apol 2 estrutura algébrica tentativa 2

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica 
Um homomorfismo é uma função especial que preserva as operações dos anéis 
envolvidos. Com base nestas funções, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e 
F quando falsa. 
 
I. ( ) A função f:Z→Zf:Z→Z definida por f(x)=x+2f(x)=x+2 é um homomorfismo. 
 
II. ( ) A função f:Z→M2(Z)f:Z→M2(Z) definida por f(a)=[a00a]f(a)=[a00a] é um 
homomorfismo. 
 
III. ( ) A função f:Z→Zf:Z→Z definida por f(x)=xf(x)=x é um homomorfismo. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V, V, V. 
 
B V, F, V. 
 
C V, V, F. 
 
D V, F, F. 
 
E F, V, V. 
Você acertou! 
A afirmativa I é falsa, pois f(0)=2≠0.f(0)=2≠0. Por outro lado, as afirmativas II e III são verdadeiras, já que f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x⋅y)=f(x)⋅f(y) para 
todos x∈Z.f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x⋅y)=f(x)⋅f(y) para todos x∈Z. 
 
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica 
Considere o enunciado a seguir: 
 
As funções que preservam as operações de anéis são chamadas homomorfismos. 
Com base nestas funções, analise as afirmativas: 
 
I. A função f:Z→Zf:Z→Z dada por f(x)=−xf(x)=−x é um homomorfismo. 
 
II. Para o homomorfismo f:Z→Rf:Z→R dado por f(x)=x,f(x)=x, temos 
N(f)={0}N(f)={0} e Im(f)=Z.Im(f)=Z. 
 
III. A função f:R×R→M2(R)f:R×R→M2(R) definida 
por f(a,b)=(a00b)f(a,b)=(a00b) é um homomorfismo. 
 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Nota: 10.0 
 
A I. 
 
B I e II. 
 
C I e III. 
 
D II. 
 
E II e III. 
Você acertou! 
A função definida na afirmativa II é um homomorfismo. Além disso, x∈N(f)⟺f(x)=0⟺x=0.x∈N(f)⟺f(x)=0⟺x=0. Assim, N(f)={0}.N(f)={0}. Também verificamos 
que Im(f)={f(x)∈R; x∈Z}={x; x∈Z}=Z.Im(f)={f(x)∈R; x∈Z}={x; x∈Z}=Z. Logo, a afirmativa II é verdadeira. A afirmativa III também é verdadeira, 
pois f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) e f((a,b)⋅(c,d))=f(a,b)⋅f(c,d)f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) e f((a,b)⋅(c,d))=f(a,b)⋅f(c,d) para todos (a,b),(c,d)∈R×R.(a,b),(c,d)∈R×R. 
 
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica 
Sobre a noção de ideal, é correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A ZZ é um ideal de Q.Q. 
 
B ZZ é um ideal de R.R. 
 
 
C QQ é um ideal de R.R. 
 
 
D 2Z2Z é um ideal de Z.Z. 
Você acertou! 
Considere a,b∈2Z e x∈Z.a,b∈2Z e x∈Z. Então existem a1,b1∈Za1,b1∈Z tais que a=2a1 e b=2b1.a=2a1 e b=2b1. Com 
isso, a−b=2(a1−b1)∈2Z e x⋅a=2(a1x)∈2Z.a−b=2(a1−b1)∈2Z e x⋅a=2(a1x)∈2Z. Isso mostra que 2Z2Z é um ideal de Z.Z. 
 
E 3Z3Z é um ideal de Q.Q. 
 
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica 
Considere os anéis (Z,+,⋅), (Q,+,⋅) e (R,+,⋅),(Z,+,⋅), (Q,+,⋅) e (R,+,⋅), em 
que + e ⋅+ e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo e com divisores de zero. 
 
 
 
B (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) não é um domínio. 
 
 
 
C (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é um corpo. 
 
 
 
D (R,+,⋅)(R,+,⋅) é um domínio que não é corpo. 
 
 
 
E (R,+,⋅)(R,+,⋅) é um corpo. 
 
 
Você acertou! 
É sabido que (R,+,⋅)(R,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, todo número real x∈R, x≠0,x∈R, x≠0, possui 
inverso x−1=1x∈R.x−1=1x∈R. Portanto, (R,+,⋅)(R,+,⋅) é um corpo. 
 
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica 
Considere M2(R)M2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas 
reais. Sobre o anel (M2(R),+,⋅),(M2(R),+,⋅), é correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A É um anel comutativo. 
 
B É um anel com unidade dada pela matriz I=[1111].I=[1111]. 
 
C É um anel com divisores de zero. 
Você acertou! 
Com operações usuais, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. Além disso, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. Por exemplo, as 
matrizes A=[1000] e B=[0010]A=[1000] e B=[0010] são tais que AB=0,AB=0, porém A≠0 e B≠0.A≠0 e B≠0. 
 
D É um domínio de integridade. 
 
E É um corpo. 
 
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica 
Sobre a noção de homomorfismo de anéis, é correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A A função f:R→Rf:R→R definida por f(x)=−xf(x)=−x é um homomorfismo. 
 
B A função f:Z→Rf:Z→R dada por f(x)=xf(x)=x é um epimorfismo. 
 
C A função f:Z×Z→M2(Z)f:Z×Z→M2(Z) definida por f(a,b)=[a00b]f(a,b)=[a00b] é um monomorfismo. 
Você acertou! 
Claramente, ff é um homomorfismo. Além disso, N(f)={(0,0)}N(f)={(0,0)}, o que garante que ff é injetora. Portanto, ff é um monomorfismo. 
 
D A imagem do homomorfismo f:Z→Q, f(x)=xf:Z→Q, f(x)=x é o conjunto Im(f)=Q.Im(f)=Q. 
 
E O núcleo do homomorfismo nulo f:R→R, f(x)=0f:R→R, f(x)=0 é o conjunto N(f)={0}.N(f)={0}. 
 
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado abaixo e responda de acordo com as informações contidas nele e 
com os conteúdos estudados nas aulas: 
 
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a 
alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x): 
Nota: 10.0 
 
A 2, 4 e 7. 
 
B -7, -4 e 2. 
 
C -2, 4 e 7. 
 
D -7, -4 e -2. 
 
E -7, -2 e 4. 
Você acertou! 
O polinômio p(x)p(x) pode ser decomposto como p(x)=(x−4)(x+2)(x+7)p(x)=(x−4)(x+2)(x+7). Logo, as raízes de p(x)p(x) são -7, -2 e 4. 
 
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica 
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos munido das operações ++ e 
⋅⋅ definidas pelas tabelas abaixo: 
 
+eaeeaaae e ⋅eaeeeaea+eaeeaaae e ⋅eaeeeaea 
 
 
Analise as afimativas: 
 
I. e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e. 
 
II. O elemento neutro da operação ++ é a.a. 
 
III. A unidade de AA é o elemento e.e. 
 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
Você acertou! 
Na tabela da adição, temos e+a=a.e+a=a. Usando a tabela da multiplicação, concluímos que e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e. Logo, a afirmativa I é correta. Como a+a=e,a+a=e, o 
elemento aa não pode ser o elemento neutro da adição. Assim, a afirmativa II é falsa. Além disso, como e⋅a=e,e⋅a=e, garantimos que o elemento ee não é a unidade em A.A. Portanto, a 
afirmativa III é incorreta. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica 
Seja (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as 
operações de adição ++ e multiplicação ⋅⋅ usuais. Analise as afirmativas: 
 
 
I. (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel com unidade. 
 
II. (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel comutativo. 
 
III. (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
Sabemos que (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. A unidade deste anel é dada pela matriz identidade: I=[1001].I=[1001]. Logo, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel unitário e afirmativa 
I é verdadeira. Este anel não é comutativo, pois sabemos que o produto de matrizes não é comutativo. Logo, a afirmativa II é falsa. Além disso, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui 
divisores de zero, pois considerando as matrizes: A=[1000] e B=[0001],A=[1000] e B=[0001], temos A⋅B=0,A⋅B=0, mas tanto AA quanto BB são matrizes não nulas. Portanto, a 
afirmativa III é correta. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica 
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando 
a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa 
estrutura, analise as afirmativas: 
 
I. ZZ é um subanel de Q.Q. 
 
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R). 
 
III. 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
Sabemos que Z⊂Q.Z⊂Q. Além disso, dados a,b∈Z,a,b∈Z, temos a−b∈Z e a⋅b∈Z.a−b∈Z e a⋅b∈Z. Logo, ZZ é subanel de Q.Q. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Observamos 
também que 2Z⊂Z.2Z⊂Z. Dados a,b∈2Z,a,b∈2Z, existem x,y∈Zx,y∈Z tais que a=2x e b=2y.a=2x e b=2y. Com 
isso, a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z. Assim, 2Z2Z é subanel de ZZ e a afirmativa III é verdadeira. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas.