)} 
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔1 𝑒 𝑔2 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚 [𝑎, 𝑏] 
 
 
Para calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 quando 𝐷 é do Tipo I, escolhemos um retângulo 𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] que 
contenha 𝐷 e consideramos a função 𝐹 definida na Equação 1. Ou seja, 𝐹 coincide com 𝑓 em 𝐷 e 𝐹 
é 0 fora da região 𝐷. 
 
Com isso, pelo Teorema de Fubini, 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
porque 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) quando 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥). Com isso, chegamos na seguinte fórmula, que 
nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada: 
Equação 3 
Se 𝑓 é contínua em uma 𝐷 do Tipo 1 tal que 
 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)} 
Então, 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
A integral do lado direito é uma integral iterada semelhante às consideradas na seção anterior, exceto 
que na integral de dentro consideramos 𝑥 constante não só em 𝑓(𝑥, 𝑦), mas também nos limites de 
integração 𝑔1 𝑒 𝑔2. 
Já as regiões planas do Tipo II, podem ser expressas como: 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 𝑒 ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦)}, 𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ1 𝑒 ℎ2 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎𝑠 
Equação 4 
 
E, 
 
Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer Equação 3, temos: 
Equação 5 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ2(𝑥)
ℎ1(𝑥)
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Onde 𝐷 é uma região do Tipo II dada pela Equação 4. 
 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010